Операционное исчисление для чайников: Лямбда-исчисление: описание теоремы, особенности, примеры

alexxlab / / Разное

Лямбда-исчисление: описание теоремы, особенности, примеры

Лямбда-исчисление — это формальная система в математической логике для выражения подсчетов на основе абстракции и применения функций с использованием привязки и подстановки переменных. Это универсальная модель, которую можно применять для проектирования любой машины Тьюринга. Впервые введена лямбда-исчисления Черчем, известным математиком, в 1930-х годах.

Система состоит из построения лямбда-членов и выполнения над ними операций сокращения.

Пояснения и приложения

Греческая буква lambda (λ) используется в лямбда-выражениях и лямбда-терминах для обозначения связывания переменной в функции.

Лямбда-исчисление может быть нетипизировано или типизировано. В первом варианте функции могут быть применены только в том случае, если они способны принимать данные этого типа. Типизированные лямбда-исчисления слабее, могут выражать меньшее значение. Но, с другой стороны, они позволяют доказывать больше вещей.

Одной из причин того, что существует много разных типов — это желание ученых сделать больше, не отказываясь от возможности доказывать сильные теоремы лямбда-исчислений.

Система находит применение во многих различных областях математики, философии, лингвистики, и компьютерных наук. В первую очередь, лямбда-исчисления — это расчет, который сыграл важную роль в развитии теории языков программирования. Именно стили функционального создания реализуют системы. Они также являются актуальной темой исследований в теории этих категорий.

Для чайников

Лямбда-исчисление была введена математиком Алонзо Черчем в 1930-х годах в рамках исследования основ науки. Первоначальная система была показана как логически несовместимая в 1935 году, когда Стивен Клин и Дж. Б. Россер разработали парадокс Клини-Россера.

В последствии, в 1936 году Черч выделил и опубликовал только ту часть, которая имеет отношение к расчетам, то, что сейчас называется нетипизированным лямбда-исчислением. В 1940 он также представил более слабую, но логически непротиворечивую теорию, известную как система простого типа. В свое работе он объясняет всю теорию простым языком, поэтому, можно сказать, что Черч опубликовал лямбду исчисления для чайников.

До 1960-х годов, когда выяснилось его отношение к языкам программирования, λ стала лишь формализмом. Благодаря применениям Ричарда Монтегю и других лингвистов в семантике естественного языка, исчисление стало занимать почетное место как в лингвистике, так и в информатике.

Происхождение символа

Лямбда не обозначает слово или аббревиатуру, она возникла, благодаря ссылки в «Принципиальной математике» Рассела, за которой следуют два типографских изменения. Пример обозначения: для функции f с f (y) = 2y + 1 равно 2ŷ + 1. И здесь используется символ каретки («шляпа») над y для пометки входной переменной.

Церковь изначально намеревалась использовать аналогичные символы, но наборщики не смогли разместить символ «шляпа» над буквами. Поэтому вместо этого они напечатали его изначально как «/\y.2y+1». В следующем эпизоде редактирования наборщики заменили «/ \» на визуально похожий символ.

Введение в лямбда исчисление

Система состоит из языка терминов, которые выбираются определенным формальным синтаксисом, и набора правил преобразования, которые позволяют манипулировать ими. Последний пункт можно рассматривать как эквациональную теорию или как операционное определение.

Все функции в лямбда-исчислении являются анонимными, то есть не имеющими имен. Они принимают только одну входную переменную, при этом каррирование используется для реализации графиков с несколькими непостоянными.

Лямбда-термины

Синтаксис исчисления определяет некоторые выражения как допустимые, а другие — как недействительные. Также, как различные строки символов являются допустимыми программами на Си, а какие-то — нет. Действительное выражение лямбда-исчисления называется «лямбда-термином».

Следующие три правила дают индуктивное определение, которое можно применять для построения всех синтаксически допустимых понятий:

Переменная x сама по себе является действительным лямбда-термином:

  • если T это ЛТ, и x непостоянная, то (lambda xt) называется абстракцией.
  • если T, а также s понятия, то (TS) называется приложением.

Ничто другое не является лямбда-термином. Таким образом, понятие действительно тогда и только тогда, когда оно может быть получено повторным применением этих трех правил. Тем не менее некоторые скобки могут быть опущены в соответствии с другими критериями.

Определение

Лямбда-выражения состоят из:

  • переменных v 1, v 2,…, v n,…
  • символов абстракции ‘λ’ и точки ‘.’
  • скобок ().

Множество Λ, может быть определено индуктивно:

  • Если x переменная, то x ∈ Λ;
  • x непостоянная и M ∈ Λ, то (λx.M) ∈ Λ;
  • M, N ∈ Λ, то (MN) ∈ Λ.

Обозначение

Чтобы сохранить нотацию лямбда-выражений в незагроможденном виде, обычно применяются следующие соглашения:

  • Внешние скобки опущены: MN вместо (MN).
  • Предполагается, что приложения остаются ассоциативными: взамен ((MN) P) можно написать MNP.
  • Тело абстракции простирается дальше вправо: λx. MN означает λx. (MN), а не (λx.M) N.
  • Сокращается последовательность абстракций: λx.λy.λz.N можно λxyz.N.

Свободные и связанные переменные

Оператор λ соединяет свою непостоянную, где бы он ни находился в теле абстракции. Переменные, попадающие в область, называются связанными. В выражении λ x. М, часть λ х часто называют связующим. Как бы намекая, что переменные становятся группой с добавлением Х х к М. Все остальные неустойчивые называются свободными.

