Определение подмножества: Недопустимое название | Математика | Fandom

Подмножество | это… Что такое Подмножество?

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 10 апреля 2012.

На диаграмме кругов Эйлера видно, что является подмножеством , а является надмножеством

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Содержание 1 Определение 1.1 Собственное подмножество 2 Примеры 3 Свойства 4 Подмножества конечных множеств 5 Примечания 6 См. также 7 Ссылки

Определение

Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение:

Множество называется надмно́жеством множества , если  — подмножество .

Существует два символических обозначения для подмножеств:

« является подмножеством » обозначается	« является собственным подмножеством » обозначается	Примечание
		Внешний вид символа намекает, что если , то .
		Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным».

К сожалению, обе системы обозначений используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что называется надмножеством , часто записывают .

Множество всех подмножеств множества обозначается и называется множеством-степенью.

Собственное подмножество

Любое множество является своим подмножеством.

Если мы хотим исключить из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

Множество является собственным подмножеством множества , если и .

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством и .

Примеры

• Множества являются подмножествами множества
• Множества являются подмножествами множества
• Пусть , тогда .
• Пусть . Тогда .

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств^[1].

• Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
  • Отношение подмножества рефлексивно:

  • Отношение подмножества антисимметрично:

  • Отношение подмножества транзитивно:

• Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:

• Для любых двух множеств и следующие утверждения эквивалентны:

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.

Примечания

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т.  1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также

• Булеан

Ссылки

Свойства подмножеств

1. Для любого множества оно является своим подмножеством. С использованием введенных кванторов это свойство может быть записано следующим образом:

.

2. если , то .

3. если , то . Это свойство является условием равенства двух множеств.

4. если , то .

5. .

Необходимо различать отношения включения – отношение «быть подмножеством» (это отношения между множествами) и принадлежности (отношение между элементами и множеством). Перечисленные выше свойства не имеют места для отношения принадлежности. Например: . Отсюда не следует, что .

Любое непустое множество имеет всегда хотя бы 2 подмножества: . Если содержит элементов, то количество разных его подмножеств — .

Определение 4. Говорят, что между множествами и установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества соответствует один и только один элемент множества В, и каждому элементу множества В соответствует один элемент множества А.

Определение 5. Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность бесконечного множества равна бесконечности. Обозначение: .

Если между множествами и может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, то множества имеют одинаковую мощность и называются равномощными: .

Пример. Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека, но не равномощно множеству пальцев на руках и ногах.

Пример. Множество четных натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел.

Операции над множествами

Объединение множеств – это множество

.

Определяется единственным образом.

Пересечение множеств – это множество

.

Для любых множеств имеем:

.

Два множества называются непересекающимися, если , и пересекающимися в противном случае.

Абсолютное дополнение (или просто дополнение) множества А – это

.

Относительное дополнение множества В до множества А (или разность А-В) – это

.

Симметрическая разность А и В: .

Свойства:

;

;

.

Свойства операций над множествами

Теорема 1. Пусть — универсальное множество, т.е. множество, которое для конкретной рассматриваемой задачи включает все остальные множества как подмножества. Для имеют место равенства:

1. Идемпотентность:

; ;

2. Коммутативность:

, ;

3. Ассоциативность:

, ;

4. Дистрибутивность:

, ;

5. , ;

6. , .

Свойства множеств в теореме 1 записываются парами. Равенство теории множеств, которое получается из другого равенства заменой всех операций на , на , на , на , называется двойственным к исходному.

Принцип двойственности: Если в теории множеств можно показать справедливость какого-то утверждения, то двойственное утверждение также будет иметь место.

Из теоремы 1 вытекает, что объединение и пересечение множеств А,В,С можно записывать без скобок: , .

Методом математической индукции можно доказать, что объединение и пересечение любого числа множеств можно записывать без скобок, т.е.

, — общие ассоциативные законы.

Имеют место общие коммутативные и дистрибутивные законы:

, где — любая перестановка чисел ;

.

