Определенный интеграл примеры: Определённый интеграл и методы его вычисления

alexxlab / / Разное

Содержание

Определённый интеграл и методы его вычисления

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [

a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

            (38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

                   (39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) =

F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a). Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

получим

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

                         (40)

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций

, т.е.

            (42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

                  (43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

   (45)

Теорема 8.

Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если


Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим


Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а

F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

                (47)

где

,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

                       (48)

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим

так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для

f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

 

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

           (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть

где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т.е.

Тогда

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть

поскольку F(x) – первообразная для f(x).

Итак,

           (50)

Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл

после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной

t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

Пример 9. Вычислить определённый интеграл

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

даёт

а

Используя теперь формулу (50), получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

Вычисление определенных интегралов.

Страница 1 из 2

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если $F(x) -$ одна из первообразных непрерывной на $[a, b]$ функции $f(x),$ то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница: $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).3}}.$

 

Определенный интеграл, примеры решений

Определенный интеграл от функции на промежутке обозначается и равен разности двух значений первообразной функции, вычисленных при и (формула Ньютона-Лейбница):

   

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции , осью и прямыми и (рис. 1), то есть

   

Для вычисления определенных интегралов подходят все методы, которые используются для нахождения неопределенных интегралов.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить интеграл

   
Решение Преобразуем подынтегральное выражение

   

Разобьем интеграл от суммы на сумму интегралов и вынесем за знак интеграла константы:

   

Полученные интегралы являются табличными, вычислим их:

   

   

   
Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить интеграл

   
Решение Вынесем константу за знак интеграла и вычислим полученный табличный интеграл:

   
Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить интеграл

   
Решение Сделаем замену , при этом пределы интегрирования изменятся: и . Подставляя все это в исходный интеграл, получим:

   

   
Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить интеграл

   
Решение Внесем под знак дифференциала, тогда

   

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

   

   
Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной функцией , осью и прямыми и .
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

По геометрическому смыслу определенного интеграла нахождение площади заданной криволинейной трапеции сводится к вычислению интеграла

   

Вычислим этот интеграл:

(кв. ед.)
Ответ

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   S (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Рис.3

то будет справедлива формула

(2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Рис.5

      Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

      Из неравенства (5) следует, что

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

      По определению производной функции   S (x)   имеем

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона — Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

      Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

      Ответ.

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

Рис.7

Вычислить интеграл

(13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

(14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Вычисление определенного интеграла

Здравствуйте. Меня зовут Андрей Зварыч. Я онлайн-репетитор сайта Tutoronline по высшей математике. Очень часто ко мне обращаются студенты с просьбой помочь разобраться с вычислением определенных интегралов. Сегодня я покажу несколько примеров решения. Надеюсь, моя статья будет полезной.

Итак, если F(x) – одна из первообразных непрерывной функции f(x) на [a,b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = φ(t) непрерывно дифференцирована на отрезке [t1,t2], причем a = φ(t1), b = φ(t2), то имеет место формула

Если функции u(x), v(x) и их производные u'(x), v'(x) непрерывны на отрезке [a,b], то справедлива формула интегрирования по частям

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

 

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей,

 

Решив систему

Получим 

Тогда на основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену ex + 4 = t2, тогда ex= t2– 4, ex dx = 2t dt,  

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

Если у Вас остались вопросы или Вам нужна помощь в решении «ваших интегралов», записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

формулы, определения, примеры с решением по высшей математике

Вычисления определенного интеграла

Формула ньютона-лейбница

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла

от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:

Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции

для подынтегральной функции .

Например,

.

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Пусть для вычисления интеграла

от непрерывной функции сделана подстановка .

Теорема 39.1. Если:

1) функция

и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений функции

при является отрезок ;

3)

и , то

Пусть

есть первообразная для на отрезке . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница . Так как , то является первообразной для функции . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки

применяют подстановку ;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример №39.1.

Вычислить

.

Решение:

Положим

, тогда . Если , то ; если , то . Поэтому

Интегрирование по частям

Теорема 39.2. Если функции

и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула

На отрезке

имеет место равенстве) . Следовательно, функция есть первообразная для непрерывной функции . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример №39.2.

Вычислить

.

Решение:

Положим

Применяя формулу (39.2), получаем

Дополнительный пример №39.3.