Например, в выражении λ y. х х у, у — связанная непостоянная, а х — свободная. И также стоит обратить внимание, что переменная сгруппирована своей «ближайшей» абстракцией. В следующем примере решение лямбда-исчисления представлено единственным вхождением x, которое связано второй составляющей:

λ x. y (λ x. z x)

Множество свободных переменных M обозначается как FV (M) и определяется рекурсией по структуре терминов следующим образом:

  • FV (x) = {x}, где x — переменная.
  • FV (λx.M) = FV (M) \ {x}.
  • FV (MN) = FV (M) ∪ FV (N).

Формула, которая не содержит свободных переменных, называется закрытой. Замкнутые лямбда-выражения также известны как комбинаторы и эквивалентны терминам в комбинаторной логике.

Сокращение

Значение лямбда-выражений определяется тем, как они могут быть сокращены.

Существует три вида урезания:

  • α-преобразование: изменение связанных переменных (альфа).
  • β-редукция: применение функций к своим аргументам (бета).
  • η-преобразование: охватывает понятие экстенсиональности.

Здесь речь также идет о полученных эквивалентностях: два выражения являются β-эквивалентными, если они могут быть β-преобразованы в одно и то же составляющее, а α / η-эквивалентность определяется аналогично.

Термин redex, сокращение от приводимого оборота, относится к подтемам, которые могут быть сокращены одним из правил. Лямбда исчисление для чайников, примеры:

(λ x.M) N является бета-редексом в выражении замены N на x в M. Составляющее, к которому сводится редекс, называется его редуктом. Редукция (λ x.M) N есть M [x: = N].

Если x не является свободной в M, λ х. М х также ет-REDEX с регулятором М.

α-преобразование

Альфа-переименования позволяют изменять имена связанных переменных. Например, λ x. х может дать λ у. у. Термины, которые отличаются только альфа-преобразованием, называются α-эквивалентными. Часто при использовании лямбда-исчисления α-эквивалентные считаются взаимными.

Точные правила для альфа-преобразования не совсем тривиальны. Во-первых, при данной абстракции переименовываются только те переменные, которые связаны с одной и той же системой. Например, альфа-преобразование λ x.λ x. x может привести к λ y.λ x. х, но это может не ввергнуть к λy.λx.y Последний имеет иной смысл, чем оригинал. Это аналогично понятию программирования затенения переменных.

Во-вторых, альфа-преобразование невозможно, если оно приведет к захвату непостоянной другой абстракцией. Например, если заменить x на y в λ x. λ y. x, то можно получить λ y.λ y. у, что совсем не то же самое.

В языках программирования со статической областью видимости альфа-преобразование можно использовать для упрощения разрешения имен. При этом следя за тем, чтобы понятие переменной не маскировало обозначение в содержащей области.

В нотации индекса Де Брюйна любые два альфа-эквивалентных термина синтаксически идентичны.

Замена

Изменения, написанные Е [V: = R], представляют собой процесс замещения всех свободных вхождений переменной V в выражении Е с оборотом R. Подстановка в терминах λ определяется лямбдой исчисления рекурсии по структуре понятий следующим образом (примечание: x и y — только переменные, а M и N — любое λ-выражение).

x [x: = N] ≡ N

y [x: = N] ≡ y, если x ≠ y

(M 1 M 2) [x: = N] ≡ (M 1 [x: = N]) (M 2 [x: = N])

(λ x.M) [x: = N] ≡ λ x.M

(λ y.M) [x: = N] y λ y. (M [x: = N]), если x ≠ y, при условии, что y ∉ FV (N).

Для подстановки в лямбда-абстракцию иногда необходимо α-преобразовать выражение. Например, неверно, чтобы (λ x. Y) [y: = x] приводило к (λ x. X), потому что замещенный x должен был быть свободным, но в итоге был связанным. Правильная замена в этом случае (λ z. X) с точностью до α-эквивалентности. Стоит обратить внимание, что замещение определяется однозначно с верностью до лямбды.

β-редукция

Бета-редукция отражает идею применения функции. Бета-восстановительный определяется в терминах замещения: ((X V. E) Е ‘) является Е [V: = Е’].

Например, предполагая некоторое кодирование 2, 7, ×, имеется следующее β-уменьшение: ((λ n. N × 2) 7) → 7 × 2.

Бета-редукция может рассматриваться как то же самое, что и концепция локальной сводимости при естественной дедукции через изоморфизм Карри – Ховарда.

η-преобразование

Эта-конверсия выражает идею экстенсиональности, которая в этом контексте заключается в том, что две функции равны тогда, когда они дают одинаковый результат для всех аргументов. Эта конвертация обменивает между λ x. (F x) и f всякий раз, когда x не кажется свободным в f.

Данное действие может рассматриваться как то же самое, что и концепция локальной полноты в естественной дедукции через изоморфизм Карри – Ховарда.

Нормальные формы и слияние

Для нетипизированного лямбда-исчисления β-редукция как правило переписывания не является ни сильно нормализующей, ни слабо.

Тем не менее можно показать, что β-редукция сливается при работе до α-преобразования (т. е. можно считать две нормальные формы равными, если возможно α-преобразование одной в другую).

Поэтому и сильно нормализующие члены, и слабо налаживающие понятия имеют единственную нормальную форму. Для первых терминов любая стратегия сокращения гарантированно приведет к типичной конфигурации. Тогда как для слабо нормализующих условий некоторые стратегии сокращения могут не найти ее.

Дополнительные методы программирования

Существует большое количество идиом создания для лямбда-исчисления. Многие из них были первоначально разработаны в контексте использования систем в качестве основы для семантики языка программирования, эффективно применяя их в качестве создания низкого уровня. Поскольку некоторые стили включают лямбда-исчисление (или что-то очень похожее) в качестве фрагмента, эти методы также находят применение в практическом создании, но затем могут восприниматься как неясные или чужие.

Именованные константы

В лямбда-исчислении библиотека принимает форму набора ранее определенных функций, в которой термины являются просто конкретными константами. Чистое исчисление не имеет понятия именованных неизменных, поскольку все атомные лямбда-термины являются переменными. Но их также можно имитировать, выделив непостоянную в качестве имени константы, используя лямбда-абстракцию для связывания этой изменчивой в основной части, и применить эту абстракцию к намеченному определению. Таким образом, если использовать f для обозначения M в N, можно сказать,

(λ ф. Н) М.

Авторы часто вводят синтаксическое понятие, такое как let, чтобы разрешить писать все в более интуитивном порядке.

f = M в N

Объединяя в цепочку такие определения, можно написать «программу» лямбда-исчисления как ноль или более дефиниций функций, за которыми следует один лямбда-член, используя те определения, которые составляют основную часть программы.

Заметным ограничением этого let является то, что имя f не определено в M, поскольку M находится вне области привязки лямбда-абстракции f. Это означает, что атрибут рекурсивной функции не может использоваться как M с let. Более продвинутая синтаксическая конструкция letrec, которая позволяет писать рекурсивные определения функций в этом стиле, вместо этого дополнительно использует комбинаторы с фиксированной точкой.

Печатные аналоги

Данный тип является типизированным формализмом, который использует символ для обозначения анонимной функции абстракция. В этом контексте типы обычно являются объектами синтаксической природы, которые присваиваются лямбда-терминам. Точная натура зависит от рассматриваемого исчисления. С определенной точки зрения, типизированные ЛИ можно рассматривать как уточнения нетипизированного ЛИ. Но с другой стороны, их также можно считать более фундаментальной теорией, а нетипизированное лямбда-исчисление — особым случаем только с одним типом.

Типизированные ЛИ являются основополагающими языками программирования и основой функциональных, таких как ML и Haskell. И, более косвенно, императивных стилей создания. Типизированные лямбда-исчисления играют важную роль в разработке систем типов для языков программирования. Здесь типизируемость обычно захватывает желательные свойства программы, например, она не вызовет нарушения доступа к памяти.

Типизированные лямбда-исчисления тесно связаны с математической логикой и теорией доказательств через изоморфизм Карри – Говарда, и их можно рассматривать как внутренний язык классов категорий, например, который просто является стилем декартовых замкнутых.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения
  

Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 448 с.

