Операции с комплексными числами: Действия над комплексными числами

10. Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве можно задать следующим образом:

.

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т. е. и коммутативно, т. е. . Сумма чисел , поэтому число является противоположным числу , тем самым определена операция вычитания .

Учитывая, что через обозначен корень уравнения , т. е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

.

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , , , , при возведении в любую натуральную степень , надо найти остаток от деления на 4 и возвести в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число .

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

,

Где .

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число можно записать в виде .

Число называется Сопряженным числу и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

;

.

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . Очевидно, что .

Свойства сопряжения:

;

.

Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа и .

Рис. 3.1.

Тогда каждой точке плоскости будет соответствовать единственное комплексное число . В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел

C и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты . При этом точки горизонтальной координатной оси изображают действительные числа и поэтому эту ось называют Действительной осью, а по вертикальной оси откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось называется Мнимой осью.

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и обозначается . Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и обозначается . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть . Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа находится по формуле . Аргумент числа определяется из равенств , .

Отсюда:

(3. 1)

Запись числа в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

(3.2)

То от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

.

Пусть и ‑ сопряженные числа. Если , то . Геометрически и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства .

 

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

(3.3)

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.

Аналогично,

(3.4)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

< Предыдущая		Следующая >

§ 3. Операции над комплексными числами

Различные операции над комплексными числами удобнее проводить с различными формами комплексных чисел.

1. Сложение.

Сложение удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число определяемое равенством:

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂).

Пример 6. (1 + i

) + (–2 + 3i) = (1– 2) + i(1 + 3) = –1 + 4i.

2. Вычитание.

Операция вычитания вводится как обратная к операции сложения:

разностью двух чисел z₁ и z₂ называется число z₃ такое, что сумма z₃ и z₂ равна z_1, т.е. z₁ – z₂ = z₃: z₁ = z₂ + z₃.

3. Умножение.

Умножение производится над комплексными числами во всех формах: алгебраической, тригонометрической, показательной:

z₁ · z₂ = (x₁ x₂ – y₁ y₂) + i(х₁y₂ + х₂y₁),

z₁ · z₂

=

z₁ · z₂ =

Замечание. Доказательство данных формул следует из определения мнимой единицы и правил умножения, а также тригонометрических формул.

Пример 7. Перемножить комплексные числа:

1) (1 + i) · (–2 + 3i) = (по определению) = (1· (– 2) – 1· 3) + i(1 · 3 + 1 · (–2)) = –5 + i.

(1 + i) · (–2 + 3i) = (перемножаем как многочлены) = – 2 + 3i –2i +i · 3i = –2 + i – 3= = –5 + i.

Пример 8. Получить значения iⁿ, где n – натуральное число.

Решение.

, , , , , и т.д.,

Прослеживается закономерность: результат повторяется через четыре действия. Зная это, легко можно найти значение i в любой степени, например, .

Замечание 1. Заметим, что

4. Деление.

Операция деления вводится как обратная к операции умножения: частным двух чисел z₁ и z₂ называется число z₃ такое, что произведение z₃ и z₂ равно z_1, т.е. : z₁ = z₂ · z₃, поэтому, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножают и числитель, и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число: .

Пример 9. Найти частное двух комплексных чисел и .

Решение.

.

В тригонометрической форме: .

5. Возведение в степень.

Возведение в степень удобнее производить над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах:

– формула Муавра,

Замечание. Формула Муавра следует из перемножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

Пример 10. Возвести в квадрат число .

Решение.

(–2 + 3i)² = (–2)² +2(–2)3i +(3i)² = 4 – 12i – 9 = –5 – 12i.

Пример 11. Возвести в шестую степень комплексное число .

Решение.

, в данном случае для нахождения значения выражения удобнее представить число в тригонометрической форме:

, , тогда

=

=

6. Извлечение корня.

Извлечение корня удобнее производить над комплексными числами в показательной и тригонометрической формах.

Определение 10. Корнем n – ой степени из комплексного числа z, , называется число W такое, что

– многозначная функция (имеет несколько значений, в зависимости от n), в связи с чем записывается: , где Значение можно найти в тригонометрической или показательной формах:

,

Re^iФ,

где , Ф = ( r и φ – соответственно модуль и аргумент числа z).

