Определенный интеграл примеры: Определённый интеграл и методы его вычисления

Содержание

Определённый интеграл и методы его вычисления

  • Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница
  • Свойства определённого интеграла
  • Определённый интеграл с переменным верхним пределом
  • Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т.

е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

            (38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

                   (39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть

F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение нижнего предела

a и вычисляется разность F(b) — F(a). Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

Для того чтобы потренироваться в нахождении определённых интегралов, потребуется таблица основных неопределённых интегралов и пособие «Действия со степенями и корнями«.

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

получим

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Пример 4. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:


Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

                         (40)

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

и


Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       


Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

            (42)


Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

                  (43)


Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)


Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его

, т.е.

   (45)


Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если



Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)


Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных –

табличные интегралы (7) и (6), получим


Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

                (47)

где

,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

                       (48)

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя

Ф(х), получим

так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

 

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

           (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть

где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т. е.

Тогда

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть

поскольку F(x) – первообразная для f(x).

Итак,

           (50)

Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл

после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

Пример 9. Вычислить определённый интеграл

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

даёт

а

Используя теперь формулу (50), получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Пример 11. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

НазадЛистатьВперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Метод интегрирования по частям

Интегрирование дробей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций

Продолжение темы «Интеграл»

Несобственные интегралы

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

Объём тела вращения с помощью интеграла

Вычисление двойных интегралов

Длина дуги кривой с помощью интеграла

Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Определенный интеграл.

Примеры решений — Мегаобучалка

 

Для того, чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить соответствующие неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того, чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому, если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще не совсем закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом?

Прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой a.

Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой b.

Отрезок [a; b] включает граничные точки и называется отрезком интегрирования.

Что такое определенный интеграл? Можно посмотреть в учебниках про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т. д., но урок носит практический характер. Поэтому скажем, что определенный интеграл – это, прежде всего, самое что ни на есть обычное ЧИСЛО.



Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл?Есть. И очень хороший. Самая популярная задача вычисления определённого интеграла – вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл?Решить определенный интеграл – это значит, найти число, равное приращению первообразной функции на отрезке [a; b].

Как решить определенный интеграл?С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

.

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию F(X) (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле никогда не добавляется.

Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись

?

Это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a).

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F(b)-F(a), то есть, находим число, равное приращению первообразной (от подынтегральной) функции на отрезке [a; b].

Готово.

 

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда существует всё, что мы напишем в виде определённого интеграла. Например, интеграла

не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции и значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными. А вот менее очевидный пример:

.

Такого интеграла тоже не существует на всём отрезке [-2; 3], так как в точках

,

этого отрезка подынтегральная функция f(x) = tg(x) не существует.

Для того, чтобы определенный интеграл существовал на данном отрезке, необходимо, чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. Бывает так, что подолгу мучаешься с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находишь, то ещё и ломаешь голову над вопросом: «что за ерунда получилась?». Например, если получилось примерно так:

???!!!

то нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Если для решения в контрольной работе, на зачете или экзамене Вам предложен несуществующий интеграл вроде

,

то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу?Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?Может, и такая ситуация реально встречается на практике. Интеграл

преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

 

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием

целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

.

В таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

Это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям: .

 

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

.

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы

.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

.

Сначала подставляем в x3 верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

 

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

.

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

 

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

.

Решение:

.

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница.

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряем на третьем слагаемом:

,

т. к. очень часто машинально пишут

.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, так:

.

Здесь устно использованы правила линейности, устно проинтегрированы табличные интегралы. Получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:

(в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию мы сначала подставили 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме. 3}}.$

 

  • Назад
  • Вперёд >>

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

 

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

  • Линейность:

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

  • При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Вычисление определенного интеграла

Репетиторы ❯ Высшая математика ❯ Вычисление определенного интеграла

Автор: Андрей Зварыч

08. 06.2015

Раздел: Высшая математика

Здравствуйте. Меня зовут Андрей Зварыч. Я онлайн-репетитор сайта Tutoronline по высшей математике. Очень часто ко мне обращаются студенты с просьбой помочь разобраться с вычислением определенных интегралов. Сегодня я покажу несколько примеров решения. Надеюсь, моя статья будет полезной.

Итак, если F(x) – одна из первообразных непрерывной функции f(x) на [a,b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = φ(t) непрерывно дифференцирована на отрезке [t1,t2], причем a = φ(t1), b = φ(t2), то имеет место формула

Если функции u(x), v(x) и их производные u'(x), v'(x) непрерывны на отрезке [a,b], то справедлива формула интегрирования по частям

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

 

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей,

 

Решив систему

Получим 

Тогда на основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену ex + 4 = t2, тогда ex= t24, edx = 2dt,  

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

Если у Вас остались вопросы или Вам нужна помощь в решении «ваших интегралов», записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Высшая математика

Высшая математика для студентов экономических и гуманитарных специальностей

Высшая математика

Высшая математика для студентов технических специальностей

Информатика и ИКТ

Курс ЕГЭ по информатике

Немецкий язык

Курсы немецкого языка для начинающих

Итальянский язык

Курсы итальянского языка для начинающих

Английский язык

Разговорный английский

Обществознание

Курсы по обществознанию подготовка к ГИА

Вычисление интегралов онлайн

Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx. 4+tan(x), в качестве пределов интегрирования указываем 1, 2.

Если определить вид интегрирования, подробное решение будет доступно в MS Word:
Интегрирование по частям: ∫xexdx, ∫xcos(x)dx, ∫ln(x2-1)dx, ∫arcsin(4x)dx Примеры
Интегрирование простейших иррациональности вида , Примеры
Интегрирование простейших иррациональности вида
Интегрирование рациональных дробей вида Примеры
Интегрирование тригонометрических функции вида Примеры
Не знаю (по возможности определяется метод решения, например, подведение под знак дифференциала)

Примечание: число «пи» (π) записывается как pi; знак «бесконечность» (∞) ≡ infinity

Примеры правильной записи некоторых выражений

sqrt(6-x)
(6+2*x)^(1/3)
log5(1+x)log(1+x,5)
(2/3+x^2)/(x^3+x)

Таблица интегралов

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции


Производная функции:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление пределов

Способы нахождения неопределенных интегралов:
  1. Подведение под знак дифференциала:
  2. Интегрирование по частям: ∫xexdx
  3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример):
  4. Интегрирование рациональных дробей:
  5. Интегрирование простейших иррациональностей:
  6. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: ∫cos4(x)sin3(x)dx

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле прямоугольников.
см. также Задача интегрирования в конечном виде, Несобственные интегралы

Пример 1. Вычислить ∫(3x+15)17dx.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=

Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .

Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .

Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t2, x=t2+5, dx=2tdt.
Подставив в интеграл, получим

=

Пример 6. Вычислить ∫x2exdx.
Решение.
Положим u=x2, dv=exdx; тогда du=2xdx, v=ex. Применим формулу интегрирования по частям:
∫x2exdx=x2ex-2∫xex.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xex, применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv=exdx; тогда du=dx, v=ex и
∫xex=x2ex-2xex+2ex+C.

Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4), для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2–4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x3: 0=A+C
x2: -5=B+D
x: 0=4A+C
x0: -4=4B+D

Отсюда находим A=C=0, B=1/3, D=-16/3.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:


Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,

Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку tgx/2=t, тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .

Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 11.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому


.

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R. По определению Интеграл сходится.

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2 и прямой x+y=2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x2 и прямой y=2-x. Решая уравнение x2=2-x, находим x1=-2, x2=1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.

Определенные интегралы

Вы можете сначала прочитать Введение в интеграцию!

Интеграция

Интеграцию

можно использовать для поиска площадей, объемов, центральных точек и многих других полезных вещей. Но его часто используют для нахождения области под графиком функции вот так:

 

Область может быть найдена путем добавления срезов, которые приближаются к нулю по ширине :

И есть Правила Интеграции, которые помогут нам получить ответ.

 

Обозначение

Символ «Интеграл» — стильная буква «S» (от «Сумма» — идея суммирования срезов):

После интегрального символа мы помещаем функцию, от которой мы хотим найти интеграл (называемую интегралом).

И затем завершите dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

Определенный интеграл

A Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения: другими словами, существует интервал [a, b].

a и b (называемые пределами, границами или границами) помещаются внизу и вверху буквы «S», например:

 
Определенный Целый
(от a до b )
  Неопределенный Целый
(без конкретных значений)

Мы находим определенный интеграл, вычисляя Неопределенный Интеграл в a и в b , затем вычитая:

Пример: Что такое

Нас просят Определенный интеграл , от 1 до 2, из 2x  dx

Сначала нам нужно найти Неопределенный Интеграл .

Используя правила интегрирования, находим, что ∫2x dx = x 2 + C

Теперь посчитаем, что при 1 и 2:

  • При x=1: ∫2x dx = 1 1 2

    + С
  • При x=2: ∫2x dx = 2 2 + C

Вычесть:

(2 2 + С) — (1 2 + С)

2 2 + С — 1 2 — С — 9 — С

4 00 -9003 +

И «C» аннулируется. .. поэтому с Определенные интегралы мы можем игнорировать C .

Результат:

2x DX = 3

Проверка : С такой простой формой давайте также попробуем расчет области по геометрии:

A = 2+4 2

a = 2+4 2

a = 2+4 2

a = 2+4 2

A = 2+4 2

A = 2+4 1 = 3

Да, его площадь равна 3.

(Ура!)

Обозначение : Обычно неопределенный интеграл (без +C) указывается в квадратных скобках с пределами a и b после, вот так:

Пример (продолжение)

Как показать ответ:

2x dx

= [ x 2 ]

 = 2 2 − 1 2

 = 3

 

Давайте попробуем другой пример:

Пример:

Определенный интеграл от 0,5 до 1,0 от cos(x) dx:

cos(x) dx

(Примечание: x должен быть в радианах) 9 cos(x) dx = sin(x) + C (х) дх

= [ грех (х) ]

  = sin(1) − sin(0,5)

  = 0,841. .. — 0,479…

 = 0,362…

И еще один важный пример:

Пример:

Определенный интеграл от 0 до 1 из sin(x) dx:

sin(x) dx

Неопределенный Интеграл: sin(x) dx = −cos(x) + C

900 , можем ли мы просто вычислить интеграл при x=1 ??

−cos(1) = −0,540…

Что? Это минус ? Но на графике это выглядит положительно.

Ну… мы сделали ошибку !

Поскольку нам нужно вычесть интеграл при x=0 . Мы не должны предполагать, что это ноль.

 

Итак, давайте сделаем это правильно, вычитая одно из другого:

sin(x) dx

= [−cos(x)]

 = −cos(1) − (−cos(0))

 = −0,540… − (−1)

 = 0,460…

Лучше !

Но мы можем иметь отрицательные области , когда кривая ниже оси:

Пример:

Определенный интеграл от 1 до 3 от cos(x) dx:

cos(x) dx

Обратите внимание, что некоторые из них положительные, а некоторые отрицательные.
Определенный интеграл вычисляет чистое значение .

 

Выполним вычисления:

cos(x) dx

= [ грех (х) ]

= sin(3) − sin(1)

 = 0,141… — 0,841…

 = -0,700…

Таким образом, отрицательного больше, чем положительного, с чистым результатом -0,700.. ..

Итак, мы должны помнить одну важную вещь:

f(x) dx  =  (Площадь над осью x) − (Площадь под осью x)

 

Попробуйте интегрировать cos(x) с разными начальными и конечными значениями, чтобы увидеть, как работают положительные и отрицательные значения.

Положительная область

Но иногда мы хотим, чтобы вся площадь рассматривалась как положительная (без вычитания части под осью).

В этом случае мы должны вычислить площади отдельно , как в этом примере:

Пример: Что такое

общая площадь между y = cos(x) и осью x, от x = 1 до x = 3?

Это похоже на пример, который мы только что сделали, но теперь мы ожидаем, что это все положительное (представьте, что нам пришлось его раскрасить).

Итак, теперь мы должны сделать детали по отдельности:

  • Одна для области над осью x
  • Один для области ниже оси x

Кривая пересекает ось x в точке x = π/2, поэтому мы имеем:

От 1 до π/2:

cos(x) dx

= sin(π/2) − sin(1)

= 1 − 0,841…

= 0,158…

От π/2 до 3:

cos(x) dx

= sin(3) − sin(π/2)

 = 0,141… − 1

 = −0,859…

Последнее получается отрицательным, но мы хотим, чтобы оно было положительным, поэтому:

Общая площадь = 0,158… + 0,859… = 1,017

Это сильно отличается от ответа в предыдущем примере.

Непрерывный

О да, функция, которую мы интегрируем, должна быть непрерывной между a и b : без пробелов, скачков или вертикальных асимптот (где функция направлена ​​вверх/вниз до бесконечности).

Пример:

Вертикальная асимптота между a и b влияет на определенный интеграл.

Свойства

Область выше — область ниже

Интеграл добавляет площадь над осью, но вычитает площадь под ней для получения «чистого значения»:

f(x) dx  =  (Площадь над осью x) − (Площадь под осью x)

 

Добавление функций

Интеграл от f+g равен интегралу от f плюс интеграл от g :

f(x) + g(x) dx =

f(x) dx +

g(x) dx  

 

Реверс интервала

Изменение направления интервала на противоположное дает отрицательное значение исходного направления.

f(x) dx = −

f(x) dx

 

Интервал нулевой длины

Когда интервал начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат равен нулю:

f(x) dx = 0

Добавление интервалов

Мы также можем сложить вместе два соседних интервала:

f(x) dx =

f(x) dx +

f(x) dx  

Резюме

Определенный интеграл между a и b — это неопределенный интеграл при b минус неопределенный интеграл при a .