Книга содержит изложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнении, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В новом издании (первое издание выходило в 1980 г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные уравнения.
4. Линейные уравнения.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Интегрирующий множитель.
7. Уравнение Бернулли.
8. Уравнение Риккати.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции
2. Принцип суперпозиции.
§ 4. Линейное уравнепие первого порядка с постоянными коэффициентами
2. Комплексные функции вещественного аргумента. Комплексная экспонента.
§ 5. Линейные однородные дифференциалыше уравнения с постоянными коэффициентами
2. Случай простых корней.
3. Случай кратных корней.
4. Уравнение Эйлера.
5. Выделение вещественных решений.
§ 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
2. Ангармонические колебания.
§ 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом
§ 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай простых корней
§ 9. Фазовая плоскость линейной системы
2. Комплексные корни.
3. Уравнение второго порядка.
§ 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней
§ 11. Операционное исчисление
§ 12. Линейные разностные уравнения
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Доказательство основной теоремы при n = 1.
3. Теорема Коши.
§ 2. Линейные нормированные пространства
§ 3. Принцип сжатых отображений
§ 4. Лемма Адамара
§ 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка
2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
3. Комментарии к основной теореме.
4. Продолжение решений.
§ 6. Гладкость решений
§ 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий
§ 8. Обратные и неявные функции
2. Теорема о неявной функции.
3. Дифференцирование сложных функций.
§ 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты
2. Кривые и поверхности.
3. Криволинейные координаты.
§ 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
2. Особые решения. Огибающая.
3. Интегрирование уравнений вида (1).
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
2. Доказательство теоремы.
3. Линейное уравнение n-го порядка.
§ 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами
2. Вычисление матричной экспоненты.
3. Функции от матриц.
4. Малые колебания механических систем.
§ 3. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского
2. Определитель Вронского.
§ 4. Формула Лиувилля
§ 5. Фундаментальные системы решений
§ 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
2. Уравнения второго порядка.
§ 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений
§ 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка
2. Теорема сравнения.
§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя
2. Регулярные особые точки.
3. Уравнение Бесселя.
§ 11. Уравнения с периодическими коэффициентами
2. Зоны устойчивости и неустойчивости.
§ 12.
Дельта-функция и ее применения
2. Толчки. Принцип Дюамеля.
3. Периодические толчки в системах с трением.
ГЛАВА 4. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
2. Векторные поля. Механическая интерпретация фазовых траекторий.
§ 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки
§ 3. Изменение фазового объема
2. Замечания о системах в трехмерном пространстве.
§ 4. Производная в силу системы. Первые интегралы
2. Первые интегралы.
§ 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле
2. Колебания маятника.
3. Эллиптические функции.
4. Движение частицы в поле с кубическим потенциалом.
§ 6. Устойчивость. Функция Ляпунова
§ 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы
§ 8. Устойчивость по линейному приближению
2. Устойчивость по линейному приближению.
3. Неустойчивость по линейному приближению.
4. Устойчивость неавтономных систем.
5. Устойчивые многообразия решений (условная устойчивость).
§ 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории)
2. Предельное поведение траекторий.
3. Функция последования. Автоколебания.
ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Другие примеры.
3. Классификация уравнений с частными производными 1-го порядка.
§ 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений
2. Квазилинейные уравнения.
3. Характеристики и интегральные поверхности.
§ 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений
2. Область зависимости от начальных данных.
3. Линейные уравнения со многими переменными.
4. Квазилинейные уравнения.
§ 4. Линейные и нелинейные волны
§ 5. Нелинейные уравнения
2. Задача Коши.
ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах
2. Линейные функционалы.
3. Первая вариация.
4. Необходимое условие экстремума.
§ 3. Простейшие задачи вариационного исчисления
2. Задача с одним закрепленным и с одним подвижным концом.
3. Примеры.
§ 4. Функционалы, зависящие от высших производных
§ 5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип наименьшего действия в механике
2. Принцип наименьшего действия.
§ 6. Условный экстремум
§ 7. Задача Лагранжа
§ 8. Функционалы от функций многих переменных
2. Уравнение колебаний мембраны.
§ 9. Достаточные условия слабого экстремума
2. Квадратичные функционалы.
3. Достаточные условия слабого экстремума.
§ 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления
2. Гамильтонова форма уравнений механики.
3. Задача с подвижными концами.
§ 11. Принцип максимума Понтрягина
2. Необходимые условия экстремума.
ГЛАВА 7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Основные оценки
2. Оценка решений.
§ 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента
2. Неосциллирующие решения.
3. Уравнения с комплексными коэффициентами.
§ 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра
2. Неосциллирующие решения.
3. Двойные асимптотики.
4. Асимптотические разложения решений.
§ 5. Элементы теории возмущений
2. Метод Линдштедта — Пуанкаре.
3. Метод Крылова — Боголюбова.
4. Метдд осреднения.
5. Пограничный слой и метод сращивания асимптотических разложений.
6. Метод ВКБ для нелинейных уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Оперативное исчисление для общих дробных производных произвольного порядка

1. Введение

Начиная с ранних фаз развития исчисления было предпринято несколько попыток интерпретации производных и интегралов как неких чисто алгебраических символов. Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие основатели исчисления ввели и использовали алгебраические правила для работы с интегральными и дифференциальными операторами. В большинстве случаев эти правила приводили к правильным результатам. Однако это были всего лишь формальные алгоритмы без строгой математической основы.

Наиболее ярким примером этой процедуры были работы Оливера Хевисайда, который систематически использовал алгебраический подход к исследованию ряда практических проблем, включая дифференциальные уравнения электромагнетизма и теорию осцилляторов. Из-за важности подхода Хевисайда для инженеров математики начали задумываться о его строгом математическом обосновании. В работах Бромвича, Карсона, Ван дер Поля, Дётча и других математиков методы Хевисайда обосновывались в терминах преобразования Лапласа и его модификаций. Однако требование существования преобразования Лапласа приводило к некоторым условиям на поведение функций в бесконечности, что ограничивало применимость операционного исчисления Хевисайда.

В 1950-х годах в работах Яна Микусинского и его соавторов (см. [1] и ссылки в ней) был предложен кардинальный возврат к первоначальным идеям операционного исчисления, где операционное исчисление для производной первого порядка были разработаны и применены для ряда математических и реальных задач. Основными компонентами этого подхода являются интерпретация свертки Лапласа как умножения в кольце функций, непрерывных на вещественной положительной полуоси, и расширение этого кольца на поле отношений свертки. В дальнейшем схема Микусинского использовалась рядом математиков для разработки операционного исчисления некоторых специальных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами (см., например, [2,3,4]), которые оказались частными случаями гипер- Дифференциальный оператор Бесселя в виде

Операционное исчисление типа Микусинского для дифференциального оператора гипербесселя (1) было построено Димовским в [5].

