Определение иррациональные числа: Иррациональные числа — урок. Алгебра, 8 класс.

5. Иррациональные числа . Объясняя мир [Истоки современной науки]

Математикам Древней Греции были известны лишь рациональные числа. К ним относятся все целые числа, например, 1, 2, 3 и т. д. или целочисленные дроби – 1/2, 2/3 и т. п. Если отношение длин двух отрезков выражалось целочисленной дробью, древнегреческий математик считал, что они «соизмеримы». К примеру, если они находятся в отношении 3/5, это означает, что если один из этих отрезков отложить три раза, а другой пять раз, то получится два отрезка одинаковой длины. Представьте себе потрясение античных математиков, выяснивших, что не все отрезки являются соизмеримыми. Например, в прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза несоизмерима ни с одним из двух одинаковых катетов. В понятиях современной математики, поскольку, согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы такого треугольника равен удвоенному квадрату длины любого из катетов, длина гипотенузы равняется произведению длины любого из катетов на квадратный корень из 2. Это означает, что квадратный корень из 2 не является рациональным числом. Доказательство этого факта Евклидом в книге X «Элементов» базируется на первоначальном предположении обратного, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, после чего Евклид опровергает это предположение.

Допустим, что есть рациональное число, выраженное дробью p/q (где p и q – целые числа), чей квадрат равен 2:

В таком случае будет бесконечное количество таких пар чисел, которые можно получить, умножая p и q на любой натуральный множитель, но предположим, что целые числа p и q – наименьшие целые, для которых верно выражение (p/q) 2 = 2. Из уравнения выше следует, что

p? = 2q?.

Отсюда очевидно, что p? – четное число, но так как произведение двух любых нечетных чисел есть нечетное число, то 

p должно быть только четным. То есть мы можем записать равенство p = 2p‘, где p‘ – целое число. Но тогда

q? = 2p‘?

и, повторяя предыдущую цепь рассуждений, находим, что число q также четное и может быть выражено равенством q = 2q‘, где q‘ – целое число. Но тогда p/q = p‘/q‘, и значит,

где p‘ и q‘ – целые числа, которые в два раза меньше p и q соответственно. А это противоречит исходному предположению, что p и q – наименьшие целые числа, для которых равенство (p/q)? = 2 справедливо. Мы имеем противоречие, и, следовательно, такие числа не могут существовать.

Теорема явным образом обобщается: любое число, например, 3, 5, 6 и т. д., которое само не является квадратом целого числа, не может быть квадратом рационального числа. Например, если 3 = (p/q)?, где p и q – наименьшие целые числа, для которых это равенство справедливо, то p? = 3q?, но это невозможно, если только нет такого целого p‘, для которого p = 3p‘, но тогда q? = 3p‘?, и q = 3q‘ для некоего целочисленного q‘, и, значит, 3 =(p‘/q‘)?, что противоречит предположению о том, что не существует целых чисел меньше p и q, для которых p2 = 3q2. Поэтому квадратные корни чисел 3, 5, 6, … иррациональны все.

Современная математика признает существование иррациональных чисел, таких как число, обозначаемое ?2, квадрат которого равен 2. Если это число представить в виде десятичной дроби, то последовательность знаков такого числа продолжается до бесконечности, не повторяясь. Например, ?2 = 1,414213562… И во множестве рациональных, и во множестве иррациональных чисел их количество бесконечно, но в каком-то смысле иррациональных чисел намного больше, чем рациональных, поскольку рациональные числа можно представить как бесконечную последовательность, включающую все рациональные числа:

1, 2, 1/2, 3, 1/3, 2/3, 3/2, 4, 1/4, 3/4, 4/3, …

тогда как перечислить все иррациональные числа никаким способом нельзя.

