Определение подобных треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Подобные треугольники
- Определение подобных треугольников
Пусть у АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: А =А1, В =В1, С =С1. Тогда стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1называются сходственными (Рис.1).
Определение
| Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника |
Треугольники АВС и А1В1С1 будут подобны, если
А =А1, В =В1, С =С1, (1)
. (2)
Число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников обозначают специальным символом — . На рисунке 1 треугольники АВС и А1 В1С1 подобны, значит, можно записать:
АВСА1В1С1.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Пропорциональные отрезки
Отношение площадей подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Средняя линия треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Практические приложения подобия треугольников
О подобии произвольных фигур
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
Подобные треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 550, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 587, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 622, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 855, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 856, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 868, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 893, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Подобие треугольников | это.
.. Что такое Подобие треугольников?Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
Содержание
|
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
Первый признак
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. |
То есть
Дано: и
Доказать:
Доказательство
Второй признак
Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны. |
Дано: и Доказать:
Доказательство
Третий признак
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны. |
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, = = .
Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.
Доказательство
Признаки подобия прямоугольных треугольников
- По острому углу — см. первый признак;
- По двум катетам — см. второй признак;
- По катету и гипотенузе — см. третий признак.
Свойства подобных треугольников
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
- Отношение объёма подобных стереометрических фигур равно кубу коэффициента подобия
- Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.
Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:
- Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
- Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Связанные определения
- Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
- Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
| В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. |
Литература
- Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.
С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.См. также
- Подобие
- Среднее геометрическое
- Треугольник
Ссылки
- Подобие треугольников
- Признаки подобия из учебника за восьмой класс
открытых учебников | Siyavula
Загрузите наши открытые учебники в различных форматах, чтобы использовать их так, как вам удобно. Нажмите на обложку каждой книги, чтобы увидеть доступные для загрузки файлы на английском и африкаанс. Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! См. различные открытые лицензии для каждой загрузки и пояснения к лицензиям в нижней части страницы.
Математика
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- 7A PDF (CC-BY-ND)
- 7B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- 7A PDF (CC-BY-ND)
- 7B PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- 8A PDF (CC-BY-ND)
- 8B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- 8A PDF (CC-BY-ND)
- 8B PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- 9A PDF (CC-BY-ND)
- 9B PDF (CC-BY-ND)
-
Африкаанс
- 9A PDF (CC-BY-ND)
- 9B PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
Наука
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 7А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 7Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 7А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 7Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 8А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 8Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 8А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 8Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 9А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 9Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 9А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 9Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 4А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 4Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 4А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 4Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 5А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 5Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 5А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 5Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 6А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 6Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 6А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 6Б
- PDF (CC-BY-ND)
Лицензирование наших книг
Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:
CC-BY-ND (фирменные версии)
Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.
Вы можете копировать, распечатывать и распространять их столько раз, сколько захотите. Вы можете загрузить их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственное ограничение заключается в том, что вы не можете каким-либо образом адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, логотипы спонсоров и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите сайт Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported.
Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.
CC-BY (версии без торговой марки)
Эти версии одного и того же контента без торговой марки доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, преобразовывать, изменять или развивать их любым способом, при этом единственным требованием является предоставление соответствующей ссылки на Siyavula.
Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.
Подобные треугольники — Подобие треугольников
Вам надоело слышать, что у подобных треугольников равные углы и пропорциональные стороны? Мы продолжаем говорить это только потому, что это важно. И правда. И важно.
Если мы знаем, что два треугольника имеют равные углы и пропорциональные стороны, то мы знаем, что они подобны. На самом деле, если мы знаем, что два треугольника имеют конгруэнтные углы и/или пропорциональные стороны, то мы знаем, что они подобны. Нам не обязательно знать и то, и другое, хотя хорошо, когда у вас есть все основания.
Посмотрите на эти треугольники.
Они действительно похожи, но иногда рисунки могут поставить нас в тупик. К счастью, нам известны длины сторон треугольников, что очень удобно, потому что мы не можем сказать, равны ли углы, просто взглянув на них.