Новый этап в дальнейшем развитии операционного исчисления типа Микусинского был начат в работах Лучко и его соавторов, где были построены операционные исчисления для различных дробных производных и применены для вывода формул решения дробного интеграла в замкнутой форме и дифференциальные уравнения. Первое операционное исчисление для дробной производной было предложено в [6,7], где было разработано операционное исчисление типа Микусинского для кратной дробной производной Эрдейи-Кобера. Двумя известными частными случаями этой дробной производной являются дифференциальный оператор гипер-Бесселя (1) и дробная производная Римана–Лиувилля. Расширенная версия операционного исчисления для дробной производной Римана–Лиувилля была предложена в [8,9].]. Операционное исчисление для другой основной дробной производной, производной Капуто, было разработано в [10]. Следует отметить, что в [10] это операционное исчисление было применено для вывода формул решений в замкнутой форме многочленных дробных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Капуто соизмеримого и несоизмеримого порядков. В [11] разработано операционное исчисление типа Микусинского для дробной производной Гильфера. В [12] рассмотрен случай дробной производной Эрдейи-Кобера типа Капуто. В [13] было разработано операционное исчисление типа Микусинского для общей дробной производной (ОДП) «обобщенного порядка» из интервала (0,1) в смысле Капуто. Эта ОФД представляет собой композицию интеграла свертки Лапласа с ядром Сонина с интегрируемой особенностью типа степенной функции в нулевой точке и производной первого порядка. В [13] это исчисление применялось для вывода формул решения в замкнутой форме начальных задач для многочленных дифференциальных уравнений дробного порядка с последовательными дробными производными этого типа. Случай GFD произвольного порядка в смысле Римана–Лиувилля был рассмотрен в совсем недавней работе [14], где соответствующее операционное исчисление применялось для решения многочленных дифференциальных уравнений дробного порядка с этими производными и соответствующим образом сформулированными начальными условиями . В [15,16] представлен обзор операционного исчисления для нескольких различных дробных производных.

Остальная часть этой статьи организована следующим образом: В разделе 2 мы представляем обзор некоторых важных свойств общих дробных интегралов (GFI) и GFD произвольного порядка. Затем мы вводим последовательные GFD, доказываем 1-ю и 2-ю фундаментальные теоремы дробного исчисления (FC) для этих производных и выводим явный вид для их проекторных операторов. Раздел 3 посвящен построению операционного исчисления типа Микусинского для GFD произвольного порядка. В частности, последовательные ОФД произвольного порядка представляются в виде умножения на некоторые элементы построенного поля сверточных отношений. Разработанное операционное исчисление может быть применено для вывода формул решений в замкнутой форме для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных дробях с последовательными ОФД произвольного порядка.

2. Общие дробные производные произвольного порядка

Первой публикацией, посвященной GFI и GFD, была статья [17] Сонина, опубликованная в 1884 г., даже если в ней не упоминались дробные интегралы и дробные производные. В [17] Сонин обобщил метод решения, использованный Абелем в [18,19] для интегро-дифференциального уравнения (в несколько иных обозначениях)

к случаю более общих интегральных уравнений. В своих выводах Абель существенно использовал соотношение

где hα обозначает степенную функцию

операция ∗ означает свертку Лапласа

а {1} — функция, тождественно равная 1 при t>0. Решение Абеля интегро-дифференциального уравнения (2) при условии g(0)=0 в настоящее время известно как дробный интеграл Римана–Лиувилля:

Блестящая идея Сонина заключалась в том, чтобы заменить степенные функции hα и h2− α в соотношении (3) с произвольными функциями κ,k, удовлетворяющими тому же соотношению:

В настоящее время такие функции называются ядрами Сонина, а условие (7) — условием Сонина.

Используя метод Абеля, Сонин решил интегральное уравнение типа свертки

в явном виде:

если ядра κ,k удовлетворяют условию Сонина (7).

Следует отметить, что выводы как Абеля, так и Сонина не были строгими с современной точки зрения, поскольку не вводили подходящих пространств функций и не давали условий для корректности их формальных операций с интегралами и производными. Лишь недавно операторы (8) и (9) стали предметом активных исследований в ФК и в настоящее время интенсивно строится их математическая теория, см. [13,20,21,22,23,24,25,26,27,28].

В этой статье мы имеем дело с GFI и GFD произвольного порядка, впервые введенными в [24]. Хорошо известно, что дробный интеграл Римана–Лиувилля

и дробные производные Римана – Лиувилля и Капуто

определены корректно для любого порядка α>0.

Однако соотношение (3) справедливо только при ограничении 0<α<1. Аналогично операторы Сонина, определяемые правыми частями формул (8) и (9) (GFI и GFD в современных обозначениях FC) имеют «обобщенный порядок» между нулем и единицей из-за условия Сонина (7). Для определения ОГФ и GFD произвольного положительного порядка в [24] условие Сонина (7) было расширено и уточнено для ядер из некоторых подходящих пространств функций:

Для подробного рассмотрения случая n=1, т.е. , за теорией ОГФ и GFD с ядрами из L1 мы отсылаем к [23]. В этой статье мы сосредоточимся на случае n>1, даже если случай n=1 также будет включен во все формулировки и выводы.

Стоит отметить, что в определении 1 нельзя поменять местами ядра κ и k при n>1 из-за несимметричных включений κ∈C−1(0,+∞) и k∈C−1,0(0 ,+∞) (в случае n=1 определение 1 симметрично и ядра κ и k можно поменять местами). Однако ядро ​​κ(t)=hα(t),α>0 интеграла Римана–Лиувилля (10) и ядро ​​k(t)=hn−α(t) дробных производных Римана–Лиувилля и Капуто ( 11) и (12) порядка α,n−1<α1. Очевидно, ядра κ(t)=hα(t),α>0 и k(t)=hn−α(t),n−1<α

Другие примеры ядер из Ln,n>1 и процедуры их построения, исходя из известных ядер Сонина из множества L1, см. в [24,28].

Теперь определим GFI и GFD произвольного порядка, представим их известные свойства и выведем некоторые новые.

Как уже упоминалось, ядра дробного интеграла Римана–Лиувилля (10) и дробной производной Капуто (12) принадлежат множеству ядер Ln и, таким образом, эти операторы FC являются частными случаями ОГФ (16) и GFD ( 17) соответственно.