Дополнительная лекция: Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Определенный интеграл, Пределы интегрирования, функция Дирихле

Советуем посмотреть видео об определенном интеграле, или читайте информацию об интеграле чуть ниже

Пусть дана функция y=f(x), определенная на отрезке [а, b], где а

В каждом из элементарных отрезков [xk-1, xk] выберем произвольно одну точку кси k значение функции в этой точке умножим на длину отрезка дельта хk, получим произведение. Составим сумму всех таких произведений

Эта сумма называется интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [а, b]. Обозначим через лямда, длину наибольшего из элементарных отрезков [xk-1, xk] (k = 1,2,…,n), т.е. Х = mах лямда дельта хk.

Число S называется пределом интегральной суммы S, если для любого числа е > 0 можно указать такое число б > 0, что при лямда < б выполняется неравенство |Sn — S| < e независимо от выбора точек кси на отрезках [xk-1, xk]

Определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а, b] называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю. Определенный интеграл в задачах по математике обозначается символом

f(x) называется подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования, a — нижним, b — верхним пределами интегрирования. Следовательно, по определению Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. Функция, для которой существует предел суммы, называется интегрируемой на отрезке [а, b].

Очевидно, если ф-ция f(x) интегрируема на отрезке [а, b] то она и ограничена на этом отрезке. Обратное утверждение не верно: существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми. К ним принадлежит функция Дирихле, равная единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке [а, b] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем.

Соответственно по определению

где f(x) — любая функция; где f(x) — функция, интегрируемая на отрезке [b, a] (b

1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она интегрируема на любом отрезке [с, d], содержащемся в [а, b].

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она и интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [а, b].

Определенные интегралы

Возможно, вам сначала захочется прочитать «Введение в интеграцию»!

Интеграция

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но его часто используют, чтобы найти область под графиком функции следующим образом:

Область можно найти, добавив срезы, ширина которых приближается к нулю :

И есть Правила интеграции, которые помогают нам получить ответ.

Обозначение

Символ «Интеграл» — стильная буква «S» (от «Сумма», идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом).

А затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

Определенный интеграл

Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения: другими словами, существует интервал [a, b].

a и b (называемые пределами, границами или границами) помещаются внизу и вверху буквы «S», например:

Определенный Интегральный
(от a до b )		 Неограниченный Интегральный
(без конкретных значений)

Мы находим Определенный интеграл путем вычисления неопределенного интеграла при a и b с последующим вычитанием:

Пример: что такое

Нам нужен определенный интеграл , от 1 до 2, из 2x dx

Сначала нам нужно найти Indefinite Integral .

Используя правила интегрирования, находим, что ∫2x dx = x 2 + C

Теперь посчитайте, что при 1 и 2:

  • При x = 1: ∫2x dx = 1 2 + C
  • При x = 2: ∫2x dx = 2 2 + C

Вычесть:

(2 2 + C) — (1 2 + C)

2 2 + К — 1 2 — К

4 — 1 + C — C = 3

И «C» отменяется… так что с определенными интегралами мы можем игнорировать C .

Результат:

Проверить : с такой простой формой попробуем еще вычислить площадь по геометрии:

А = 2 + 4 2 × 1 = 3

Да, у него есть площадь 3.

(Ура!)

Обозначение : Обычно неопределенный интеграл (без + C) указывается внутри квадратных скобок с пределами a и b после, например:

Пример (продолжение)

Как показать свой ответ:

Давайте попробуем другой пример:

Пример:

Определенный интеграл, от 0.От 5 до 1.0, из cos (x) dx:

(Примечание: x должен быть в радианах)

Неопределенный интеграл : ∫ cos (x) dx = sin (x) + C

Мы можем игнорировать C для определенных интегралов (как мы видели выше) и получаем:

= грех (1) — грех (0,5)

= 0,841 … — 0,479 …

= 0,362 …

И еще один важный пример:

Пример:

Определенный интеграл от 0 до 1 от sin (x) dx:

Неопределенный интеграл : ∫ sin (x) dx = −cos (x) + C

Поскольку мы идем от 0, , можем ли мы просто вычислить интеграл при x = 1 ??

−cos (1) = −0.540 …

Что? Это отрицательный ? Но на графике это выглядит положительно.

Ну … мы сделали ошибку !

Поскольку нам нужно вычесть интеграл при x = 0 . Не следует предполагать, что он равен нулю.

Итак, давайте сделаем это правильно, вычтя одно из другого:

грех (x) dx

= [−cos (x)]

= −cos (1) — (−cos (0))

= -0,540 … — (-1)

= 0.460 …

Так лучше!

