Определение ранга матрицы: определение, методы нахождения и примеры решения задач

Ранг матрицы

Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минораэлемента. Напомним, что так был назван определитель порядка, полученный из определителявычеркиванием-й строки и-го столбца.

Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудьномеров строкиномеров столбцов.

Определение. Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

.

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строки столбцов.

Определение. В матрице размеровминор порядканазываетсябазисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядкау матрицывообще нет.

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка, а, следовательно, и всех бόльших порядков.

Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы будем обозначать символом. Из определения ранга следует, что для матрицыразмеровсправедливо соотношение.

Два способа вычисления ранга матрицы

а) Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден минор -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен.

В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор-го порядка, и вся процедура повторяется.

Пример 9. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Выберем минор второго порядка . Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор. Вычислим его.

Значит, минор базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е.

Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

б) Метод элементарных преобразований

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  1. умножение строки на число, отличное от нуля;

  2. прибавление к одной строке другой строки;

  3. перестановку строк;

  4. такие же преобразования столбцов.

Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.

Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

(Без доказательства)

Идея практического метода вычисления ранга матрицы

заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

, (5)

в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицутакого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной или лестничной). После приведения матрицык треугольному виду можно сразу записать, что.

В самом деле, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицысуществует отличный от нуля минор порядка:

,

а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицыследует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Тогда ранг матрицыбудет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.

Пример 10. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строку (т.к. первый элемент второй строки −1 и с ней будет удобно выполнять преобразования). В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

Обозначим -тую строку матрицы –. Нам необходимо привести исходную матрицу к треугольному виду. Первую строку будем считать ведущей, она будет участвовать во всех преобразованиях, но сама остается без изменений.

На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 , к третьей строке прибавим первую, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой:

.

Так как нам необходимо привести матрицу к виду (5), вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

.

Получена матрица треугольного вида, и можно сделать вывод, что , т. е. числу ненулевых строк. Коротко решение задачи можно записать следующим образом:

Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Высшая математика » Матрицы и определители » Ранг матрицы » Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы «Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений». В первую очередь это касается термина «минор матрицы», так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы – матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, – однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

  1. Если все миноры первого порядка (т.
    е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.
  2. Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
  3. Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
  4. Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю.

Это значит, что k – максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров, вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Решение

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, – для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент – и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0. $$

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ: $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Решение

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

$$ \left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10. $$

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

$$ \left | \begin{array} {cccc} -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0. $$

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28. $$

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка – это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы «Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)», поэтому просто возьмём готовый результат:

$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86. $$

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ: $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Решение

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88. $$

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ: $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению – в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований.

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Ранг матрицы. Основа для ускорения работы с большими данными… | by Adrià Serra

Photo by Martin Sanchez on Unsplash

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ НАУКИ О ДАННЫХ И МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ

Основа для ускорения обучения моделей больших данных

помогают нам определить ранг матрицы, а затем решения систем уравнений.

Размерность линейного многообразия, натянутого на векторы, соответствующие столбцам матрицы A соответствует рангу A . Другими словами, количество нелинейно зависимых строк или столбцов A равно рангу A .

Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то существует некоторая линейная зависимость между столбцами и строками матрицы, иначе, если ранг равен количеству столбцов, то все столбцы линейно независимы. Таким образом, ранг матрицы равен максимальному количеству линейно независимых столбцов или строк.

Предположим, у нас есть следующая однородная линейная система.

Однородная линейная система, самогенерируемая.

Эта система совместима, так как она имеет тривиальное решение для всех x = 0, но при каких условиях однородная линейная система может иметь решения, отличные от тривиального?

Существование нетривиального решения эквивалентно столбцам матрицы:

Матрица коэффициентов однородной линейной системы, самогенерируемая.

Система имеет нетривиальное решение, если только ранг матрицы A меньше n.

Чтобы получить расширенную матрицу системы, нам просто нужно добавить столбцы решений в конце матрицы. По Кронекера-Капелли система совместима, если ранг обеих матриц одинаков.

Так как у нас уже есть пост о решении систем уравнений, мы пропустим объяснение, чтобы просмотреть эту тему, вы можете перейти в соответствующий пост.

Однородная система

Множество всех решений системы образует линейное пространство решений, которое мы будем обозначать через л . Соответствие между решениями системы и значениями x_i есть взаимно однозначное отношение (изоморфизм) между пространством решений и запасным K n-r .

Таким образом, пространство L решений однородной системы линейных уравнений от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r изоморфно пространству K n-r-r В частности, размер помещения L is n-r .

Неоднородная система

В случае неоднородной системы, где столбец y не равен 0, геометрический объект H, соответствующий множеству всех решений системы, представляет собой гиперплоскость в n-мерном пространстве Кн .

Эта гиперплоскость получается сдвигом подпространства L всех решений соответствующей однородной системы на вектор х0 . Размерность гиперплоскости H совпадает с размерностью подпространства L .

Поскольку было бы утомительно вычислять все младшие ранги для получения ранга матрицы, мы введем лучший метод, чтобы сделать это, мы будем использовать свойство, которое говорит, что ранг матрицы равен размерности линейной многообразие, натянутое на векторы x1, x2, … , xk .