Теорема 2. Пусть — универсальное множество. Для имеют место равенства ():

1. Если для всех А . Если для всех А .

2. Если и , то .

3. ;

4. , ;

5. Законы поглощения:

, ;

6. Законы де-Моргана:

, .

Теорема 3. Утверждения , , эквивалентны для любых множеств А и В.

Определение и значение подмножества — Merriam-Webster

подмножество ˈsəb-ˌset 

1

: множество, каждый элемент которого является элементом включающего множества

2

: подразделение, часть

подмножество нашего сообщества

Примеры предложений

Набор {1,2,3} является подмножеством набора {1,2,3,4,5}. Эти побочные эффекты наблюдались только у небольшой группы из пациентов, участвовавших в исследовании, из человек.

Недавние примеры в Интернете Восемь приведенных ниже книг предлагают различные подмножества навыков выживания и могут быть ценными ресурсами в дикой природе, дома или даже в море. — Кевин Кортез, Popular Mechanics , 5 апреля 2023 г. Налоги на криптовалюту уже представляют собой сложную и быстро развивающуюся область, а NFT представляют собой дифференцированную подмножество криптовалюты сами по себе, а изменение налоговых ставок и критериев только еще больше усложнит ситуацию. — Шон Стейн Смит, Forbes , 27 марта 2023 г. Офтальмологический раствор бримонидина тартрата, 0,15%: специальное средство, предназначенное для пациентов с глаукомой или глазной гипертензией. Небольшая часть из этих глазных капель из отзывается добровольно, поскольку неисправные колпачки могут привести к нестерильным растворам, которые могут вызывать аналогичные симптомы. — Зи Крстич, 9 лет.0021 Хорошая уборка , 25 марта 2023 Но крикливое подмножество американцев, казалось, обеспокоено тем, что правительство делает так много, чтобы помочь. — Мэтью Десмонд, The New York Review of Books , 21 марта 2023 г. Если процедуру повторить, то плотность A по некоторому подмножеству превысит 100%. — Лейла Сломан, Quanta Magazine , 21 марта 2023 г. На февральском заседании ACIP членам сообщили, что рабочая группа по вакцине Covid, состоящая из подгруппы из ее членов, обсуждала, следует ли рекомендовать весенние бустеры. — Хелен Брансвелл, STAT , 16 марта 2023 г. Технически акне беременных можно рассматривать как подмножество гормональных акне благодаря прогестерону, типу андрогена. — Дина Пай, 9 лет.0021 Гламур , 9 марта 2023 г. Затем есть подмножество суперфанатов, чья миссия состоит в том, чтобы каким-то образом добраться или хотя бы приблизиться к чемпионату НФЛ в этом году, не разорившись. — Дон Гилбертсон, WSJ , 8 февраля 2023 г. Узнать больше

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «подмножество». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Первое известное использование

1881, в значении, определенном в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование подмножество было в 1881 году

Посмотреть другие слова того же года лежачий

подмножество

субсексуальный

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись0003

«Подмножество.» Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www. merriam-webster.com/dictionary/subset. По состоянию на 22 апреля 2023 г.

Копия цитирования

Детское определение

подмножество

существительное

подмножество ˈsəb-ˌset 

: математический набор, являющийся частью другого математического набора

множество четных чисел является подмножеством множества всех чисел для говорящих на арабском языке

Britannica. com: статья в энциклопедии о подмножество

Последнее обновление: 11 апр 2023 — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

обманывать

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

Подмножество Определение и значение | Dictionary.com

• Лучшие определения
• Викторина
• Связанный контент
• Примеры
• Британский
• Научный

Показывает уровень сложности слова.

[вложенный набор]

/ ˈsʌbˌsɛt /

Сохрани это слово!

См. синонимы для подмножества на Thesaurus.com

Показывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.

---

сущ.

набор, являющийся частью большего набора.

Математика. множество, состоящее из элементов данного множества, которые могут быть такими же, как данное множество, или меньшими.