Другой интересный частный случай GFI (16) и GFD (17) представлен в [24]. Пусть выполнено условие n−2<ν

является частным случаем ОГФ (16) и соответствующая ОГФ произвольного порядка принимает следующий вид:

где

а функции Jν и Iν — соответственно функция Бесселя и модифицированная функция Бесселя.

В этой статье мы исследуем ОГФ и GFD произвольного порядка на пространстве C−1(0,+∞), определяемом формулой (14), и его подпространствах. В частности, подпространства

будет часто использоваться. Эти подпространства были введены и исследованы в [10] в связи с построением операционного исчисления типа Микусинского для дробной производной Капуто.

Как отмечено в [24], при выполнении включения k∈C−1n−1(0,+∞) GFD (17) можно представить следующим образом:

где D(k) определяется соотношением (18). Кроме того, при f∈C−1n(0,+∞) GFD (17) принимает вид

который часто используется в случае ядра степенной зависимости k(τ)=hn−α(τ),n−1<α

Основные свойства ОГФ (16) произвольного порядка на пространстве C−1(0,+∞) непосредственно следуют из известных свойств свертки Лапласа [23]:

Отметим также следующие важные теорема:

Кроме того, в [24] были доказаны две фундаментальные теоремы FC для GFI и GFD произвольного порядка. Формулировки этих теорем приведены ниже, доказательства см. в [24].

Стоит отметить, что результат теоремы 3 (2-я основная теорема ФК для GFD произвольного порядка) может быть переформулирован в терминах так называемого проекторного оператора P GFD (17):

Вид оператора проектора P определяет естественные начальные условия для начальных задач для уравнений дробного порядка с GFD (17). Согласно представлению (29), они представляются через целочисленные производные f(j)(0),j=0,1,…,n−1 неизвестной функции, как это имеет место для обыкновенного дифференциала уравнений и для дробных дифференциальных уравнений с производными Капуто.

В оставшейся части этого раздела мы определяем m-кратные последовательные ОГФ и GFD произвольного порядка с ядрами (κ,k)∈Ln,n∈N и исследуем их свойства. В случае n=1 m-кратные GFD и m-кратные последовательные GFD были введены и изучены в [25,29].]. В [14] рассмотрены m-кратные секвенциальные GFD по Риману–Лиувиллю с ядрами (κ,k)∈Ln на основе GFD произвольного порядка, определяемой в смысле Римана–Лиувилля формулой (18) . В данной работе мы рассматриваем случай GFD произвольного порядка в форме (17).

Сначала определим степени свертки f,m∈N0 функции f следующим образом:

По аналогии со случаем дробного интеграла Римана–Лиувилля и дробной производной Капуто операторы I(κ)< 0> и ∗D(k)<0> интерпретируются как тождественный оператор Id.

В силу теоремы 1 ядро ​​κ,m∈N из формулы (31) принадлежит пространству C−1(0,+∞) и, таким образом, m-кратное ОГФ может быть представлено как ОГФ с ядро κ:

m-кратная секвенциальная GFD (32) произвольного порядка является прямым обобщением секвенциальной дробной производной в смысле Капуто на случай интегро-дифференциальных операторов с ядрами из Ln.

Первая основная теорема ФК (теорема 2) для ОФП (16) и ОФД (17) произвольного порядка сразу приводит к следующему важному результату:

Чтобы обобщить теорему 3 на случай m-кратных секвенциальных ОФД, сначала введем подходящие пространства функций в виде

Для m=1 положим C−1,(k)n,1(0,+∞):=C−1n(0,+∞).

Стоит отметить, что для любой функции f∈C−1,(k)n,m(0,+∞) ее образ Pmf оператором проектора принадлежит ядру m-кратной последовательной GFD:

Отметим также включения

которые непосредственно следуют из определения m-кратной последовательной GFD.

3. Операционное исчисление для GFD произвольного порядка

Как уже упоминалось во введении, операционное исчисление типа Микусинского для GFD и GFD с ядрами (κ,k)∈L1 было построено в [13]. Этот случай соответствует GFI и GFD «обобщенного порядка» между нулем и единицей. В настоящей работе мы распространяем конструкции, представленные в [13], на случай ядер (κ,k)∈Ln,n∈N, т.е. для ОГФ и GFD произвольного порядка.

Первым важным компонентом любого операционного исчисления типа Микусинского является подходящее кольцо функций. Для операционного исчисления для ОГФ и GFD с ядрами (κ,k)∈Ln это кольцо описано в теореме 1, утверждающей, что тройка R−1=(C−1(0,+∞),+,∗ ) с обычным сложением + и умножением ∗ в виде свертки Лапласа является коммутативным кольцом без делителей нуля.

Кроме того, определение 1 гарантирует, что ядра κ и k из Ln являются элементами этого кольца:

В частности, это означает, что ОФП с ядром κ сводится к обычному умножению на кольце R−1:

Что касается GFD произвольного порядка, то его нельзя свести к алгебраическим операциям на кольце R−1. Причина в том, что GFD является левообратным оператором к GFI, а кольцо R−1 не имеет единичного элемента относительно умножения. Таким образом, в R−1 не существует элемента, обратного к κ∈R−1.

Для демонстрации последнего утверждения предположим, что ОФД (17) произвольного порядка можно представить в виде свертки с некоторым элементом κ−1∈R−1:

Согласно теореме 2 ОФД (17) произвольного порядка является левым обратным оператором к ОГФ (16). Комбинируя последнее уравнение с представлением (39), приходим к соотношению

это противоречит тому, что кольцо R−1 не содержит единицы относительно умножения.