 

6864, 6865, 6866, 6867, 6868, 6869, 6870, 6871, 6872, 6873, 6874

Исчисление I. Вычисление определенных интегралов

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-7: Вычисление определенных интегралов 9b = F\влево( b \вправо) — F\влево( a \вправо)\]

Доказательство см. в разделе «Доказательство различных интегральных свойств» главы «Дополнительно».

Вспомним, что когда мы говорим об антипроизводной функции, мы на самом деле говорим о неопределенном интеграле функции. Итак, чтобы вычислить определенный интеграл, первое, что мы собираемся сделать, это вычислить неопределенный интеграл для функции. Это должно объяснить сходство в обозначениях неопределенного и определенного интегралов.

Также обратите внимание, что мы требуем, чтобы функция была непрерывной на интервале интегрирования. Это также было требованием в определении определенного интеграла. Мы не придавали этому большого значения в предыдущем разделе. Однако в этом разделе нам нужно будет помнить об этом условии, когда мы будем проводить наши оценки.

Теперь давайте обратимся к тому факту, что мы можем использовать любую антипроизводную от \(f\left( x \right)\) в вычислении. В заключение рассмотрим следующий интеграл. 93} + 0 — \frac{{18}}{{31}}} \right)\\ & = \frac{{14}}{3} — \frac{{18}}{{31}} + \ frac{{18}}{{31}}\\ & = \frac{{14}}{3}\end{align*}\]

Константа, которую мы добавили ко второй первообразной, отменяется на шаге оценки. Таким образом, выбирая антипроизводную для использования в процессе оценки, упростите себе жизнь и не беспокойтесь о константе, поскольку в конечном итоге она отменится только в долгосрочной перспективе.

Также обратите внимание, что нам нужно быть очень осторожными со знаками минус и круглыми скобками в этих задачах. Их очень легко поторопить и испортить. 9{ — 2}}\,dy}}\) Показать решение

Напомним из нашего первого примера выше, что все, что нам действительно нужно здесь, это любая антипроизводная подынтегральной функции. Мы только что вычислили самую общую антипроизводную в первой части, так что мы можем использовать ее, если захотим. Однако помните, что, как мы отмечали выше, любые константы, которые мы добавляем, просто отменяются в долгосрочной перспективе, поэтому мы будем использовать ответ из (а) без «+\(с\)». 3} — \ гидроразрыва { 1}{1}} \right)\\ & = \frac{8}{3} — \frac{1}{2} — \frac{1}{3} + 1\\ & = \frac{{17 }}{6}\end{выравнивание*}\]

Помните, что оценка всегда выполняется в порядке оценки по верхнему пределу минус оценка по нижнему пределу. Также будьте очень осторожны со знаками минус и скобками. Их очень легко забыть или неправильно с ними обращаться и получить неверный ответ.

Обратите также внимание, что для облегчения вычислений мы немного переписали неопределенный интеграл. В частности, мы избавились от отрицательного показателя второго члена. Как правило, легче оценить термин с положительными показателями. 9{ — 2}}\,dy}}\) Показать решение

Этот интеграл здесь, чтобы подчеркнуть. Напомним, что для того, чтобы мы могли вычислить интеграл, подынтегральная функция должна быть непрерывной в пределах пределов. В этом случае второй член будет иметь деление на ноль при \(y = 0\), а так как \(y = 0\) находится в интервале интегрирования, , т. не непрерывен на интервале интегрирования, поэтому мы не можем сделать этот интеграл.

Обратите внимание, что эта проблема не помешает нам выполнить интеграл в (b), так как \(y = 0\) не находится в интервале интегрирования.

Итак, что мы узнали из этого примера?

Во-первых, чтобы вычислить определенный интеграл, первое, что нам нужно сделать, это неопределенный интеграл. Итак, мы не собираемся отказываться от неопределенных интегралов, они будут в каждом интеграле, который мы будем делать в оставшейся части этого курса, поэтому убедитесь, что у вас хорошо получается их вычислять.

Во-вторых, нам нужно следить за функциями, которые не являются непрерывными в любой точке между пределами интегрирования. Кроме того, важно отметить, что это будет проблемой только в том случае, если точка (точки) разрыва возникает между пределами интегрирования или в самих пределах. Если точка разрыва находится за пределами интегрирования, интеграл все еще можно вычислить.

В следующих наборах примеров мы не будем уделять слишком много внимания проблемам непрерывности или проблемам отсутствия непрерывности, если только это не повлияет на вычисление интеграла. Не позволяйте этому убедить вас в том, что вам не нужно беспокоиться об этой идее. Он возникает достаточно часто и может вызвать настоящие проблемы, если вы не будете его искать.

Наконец, обратите внимание на разницу между неопределенными и определенными интегралами. Неопределенные интегралы — это функции, а определенные интегралы — это числа. 9{{\pi}/{3}\;}\\ & = — 2\cos \left( {\frac{\pi}{3}} \right) — 5\sin\left({\frac{\pi }{3}} \right) — \left( { — 2\cos 0 — 5\sin 0} \right)\\ & = — 1 — \frac{{5\sqrt 3 }}{2} + 2\ \ & = 1 — \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Сравните этот ответ с предыдущим ответом, особенно с нулевой оценкой. Очень легко выработать привычку просто записывать ноль при оценке функции в нуле. Это особенно проблематично, когда многие функции, которые мы интегрируем, включают только \(x\), возведенные в положительные целые числа; эти оценки равны нулю, конечно. После вычисления многих из этих видов определенных интегралов легко выработать привычку просто записывать ноль, когда вы вычисляете ноль. Однако существует множество функций, которые не равны нулю при нулевом вычислении, поэтому будьте осторожны. 9{\,{\pi}/{4}\;}\\ & = 5\влево({\frac{\pi}{4}} \вправо) — 2\сек \влево({\frac{\pi} {4}} \right) — \left( {5\left( {\frac{\pi }{6}} \right) — 2\sec \left( {\frac{\pi }{6}} \right )} \right)\\ & = \frac{{5\pi}}{{12}} — 2\sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 3 }}\end{align*}\]

Для оценки напомню, что

\[\ сек г = \ гидроразрыва {1} {{\ соз г}} \]

и поэтому, если мы можем вычислить косинус при этих углах, мы можем вычислить секанс при этих углах. 96} — 10t + \frac{1}{t}\;dt}}\) Показать решение

Этот интеграл не может быть выполнен. В третьем слагаемом при \(t = 0\) есть деление на ноль, а \(t = 0\) лежит в интервале интегрирования. Тот факт, что первые два члена могут быть интегрированы, не имеет значения. Если даже одно слагаемое в интеграле нельзя проинтегрировать, то и весь интеграл не может быть проинтегрирован. {22}\\ & = 132 — 60\\ & = 72\end{align*}\] 9{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) Показать решение

В этой части \(x = 1\) находится между пределами интегрирования. Это означает, что подынтегральное выражение больше не является непрерывным в интервале интегрирования, и, насколько нам известно, это является препятствием для шоу. Как отмечалось выше, мы просто не можем интегрировать функции, не являющиеся непрерывными на интервале интегрирования.