Но у нас может иметь отрицательные области , когда кривая ниже оси:

Пример:

Определенный интеграл от 1 до 3 от cos (x) dx:

Обратите внимание, что некоторые из них положительные, а некоторые отрицательные.
Определенный интеграл даст чистое значение .

Сделаем расчеты:

= грех (3) — грех (1)

= 0.141 … — 0,841 …

= −0,700 …

Таким образом, отрицательного больше, чем положительного, с чистым результатом -0,700 ….

Итак, нам нужно запомнить одну важную вещь:

f (x) dx = (Площадь над осью x) — (Площадь под осью x)

Попробуйте интегрировать cos (x) с разными начальными и конечными значениями, чтобы увидеть, как работают положительные и отрицательные значения.

Положительная область

Но иногда мы хотим, чтобы вся область обрабатывалась как положительное значение (без вычитания части ниже оси).

В этом случае мы должны вычислить площади отдельно , как в этом примере:

Пример: Какова общая площадь

между y = cos (x) и осью x, от x = 1 до x = 3?

Это похоже на тот пример, который мы только что сделали, но теперь мы ожидаем, что — это все положительное значение (представьте, что нам пришлось его раскрасить).

Итак, теперь мы должны делать детали отдельно:

  • Один для области над осью x
  • Один для области ниже оси x

Кривая пересекает ось x при x = π / 2, поэтому мы имеем:

От 1 до π / 2:

cos (x) dx

= грех (π / 2) — грех (1)

= 1 — 0.841 …

= 0,158 …

От π / 2 до 3:

cos (x) dx

= грех (3) — грех (π / 2)

= 0,141 … — 1

= -0,859 …

Последний выходит отрицательным, но мы хотим, чтобы он был положительным, поэтому:

Общая площадь = 0,158 … + 0,859 … = 1,017 …

Это сильно отличается от ответа в предыдущем примере.

непрерывный

О да, функция, которую мы интегрируем, должна быть непрерывной между a и b : без дыр, скачков или вертикальных асимптот (где функция направляется вверх / вниз к бесконечности).

Пример:

Вертикальная асимптота между a и b влияет на определенный интеграл.

Недвижимость

Область выше — область ниже

Интеграл добавляет площадь над осью, но вычитает площадь ниже, для «чистого значения»:

f (x) dx = (Площадь над осью x) — (Площадь под осью x)

Добавление функций

Интеграл от f + g равен интегралу от f плюс интеграл от g :

f (x) + g (x) dx =

ф (х) dx +

г (x) dx

Реверсирование интервала

Изменение направления интервала на противоположное дает отрицательное значение исходного направления.

f (x) dx = —

f (x) dx

Интервал нулевой длины

Когда интервал начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат равен нулю:

Добавление интервалов

Мы также можем сложить два соседних интервала вместе:

f (x) dx =

ф (х) dx +

f (x) dx

Сводка

Определенный интеграл между a и b — это неопределенный интеграл при b минус неопределенный интеграл при a .

6864, 6865, 6866, 6867, 6868, 6869, 6870, 6871, 6872, 6873, 6874

Определенные интегралы

Определенный интеграл функции тесно связан с первообразным и неопределенным интегралом функции. Основное отличие состоит в том, что неопределенный интеграл, если он существует, является вещественным числовым значением, в то время как последние два представляют бесконечное количество функций, которые отличаются только константой. Взаимосвязь между этими понятиями будет обсуждаться в разделе, посвященном фундаментальной теореме исчисления, и вы увидите, что определенный интеграл будет иметь приложения ко многим задачам исчисления.

Развитие определения определенного интеграла начинается с функции f ( x ), которая непрерывна на отрезке [ a, b ]. Данный интервал разбивается на подинтервалы « n », которые, хотя и не обязательно, могут быть взяты равной длины (Δ x ). Произвольное значение домена, x i , выбирается в каждом подынтервале, и определяется его последующее значение функции, f ( x i ).Определяется произведение каждого значения функции на соответствующую длину подынтервала, и эти произведения « n » складываются для определения их суммы. Эта сумма называется суммой Римана и может быть положительной, отрицательной или нулевой, в зависимости от поведения функции на закрытом интервале. Например, если f ( x )> 0 на [ a, b ], тогда сумма Римана будет положительным действительным числом. Если f ( x ) <0 на [ a, b ], тогда сумма Римана будет отрицательным действительным числом.Сумма Римана функции f ( x ) на [ a, b ] выражается как

Таким образом, сумму Римана можно представить как «сумму n произведений».