Все значения корня располагаются на окружности, радиус которой , а точки, соответствующие комплексным числам – корням W_k , делят окружность на

n равных частей.

Пример 12. Вычислить .

Операции с комплексными числами

Горячая математика

К добавлять два комплексные числа , добавьте действительную часть к действительной части и мнимую часть к мнимой части.

( а + б я ) + ( с + г я ) «=» ( а + с ) + ( б + г ) я

Пример 1:

( 2 + 7 я ) + ( 3 − 4 я ) «=» ( 2 + 3 ) + ( 7 + ( − 4 ) ) я «=» 5 + 3 я

К вычесть два комплексных числа, вычесть действительную часть из действительной части и мнимую часть из мнимой части.

( а + б я ) − ( с + г я ) «=» ( а − с ) + ( б − г ) я

Пример 2:

( 9 + 5 я ) − ( 4 + 7 я ) «=» ( 9 − 4 ) + ( 5 − 7 ) я «=» 5 − 2 я

К умножить два комплексных числа, используйте ФОЛЬГА метод и объединять подобные термины .

( а + б я ) ( с + г я ) «=» а с + а г я + б с я + б г я 2 «=» а с + ( а г + б с ) я − б г ( Помнить я 2 «=» − 1 ) «=» ( а с − б г ) + ( а г + б с ) я

Пример 3:

( 3 + 2 я ) ( 5 + 6 я ) «=» 15 + 18 я + 10 я + 12 я 2 «=» 15 + 28 я − 12 «=» 3 + 28 я

К разделять два комплексных числа, умножьте числитель и знаменатель на комплексное сопряженный , расширить и упростить. Затем запишите окончательный ответ в стандартной форме.

а + б я с + г я ⋅ с − г я с − г я «=» ( а с + б г ) + ( б с − а г ) я с 2 + г 2

Пример 4:

3 + 2 я 4 − 5 я «=» 3 + 2 я 4 − 5 я ⋅ 4 + 5 я 4 + 5 я «=» 12 + 15 я + 8 я + 10 я 2 16 + 25 «=» 2 + 23 я 41 «=» 2 41 + 23 41 я

Арифметика с комплексными числами | Математика для гуманитарных наук

Результаты обучения

• Определение разницы между мнимым числом и комплексным числом
• Определите действительную и мнимую части комплексного числа
• Нанесение комплексного числа на комплексную плоскость
• Выполнять арифметические операции над комплексными числами
• Графическое физическое представление арифметических операций над комплексными числами в виде масштабирования или поворота
• Создать несколько членов рекурсивного отношения
• Определить, входит ли комплексное число в набор чисел, составляющих множество Мандельброта

Комплексные числа

^[1]
Наиболее знакомые вам числа называются действительными числами . К ним относятся такие числа, как 4, 275, -200, 10,7, ½, π и так далее. Все эти действительные числа можно изобразить на числовой прямой. Например, если мы хотим показать цифру 3, мы наносим точку: 9{2}=–4[/latex], возникла необходимость ввести мнимых числа .

Воображаемое число

i

Воображаемое число i определяется как [latex]i=\sqrt{-1}[/latex].

Любое действительное число, кратное i , например 5 i , также является мнимым числом.

Пример

Упростить [латекс]\sqrt{-9}[/латекс].

Мы можем разделить [латекс]\sqrt{-9}[/латекс] как [латекс]\sqrt{9}\sqrt{-1}[/латекс]. Мы можем извлечь квадратный корень из 9, и запишите квадратный корень из [латекс]-1[/латекс] как i .

[латекс]\sqrt{-9}=\sqrt{9}\sqrt{-1}=3i[/latex]

Комплексное число — это сумма действительного и мнимого чисел.

Комплексное число

A Комплексное число — это число [латекс]z=a+bi[/латекс], где

• a и b — действительные числа
• a — действительная часть комплексного числа
.
• b мнимая часть комплексного числа

Чтобы построить комплексное число, такое как [латекс]3-4i[/латекс], нам нужно больше, чем просто числовая линия, поскольку число состоит из двух компонентов. Чтобы построить это число, нам нужны две числовые линии, которые пересекаются, образуя сложную плоскость.