Кроме того, даже если бы функция была непрерывной в точке \(x = 1\), у нас все еще была бы проблема, заключающаяся в том, что функция на самом деле представляет собой два разных уравнения, зависящих от того, где мы находимся в интервале интегрирования.

Давайте сначала рассмотрим проблему не непрерывности функции в точке \(x = 1\). Как мы увидим, в этом случае, если мы сможем найти способ обойти эту проблему, вторая проблема также будет решена одновременно.

В предыдущих примерах, где у нас были функции, которые не были непрерывными, у нас было деление на ноль, и как бы мы ни старались, мы не можем избавиться от этой проблемы. 3\\ & = 1 — \left( { — 8} \right) + \left( {18 — 6} \right)\\ & = 21\end{align*}\] 9{3}{{\влево| {3т — 5} \право|\,дт}}\]

Показать решение

Напомним, что смысл бесконечного интегрирования (которое нам нужно будет сделать в этой задаче) состоит в том, чтобы определить, какую функцию мы продифференцировали, чтобы получить подынтегральное выражение. На данный момент мы не видели ни одной функции, которая будет дифференцироваться, чтобы получить абсолютное значение, и мы никогда не увидим функцию, которая будет дифференцироваться, чтобы получить абсолютное значение.

Единственный способ решить эту проблему — избавиться от абсолютного значения. Для этого нам нужно вспомнить определение абсолютной величины.

\[\слева| х \ справа | = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{{\mbox{if}}x \ge 0}\\{ — x}&{{\mbox{if}}x < 0}\end{массив}} \right.\]

Как только мы вспомним, что мы можем определить абсолютное значение как кусочную функцию, мы можем использовать работу из примера 4 в качестве руководства для вычисления этого интеграла.

Что нам нужно сделать, так это определить, где величина внутри столбцов абсолютного значения является отрицательной, а где положительной. Это выглядит так, если \(t > \frac{5}{3}\) количество внутри абсолютного значения положительно, а если \(t < \frac{5}{3}\) количество внутри абсолютного значения отрицательно . 9{{\,3}}{{\влево| {3т - 5} \право|\,дт}}\]

Теперь в первом интеграле имеем \(t < \frac{5}{3}\) и, следовательно, \(3t - 5 < 0\) на этом интервале интегрирования. Это означает, что мы можем отбросить столбцы абсолютных значений, если поставим знак минус. Точно так же во втором интеграле мы имеем \(t > \frac{5}{3}\), что означает, что на этом интервале интегрирования мы имеем \(3t — 5 > 0\), и поэтому мы можем просто отбросить абсолютное значение бары в этом интеграле.

После того, как мы избавились от полос абсолютного значения в каждом интеграле, мы можем сделать каждый интеграл. Итак, выполнение интегрирования дает 92} — 5\left( {\frac{5}{3}} \right)} \right)} \right)\\ & = \frac{{25}}{6} + \frac{8}{3}\\ & = \frac{{41}}{6}\end{align*}\]

Интеграция функций абсолютного значения не так уж и плоха. Это немного больше работы, чем «стандартный» определенный интеграл, но на самом деле это не так уж много работы. Во-первых, определите, где величина внутри столбцов абсолютного значения является отрицательной, а где положительной. Когда мы определили эту точку, все, что нам нужно сделать, это разбить интеграл так, чтобы в каждом диапазоне пределов величина внутри столбцов абсолютного значения всегда была положительной или всегда отрицательной. Как только это будет сделано, мы можем отбросить столбцы абсолютных значений (добавляя отрицательные знаки, когда величина отрицательна), а затем мы можем выполнить интеграл, как мы всегда делали. 95} + \sin \left( x \right)\,dx}} = \cos \left( {10} \right) — \cos \left( 9 \right) — \frac{{468559}}{6} = — 78093.09461\]

Мораль здесь заключается в том, чтобы быть осторожным и не злоупотреблять этими фактами.

Определенные интегралы

Определенный интеграл функции тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом функции. Основное отличие состоит в том, что неопределенный интеграл, если он существует, является действительным числовым значением, тогда как последние два представляют собой бесконечное число функций, отличающихся только константой. Соотношение между этими понятиями будет обсуждаться в разделе, посвященном основной теореме исчисления, и вы увидите, что определенный интеграл найдет применение во многих задачах исчисления.

Определение определенных интегралов

Развитие определения определенного интеграла начинается с функции f ( x ), которая непрерывна на отрезке [ a, b ]. Данный интервал разбивается на « n » подинтервалов, которые, хотя и не являются необходимыми, могут быть взяты равными по длине (Δ х ). Произвольное значение домена, x i , выбирается в каждом подинтервале, а его последующее значение функции, f ( x i ), определяется. Произведение каждого значения функции, умноженное на длину соответствующего подинтервала, определяется, и эти произведения « n » складываются для определения их суммы. Эта сумма называется суммой Римана и может быть положительной, отрицательной или нулевой, в зависимости от поведения функции на замкнутом интервале. Например, если f ( x ) > 0 на [ a, b ], то сумма Римана будет положительным действительным числом. Если f ( x ) < 0 на [ a, b ], тогда сумма Римана будет отрицательным действительным числом. Сумма Римана функции f ( x ) на [ a, b ] выражается как

 

Таким образом, сумму Римана можно рассматривать как «сумму n произведений».

Пример 1: Оцените сумму Римана для f ( x ) = x 2 на [1,3], используя четыре подинтервала равной длины, где x i — правая конечная точка в i -м подынтервале (см. рисунок ).

Рисунок 1 Сумма Римана с четырьмя подынтервалами.

Поскольку подынтервалы должны быть одинаковой длины, вы обнаружите, что

 

Сумма Римана для четырех подинтервалов равна

.

 

Если количество подынтервалов многократно увеличивать, эффект будет заключаться в том, что длина каждого подынтервала будет становиться все меньше и меньше. Это можно переформулировать следующим образом: если количество подынтервалов неограниченно возрастает ( n → + ∞), то длина каждого подинтервала стремится к нулю (Δ x → + ∞). Этот предел суммы Римана, если он существует, используется для определения определенного интеграла функции на [ a, b ]. Если f ( x ) определено на замкнутом интервале [ a, b ], то определенный интеграл от f ( x ) от a до b 9017 определяется как

, если этот предел превышен.