Для решения упомянутой выше проблемы кольцо R−1 расширяется до поля сверточных отношений. Напомним, что R−1 не имеет делителей нуля (теорема 1), и поэтому это расширение следует стандартной процедуре, см., например, [10,13].

Во-первых, отношение эквивалентности на множестве

вводится:

Затем мы рассматриваем классы эквивалентностей C−12(0,+∞)/∼ и обозначаем их как частные:

На пространстве C−12(0,+∞)/∼ обычные операции сложения и введено умножение:

Эти операции определены корректно (не зависят от представителей классов эквивалентности). Теорема 1 и приведенные выше определения немедленно приводят к следующему важному результату:

Как обычно, кольцо R−1 можно вложить в поле F−1:

где κ — ядро ​​ОГФ (16).

Множество C−12(0,+∞)/∼ классов эквивалентности также является векторным пространством с упомянутой выше операцией сложения и умножения на скаляр λ∈R или λ∈C, определяемый следующим образом [10]:

С другой стороны, постоянная функция {λ} (функция, принимающая значение λ при любом t≥0) принадлежит пространству C−1(0,+∞) и, следовательно, является элементом кольца R− 1. Согласно нашим определениям, умножение на {λ} в поле F−1 задается следующим выражением:

Как видим, нужно различать умножение элемента из F−1 на скаляр λ и на постоянную функцию {λ}.

Даже если кольцо R−1 вложено в поле F−1, некоторые элементы поля сверточных частных не сводятся к обычным функциям из кольца. Одним из них является единичный элемент I=κκ поля F−1 относительно умножения (см. [13]). Такие элементы можно интерпретировать как своего рода обобщенные функции (гиперфункции в терминологии [30]). Обратный элемент к ядру κ ИГФ (16) — еще одна важная гиперфункция.

По определению отношение

верно, где I — единица поля F−1 относительно умножения.

Затем, следуя [13], введем важное понятие алгебраической GFD произвольного порядка.

Как видим, алгебраическая GFD произвольного порядка определена для любой функции f∈Cn−1[0,+∞). Однако GFD произвольного порядка, задаваемая формулой (17), очевидно, не всегда существует на пространстве Cn−1[0,+∞). Таким образом, алгебраическую GFD (43) можно интерпретировать как своего рода обобщенную производную, сопоставляющую любой функции f∈Cn−1[0,+∞) некоторый элемент поля F−1. Однако алгебраическое GFD (43) совпадает с GFD (17) на пространстве C−1n(0,+∞) (выполняется включение C−1n(0,+∞)⊂Cn−1[0,+∞) справедливо, см. [10]).

Приведенные выше конструкции могут быть распространены на случай m-кратной последовательной GFD (32) произвольного порядка.

Согласно формуле (37) корректно определена m-кратная секвенциальная алгебраическая GFD произвольного порядка для любой функции f, удовлетворяющей условиям ∗D(k)f∈Cn−1[0,+∞) , i=0,…,m−1. Эти условия, очевидно, не обеспечивают существование m-кратной секвенциальной GFD (32) произвольного порядка. Следовательно, m-кратную секвенциальную алгебраическую GFD произвольного порядка можно интерпретировать как своего рода обобщенную производную. Тем не менее, для функций из пространства C−1,(k)n,m(0,+∞), заданных формулой (35), теорема 5 и те же рассуждения, которые использовались в случае m=1 (теорема 7 и его доказательство) приводят к следующему важному результату:

Согласно представлениям (44) и (47) (или (48)), ОФД (17) произвольного порядка и m-кратное последовательное ОФД (32) произвольного порядка могут быть представлены как алгебраические операции (умножения) на поле F−1 факторов свертки. Эти представления могут быть использованы для сведения начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с GFD произвольного порядка и m-кратных последовательных GFD произвольного порядка к некоторым алгебраическим уравнениям на поле F−1 факторов свертки. Решениями этих уравнений являются некоторые элементы F−1, которые в общем случае являются обобщенными функциями или гиперфункциями. Однако обычно решения ищут в виде обычных функций, скажем, из пространства C−1(0,+∞). Вот почему так называемые операционные отношения (представления некоторых элементов поля F−1 в виде обычных функций из кольца R−1) являются еще одним важным компонентом любого операционного исчисления типа Микусинского. В оставшейся части этого раздела мы приводим операторные соотношения для элементов поля F−1 в виде рациональных функций R(Sκ)=Q(Sκ)/P(Sκ) с deg(Q)

Стоит отметить, что ряд сверток (51) является далеко идущим обобщением степенного ряда (50), который также является рядом сверток, порожденным ядром κ={1} (операционное исчисление Микусинского для производной первого порядка) .

В качестве примера рассмотрим геометрический ряд

Его радиус сходимости равен r=1/|λ|>0. Теорема 9 гарантирует, что ряд сверток

есть функция, принадлежащая пространству C−1(0,+∞).

В рамках операционного исчисления Микусинского для производной первого порядка использовалась функция ядра κ={1}. Легко проверить, что для этого ядра справедливо соотношение κ(t)={1}(t)=hj(t). Таким образом, ряд сверток (54) является экспоненциальной функцией:

Другим важным примером является операционное исчисление типа Микусинского для дробной производной Капуто ([10]). В этом случае ядро ​​κ является степенной функцией hα и справедлива формула κ(t)=hα(t)=hjα(t). Таким образом, ряд сверток (54) принимает вид

где двухпараметрическая функция Миттаг–Леффлера Eα,β определяется следующим абсолютно сходящимся рядом:

Некоторые другие частные случаи ряда свертки (54) представлены в [13].