Ричард Дедекинд | немецкий математик

Ричард Дедекинд

Смотреть все медиа

Дата рождения:

6 октября 1831 г. Брауншвейг Германия

Умер:

12 февраля 1916 г. (84 года) Брауншвейг Германия

Предметы изучения:

Дедекинд огранка гипотеза континуума идеальный иррациональное число настоящий номер

Просмотреть все связанные материалы →

Рихард Дедекинд , полностью Юлий Вильгельм Рихард Дедекинд , (родился 6 октября 1831, Брауншвейг, герцогство Брауншвейг [Германия] — умер 12 февраля 1916, Брауншвейг), немецкий математик, разработавший серьезное переопределение иррациональных чисел с точки зрения арифметических понятий. Хотя его трактовка идей бесконечности и того, что составляет действительное число, не была полностью признана при его жизни, она продолжает оказывать влияние на современную математику.

Дедекинд был сыном юриста. Посещая гимназию Мартино-Катаринеум в 1838–1847 годах в Брауншвейге, он сначала интересовался в первую очередь химией и физикой. Однако в Каролинском колледже в 1848–1850 годах он обратился к исчислению, алгебре и аналитической геометрии, что помогло ему получить квалификацию для изучения высшей математики в Геттингенском университете под руководством математика Карла Фридриха Гаусса.

Викторина «Британника»

Числа и математика

После двух лет самостоятельного изучения алгебры, геометрии и эллиптических функций Дедекинд служил приват-доцентом («неоплачиваемый лектор») в 1854–1858 годах в Геттингенском университете, где в своих лекциях он представил, вероятно, для впервые изучил теорию уравнений Галуа и посетил лекции математика Петера Густава Лежена Дирихле. Этот опыт привел Дедекинда к мысли о необходимости переопределения иррациональных чисел с точки зрения арифметических свойств. Геометрический подход побудил Евдокса в 4 веке до н.

В 1858 году Дедекинд поступил на факультет Цюрихского политехнического института, где проработал пять лет. В 1862 году он поступил в Высшую техническую школу в Брауншвейге, где оставался в относительной изоляции до конца своей жизни.

Преподавая там, Дедекинд развил идею о том, что как рациональные, так и иррациональные числа могут образовывать континуум (без пробелов) действительных чисел, при условии, что действительные числа имеют отношение один к одному с точками на прямой. Он сказал, что тогда иррациональное число будет тем граничным значением, которое разделяет два специально сконструированных набора рациональных чисел.

Дедекинд понял, что характер континуума должен зависеть не от количества точек на отрезке (или континууме), а скорее от того, как линия поддается разделению. Его метод, теперь называемый разрезом Дедекинда, состоял в разделении всех действительных чисел в ряду на две части так, чтобы каждое действительное число в одной части было меньше, чем каждое действительное число в другой.

Такой разрез, соответствующий данному значению, определяет иррациональное число, если ни в одной из частей нет ни наибольшего, ни наименьшего; тогда как рациональное определяется как разрез, в котором одна часть содержит наименьшую или наибольшую. Таким образом, Дедекинд определил бы квадратный корень из 2 как уникальное число, делящее континуум на два набора чисел так, что все члены одного набора больше, чем члены другого, или разрез, или деление, разделяющее ряд чисел на две части, так что один набор содержит все числа, квадраты которых больше 2, а другой набор содержит все числа, квадраты которых меньше 2.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Дедекинд разработал арифметическую интерпретацию иррациональных чисел в 1872 году в своей книге Stetigkeit und Irrationale Zahlen (англ. пер. «Непрерывность и иррациональные числа», опубликованной в Essays on The Theory of Numbers ). Он также предположил, как и немецкий математик Георг Кантор двумя годами позже, что множество — совокупность объектов или компонентов — является бесконечным, если его компоненты могут быть расположены во взаимно-однозначном отношении с компонентами одного из его компонентов. подмножества. Дополнив геометрический метод анализа, Дедекинд внес существенный вклад в современное понимание бесконечно большого и бесконечно малого.