Функция f ( x ) называется подынтегральной функцией, а переменная x — переменной интегрирования. Числа a и b называются пределами интегрирования, при этом числа a называются нижним пределом интегрирования, а b — верхним пределом интегрирования.

Обратите внимание, что символ ∫, используемый с неопределенным интегралом, является тем же символом, который ранее использовался для неопределенного интеграла функции. Причина этого станет более очевидной при последующем обсуждении основной теоремы исчисления. Кроме того, имейте в виду, что определенный интеграл является уникальным действительным числом и не представляет собой бесконечное число функций, являющихся результатом неопределенного интеграла функции.

Вопрос о существовании предела суммы Римана важен для рассмотрения, поскольку он определяет, существует ли определенный интеграл для функции на отрезке. Как и в случае дифференцирования, между непрерывностью и интегрированием существует значительная взаимосвязь, которая резюмируется следующим образом: если функция f ( x ) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ], то определенный интеграл от f ( x ) на [ а, б ] существует, и говорят, что f интегрируемо на [ a, b ]. Другими словами, непрерывность гарантирует существование определенного интеграла, но не обязательно обратное.

К сожалению, тот факт, что определенный интеграл функции существует на отрезке, не означает, что значение определенного интеграла легко найти.

Свойства определенных интегралов

Некоторые свойства полезны при решении задач, требующих применения определенного интеграла. Некоторые из наиболее распространенных свойств:

1. 

2. 

3. , где c — константа

4. 

5. Правило суммы:

6. Правило различия:

7. Если

8. Если

9. Если

10. Если a, b, и c — любые три точки на отрезке, то

 

11. Теорема о среднем значении для определенных интегралов: если f ( x ) непрерывно на отрезке [ a, b ], то в открытом интервале ( a , b ) существует по крайней мере одно число c такое, что

 

Значение f ( c ) называется средним или средним значением функции f ( x ) на интервале [ a, b ] и

 

Пример 2: Оценка

 

Пример 3: Учитывая, что

Пример 4: Учитывая, что

Пример 5 Оценка  

Пример 6: Учитывая, что вычислить  

Пример 7: Учитывая, что вычислить .

Пример 8: Учитывая, что , оценить .

 

Пример 9: Учитывая, что найти все c значений, которые удовлетворяют теореме о среднем значении для данной функции на замкнутом интервале.

По теореме о среднем значении

 

Поскольку находится в интервале (3,6), заключение теоремы о среднем значении выполняется для этого значения c .

Основная теорема исчисления

Основная теорема исчисления устанавливает связь между неопределенными и определенными интегралами и вводит метод вычисления определенных интегралов без использования сумм Римана, что очень важно, поскольку вычисление предела суммы Римана может быть чрезвычайно трудоемким и сложным. Утверждение теоремы таково: если f ( x ) непрерывно на отрезке [ a, b ], а F ( x ) является любой первообразной f ( x ) на [ x ) на [ a, b a, b 0] , затем

Другими словами, значение определенного интеграла функции на [ a, b ] представляет собой разность любой первообразной функции, вычисленной на верхнем пределе интегрирования, за вычетом той же первообразной, вычисленной на нижнем пределе интегрирования. Поскольку константы интегрирования одинаковы для обеих частей этой разности, они игнорируются при вычислении определенного интеграла, поскольку они вычитаются и дают нуль. Имея это в виду, выберите постоянную интегрирования равной нулю для всех определенных интегральных вычислений после примера 10.

Пример 10: Оценка

Поскольку общая первообразная x 2 равна (1/3)x 3 + C , вы обнаружите, что

Пример 11: Оценка

Поскольку первообразная sin x равна – cos x , вы обнаружите, что

 

Пример 12: Оценка

(Потому что , (производная от , и вы обнаружите, что

Пример 13: Оценка

Поскольку первообразная x 2 − 4 x + 1 равна (1/3) x 3 — 2 x 2 + 9016, вы находите, что

Определенная интегральная оценка

Многочисленные методы, которые можно использовать для вычисления неопределенных интегралов, также можно использовать для вычисления определенных интегралов. Приемы подстановки и замены переменных, интегрирования по частям, тригонометрических интегралов и тригонометрической подстановки иллюстрируются следующими примерами.

Пример 14: Оценка

Использование метода замены с

 

пределы интегрирования могут быть преобразованы из значений x в соответствующие им значения u . Когда х = 1, х = 3 и когда х = 2, х = 6, вы найдете, что

Обратите внимание, что при использовании метода подстановки для вычисления определенных интегралов нет необходимости возвращаться к исходной переменной, если пределы интегрирования преобразуются в новые значения переменных.

Пример 15: Оценка

Используя метод подстановки с u = sin x + 1, du = cos x dx , вы находите, что u = 1, когда x = 6 π 90 и

9 u

0 = 19 0 90
= 3π/2; следовательно,

Обратите внимание, что вам никогда не приходилось возвращаться к тригонометрическим функциям в исходном интеграле для вычисления определенного интеграла.

Пример 16: Оценка

Использование интеграции по частям с

  

вы обнаружите, что

Пример 17: Оценка

Использование интеграции по частям с

 

Пример 18: Оценка  

Пример 19: Вычислить .

 

Пример 20: Вычислить .

Поскольку подынтегральная функция имеет вид a 2 + х 2 ,

   

Рисунок 2 Схема для примера 20.

Пример 21: Оценка

Поскольку радикал имеет форму

 

Рисунок 3 Схема для примера 21.

Определенный интеграл — формула, свойства, примеры

Определенный интеграл помогает найти площадь кривой на графике. Он имеет пределы, которые являются начальной и конечной точками, в пределах которых рассчитывается площадь под кривой. b_af(x)dx\). Интегрирование представляет собой сумму площадей, и для нахождения площади в определенных пределах используются определенные интегралы.

Изучение интегрирования началось в третьем веке до нашей эры с его использования для нахождения площади кругов, параболы, эллипса. Давайте узнаем больше об определенных интегралах и свойствах определенных интегралов.

9b_af(x)dx\), где a — нижний предел, а b — верхний предел для функции f(x), определенной относительно оси x. Чтобы найти площадь под кривой между двумя пределами, мы делим площадь на прямоугольники и суммируем их. Чем больше прямоугольников, тем точнее площадь. Итак, мы делим площадь на бесконечное количество прямоугольников одинакового (очень маленького) размера и складываем все площади. Это фундаментальная теория, которая лежит в основе определенных интегралов.

92dx\) = (1 3 /3 + С) — (0 3 /3 + С) = 1/3.