Давайте настроим коэффициенты и сравним. Они равны?
Да, действительно, длины сторон пропорциональны, поэтому мы можем быть уверены, что ∆ OAK ~ ∆ MIL .
Пример задачи
∆ PIT имеет длины сторон 4, 5 и 8, а ∆ KAN имеет длины сторон 12, 15 и 22. Похожи ли они?
Давайте настроим некоторые коэффициенты и посмотрим.
Нет. Так что они не похожи.
Совсем другое дело, когда мы имеем дело с углами. Хотя в подобных треугольниках длины сторон пропорциональны, углы должны быть равны. Если мы вырежем любые два одинаковых треугольника (что мы не рекомендуем делать на экране, но не стесняйтесь распечатать страницу, а затем продолжить работу с бумагой) и поместим их друг на друга, мы сможем выровнять каждый набор треугольников. соответствующие углы и убедитесь, что углы в точности одинаковы.
Треугольники ∆ TEX и ∆ WAS подобны, потому что их углы равны. В частности, ∠ T ≅ ∠ W , ∠ E ≅ ∠ A и ∠ X ≅ ∠ S .
Пример задачи
∆ NYM имеет углы, равные 50°, 87° и 43°.
∆ PHI имеет углы 87°, 50° и 43°. Они похожи?
Ага. Запишите это: тройная игра с тремя парами конгруэнтных углов. Это делает треугольники похожими.
Напрашивается интересный вопрос. Нужно ли нам знать меры всех углов, чтобы решить, подобны ли два треугольника?
Короче говоря, нет.
Длинный ответ основан на том факте, что три угла внутри каждого треугольника всегда составляют в сумме 180° (помните теорему о сумме углов для треугольников?). Это означает, что если мы знаем только меру двух углов, мы можем вычислить меру третьего. Однако приблизительные цифры не помогут.
А как насчет этих двух треугольников? Они похожи?
В первом треугольнике мы знаем, что ∠ P = 48° и ∠ I = 79°. Поскольку m∠ P + m∠ I + m∠ T = 180, мы можем вычислить, что m∠ T = 53°. Во втором треугольнике m∠ L = 48° и m∠ A = 79°. Опять же, поскольку m∠ L + m∠ A + m∠ D = 180, мы знаем, что ∠ D также должно быть равно 53°.
Оба треугольника имеют по три равных угла, значит, они должны быть подобны.
Чтобы написать утверждение о сходстве, мы должны расположить буквы в правильном порядке. Конгруэнтные углы должны быть в одном и том же месте в Имя каждого треугольника: ▲ P ≅ тий L , ♂ I ≅ тий A и ♂ T ≅ тий D , так что мы напишем лов. ~ ∆ LAD .
Но на самом деле нам не нужно было вычислять размер этих третьих углов. Вот почему:
| Заявления | Причины |
| 1. МЧ — P + M секретный + MT D = 180 | Углавая теорема для треугольников |
| 3. MT P = M секретный ) | |
| 4. m∠ T = 180 – (m∠ P + m∠ I ) | Rearranging (1) |
| 5. m∠ D = 180 – (m∠ L + m∠ A ) | Rearranging (2) |
6. m Тий T = 180 — (MT L + MT A ) | Заместитель (3, 4) |
| 7. MT D = MRT T 5 | 330914 DAIN = MT T|
| 8. ∠ D ≅ ∠ T | Определение равных углов (7) |
Даже не требуя точных измерений углов, мы знаем, что ∠ T и ∠ D равны по размеру, а это означает, что они также конгруэнтны.
И мы только что открыли то, что называется Постулатом Угла-Угла , который гласит, что если два треугольника имеют две пары конгруэнтных углов, то эти треугольники подобны. Видите, разве не приятно делиться?
Пример задачи
Два угла в ∆ BOS измеряют 22° и 108°, а два угла в ∆ CLE измеряют 108° и 48°. Подобны ли треугольники?
Из задачи мы знаем, что они имеют по крайней мере один конгруэнтный угол (108°).