ВИКТОРИНА

МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ОТВЕЧАТЬ НА ЭТИ ОБЫЧНЫЕ ГРАММАТИЧЕСКИЕ СПОРЫ?

Есть грамматические дебаты, которые никогда не умирают; и те, которые выделены в вопросах этой викторины, наверняка снова всех разозлят. Знаете ли вы, как отвечать на вопросы, которые вызывают самые ожесточенные споры по грамматике?

Вопрос 1 из 7

Какое предложение верно?

Происхождение подмножества

Впервые зафиксировано в 1900–05 гг.; sub- + set

Слова рядом subset

subsere, subserous, subserve, subservience, subservient, subset, subshell, subshrub, subside, subsidence, subsidiarity

Dictionary. com Unabridged На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. 2023

Слова, относящиеся к подмножеству

подразделение, подгруппа, подпространство, пакет, группа, член, разрез, подразделение, фрагмент, часть, порция, порция, раздел, доля

Как использовать подмножество в предложении

• Это позволяет нам увидеть, что роза, например, возбуждает рецепторы 27, 72 и 112, в то время как собачьи какашки возбуждают другое подмножество рецепторов.

  Доктор тебя сейчас обнюхает — Выпуск 95: Побег|Лина Зельдович|3 февраля 2021|Наутилус

• Грей, бывший пресс-секретарь Сандерса, желает, чтобы все прогрессисты поумнели и назвали себя левыми, но она это понимает семантические дискуссии происходят среди крошечного подмножества активно вовлеченных граждан.

  Берни Сандерса часто называют либералом. Он умолял не согласиться. Кто на самом деле либерал?|Грэм Вайс|2 февраля 2021 г.|Washington Post

• По данным Malwarebytes, злоумышленник использовал «другой вектор вторжения», чтобы получить доступ к ограниченному набору электронных писем компании.

  30% жертв «взлома SolarWinds» на самом деле не использовали SolarWinds|Джим Солтер|29 января 2021 г.|Ars Technica

• Однако он знал, что мы сознательно воспринимаем только часть всей информации, поглощаемой нашим разумом. из мира.

  Театр бессознательного в наших снах|Ник Ромео|22 января 2021 г.|Washington Post

• «, — говорится в сообщении TSA.

  FAA издает специальный приказ, направленный на подавление непослушных авиапассажиров после бунта в Капитолии|Лори Аратани|13 января 2021 г.|Washington Post

• А в сентябре 2008 г. Апелляционный суд США по 2-му округу распорядился об освобождении подмножество из 21 фотографии.

  Фотографии жестокого обращения с заключенными, которые Обама не хотел, чтобы вы видели|Ноа Шахтман, Тим Мак|15 декабря 2014|DAILY BEAST

• И каждый раз, когда Саркисян выпускал видео, это же жалкое подмножество культуры призывал к ее голове.

  Смерть личности «геймера»: как хардкорные тролли обманули себя|Алек Кубас-Мейер|17 сентября 2014 г. |DAILY BEAST

• Обнаружение даже небольшого подмножества этих людей означает проверку большого количества людей.

  Генетические герои, способные вылечить больных|Кэрри Арнольд|1 июля 2014 г.|DAILY BEAST

• Вероятно, есть небольшая группа детей, у которых аутизм улучшился бы — немного — при изменении диеты.

  Нет, PETA, коровье молоко не вызывает аутизм|Кент Сепковиц|30 мая 2014|DAILY BEAST

• Они действовали так, как будто музыка была частью индустрии моды, кино или рекламы.

  Музыкальная критика выродилась в репортажи об образе жизни|Тед Джойя|18 марта 2014 г.|DAILY BEAST

• Компилятор будет поставляться с полностью определенным набором операторов преобразования формул.

  Предварительные спецификации: Программируемый процессор данных модели 3 (PDP-3)|Digital Equipment Corporation

• Подмножеством примера Сунь Цзы является мнение, что война — это обман.

  Shock and Awe|Harlan K.

  No related posts.