Постоянная интегрирования C всегда отменяется при применении пределов. Поэтому мы всегда игнорируем C при вычислении определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла

Определенные интегральные свойства помогают найти интеграл для функции, умноженной на константу, для суммы функций, а также для четных и нечетных функций. Проверим следующие свойства определенных интегралов, которые помогают решать задачи об определенных интегралах. 9a_{-a}f(x).dx = 0\), если f(x) — нечетная функция (т. е. f(-x) = -f(x)).

Применение определенного интеграла

Определенные интегралы в основном используются для нахождения площадей плоских фигур, таких как окружности, параболы, эллипсы. Проверим подробно применение определенных интегралов для нахождения площадей каждой из этих фигур.

Площадь круга с помощью определенного интеграла

Площадь круга рассчитывается путем вычисления площади части круга в первом квадранте. Здесь уравнение окружности x 2 + y 2 = a 2 заменяется уравнением кривой вида y = √(a 2 — x 2 ). Здесь мы используем понятие определенного интеграла, чтобы найти уравнение кривой относительно оси x и пределы от 0 до a.

Площадь круга в четыре раза больше площади квадранта круга. Площадь квадранта вычисляется путем интегрирования уравнения кривой через пределы в первом квадранте.

9а_0\)

= 4[((а/2)×0 + (а 2 /2)sin -1 1) — 0]

= 4(а 2 /2)(π/ 2)

= πa 2

Следовательно, площадь круга равна πa 2 квадратных единиц.

Площадь параболы с использованием определенного интеграла

Парабола имеет ось, которая делит параболу на две симметричные части. Здесь мы берем параболу, симметричную относительно оси x и имеющую уравнение y 2 = 4ax. Это можно преобразовать как y = √(4ax). Сначала найдем площадь параболы в первом квадранте, используя формулы определенного интеграла относительно оси абсцисс и в пределах от 0 до а. Здесь определенный интеграл вычисляется внутри границы и удваивается, чтобы получить площадь под всей параболой. Вывод площади параболы следующий. 92}{3}\) квадратных единиц.

Площадь эллипса с использованием определенного интеграла

Уравнение эллипса с большой осью длины 2a и малой осью 2b: 1. Это уравнение можно преобразовать в виде y = b/a .√(a 2 — x 2 ). Здесь мы используем понятие определенного интеграла для вычисления площади, ограниченной эллипсом по первой координате и относительно оси x. Далее его умножают на 4, чтобы получить площадь эллипса. Граничные пределы, взятые по оси абсцисс, составляют от 0 до а. Вычисления площади эллипса следующие. 92}{2}.\frac{\pi}{2}\\&=\pi ab\end{align}\)

Следовательно, площадь эллипса равна πab кв.

☛  Связанные темы:

Следующие темы помогут лучше понять определенный интеграл.

  • Применение интегралов
  • Калькулятор определенных интегралов
  • Калькулятор антипроизводных

 

Примеры определенных интегралов

  1. Пример 1: 9{3} f(x) \cdot d x\) = 75

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Определенные интегральные задачи для практики

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по Definite Integral

9b _a f(a + b — x).dx \)

Как вычислить определенный интеграл?

Чтобы вычислить определенный интеграл:

  • Вычислить неопределенный интеграл (т. е. без ограничений)
  • Подставьте верхний предел, а затем нижний предел в ответе предыдущего шага.
  • Вычесть оба результата по порядку.

Как вычислить определенные интегралы от четных функций?

Определенные интегралы четной функции также следуют тому же процессу, что и любая другая функция. Далее, у нас есть следующая конкретная формула для нахождения определенного интеграла четных функций. 9Ь_а = Ь — а\).

Что такое определенный интеграл и неопределенный интеграл?

1. Что такое определенный интеграл?
2. Определенная интегральная формула
3. Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл Неопределенный интеграл
Определенные интегралы определяются для интегралов с пределами. Неопределенные интегралы не имеют пределов.
Ответ определенного интеграла представляет собой простое числовое значение. Для неопределенного интеграла результирующий ответ в основном является выражением.
Не будет константы интегрирования ‘C’. Мы всегда используем константу интегрирования ‘C’ в ответе.

Все формулы неопределенных интегралов можно использовать с определенными интегралами вместе с применением ограничений к формуле.

Каково практическое применение определенного интеграла?

Определенные интегралы можно использовать для нахождения площади кривых, таких как круг, эллипс, парабола. В основном формулы интегрирования используются для нахождения площади неправильных форм. В определенных интегралах площадь небольшого пространства вычисляется путем применения ограничений, а затем манипулируется, чтобы найти площадь всего пространства. Площадь круга рассчитывается путем его интегрирования по оси x в первом квадранте с ограничениями от начала координат до его радиуса, а затем умножается на 4, чтобы получить площадь всего круга.

Определенные интегралы — Расчет 2

Определенные интегралы — Расчет 2

—>

  • Войти
  • Биографии репетитора
  • Подготовка к тесту
    СРЕДНЯЯ ШКОЛА
    • ACT Репетиторство
    • SAT Репетиторство
    • Репетиторство PSAT
    • ASPIRE Репетиторство
    • ШСАТ Репетиторство
    • Репетиторство STAAR
    ВЫСШАЯ ШКОЛА
    • Репетиторство MCAT
    • Репетиторство GRE
    • Репетиторство по LSAT
    • Репетиторство по GMAT
    К-8
    • Репетиторство AIMS
    • Репетиторство по HSPT
    • Репетиторство ISEE
    • Репетиторство по ИСАТ
    • Репетиторство по SSAT
    • Репетиторство STAAR
    Поиск 50+ тестов
  • Академическое обучение
    репетиторство по математике
    • Алгебра
    • Исчисление
    • Элементарная математика
    • Геометрия
    • Предварительное исчисление
    • Статистика
    • Тригонометрия
    репетиторство по естественным наукам
    • Анатомия
    • Биология
    • Химия
    • Физика
    • Физиология
    иностранные языки
    • французский
    • немецкий
    • Латинский
    • Китайский мандарин
    • Испанский
    начальное обучение
    • Чтение
    • Акустика
    • Элементарная математика
    прочее
    • Бухгалтерия
    • Информатика
    • Экономика
    • Английский
    • Финансы
    • История
    • Письмо
    • Лето
    Поиск по 350+ темам
  • О
    • Обзор видео
    • Процесс выбора наставника
    • Онлайн-репетиторство
    • Мобильное обучение
    • Мгновенное обучение
    • Как мы работаем
    • Наша гарантия
    • Влияние репетиторства
    • Обзоры и отзывы
    • Освещение в СМИ
    • О преподавателях университета

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все ресурсы исчисления 2

9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 25 26 Следующая →

Исчисление 2 Помощь » Интегралы » Нахождение интегралов » Определенные интегралы

Оценка:  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Определенный интеграл может быть проинтегрирован как есть:

Оцените границы. Будьте в курсе изменений знака.

