Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений: Решение систем дифуравнений операционным методом. Примеры решения задач

Содержание

Решение дифференциальных уравнений и систем методом операционного исчисления

Лекция 4.

Решение дифференциальных уравнений и систем

Методом операционного исчисления.

При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной.

Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши.

Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения.

Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции и ее производных с правой частью – функцией , являющейся оригиналом

Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях .

Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства.

Приведем коэффициенты при в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть.

где — характеристический многочлен,

Найдем изображение решения

Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то и второе слагаемое пропадает.

Примеры.

Первые два слагаемых соответствуют , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала: .

по теореме о дифференцировании изображения.

Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал для последнего слагаемого по теореме разложения.

Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.

Задано дифференциальное уравнение

с нулевыми начальными условиями.

Известно решение уравнения при . Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части.

Следовательно, . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля

. Для вычисления выбирается одна из этих формул.

Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.

Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши.

Матричный способ решения.

Применим к обеим частям преобразование Лапласа

Теперь надо найти оригинал для вектора .

Координатный способ решения.

Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора.

Примеры.

1. Матричный способ

— три раза применена теорема об интегрировании оригинала,

Координатный способ.

Примеры решения типовых домашних задач.

1. Найти изображение для оригинала .

По теореме об интегрировании изображения .

2. Найти оригинал по изображению .

По теореме об интегрировании оригинала .

3. Найти оригинал по изображению .

Особые точки функции — полюсы первого порядка . По общей третьей теореме разложения (или второй теореме разложения)

4. Найти изображение периодического импульса с периодом 2

По третьей (или второй) теореме разложения

Дополнение

-функция, преобразование Лапласа -функции и ее разложение в ряд Фурье.

—функция не является обычной функцией, это – обобщенная функция, .

Если функцию Хевисайда 1(t)= можно интерпретировать как единичный скачок,

то —функцию можно считать единичным импульсом (единичным в смысле площади под графиком функции). Эти понятия используются в теории автоматического управления, в кибернетике. Можно считать, что .

Справедливо «фильтрующее свойство — функции» .

Интеграл представляет собой «фильтр», который пропускает то значение функции, при котором аргумент — функции обращается в нуль. На этом свойстве, которое доказывается в теории обобщенных функций, базируются, фактически, все применения —функции.

Преобразование Лапласа -функции.

Как видно, обычными изображениями эти выражения не являются, так как не выполнено необходимое условие изображения.

В лекции «4.3 Моголы» также много полезной информации.

Разложение -функции в ряд Фурье.

Разложим —функцию в ряд Фурье как функцию, заданную на отрезке .

1.3. Решение дифференциальных уравнений операционным методом

При решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом необходимо:

1. Используя свойства преобразования Лапласа перевести уравнение в пространство изображений.

2. Найти из полученного алгебраического уравнения изображение искомой функции.

3. Выполнив обратное преобразование Лапласа, найти .

При решении систем дифференциальных уравнений вместо одного операторного уравнения получим систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, а затем найдем их оригиналы.

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Пусть , тогда

Операторное уравнение будет иметь вид:

Отсюда

Найдем оригиналы для каждого слагаемого:

(по свойству 6).

Следовательно, .

1.4. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью формулы Дюамеля

В прикладных задачах электротехники и радиотехники нередко приходится находить отклики системы на различные сигналы, т.е. многократно решать дифференциальные уравнения с одной и той же левой частью. Если начальные условия нулевые, то в этом случае рекомендуется найти отклик системы на единичный сигнал , а затем все остальные решения получать по формуле Дюамеля

. (1.7)

Пример 6. Решить дифференциальное уравнение , если .

Решение. Составим вспомогательное уравнение, заменив правую часть единичной функцией:

Пусть, тогда операторное уравнение будет иметь вид:

Отсюда.