Пример 1: Оцените сумму Римана для f ( x ) = x 2 на [1,3], используя четыре подинтервала равной длины, где x i — правое конечная точка на подынтервале и (см. рисунок).

Рисунок 1 Сумма Римана с четырьмя частями.

Поскольку подынтервалы должны иметь одинаковую длину, получается, что

Сумма Римана для четырех подинтервалов равна

.

Если количество подинтервалов многократно увеличивать, то в результате длина каждого подынтервала будет становиться все меньше и меньше. Это можно переформулировать следующим образом: если количество подынтервалов неограниченно увеличивается ( n → + ∞), то длина каждого подынтервала приближается к нулю (Δ x → + ∞).Этот предел суммы Римана, если он существует, используется для определения определенного интеграла функции на [ a, b ]. Если f ( x ) определено на закрытом интервале [ a, b ], то определенный интеграл из f ( x ) от a до b определяется как

, если это ограничение выходит за пределы.

Функция f ( x ) называется подынтегральным выражением, а переменная x является переменной интегрирования.Числа a, и b, называются пределами интегрирования, а a — нижним пределом интегрирования, а b, — верхним пределом интегрирования.

Обратите внимание, что символ ∫, используемый с неопределенным интегралом, — это тот же символ, который ранее использовался для неопределенного интеграла функции. Причина этого станет более очевидной в следующем обсуждении фундаментальной теоремы исчисления. Также имейте в виду, что определенный интеграл является уникальным действительным числом и не представляет бесконечное количество функций, которые являются результатом неопределенного интеграла функции.

Вопрос о существовании предела суммы Римана важно рассмотреть, поскольку он определяет, существует ли определенный интеграл для функции на отрезке. Как и в случае с дифференцированием, между непрерывностью и интегрированием существует значительная взаимосвязь, которую можно резюмировать следующим образом: если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определенный интеграл от f ( x ) на [ a, b ] существует, а f считается интегрируемым на [ a, b ].Другими словами, непрерывность гарантирует, что определенный интеграл существует, но обратное не обязательно верно.

К сожалению, тот факт, что определенный интеграл функции существует на отрезке, не означает, что значение определенного интеграла легко найти.

Некоторые свойства полезны при решении задач, требующих применения определенного интеграла. Некоторые из наиболее распространенных свойств:

1.

2.

3., где c — постоянная

4.

5. Правило суммы:

6. Правило разницы:

7. Если

8. Если

9. Если

10. Если a, b, и c — любые три точки на закрытом интервале, то

11. Теорема о среднем значении для определенных интегралов: если f ( x ) непрерывно на закрытом интервале [ a, b ], то по крайней мере одно число c существует в открытом интервале ( a , b ) такая, что

Значение f ( c ) называется средним или средним значением функции f ( x ) на интервале [ a, b ] и

.

Пример 2: Оценить

Пример 3: Учитывая, что

Пример 4: Учитывая, что

Пример 5 Вычислить

Пример 6: Учитывая, что оценка

Пример 7: Учитывая, что оценка.

Пример 8: Учитывая это, оцените.

Пример 9: При условии, что найти все c значений, которые удовлетворяют теореме о среднем значении для данной функции на отрезке.

По теореме о среднем значении

Поскольку находится в интервале (3,6), заключение теоремы о среднем значении выполняется для этого значения c .

Основная теорема исчисления

Фундаментальная теорема исчисления устанавливает связь между неопределенными и определенными интегралами и вводит технику вычисления определенных интегралов без использования сумм Римана, что очень важно, поскольку вычисление предела суммы Римана может быть чрезвычайно трудоемким и трудоемким.Утверждение теоремы таково: если f ( x ) непрерывно на интервале [ a, b ], а F ( x ) является любой первообразной f ( x ) на [ a, b ], затем

Другими словами, значение определенного интеграла функции на [ a, b ] — это разность любой первообразной функции, вычисленной на верхнем пределе интегрирования, за вычетом той же первообразной, вычисленной на нижнем пределе интегрирования.Поскольку константы интегрирования одинаковы для обеих частей этой разности, они игнорируются при вычислении определенного интеграла, поскольку они вычитаются и дают ноль. Помня об этом, выберите постоянную интегрирования равной нулю для всех определенных интегральных вычислений после примера 10.