Отчет о ошибке

Оценка:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Будьте осторожны, мы интегрируем по y, а не по x. Это означает, что само подынтегральное выражение рассматривается как константа.

Поскольку у нас есть только константа, интегрирование означает увеличение значения переменной y. Таким образом, мы получаем следующее:

.

Отсюда мы подключаем наши границы. Мы берем значение функции верхней границы и вычитаем значение функции нижней границы.

Сообщить об ошибке

Вычислите следующий определенный интеграл.

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы помочь нам вычислить интеграл, мы можем разделить выражение на 3 части:

.

Это позволяет вычислить интеграл каждой из трех частей, просуммировать их, а затем оценить суммированные части от 0 до 1.

Первый интеграл .

Второй интеграл равен .

Третий интеграл равен .

Сумма всех этих терминов в оценке между 0 и 1.

Отчет о ошибке

Оцените следующий интеграл:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

. Правильный ответ:

. Объяснение:

Общее выражение для интеграла синусоидальной функции:

Используя это, интеграл выше сейчас становится,

, который упрощает до

Отчет о ошибке

Оцените следующий интеграл:

Возможные ответы:

.

Пояснение:

Чтобы проинтегрировать, мы должны сначала сделать следующую подстановку:

Производная была найдена по следующим правилам:

Теперь перепишите данный интеграл, измените границы в терминах  (подставив верхнюю и нижнюю границы в уравнение для  в терминах ) и проинтегрируйте:

Интеграл был выполнен с использованием следующего правило:

Чтобы выполнить точное интегрирование, просто подставьте верхний предел интегрирования и вычтите из результата подстановки нижний предел интегрирования, как показано выше. Упрощая результат, получаем

 

 

Сообщить об ошибке

Вычислить значение определенного интеграла.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы вычислить определенный интеграл, мы применяем правило обратной степени, которое гласит

Применяя это к задаче в этом вопросе почленно, мы получаем

И по следствию основной теоремы исчисления определенный интеграл принимает вид

Итак,

Сообщить об ошибке

Вычислите значение определенного интеграла.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы вычислить определенный интеграл, мы применяем правило обратной степени, которое гласит:

Применить это к проблеме в этом вопросе. Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Интеграл можно переписать как:

Интегрирование константы — это просто произведение константы на переменную, по которой она интегрируется. Подставьте верхнюю границу и вычтите после замены нижней границы.

Нет необходимости добавлять член в конце, когда мы имеем дело с определенными интегралами.

Ответ:

Сообщить об ошибке Объяснение:

Интегрируйте каждый термин.

Подставьте верхнюю границу и вычтите количество после подстановки нижней границы.

Правая часть уравнения примет следующий вид:

Приведите все дроби к наименьшему общему знаменателю.

Упростите условия.

Ответ:

Отчет о ошибке

Решите интеграл:

Возможные ответы:

Нет из шокирования.

Правильный ответ:

Объяснение:

Необходимо выбрать, какой термин  или .

, перенесите производную, чтобы получить

, интегрируйте, чтобы снова получить

Plug в части в уравнение:

снова интегрируется, в то время как границы дают:

Отчет о ошибке

← Предыдущий 1 0002

2 3 4 5 6 7 8 9 … 25 26 Далее →

Уведомление об авторских правах

Просмотр исчисления 2 Репетиторы

Карсон
Сертифицированный преподаватель

Университет Бэйлор, бакалавр искусств, русский язык.

View Calculus 2 Репетиторы

Родриго
Сертифицированный репетитор

Калифорнийский университет в Дэвисе, бакалавр наук, прикладная математика.

View Calculus 2 Репетитора

Чарли
Сертифицированный репетитор

Манхэттенский колледж, бакалавр электротехники.

Все ресурсы исчисления 2

9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

4.4: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • ID страницы
    13794
  • Эта страница является черновиком и находится в активной разработке. 9∗_i)Δx.\]

    Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \(f(x)\) было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

    Определение и обозначения

    Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \(f(x)\) и определяем определенный интеграл следующим образом. Определение 9∗_i)Δx,\]

    при условии существования предела. Если этот предел существует, то функция \(f(x)\) называется интегрируемой на [a,b] или является интегрируемой функцией.

    Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы встречали похожие обозначения в главе о применении производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без a и b сверху и снизу) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

    Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала \([a,b].\) Числа a и b являются значениями x и называются пределами интегрирования ; в частности, a — это нижний предел, а b — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем предел слова двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при \(n→∞.\). Во-вторых, границы области называются 9∗_i)∆x\) существует и единственна. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

    Непрерывные функции интегрируемы

    Если \(f(x)\) непрерывна на \([a,b]\), то f интегрируема на \([a,b].\)

    Функции которые не непрерывны на \([a,b]\), все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемы функции с конечным числом скачков на отрезке.

    Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 92dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Решение

    Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \(a=0\) и \(b=2\). Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет правильным разбиением \([0,2].\) Тогда

    \[Δx=\ dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}.\]

    Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции в точке правый конец интервала \([x_{i−1},x_i].\) Правый конец интервала равен \(x_i\), и, поскольку P является обычным разделом, 93_0(2x−1)dx\).

    Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из Примера.

    Ответить

    \(6\)

    Вычисление определенных интегралов

    Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси x.

    Пример \(\PageIndex{2}\): использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов 94_2(2x+3)dx\).

    Подсказка

    Построить график функции \(f(x)\) и вычислить площадь под функцией на интервале \([2,4].\)

    Ответить

    18 квадратных блоков

    Площадь и определенный интеграл

    Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности \(f(x)\). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \(f(x)\) отрицательно? 9∗_i)Δx=\]

    (Площадь прямоугольников над осью x) − (Площадь прямоугольников под осью x)

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): Для частично отрицательной функции сумма Римана — это площадь прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x.

    Принимая предел как \(n→∞,\), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x за вычетом площади между кривой под осью x и осью x, как показано на рисунке. Затем 9nf(c_i)Δx=A_1−A_2.\]

    Величина \(A_1−A_2\) называется чистой областью со знаком .

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): В пределе определенный интеграл равен площади A1 за вычетом площади A2 или чистой площади со знаком.

    Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью x больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью x больше, чистая площадь со знаком отрицательна. Если площади выше и ниже оси x равны, чистая площадь со знаком равна нулю.

    Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение чистой площади со знаком

    Найти чистую площадь со знаком между кривой функции \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \ ([−3,3].\)

    Решение

    Функция создает прямую линию, образующую два треугольника: один из \(x=−3\) в \(x=0\), а другой из \(x=0\) до \(x=3\) (рисунок). Используя геометрическую формулу площади треугольника \(A=\dfrac{1}{2}bh\), площадь треугольника A1 над осью равна 93_{−3}2xdx=A_1−A_2=9−9=0.\)

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): Площадь над кривой и под осью x равна площади под кривой и над ней ось х.