По формуле (1.7) получаем решение исходного уравнения:

Заметим, что этот же способ используется, если возникают трудности при нахождении изображения для правой части дифференциального уравнения.

2. Расчетные задания

Задача 1. Найти изображения функций и , если:

1.1. .	1.2. .
1.3. .	1. 4. .
1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .
1.9. .	1.10. .
1.11. .	1.12. .
1.13..	1.14. .
1.15. .	1.16. .
1.17.	1.18. .
1.19. .	1.20. .
1.21. .	1.22. .
1.23. .	1.24. .
1.25. .

Задача 2. Найти изображение функции, заданной графически.

Задача 3. Функция при равна нулю, а при является периодической. Построить график этой функции и найти её изображение.

3. 1. .
3.2..
3.3..
3.4. .
3.5. .
3.6. .
3.7. .
3.8. .
3.9. .
3.10. .
3.11. .
3.12. .
3.13. .
3. 14. .
3.15. .
3.16. .
3.17. .
3.18. .
3.19. .
3.20. .
3.21. .
3.22. .
3.23. .
3.24. .
3.25. .

Задача 4. С помощью вычетов найти оригинал по заданному изображению. Ответ записать в действительной форме.

4.1..	4.2..
4.3..	4.4..
4.5..	4.6. .
4.7. .	4.8. .
4.9. .	4.10. .
4.11. .	4.12. .
4.13. .	4.14. .
4. 15. .	4.16. .
4.17. .	4.18. .
4.19. .	4.20. .
4.21. .	4.22. .
4.23. .	4.24. .
4.25. .

Задача 5. Найти оригинал по заданному изображению.

5.1. .	5.2. .
5. 3. .	5.4. .
5.5. .	5.6. .
5.7. .	5.8. .
5.9. .	5.10. .
5.11. .	5.12. .
5.13. .	5.14. .
5.15. .	5.16. .
5.17. .	5.18. .
5. 19. .	5.20. .
5.21. .	5.22. .
5.23. .	5.24. .
5.25. .

Задача 6. Операционным методом решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях.

6.1. .
6.2. .
6.3. .
6.4. .
6.5. .
6. 6. .
6.7. .
6.8. .
6.9. .
6.10. .
6.11. .
6.12. .
6.13. .
6.14. .
6.15. .
6.16. .
6.17. .
6.18.
6.19. .
6. 20. .
6.21. .
6.22. .
6.23. .
6.24. .
6.25. .

Задача 7. По формуле Дюамеля (1.7) найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условиям .

7.1. .
7.2. .
7.3. .
7.4. .
7.5. .
7. 6. .
7.7. .
7.8. .
7.9. .
7.10. .
7.11. .
7.12. .
7.13. .
7.14. .
7.15. .
7.16. .
7.17. .
7.18. .
7.19. .
7.20. .
7.21.
7.22. .
7.23. .
7.24. .
7.25. .

Задача 8. Решить систему дифференциальных уравнений операционным методом.

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8. 5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8. 15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8. 25.

Задача 9. Электрическая цепь, состоящая из резистора (сопротивление R), конденсатора (емкость C) и катушки индуктивности (индуктивность L), соединенных последовательно, включается на постоянную э.д.с. E. В начальный момент времени заряд и ток равны нулю. Найти зависимость тока в цепи от времени I(t).

9.1. R=27 Ом, C=30 пФ, L=20 мкГн, E=1,2 В.

9.2. R=50 Ом, C=40 пФ, L=20 мкГн, E=1,5 В.

9.3. R=3 Ом, C=8 мкФ, L=7 мГн, E=2,4 В .

9.4. R=15 Ом, C=10 мкФ, L=7 мГн, E=3 В.

9.5. R=25 Ом, C=50 пФ, L=20 мкГн, E=6 В.

9.6. R=50 Ом, C=60 пФ, L=20 мкГн, E=9 В.

9.7. R=7 Ом, C=12 мкФ, L=7 мГн, E=1,2 В.

9.8. R=12 Ом, C=15 мкФ, L=7 мГн, E=1,5 В.

9.9. R=12 Ом, C=30 пФ, L=25 мкГн, E=2,4 В.

9. 10. R=60 Ом, C=40 пФ, L=25 мГн, E=3 В.