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости горизонтальная ось является реальной осью, а вертикальная ось — мнимой осью.

Пример

Постройте число [латекс]3-4i[/латекс] на комплексной плоскости.

Действительная часть этого числа равна 3, а мнимая часть равна [латекс]-4[/латекс]. Чтобы построить это, мы рисуем точку на 3 единицы вправо от начала координат в горизонтальном направлении и на 4 единицы вниз в вертикальном направлении.

Попробуйте

Поскольку это аналогично декартовой системе координат для построения точек, мы можем думать о построении нашего комплексного числа [latex]z=a+bi[/latex] так, как если бы мы рисовали точку (a, b ) в декартовых координатах. Иногда люди пишут комплексные числа как [латекс]z=x+yi[/латекс], чтобы подчеркнуть это отношение.

Арифметика комплексных чисел

Прежде чем мы углубимся в более сложные способы использования комплексных чисел, давайте удостоверимся, что мы помним основные арифметические операции. Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы просто добавляем одинаковые члены, комбинируя действительные части и комбинируя мнимые части.

Пример

Добавьте [латекс]3-4i[/латекс] и [латекс]2+5i[/латекс].

Складывая [латекс](3-4i)+(2+5i)[/латекс], мы складываем действительные части и мнимые части.

[латекс]3+2-4i+5i[/латекс]

[латекс]5+i[/латекс]

Попробуйте

Вычтите [латекс]2+5i[/латекс] из [латекс]3 -4i[/латекс].

Показать решение

В следующем видео мы представляем больше проработанных примеров арифметики с комплексными числами.

Когда мы складываем комплексные числа, мы можем визуализировать сложение как сдвиг или перенос точки на комплексной плоскости.

Пример

Визуализируйте сложение [латекс]3-4i[/латекс] и [латекс]-1+5i[/латекс].

Начальная точка [латекс]3-4i[/латекс]. Когда мы добавляем [латекс]-1+3i[/латекс], мы добавляем [латекс]-1[/латекс] к действительной части, перемещая точку на 1 единицу влево, и добавляем 5 к мнимой части, перемещая точка 5 единиц по вертикали. Это смещает точку [латекс]3-4i[/латекс] на [латекс]2+1i[/латекс].

Попробуйте

Мы также можем умножать комплексные числа на действительные числа или умножать два комплексных числа.

Пример

Умножение: [латекс]4\влево(2+5i\вправо)[/латекс]

Чтобы умножить комплексное число на действительное число, мы просто распределяем, как при умножении многочленов.

Распространяйте и упрощайте.

[латекс]4(2+5i)\\\,\,\,= 4\cdot2+4\cdot5i\\\,\,\,=8+20i[/латекс]

Пример

Умножить: [латекс](2+5i)(4+i)[/латекс].

[латекс]\begin{array}{l}\left(2+5i\right)\left(4+i\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\text{Расширить. {2}=-1\\= 8+20i+2i+5\влево(-1\вправо)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{Упростить. }\\=3+22i\end{массив}[/латекс]

Попробуйте

Умножьте [латекс]3-4i[/латекс] и [латекс]2+3i[/латекс].

Показать решение

Чтобы визуально понять эффект умножения, мы рассмотрим три примера.

Пример

Визуализируйте продукт [латекс]2(1+2i)[/латекс].

Умножив, мы получим

[латекс]\begin{align}&2\cdot1+2\cdot2i\\&=2+4i\\\end{align}[/latex]

Обратите внимание как на реальное, так и на мнимое части были масштабированы на 2. Визуально это растянет точку наружу, в сторону от начала координат. 9{2}}\\&=i+2(-1)\\&=-2+i\\\end{align}[/latex]

В этом случае расстояние от начала координат не изменилось, но точка была повернута вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки.

Попробуйте

Умножьте [латекс]3-4i[/латекс] и [латекс]2+3i[/латекс].

Показать решение

Пример

Визуализируйте результат умножения [latex]1+2i[/latex] на [latex]1+i[/latex].