    Анализ

    Если A1 — это площадь выше оси X, а A2 — площадь ниже оси X, то чистая площадь равна \(A_1−A_2\). Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Найдите чистую площадь со знаком \(f(x)=x−2\) на интервале \([0,6]\), показанном на следующем рисунке. .

    Подсказка

    Используйте метод решения, описанный в примере.

    Ответить

    6

    Общая площадь

    Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \(v(t)\) представляет собой скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости. 92_075dt=150\).

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): площадь под кривой \(v(t)=75\) показывает, насколько далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

    В контексте смещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок). Опять же, используя интегральное обозначение, мы имеем 95_2−40\,dt=120−120=0.\]

    В этом случае смещение равно нулю.

    Рисунок \(\PageIndex{6}\): Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

    Предположим, мы хотим узнать, какое расстояние проезжает машина независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью x, независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется общей площадью .

    Графически проще всего вычислить общую площадь путем сложения площадей над осью и площадей под осью (вместо вычитания площадей под осью, как мы сделали с чистой площадью со знаком). Чтобы выполнить это математически, мы используем функцию абсолютного значения. Таким образом, общий путь, пройденный автомобилем, равен 95_240dt=120+120=240.\]

    Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

    Определение: чистая площадь со знаком

    Пусть \(f(x)\) — интегрируемая функция, определенная на интервале \([a,b]\). Пусть \(A_1\) представляет собой площадь между \(f(x)\) и осью x, лежащей над осью, а \(A_2\) представляет площадь между \(f(x)\) и x -ось, лежащая ниже оси. Затем 90 169 чистая область со знаком 90 170 между \(f(x)\) и осью x определяется как 9b_a|f(x)|dx=A_1+A_2.\]

    Пример \(\PageIndex{4}\): Нахождение общей площади

    Найти общую площадь между \(f(x)=x−2\ ) и ось x на интервале \([0,6]. \)

    Решение

    Вычислить точку пересечения по оси x как \((2,0)\) (установить \(y=0,\ ) найти х). Чтобы найти общую площадь, возьмите площадь под осью x на подинтервале \([0,2]\) и добавьте ее к площади над осью x на подинтервале \([2,6]\) ( Фигура).

    Рисунок \(\PageIndex{7}\): Общая площадь между линией и осью x над \([0,6]\) равна \(A_2\) плюс \(A_1\). 96_0|(x−2)|dx=A_2+A_1.\)

    Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем

    \(A_2=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac {1}{2}⋅2⋅2=2\)

    \(A_1=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}⋅4⋅4=8\).

    Общая площадь равна

    \(A_1+A_2=8+2=10\).

    Упражнение \(\PageIndex{4}\)

    Найдите общую площадь между функцией \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \([−3,3].\)

    Подсказка

    Просмотрите стратегию решения в Примере.

    Ответить

    \(18\)

    Свойства определенного интеграла

    Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

    92_1f(x)dx.\)

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из Примера и правило о свойствах определенных интегралов.

    Ответить

    \(−7\)

    Сравнительные свойства интегралов

    Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция \(f(x)\) выше другой функции \(g(x)\), то площадь между \(f(x)\) и осью x больше, чем площадь между \(g(x)\) и осью x. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны как \(ab\). Однако следующие свойства относятся только к случаю \(a≤b\) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}\) и \(g(x)=\sqrt{1+x}\) на интервале \([0,1]\).

    Решение

    Построение графика этих функций необходимо для понимания того, как они сравниваются на интервале \([0,1].\) Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе \(f(x)\) кажется выше \(g(x)\) всюду. Однако на интервале \([0,1]\) графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \([0,1],g(x)\) выше \(f(x)\). Две функции пересекаются в точках \(x=0\) и \(x=1\) (рисунок). 91_0f(x)dx\) (рисунок). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале \([0,1].\)

    Рисунок \(\PageIndex{9}\): (a) График показывает, что на интервале \([0,1],g(x)≥f(x),\), где равенство имеет место только на концах интервала. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

    Среднее значение функции

    Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, средней оценки за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89., 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка — это среднее значение результатов тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все баллы и разделив их на количество баллов. В этом случае имеется шесть тестовых баллов. Таким образом,

    \[\dfrac{89+90+56+78+100+69}{6}=\dfrac{482}{6}≈80,33.\]

    Таким образом, ваш средний балл за тест составляет примерно 80,33, что переводится как B- в большинстве школ.

    Предположим, однако, что у нас есть функция \(v(t)\), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени t, и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \(v(t)\) принимает бесконечное число значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции. 9b_af(x)dx.\]

    Пример \(\PageIndex{8}\): нахождение среднего значения линейной функции

    Найдите среднее значение \(f(x)=x+1\) по интервал \([0,5].\)

    Решение

    Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке.

    Рисунок \(\PageIndex{10}\): На графике показана площадь под функцией \((x)=x+1\) над \([0,5].\)

    Область представляет собой трапецию, лежащую на его сторона, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \(A=\dfrac{1}{2}h(a+b),\), где h представляет высоту, а a и b представляют две параллельные стороны. Затем 95_0x+1dx=\dfrac{1}{5}⋅\dfrac{35}{2}=\dfrac{7}{2}\).

    Упражнение \(\PageIndex{7}\)

    Найдите среднее значение \(f(x)=6−2x\) на интервале \([0,3].\)

    Подсказка

    Используйте формулу среднего значения и используйте геометрию для вычисления интеграла.

    Ответить

    3

    Основные понятия

    • Определенный интеграл можно использовать для расчета чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью x за вычетом площади под осью x. Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
    • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
    • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
    • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
    • Площадь под кривой многих функций можно вычислить с помощью геометрических формул. 9b_cf(x)dx\)

      Глоссарий

      среднее значение функции
      (или \(f_{ave})\) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала
      определенный интеграл
      первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью x на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
      интегрируемая функция
      функция интегрируема, если предел, определяющий интеграл, существует; другими словами, если предел сумм Римана, когда n уходит в бесконечность, существует
      подынтегральная функция
      функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию
      пределы интегрирования
      эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому функция должна интегрироваться
      чистая область со знаком
      область между функцией и осью x , так что площадь ниже оси x вычитается из площади над осью x ; результат такой же, как определенный интеграл функции
      общая площадь
      Общая площадь между функцией и осью x рассчитывается путем сложения площади над осью x и площади под x -ось; результат такой же, как определенный интеграл от абсолютного значения функции
      переменная интегрирования
      указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это x , то за функцией в подынтегральном выражении следует dx

      Авторы и авторство


      4.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.