Определения пределов функции: Предел функции | это… Что такое Предел функции?

Содержание

Определение предела функции (по Гейне и Коши)

Первое определение предела функции (по Гейне)

Предел функции по Гейне: Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x₀, на которой функция определена;
2) для любой последовательности {x_n}, сходящейся к x₀:
, элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {f(x_n)} сходится к a:
.

Здесь x₀ и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Второе определение предела функции (по Коши)

Предел функции по Коши: Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x₀, на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δ_ε > 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих проколотой δ_ε — окрестности точки x₀:
,
значения функции f(x) принадлежат ε — окрестности точки a:
.

Точки x₀ и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей

Предел функции: Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x₀, на которой функция определена;
2) для любой окрестности U(a) точки a существует такая проколотая окрестность точки x₀, что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки x₀:
,
значения функции f(x) принадлежат окрестности U(a) точки a:
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, и оно часто используется при доказательстве теорем. Первое определение, в математическом смысле, проще. Его удобно применять в вычислениях.

Более подробно определение Коши для конечных точек рассматривается на странице «Определение предела функции в конечной точке»; для бесконечно удаленных точек – на странице «Определение предела функции на бесконечности».

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x₀. Точки a и x₀ могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне.
Число a не является пределом функции f(x) в точке x₀: ,
если существует такая последовательность {x_n}, сходящаяся к x₀:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность {f(x_n)} не сходится к a:
.
.

По Коши.
Число a не является пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если существует такое положительное число ε > 0, так что для любого положительного числа δ > 0, существует такое x, принадлежащее проколотой δ — окрестности точки x₀:
,
что значение функции f(x) не принадлежит ε — окрестности точки a:
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у функции не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a. Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0.

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0: . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0: . Но поскольку , то
.
Тогда предел не может равняться никакому числу a. Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , для которой .

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел
(1) ,
предел последовательности равен a:
(2) .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n – натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a. Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3) для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

5.07.1 Понятие предела функции

Пусть функция определена на некотором промежутке и – предельная точка для множества . Возьмем из последовательность точек, отличных от :

(2)

Сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности тоже образуют числовую последовательность

, (3)

Которая может оказаться сходящейся или расходящейся. Поскольку выбор последовательности (2) ничем не обусловлен, кроме того только, чтобы она сходилась к точке , то ее можно составлять различными способами. Соответственно и последовательностей (3) можно составить сколько угодно. Если все последовательности (3) имеют своим пределом одно и то же число , то говорят, что функция имеет в точке предел, равный .

Если же хотя бы одна из последовательностей (3) имеет предел, отличный от , или вообще не имеет предела, то говорят, что в точке функция предела не имеет.

Дадим теперь строгое определение предела функции в точке «на языке последовательностей».

Определение. (По Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от , сходящейся к точке (), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают: , или при .

Существует другое определение предела функции в точке, которое называют определением «на языке » или определением «на языке неравенств». Оно принадлежит Коши.

Определение. (По Коши). Число называется пределом в точке , если для любого , найдется такое число , что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны (то есть одно следует из другого), поэтому можно пользоваться любым из них.

Пример 1. По определению предела доказать, что функция имеет в точке предел, равный .

Каково должно быть , если равно 1, и ?

Решение. Возьмем любое . Задача состоит в том, чтобы по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуем последнее неравенство к виду или . Отсюда видно, что можно взять . В частности, если , то ; если , то ; если , то .

Пример 2. Пользуясь определением предела, показать, что .

Решение. Пусть произвольное положительное число. Найдем такое число (разумеется оно будет зависеть от ), чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось неравенство . Преобразуем . Используя неравенство , оценим : . Следовательно, . Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , то есть чтобы . Отсюда (второй корень уравнения равный отбрасываем, так как ).

Пример 3. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что .

Решение. Воспользуемся определением предела функции «на языке последовательностей».

Пусть – произвольная последовательность значений , сходящаяся к 2, то есть . Тогда и . По теореме о пределе суммы получим:

Определение. (бесконечный предел). Говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначается или при .

Аналогично определяются и соотношения и .

Определение. (предел функции на бесконечности). Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое вещественное число , что для всех .

Пример 4. Пользуясь определением предела функции на бесконечности, доказать, что .

Решение. Возьмем произвольное и определим значения , для которых выполняется неравенство

. (*)

Так как при любом , то неравенство (*) можно переписать так: , или . Логарифмируя по основанию , получим: , откуда . Если за взять число , то для всех будет , следовательно, .

Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать на языке неравенств определения пределов: , , , , .

< Предыдущая		Следующая >

Определение предела функции

Определения предела Коши и Гейне

Пусть f ( x ) будет функцией, определенной на открытом интервале X , содержащем x = и . (Значение f ( a ) не нужно определять.)

Число L называется пределом функции f ( x ) как x → a тогда и только тогда, когда для каждых ε > 0 существует δ > 0 такое, что

\[\слева| {f\left( x \right) — L} \right| \lt\varepsilon,\]

всякий раз, когда

\[0 \лт\влево| {х — а} \право| \lt \дельта .\]

Это определение известно как ε−δ — или определение Коши для предела.

Существует также определение Гейне предела функции, в котором говорится, что функция \(f\left( x \right)\) имеет предел \(L\) в точке \(x = a\), если для каждого последовательность \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), которая имеет предел в \(a,\) последовательность \(f\left( {{x_n}} \right)\) имеет limit \(L. \) Определения Гейне и Коши предела функции эквивалентны.

Односторонние пределы

Пусть \(\lim\limits_{x \to a — 0} \) обозначает предел, когда \(x\) приближается к \(a\), принимая значения \(x\) такие, что \(x \ л а\). Соответствующий предел \(\lim\limits_{x \to a — 0} f\left( x \right)\) называется левым пределом \(f\left( x \right)\) в точке \(х = а\).

Аналогично, пусть \(\lim\limits_{x \to a + 0} \) обозначает предел, когда \(x\) приближается к \(a\), принимая значения \(x\) такие, что \( х \gt а\). Соответствующий предел \(\lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right)\) называется правым пределом \(f\left( x \right)\) в \( х = а\).

Обратите внимание, что \(2\)-сторонний предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) существует, только если оба односторонних предела существуют и равны друг другу, то есть \(\lim\limits_{x \to a — 0}f\left( x \right) \) \(= \lim\limits_{x \to a + 0}f\left( x \right) \ ). В данном случае

\[\lim\limits_{x \to a}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a — 0}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \ к a + 0}f\left( x \right). \]

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение. 92} = 4.\]

Пример 1.

Используя определение предела \(\varepsilon-\delta-\), покажите, что \[\lim\limits_{x \to 3} \left( {3x — 2} \right) = 7. \]

Раствор.

Пусть \(\varepsilon \gt 0\) — произвольное положительное число. Выберите \(\delta = {\frac{\varepsilon}{3}}\). Мы видим, что если

\[0 \лт\влево| {х — 3} \право| \lt\дельта,\]

, затем

\[\слева| {f\left( x \right) — L} \right| = \ влево | {\ влево ( {3x — 2} \ вправо) — 7} \ вправо | = \ влево | {3x — 92} — 4} \право| \lt \varepsilon ,\;\; \Стрелка вправо\влево| {х — 2} \право|\лево| {х + 2} \право| \lt \varepsilon ,\;\; \Стрелка вправо\влево| {x — 2} \right|\left( {x + 2} \right) \lt \varepsilon .\]

Поскольку максимальное значение \(х\) равно \(3\) (как мы предполагали выше), мы получаем

\[5\левый| {х — 2} \право| \lt \varepsilon \;\;(\text{if } \left| {x — 2} \right| \lt 1),\;\; \text{или}\;\left| {х — 2} \право| \lt \frac{\varepsilon}{2}.

Тогда для любого \(\varepsilon \gt 0\) мы можем выбрать такое число \(\delta\), что

\[\ delta = \min \left( {\ frac{\varepsilon} {2},1} \right).\]

В результате неравенства в определении предела будут удовлетворены. Таким образом, указанный предел доказан.

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Непрерывность и пределы: определение предела

Предел функции – это значение, к которому функция приближается по мере независимая переменная функции приближается к заданному значению. Уравнение ф ( х ) = t эквивалентно утверждению «Предел f как x переходит в c равно t ». Другой способ сформулировать это уравнение: «Как x приближается к c , значение f произвольно приближается к t ». существенное понятие предела.

Вот некоторые свойства пределов.

х = а

k = k , где k — константа.

x ^б = а ^б

= если a ≥ 0

Вот некоторые свойства операций с пределами. Пусть f ( x ) = C , и

g ( x ) = D .

kf ( x ) = kC , где k — константа.

( f ( x )± г ( x )) = C ± D 910407
6
6
6

f ( x )× г ( x ) = C × D

= , если D ≠ 0

[ f ( x )] ⁿ = C ⁿ

Более формальное определение предела состоит в следующем. f ( x ) = A тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε существует другое положительное число δ такое, что если 0 < | х — и | < ε , тогда | f ( x ) — А | < δ . Это определение в основном гласит, что если A является пределом f поскольку x приближается к a , то в любое время f ( x ) находится в пределах ε единиц значение A , другой интервал ( x — δ , x + δ ) существует такой, что все значения f ( x ) между ( x — δ ) и ( x + δ ) лежат в пределах границ ( А — ε , А + ε ). Более простой способ сказать это так: если вы выберите значение x x ₁, которое очень близко к x = a , всегда существует другое x -значение x ₀ ближе к такое, что f ( x ₀) ближе к f ( a ) чем f ( x ₁ ).

Предел функции можно брать также «слева» и «справа». Такие пределы называются односторонними. Уравнение x âü A ^—] F ( x ) = A Считается: «Предел F ( x ) как x . А ». «Слева» означает от значений менее до — слева относится к левой стороне графика f . Уравнение x — a ⁺] f ( x ) = A означает, что предел определяется путем вычисления значений x , которые приближаются к и , которые больше чем a или справа от a на графике f .

Есть несколько случаев, когда предел функции f при заданном значении x и не существует. Они следующие: 1), если x âü A ^—] F ( x ) ≠ x âü A ⁺] F ( x ). 2) Если f ( x ) неограниченно увеличивается или уменьшается как x приближается к и .