Во время отпуска в Интерлакене, Швейцария, в 1874 году Дедекинд встретил Кантора. Дедекинд сочувственно выслушал только что опубликованное Кантором изложение революционной идеи множеств, которое впоследствии стало заметным в преподавании современной математики. Поскольку оба математика разрабатывали очень оригинальные концепции, такие как теория чисел и анализ, которые не сразу были приняты их современниками, и поскольку оба не имели должного профессионального признания, между ними возникла прочная дружба.

Продолжая свои исследования свойств и взаимосвязей целых чисел, то есть идеи числа, Дедекинд опубликовал Über die Theorie der ganzen Alexandriaischen Zahlen (1879; «К теории алгебраических целых чисел»). Там он предложил «идеал» как набор чисел, который можно отделить от большего набора, состоящего из целых алгебраических чисел, удовлетворяющих полиномиальным уравнениям с обычными целыми числами в качестве коэффициентов.

Идеал — это совокупность всех целых алгебраических чисел, кратных данному целому алгебраическому числу. Например, обозначение (2) представляет такой частный набор, как . . . -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8. . . . Сумма двух идеалов есть идеал, составленный из всех сумм всех их отдельных членов. Аналогично определяется произведение двух идеалов. Идеалы, рассматриваемые как целые числа, затем могут быть сложены, умножены и, следовательно, разложены на множители. С помощью этой теории идеалов он позволил применить процесс уникальной факторизации, то есть выражения числа как произведения только одного набора простых чисел, или 1 и самого себя, ко многим алгебраическим структурам, которые до сих пор ускользали от анализа.

Эта статья была недавно пересмотрена и обновлена ​​Эми Тикканен.

Евдокс Книдский | Греческий математик и астроном

Год рождения:

около 395 г. до н.э. или 390 г. до н.э. Книд

Умер:

около 342 г. до н.э. или 337 г. до н.э. Книд

Предметы изучения:

метод истощения планета пропорциональность космическое движение звезда

Просмотреть все связанные материалы →

Евдокс Книдский , (род. ок. 395–390 до н. э., Книд, Малая Азия [сейчас в Турции] — умер ок. 342–337 до н. э., Книд), греческий математик и астроном, который существенно развил теорию пропорций, внес вклад в идентификацию созвездий и, таким образом, в развитие наблюдательной астрономии в греческом мире и создал первую сложную геометрическую модель движения небесных тел. Он также писал по географии и участвовал в философских дискуссиях в Академии Платона. Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, его вклад известен из многих дискуссий на протяжении всей древности.

Жизнь

По словам историка III века н.э. Диогена Лаэртиуса (источника большинства биографических подробностей), Евдокс изучал математику у Архита из Тарента и медицину у Филистиона из Локры. В 23 года он посещал лекции в Афинах, возможно, в Платоновской академии (открыта в г. ок. г. 387 г. до н. э.). Через два месяца он уехал в Египет, где обучался у священников 16 месяцев. Зарабатывая на жизнь учителем, Евдокс затем вернулся в Малую Азию, в частности в Кизик на южном берегу Мраморного моря, прежде чем вернуться в Афины, где он связался с Академией Платона.

Викторина «Британника»

Наука: правда или вымысел?

Аристотель сохранил взгляды Евдокса на метафизику и этику. В отличие от Платона, Евдокс считал, что формы существуют в воспринимаемых вещах. Он также определил добро как то, к чему стремятся все вещи, что он отождествлял с удовольствием. В конце концов он вернулся в свой родной Книд, где стал законодателем и продолжал свои исследования до своей смерти в возрасте 53 лет. Последователи Евдокса, включая Менехма и Каллиппа, процветали как в Афинах, так и в Кизике.

Математик

Вклад Евдокса в раннюю теорию пропорций (равных отношений) формирует основу для общей теории пропорций, содержащейся в Книге V « Элементов» Евклида ( ок. 300 г. до н. э.). Там, где предыдущие доказательства пропорции требовали отдельной обработки линий, поверхностей и тел, Евдокс предоставил общие доказательства. Однако неизвестно, насколько более поздние математики могли внести свой вклад в форму, найденную в Элементах . Он определенно сформулировал принцип деления пополам, согласно которому при наличии двух величин одного и того же вида можно непрерывно делить большую величину по крайней мере наполовину, чтобы построить часть, которая меньше меньшей величины.

Точно так же теория несоизмеримых величин Евдокса (величины, не имеющие общей меры) и метод исчерпания (его современное название) повлияли на книги X и XII Элементов соответственно. Архимед ( ок. 285–212/211 до н. э.), в «О сфере и цилиндре» и в «Методе » выделил для похвалы два доказательства Евдокса, основанные на методе исчерпывания: что объемы пирамид и конусы составляют одну треть объема призмы и цилиндра соответственно с теми же основаниями и высотами. Различные следы предполагают, что доказательство последнего Евдоксом началось с предположения, что конус и цилиндр соизмеримы, прежде чем свести случай несоизмеримости конуса и цилиндра к соизмеримому случаю. Поскольку современное понятие действительного числа аналогично древнему понятию отношения, этот подход можно сравнить с 19Определения действительных чисел в терминах рациональных чисел в 19-м веке. Евдокс также доказал, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров.

Евдокс также, вероятно, в значительной степени ответственен за теорию иррациональных величин формы a ± b (найденную в Элементах , Книга X), основанную на его открытии, что отношения стороны и диагонали правильного вписанный в окружность пятиугольник до диаметра окружности не попадает в классификации Теэтета Афинского ( с. 417–369 до н. э.). Согласно Эратосфену из Кирены ( ок. 276–194 до н. э.), Евдокс также внес свой вклад в решение проблемы удвоения куба, то есть в построение куба, вдвое превышающего объем данного куба.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Астроном

В двух работах, Феномены и Зеркало , Евдокс схематически описал созвездия, фазы неподвижных звезд (даты, когда они видны) и погоду, связанную с разными фазами. Через поэму Арата ( с. 315–245 до н. э.) и комментарий к поэме астронома Гиппарха ( ок. 100 до н. э.), эти произведения оказали непреходящее влияние в древности. Евдокс также обсуждал размеры Солнца, Луны и Земли. Возможно, он создал календарь восьмилетнего цикла ( Oktaëteris ).

Возможно, самая большая известность Евдокса связана с тем, что он первым попытался в О скоростях построить геометрическую модель движения Солнца, Луны и пяти планет, известных в древности. Его модель состояла из сложной системы из 27 взаимосвязанных геоконцентрических сфер, по одной для неподвижных звезд, по четыре для каждой планеты и по три для Солнца и Луны. Каллипп, а затем Аристотель модифицировали модель. Подтверждение Аристотелем ее основных принципов гарантировало непреходящий интерес в эпоху Возрождения.

Евдокс также написал этнографический труд («Круг земли»), фрагменты которого сохранились. Вполне вероятно, что Евдокс также разделил сферическую Землю на знакомые шесть частей (северную и южную тропическую, умеренную и арктическую зоны) в соответствии с делением небесной сферы.

Наследие

Евдокс — самый изобретательный греческий математик до Архимеда. Его работа формирует основу для самых продвинутых дискуссий в элементах Евклида 9.0040 и заложил основу для изучения Архимедом объемов и поверхностей. Теория пропорций — первая полностью сформулированная теория величин. Хотя большинство астрономов, по-видимому, отказались от его астрономических взглядов к середине 2 века до н. Неудовлетворенность модификацией этого принципа Птолемеем (где он отделил центр равномерного движения от центра круга движения) мотивировала многих астрономов средневековья и эпохи Возрождения, включая Николая Коперника (1473–1543).