Чтобы еще больше упростить, мы будем использовать следующие операции:

  • Перестановка столбцов
  • Разделить ненулевой общий множитель элементов столбца.
  • Добавить произвольное число, кратное одному столбцу, к другому столбцу.
  • Удаление столбцов, полностью состоящих из 0.
  • Удаление столбца, являющегося линейной комбинацией других столбцов.

Используя эти операции, мы пытаемся очистить одну сторону диагональной матрицы, тогда решения выходят быстро. Мы уже работали и объясняли пример с использованием этого метода здесь.

В этом посте показаны некоторые интересные идеи о линейной алгебре, которые специалисты по данным используют для построения некоторых моделей. Вскоре мы достигнем собственных значений и собственных векторов, свойств, которые позволяют глубокому обучению работать так быстро.

Это реальная основа методов линейной алгебры, используемых в науке о данных, кроме того, мы создадим методы, которые используют все модели глубокого обучения.

Это восемнадцатая публикация моего конкретного #100daysofML, я буду публиковать достижения этой задачи на GitHub, Twitter и Medium (Адриа Серра).

https://twitter.com/CrunchyML

https://github.com/CrunchyPistacho/100DaysOfML

12.3: обратная матрица, ранг и определитель

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    85048
    • Кэри Смит
    • Колледж Окснард

    Кэри Смит

    Рассмотрим эту квадратную матрицу:

    В = [1 2 3;
         4 5 6;
         7 8 0]

    Матрица, обратная B, IB, является такой матрицей, что B*IB = единичная матрица и IB*B = единичная матрица.

    Не каждая квадратная матрица имеет обратную. Например, у этих матриц 3 x 3 нет обратных:

    .

    С = [1 0 0;

         0 0 0;

        0 0 0]

    Д = [1 0 0;

         0 2 3;

         1 2 3]

    Матрица, не имеющая обратной, называется «сингулярной» матрицей.

    Ранг матрицы — это количество независимых строк.
    Когда ранг квадратной матрицы равен количеству строк, она имеет «полный ранг» и несингулярна, поэтому имеет обратную.

    Ранг матрицы можно вычислить с помощью функции MATLAB rank():

    B_rank = rank(B) % = 3. Поскольку B имеет 3 строки и столбца, а его ранг равен 3, B имеет полный ранг и несингулярна.

    C_rank = rank(C) % = 1. C не имеет полного ранга.

    D_rank = rank(D) % = 2. D не имеет полного ранга.

    Другой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель.
    Если определитель не равен 0, он имеет полный ранг. Положительный или отрицательный определитель не имеет значения. Когда определитель не равен 0, матрица невырожденна и может быть инвертирована. Расчет обратного деления на определитель матрицы, поэтому он не может быть равен нулю.

    Определитель матрицы можно вычислить с помощью функции MATLAB det():

    B_det = det(B) = 27 => B неособое и может быть инвертировано.

    C_det = det(B) = 0 => C сингулярна и не может быть инвертирована.

    D_det = det(B) = 0 => C сингулярна и не может быть инвертирована.

    Обратная квадратная матрица может быть вычислена с помощью функции MATLAB inv():

    Вт = инв(В)

    % -1,7778 0,8889 -0,1111
    % 1,5556 -0,7778 0,2222
    % -0,1111 0,2222 -0,1111

    Проверить обратное:
    IB1 = B*W
    % 1 0 0
    % 0 1 0
    % 0 0 1

    Это единичная матрица 3×3

    Хотя умножение матриц в общем случае не является коммутативным, умножение матрицы на обратную является коммутативным. Тот же результат возникает, когда порядок матрицы и ее обратной матрицы меняется на противоположный.
    IB2 = W*B вычисляет тот же результат.

    Пример \(\PageIndex{1}\) Обратная матрица Пакаля 3×3

    C = паскаль(3)

    Вычислить ранг и определитель матрицы C.

    Если она невырожденная, вычислить обратную, C_inv /

    Затем проверьте, что C_inv*C является единичной матрицей.

    Решение

    det_C = det(C) % 1 Несингулярный
    C_rank = ранг(C) % 3 Несингулярный
    C_inv = inv(C)
    C_inv*C

    .

    Пример \(\PageIndex{2}\) Сингулярные матрицы

    Вычислите ранг и определитель этих сингулярных матриц:

    %% Сингулярная матрица #1
    % 2-я строка кратна 1-й строке,
    %, поэтому она не является независимой
    S1 = [ 1 2 3
    2 4 6
    7 8 9]

    S2 = [1 2 3
    4 5 6
    5 7 9]

    S3 = [1 0 0
    1 0 0
    0 0]

    444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444н. Добавьте пример текста сюда.

    Для получения дополнительной информации прочитайте https://en.Wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix

    Упражнение \(\PageIndex{1}\) Операции над «Гильбертовой» матрицей

    Трой Симерс

    Рассмотрим матрицу Гильберта 5 x 5″
    H5 = [1 1/2 1/3 1/4 1/ 5,
    1/2 1/3 1/4 1/5 1/6,
    1/3 1/4 1/5 1/6 1/7,
    1/4 1/5 1/6 1/7 1 /8;
    1/5 1/6 1/7 1/8 1/9];
    а.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *