Неопределенные и определенные интегралы.
Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.
№1.8. Вычислить неопределенный интеграл
Решение.
Для вычисления данного интеграла будем использовать формулу интегрирования по частям
Обозначим: , . Тогда
В итоге получим
Ответ:
№2.8. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Используем метод интегрирования по частям:
Обозначим: , . Найдем v
Найдем :
Тогда
Для вычисления интеграла опять применим метод интегрирования по частям
Обозначим: , . Найдем v
Найдем :
Тогда
Тогда исходный интеграл равен
Ответ:
№3.8. Вычислить неопределенный интеграл
Решение.
Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»
, где t = g(x)
В данном случае .
Тогда
Ответ:
№4.8. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Выполним замену переменной , тогда
При x=1
При x= 4
Переходя к новой переменной, получаем
Введем новую переменную . Тогда
При
При
Тогда
Ответ:
№5.8. Найти неопределенный интеграл
Решение.
Разделим числитель на знаменатель , в итоге получим
Представим дробь в виде суммы элементарных дробей
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:
Найдём искомые коэффициенты:
— умножим первую строку на 4 и прибавим к 3-ей
— умножим вторую строку на -2 и прибавим к 3-ей
Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:
Ответ:
№8.
8. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Применяем подстановку , тогда ,
При x=
При x=
Переходя к новой переменной, получаем
Представим дробь в виде суммы элементарных дробей
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:
Найдём искомые коэффициенты:
Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:
Ответ:
№9.8. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Применяем подстановку , тогда
При x= 0
При x=
Переходя к новой переменной, получаем
Представим дробь в виде суммы элементарных дробей
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:
Найдём искомые коэффициенты:
Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:
Ответ:
№10.
8. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Так как , то
Так как , то
Так как , то
Тогда
Ответ:
Неопределенные интегралы
Дифференцирование
в математическом анализе неразрывно
связано с интегрированием. Эти обратные
друг другу действия — две стороны одной
медали. Задача вычисления неопределенного
интеграла обратна задаче нахождения
производной функции. Неопределенный
интеграл имеет также название
первообразной, которое по ряду причин
используется реже. Для вычисления
неопределенных интегралов в среде
MathCAD используется оператор, который
можно легко найти на панели Calculus. Под
знаком интеграла пользователь должен
ввести функцию, для которой он хочет
найти первообразную, а после знака
дифференциала — переменную, по которой
будет производиться интегрирование.
Как видите, и здесь MathCAD верен себе, то
есть дает пользователю возможность
использовать, опять-таки, знакомые по
математическому анализу обозначения
неопределенных интегралов.
Нужно
отметить также, что для неопределенных
интегралов необходимо применять
символьное вычисление выражений, то
есть знак «стрелочки», а не знак
равенства.
Следует, впрочем, помнить, что многие интегралы просто принципиально не выражаются в элементарных функциях. В том случае, если вы подсунули MathCAD’у один из таких весьма распространенных интегралов, ситуация может иметь два различных финала: либо MathCAD успешно проинтегрирует выражение и выдаст результат с использованием каких-либо специальных функций, либо же честно признается, что его такое интегрировать не учили. Во втором случае вы увидите после «стрелочки», стоящей за интегралом, запись вида indef_int(f(x), x). Естественно, вместо f(x) и x будут соответственно стоять подынтегральная функция и та переменная, по которой вы хотели провести интегрирование. Оба возможных варианта продемонстрированы на иллюстрации ниже.
Со
специальными функциями тоже все не так
просто.
В
общем-то, даже в том случае, если MathCAD
поднимает белый флаг при виде
неопределенного интеграла, это не
значит, что его вовсе невозможно вычислить
в элементарных или специальных функциях.
Вполне возможно, что с помощью каких-либо
преобразований вам удастся привести
его к виду, пригодному для решения в
MathCAD. Также имеет смысл поискать решение
в старых печатных справочниках или
«погуглить» в интернете.
Неопределенные
интегралы — это, конечно же, хорошо, но
все же на практике куда как чаще
используются интегралы определенные.
И, думаю, для вас не окажется неожиданностью
тот факт, что MathCAD прекрасно умеет
справляться и с этим видом интегралов.
Определенный интеграл, как вы понимаете,
отличается от неопределенного наличием
пределов интегрирования. Фактически
неопределенный интеграл — это функция
(первообразная подынтегральной функции),
в то время как определенный интеграл —
это просто какое-то число. То есть его
мы можем вычислить не только аналитически,
но и численно, что позволяет нам
рассчитывать значения определенных
интегралов даже тогда, когда первообразная
рассчитана быть не может. Оператор для
расчета определенных интегралов в
MathCAD’е находится на панели Calculus недалеко
от оператора расчета неопределенных
интегралов и отличается от него, как я
уже совсем недавно говорил, наличием
пределов сверху и снизу от символа
интеграла.
Вопрос о том, какой способ вычисления интегралов использовать: численный или аналитический, — не такой надуманный и праздный, как может сначала показаться. Дело в том, что аналитически определенные интегралы вычисляются, во-первых, точнее, а во-вторых, быстрее, нежели численно. Правда, может возникнуть ситуация, аналогичная той, которую вы можете увидеть на иллюстрации выше — то есть символьный процессор не доведет процесс вычислений до конца, а оставит интеграл в виде смеси численных значений и функций.
В
применении системы MathCAD для расчета
определенных интегралов есть немало
тонких моментов, которые не возникали
при расчете интегралов неопределенных.
Особенно это касается численных методов
расчета интегралов.
Эти методы позволяют
рассчитать даже такие интегралы, которые
не поддаются аналитическому вычислению.
Однако за все надо платить, а потому
использование численных методов
интегрирования способно приводить к
значительным погрешностям в результате,
что, сами понимаете, при решении весьма
значительного по своей распространенности
класса задач не просто нежелательно, а
часто даже совершенно недопустимо.
Разница между определенными и неопределенными интегралами
Одним из важнейших разделов математики является исчисление. Исчисление — это способ систематического решения задач, который обычно связан с нахождением свойств или значений функций с помощью интегралов и производных.
Оглавление
1
Определенный и неопределенный интегралы Разница между определенным и неопределенным интегралом заключается в том, что определенный интеграл определяется как интеграл, который имеет верхний и нижний пределы и имеет постоянное значение в качестве решения, с другой стороны, неопределенный интеграл определяется как внутренний, к которому не применяются ограничения, и он дает общее решение проблемы.
Определенный интеграл функции неизвестной переменной представляет собой представление числа, имеющего верхний и нижний пределы. Неопределенный интеграл — это представление семейства функций без ограничений.
Сравнение Таблица| Параметр сравнения | Определенные интегралы | Indefinite Integralles |
|---|---|---|
| Неопределенный интеграл — это интеграл, в котором не применяются ограничения и к интегралу добавляется обязательная произвольная константа. | ||
| Что он представляет | Определенный интеграл представляет собой число, когда его верхний и нижний пределы постоянны. | Неопределенный интеграл — это общее представление семейства различных функций с производными f. |
| Применяемые пределы | Верхний и нижний пределы, применяемые в определенном интеграле, всегда постоянны. | В неопределенном интеграле нет ограничений, так как это общее представление. |
| Полученное решение | Значения или решения, полученные из определенных интегралов, являются постоянными, однако они могут быть как положительными, так и отрицательными. | Решение неопределенного интеграла является общим решением, и к нему добавляется постоянное значение, которое обычно обозначается C. |
| Используется для | Определенный интеграл широко используется в физике и технике. Некоторые из областей использования определенного интеграла включают вычисление значений силы, массы, работы, площадей между кривыми, объемов, длины актов кривых, площадей поверхностей, моментов и центра масс, экспоненциального роста и затухания и т. д. | Неопределенные интегралы используются в таких областях, как бизнес, науки, включая инженерию, экономику и т. д. Они используются в тех областях, где требуется общее решение проблемы. |
Определенный интеграл определяется как представление числа, которое дает постоянный результат. Определенный интеграл всегда имеет верхний предел и нижний предел.
Решение может быть как положительным, так и отрицательным. Решение, полученное из определенного интеграла, всегда лежит в определенной области.
Некоторые области, где используются определенные интегралы, включают расчет работы, силы, массы, площадей, площадей поверхности, площади между кривыми, длины дуг, моментов, центра масс, экспоненциального роста и затухания и т. д.
Что неопределенный интеграл?Неопределенный интеграл определяется как интеграл без ограничений. Неопределенный интеграл — это представление семейства различных функций, имеющих производную f.
Решение, полученное при решении неизвестной функции неопределенного интеграла, является обобщенным решением и, следовательно, в нем также есть переменные.
Площадь решения неопределенного интеграла не указывается.
Неопределенные интегралы используются там, где требуется общее решение задачи. Неопределенные интегралы используются в бизнесе, науке, технике, экономике и т. д.
Основные различия между определенным и неопределенным интегралом- Определенный интеграл можно определить как интеграл, имеющий пределы, с другой стороны, неопределенный интеграл можно определить как интеграл без ограничений.
- Определенный интеграл — это представление числа, когда оно имеет постоянный верхний и нижний пределы, тогда как неопределенный интеграл — это представление общего решения для семейства функций, имеющих производную f.
- https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10652469.2014.1001385
- https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO200931559904911.page
Один запрос?
Я приложил столько усилий, чтобы написать этот пост в блоге, чтобы он был вам полезен.
Это будет очень полезно для меня, если вы подумаете о том, чтобы поделиться им в социальных сетях или со своими друзьями/семьей. SHARING IS ♥️
Эмма Смит
Будучи учителем средней школы, Эмма Смит приобрела достаточный опыт изучения английского как языка и эффективных способов обучения учащихся.
Она преподает уже более десяти лет. У меня есть степень магистра английского языка.
Преподавание английского языка и литературы — моя страсть. У меня также есть интерес к преподаванию права.
Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?
Последняя обновленная дата: 29 декабря 2022 г.
•
Общее количество просмотров: 189,3K
•
Просмотр сегодня: 18,90K
Ответ
Проверено
189,3K+ виды
0123 Подсказка: В определенном интеграле мы знаем, что нам заданы верхний и нижний пределы, поэтому после интегрирования данной функции мы просто получаем число, а с другой стороны при выполнении неопределенного интеграла мы просто интегрируем функцию и добавляем произвольную константу.
Полный пошаговый ответ:
Разница между решением определенного и неопределенного интеграла заключается в том, что в определенном интеграле мы знаем, что нам даны верхний и нижний пределы, поэтому после интегрирования данной функции мы просто получаем число и на с другой стороны, выполняя неопределенный интеграл, мы просто интегрируем функцию и добавляем произвольную константу. Используя начальные условия, мы можем получить значение этой произвольной константы и, следовательно, правильную функцию.
и, следовательно, получить переменные, поэтому мы можем сказать, что это неопределенный интеграл, и без каких-либо заданных условий мы не можем также получить значение произвольной константы. Примечание: Только помните, что нам даны пределы в определенном интеграле. Кроме того, мы должны убедиться, что мы не запутались в том, как поставить пределы, а затем решить это дальше или в неопределенном интеграле, как найти значение произвольной константы, если спросят.
Недавно обновленные страницы
Если ab и c единичные векторы, то влево ab2 вправо+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main
Стержень AB длиной 4 единицы движется горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main
Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main
Что из следующего верно 1 nleft S cup T right класс 10 математика JEE_Main
Какова площадь треугольника с вершинами Aleft класс 11 математика JEE_Main
KCN легко реагирует с образованием цианида с A.