9.11. R=10 Ом, C=8 мкФ, L=10 мГн, E=6 В.

9.12. R=15 Ом, C=10 мкФ, L=10 мГн, E=9 В.

9.13. R=18 Ом, C=25 пФ, L=25 мкГн, E=1,2 В.

9.14. R=65 Ом, C=60 пФ, L=25 мкГн, E=1,5 В.

9.15. R=12 Ом, C=12 мкФ, L=10 мГн, E=2,4 В.

9.16. R=20 Ом, C=15 мкФ, L=10 мГн, E=3 В.

9.17. R=22 Ом, C=30 пФ, L=30 мкГн, E=9 В.

9.18. R=55 Ом, C=40 пФ, L=30 мкГн, E=9 В.

9.19. R=14 Ом, C=60 пФ, L=20 мкГн, E=12 В.

9.20. R=20 Ом, C=10 мкФ, L=15 мГн, E=1,5 В.

9.21. R=25 Ом, C=50 пФ, L=30 мкГн, E=3 В.

9.22. R=40 Ом, C=60 пФ, L=27 мкГн, E=3 В.

9.23. R=7 Ом, C=12 мкФ, L=15 мГн, E=6 В.

9.24. R=14 Ом, C=15 мкФ, L=15 мГн, E=12 В.

9.25. R=3 Ом, C=8 мкФ, L=15 мГн, E=1,2 В.

Задача 10. В цепи, состоящей из самоиндукции L и ёмкости C, включенных последовательно, в момент времени приложена электродвижущая сила . В начальный момент времени . Найти I(t),

Выяснить при каких условиях в контуре возникает резонанс.

Содержание

1.1. Прямое преобразование Лапласа…………………2

1.2. Обратное преобразование Лапласа…………….…6

1.3.Решение дифференциальных уравнений операционным методом ………………………………8

1.4. Решение линейных дифференциальных

уравнений с помощью формулы Дюамеля……………9

2. Расчетные задания……………………………………10

Операционное исчисление для решения дифференциальных уравнений

Студенты, изучающие курс дифференциальных уравнений, на самом деле не узнают, как решать дифференциальных уравнения. Задачи, решения которых они воспроизводят, были решены более 300 лет назад. Методы, которым обучают на курсах ODE для студентов, в некотором смысле представляют собой мнемонику , способ запомнить давно найденное решение.

Откажитесь от надежды на оригинальность

Более щепетильные студенты в классе ODE съеживаются, когда им говорят: «Угадай решение формы…», потому что это похоже на жульничество. Они могут подумать: «Но я действительно хочу научиться решать проблемы самостоятельно». Это возражение не часто рассматривается частично, потому что его не часто произносят вслух. Но если бы это было указано явно, вот один из способов ответить на него.

Очень хорошо, что вы хотите научиться решать дифференциальные уравнения самостоятельно. Но решать дифференциальные уравнения, то есть находить решения в замкнутой форме вручную, действительно сложно и вряд ли удастся. Дифференциальные уравнения, которые появляются в приложениях, имеют решения в замкнутой форме и решения, которые можно вычислить вручную менее чем за час, известны со времен Бернулли. Если это преувеличение, то небольшое преувеличение.
На этом занятии вы узнаете кое-что полезное и, возможно, даже впервые познакомитесь с идеями, которые впоследствии приведут вас к оригинальной математике [1]. Но если это так, то эта оригинальная математика, вероятно, не будет находить новые решения в закрытой форме для полезных дифференциальных уравнений.

Это изменяет перспективу класса ODE. Вместо того, чтобы делать вид, что студенты научатся решать дифференциальные уравнения ex nihilo , мы можем быть честными в том, что студенты научатся «искать» решения решенных задач. Изучение того, как искать эти решения, не является тривиальным, и на самом деле на это уходит около семестра. Вы не можете буквально искать решение того или иного дифференциального уравнения во всей его специфике, но вы можете научиться следовать рецептам классов уравнений

Роль строгости

Всему свое время под солнцем. Время строгости и время размахивания руками. Время принимать эпсилоны и время избегать эпсилонов.

Вы можете изучить множество важных повторно используемых методов анализа в контексте дифференциальных уравнений. И если это цель, быть строгим — это хорошо. Но если цель — вспомнить решение решаемой задачи, то целесообразно использовать грязные хаки; думайте о них почти как о мнемониках , а не как о методах решения.

Если у вас есть готовое решение, вы всегда можете тщательно проверить его работоспособность, вставив его в дифференциальное уравнение. В этом смысле вы вовсе не жертвуете строгостью.

Операторное исчисление

Операторное исчисление рассматривает дифференциальный оператор D как формальный символ и выполняет с ним исчисление, как если бы это было число. Это обычно называют злоупотреблением обозначениями, но в этом есть определенная элегантность. Манипуляции можно было сделать строгими, но не студентами бакалавриата в классе ODE.

Исчисление операторов очень мощная вещь, а с большой силой приходит и большая ответственность. Этому не часто учат студентов, и на то есть веские причины. Иногда формальные операции оправданы, а иногда нет. Неправильное использование может привести к результатам, которые просто неверны, а не просто получены незаконным путем. С учетом сказанного давайте приступим.

Давайте найдем решение [2] для

Записав дифференциальный оператор как D , уравнение примет вид

и так решение очевидно (!)

«Нельзя просто так делить на дифференциальный оператор!» Ах, да? Мы собираемся сделать больше, чем это. Мы собираемся разбить его на частичные дроби и степенные ряды!

Последний термин означает термины, включающие D ³ и более высокие степени D .

Теперь первая производная x ² равна 2 x , вторая производная равна 2, а все высшие производные равны 0. Таким образом, когда мы применяем приведенный выше операторный ряд к x ² только термины до D ² вносят свой вклад. Отсюда мы можем сказать, что

является решением нашего дифференциального уравнения. Возможно, вы глубоко скептически относитесь к тому, как мы сюда попали, и это хорошо для вас, если это так, но легко показать, что на самом деле это решение нашего дифференциального уравнения.

Стоит ли оно того?

Есть и другие способы найти решение нашего дифференциального уравнения. Например, вы могли сделать интуитивную догадку, что решение представляет собой квадратичный многочлен, и найти коэффициенты этого многочлена.

С другой стороны, подход операторного исчисления является более общим. Мы могли бы использовать аналогичный подход для решения дифференциальных уравнений с большим разнообразием правых частей. И этот подход достаточно систематичен, чтобы его можно было запрограммировать в системе компьютерной алгебры.

Об одном операционном методе решения начальных задач для уравнений в частных производных, индуцированных обобщенным разделением переменных

Об одном операционном методе решения начальных задач для уравнений в частных производных, индуцированных обобщенным разделением переменных

Скачать PDF

Опубликовано: октябрь 1999 г.

Каленюк П.И. ^и
Нитребич З.М.

Журнал математических наук том 97 , страницы 3879–3887 (1999)Цитировать эту статью

90 доступов
12 цитирований
Сведения о показателях

Abstract

Предлагается оперативный метод решения задачи Коши для уравнений в частных производных и систем уравнений в частных производных. Показано его превосходство над известными методами. Приведем ряд иллюстративных примеров применения метода.

Скачайте, чтобы прочитать полный текст статьи

Цитированная литература

А. В. Бицадзе, Некоторые классы уравнений в частных производных , [на русском языке], Наука, Москва (1981).
Google Scholar
Бондаренко Б.А., Сулейманов А. Решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений динамической теории упругости // 9.0155 Изв. акад. наук узбек. ССР , № 1, 5–9 (1975).
Google Scholar
Бондаренко Б.А., Филатов А.Н. Квазиполиномиальные функции и их приложения к задачам теории упругости . Ташкент: ФАН, 1978.
Google Scholar
«>
Ващенко-Захарченко М.Е., Символьное исчисление и его применение к интегрированию линейных дифференциальных уравнений . Издательство Киевского университета (1862).
В. С. Владимиров, Уравнения математической физики , Наука, М. (1979).
Google Scholar
Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и механики конструкций . М.: Стройиздат, 1975.
Google Scholar
Ю. Дубинский А., Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике, Усп. Мат. наук , 37 , № 5, 97–159 (1982).
МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Ю. Дубинский А. К теории задачи Коши для уравнений в частных производных // Докл. акад. Наук ССР , 259 , № 4, 781–785 (1981).
МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
П.И. Каленюк, Я. Е. Баранецкий, З. Н. Нитребич, Обобщенный метод разделения переменных , Киев: Наукова думка, 1993.
Google Scholar
Каленюк П. И., Нытребич З. М. Задача Коши для системы двух дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка, 9.0155 Мат. Встретил. физ.-мех. Поля , № 35, 204–210 (1992).
Google Scholar
Каленюк П. И., Нытребич З. М. О задаче Коши для одного класса систем дифференциальных уравнений, допускающих разделение переменных // Вестн. Держ. ун-т «Львовский политехник». , № 277, 45–55 (1994).
Google Scholar
«>
Каленюк П. И., Нытребич З. М. Схема разделения переменных для матричного билинейного функционального уравнения и ее применение.0155 Укр. Мат. ж. , № 9, 1201–1209 (1992).
Google Scholar
Каленюк П. И., Нытребич З. М., Сохан П. Л. Операционный метод построения решения задачи Коши для однородной системы дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка // Препринт Института прикладных проблем им. механико-математических наук, № 1-95 (1995).
П.И. Каленюк, В.Я. Скоробогатько, Качественные методы теории дифференциальных уравнений , Наукова думка, Киев (1977).
Google Scholar
И. Лурье, Теория упругости , М.: Наука, 1970.
Google Scholar
В. П. Маслов, Операторные методы , Наука, Москва (1973).
Google Scholar
Я. Микусинский, Операционное исчисление , [Русский перевод], Изд-во иностранной литературы, Москва (1956).
Google Scholar
Нытребич З. М. Оперативный метод построения решения задачи Коши для неоднородных уравнений Ламе, , Доп. нац. акад. наук Укр. , № 7, 32–34 (1995).
Google Scholar
Нытребич З. М. Оперативный метод построения решения задачи Коши для однородной системы уравнений в частных производных // . Матем. Встретил. физ.-мех. Поля , № 38, 40–45 (1995).
Google Scholar
Я. Пидстрихач С. Поле температур в тонких оболочках // . Доп. акад. наук. Укр. РСР , № 5, 505–507 (1958).
Google Scholar
«>
Л. И. Слепян, Нестационарные упругие волны , Л.: Судостроение, 1972.
Google Scholar
Снеддон Преобразование Фурье , McGraw-Hill, Нью-Йорк (1950).
Google Scholar
Тихонов Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности, Мат. сб. , 42 , № 2, 199–215 (1935).
МАТЕМАТИКА Google Scholar
Р. А. Юбэнкс и Э. И. Штернберг, «О функциях напряжения для эластокинетики и интегрирования повторяющегося волнового уравнения», Quar. заявл. Мат. , 15 , № 2, 28–35 (1957).
MathSciNet Google Scholar
О. Хевисайд, Электромагнитная теория . тт. 1–3, Лондон (1893–1899).