Очень важное операциональное соотношение в терминах ряда свертки lκ,λ представлено в следующей теореме.

В случае ядер (κ,k)∈L1 теорема (10) сформулирована и доказана в [13].

В качестве примера рассмотрим ядро ​​κ={1} (операционное исчисление Микусинского для производной первого порядка). Согласно формуле (55) операционное соотношение (58) можно представить в известном виде:

В случае ядра κ(t)=hα(t),t>0 (операционное исчисление для Дробная производная Капуто [10]), формула (56) приводит к следующему рабочему соотношению:

где двухпараметрическая функция Миттаг–Леффлера Eα,β определяется соотношением (57). Это операциональное соотношение было выведено в [6] впервые.

Другие частные случаи оперативного соотношения (58) представлены в [13].

Как уже упоминалось, операционное соотношение (58) можно использовать для вывода других полезных операционных соотношений. Вложение кольца R−1 в поле F−1 означает, в частности, что свертка любых элементов кольца выполняется с умножением соответствующих элементов поля отношений свертки. Таким образом, получаем следующее операциональное соотношение:

Представление степеней свертки lκ,λ в виде ряда свертки см. в [13].

В качестве примера рассмотрим ядро ​​κ={1} (операционное исчисление Микусинского для производной первого порядка). Операционное соотношение (61) принимает известный вид [1]:

В случае ядра κ(t)=hα(t),t>0 (операционное исчисление для дробной производной Капуто) получаем следующее рабочее соотношение [6,10]:

где функция типа Миттаг–Леффлера Eα,βm определяется с помощью следующего сходящегося ряда:

Комбинируя операторные соотношения (58) и (61), мы получаем еще одно важное операторное соотношение.

Пусть R(Sκ)=Q(Sκ)/P(Sκ), где Q и P — многочлены и deg(Q) В этом случае рациональная функция R(Sκ) может быть представлена ​​в виде суммы частных дробей:

Тогда операциональное соотношение

справедливо, где константы λj и mj, j=1,…,J однозначно определяются представлением рациональной функции R(Sκ) в виде суммы частных дробей в виде (64).

Рабочее соотношение (65) является прямым следствием формулы (64) и рабочего соотношения (61).

4. Обсуждение

В этой статье мы впервые обсудили некоторые важные свойства общих интегралов дробного порядка (ОДД) и ООД произвольного порядка, введенные недавно в работах третьего названного соавтора. Новыми объектами, впервые определенными в этой статье, являются m-кратные GFD и последовательные GFD произвольного порядка. Для m-кратных ОГФ и секвенциальных ОГФ произвольного порядка доказаны 1-я и 2-я фундаментальные теоремы ФК и получен явный вид их оператора-проектора. Основным вкладом этой статьи является операционное исчисление типа Микусинского для GFD произвольного порядка. В поле коэффициентов свертки GFD произвольного порядка и последовательные GFD произвольного порядка представляются как умножение на некоторые элементы поля. Мы также получили несколько важных операционных соотношений, которые обеспечивают полезное представление некоторых элементов поля в виде обычных функций, выраженных в терминах так называемого ряда свертки.

В заключение отметим, что построенное нами операционное исчисление для ОФД произвольного порядка может быть применено для вывода формул в замкнутой форме для решений обыкновенных уравнений и уравнений в частных дробях, содержащих m-кратные последовательные БГД. Эти вопросы будут обсуждаться в другом месте.

Введение в операционное исчисление — Публичная библиотека Гамильтона

Введение в операционное исчисление — Публичная библиотека Гамильтона — OverDrive

Ошибка загрузки страницы.
Попробуйте обновить страницу. Если это не сработает, возможно, возникла проблема с сетью, и вы можете использовать нашу страницу самопроверки, чтобы узнать, что мешает загрузке страницы.
Узнайте больше о возможных проблемах с сетью или обратитесь в службу поддержки за дополнительной помощью.

Поиск Расширенный «Введение в операционное исчисление» — это перевод книги «Einfuhrung in die Operatorenrechnung, второе издание».
Эта книга посвящена интерпретации Хевисайда, интегралу Лапласа и фундаментальному труду Яна Микусинки «Операционное исчисление». На протяжении всей книги основные алгебраические понятия появляются как вспомогательные средства для понимания некоторых важных моментов предмета. Важным направлением исследований в области анализа являются асимптотические свойства. В этом тексте также обсуждаются примеры, демонстрирующие возможности применения операционного исчисления, выходящие за рамки обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При использовании операционного исчисления для решения более сложных задач, чем задачи обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в области операторов значительную роль играет понятие сходимости. Эта книга также расширяет преобразование Лапласа и применяет его к нетрансформируемым функциям. В этом тексте также представлены три метода, с помощью которых операционное исчисление можно модифицировать и использовать при решении определенных задач. Эти методы относятся к конечному преобразованию Лапласа, уравнениям в частных производных, интегральным уравнениям Вольтерра и обыкновенным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами.
Эта книга может оказаться полезной для математиков, студентов и преподавателей исчисления и высшей математики.
Математика Инжиниринг Документальная литература
  • Детали