Пример 10: Оценить

Поскольку общая первообразная x 2 равна (1/3) x 3 + C , вы обнаружите, что

Пример 11: Оценить

Поскольку первообразная sin x — cos x , вы обнаружите, что

Пример 12: Оценить

(Потому что (первообразная от, и вы обнаружите, что

Пример 13: Оценить

Поскольку первообразная x 2 — 4 x + 1 — это (1/3) x 3 — 2 x 2 + x , вы обнаружите, что

Определенная интегральная оценка

Многочисленные методы, которые можно использовать для вычисления неопределенных интегралов, также могут использоваться для вычисления определенных интегралов.Методы подстановки и замены переменных, интегрирования по частям, тригонометрических интегралов и тригонометрической подстановки проиллюстрированы в следующих примерах.

Пример 14: Оценить

Использование метода замены с

пределы интегрирования могут быть преобразованы из значений x в соответствующие им значения u . Когда x = 1, u = 3 и когда x = 2, u = 6, вы обнаружите, что

Обратите внимание, что когда метод подстановки используется для вычисления определенных интегралов, нет необходимости возвращаться к исходной переменной, если пределы интегрирования преобразованы в новые значения переменных.

Пример 15: Оценить

Используя метод подстановки с u = sin x + 1, du = cos x dx , вы обнаружите, что u = 1, когда x = π, и u = 0, когда x = 3π / 2; следовательно,

Обратите внимание, что вам никогда не приходилось возвращаться к тригонометрическим функциям в исходном интеграле для вычисления определенного интеграла.

Пример 16: Оценить

Использование интеграции по частям с

вы обнаружите, что

Пример 17: Оценить

Использование интеграции по частям с

Пример 18: Оценить

Пример 19: Оценить.

Пример 20: Оценить.

Поскольку подынтегральное выражение содержит форму a 2 + x 2 ,

Рисунок 2 Диаграмма для примера 20.

Пример 21: Оценить

Поскольку радикал имеет вид

Рисунок 3 Диаграмма для примера 21.

5.2 Определенный интеграл | Исчисление Объем 1

Цели обучения

  • Дайте определение определенному интегралу.
  • Объясните термины подынтегральное выражение, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
  • Объясните, когда функция интегрируема.
  • Опишите взаимосвязь между определенным целым и чистой площадью.
  • Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.*) \ Delta x [/ latex].

    Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы [латекс] f (x) [/ latex] был непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

    Определенная интегральная схема l обобщает понятие площади под кривой. Мы отменяем требования, чтобы [latex] f (x) [/ latex] был непрерывным и неотрицательным, и определяем определенный интеграл следующим образом.*) \ Delta x [/ latex],

    при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция [latex] f (x) [/ latex] называется интегрируемой на [latex] [a, b] [/ latex] или является интегрируемой функцией.

    Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без [латекс] a [/ latex] и [латекс] b [/ latex] сверху и снизу) для представления первообразного.Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают. Определенный интеграл — это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

    Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница, которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования [латекс] \ int [/ latex] представляет собой удлиненную букву S, обозначающую сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала, [латекс] [a, b] [/ латекс]. Числа [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex] и называются пределами интегрирования; в частности, [латекс] a [/ latex] — это нижний предел, а [latex] b [/ latex] — верхний предел. Чтобы уточнить, мы используем слово предел двумя разными способами в контексте определенного интеграла.Во-первых, мы говорим о пределе суммы как от [латекс] n \ до \ infty [/ latex]. Во-вторых, границы области называются пределами интеграции .

    Мы называем функцию [latex] f (x) [/ latex] подынтегральным выражением , а [latex] dx [/ latex] указывает, что [latex] f (x) [/ latex] является функцией относительно [latex] x [/ latex], называется переменной интеграции . Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла.*) \ Delta x [/ latex] существует и уникален. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

    Интегрируемые непрерывные функции

    Если [latex] f (x) [/ latex] является непрерывным на [latex] [a, b] [/ latex], то [latex] f [/ latex] интегрируется на [latex] [a, b] [ /латекс].

    Функции, которые не являются непрерывными на [латексе] [a, b] [/ latex], могут по-прежнему быть интегрируемыми, в зависимости от характера неоднородностей. Например, функции с конечным числом скачков на отрезке интегрируемы.

    Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.2 дх [/ латекс]. Используйте аппроксимацию правой конечной точки, чтобы получить сумму Римана.

    Показать решение

    Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интеграции, мы имеем [latex] a = 0 [/ latex] и [latex] b = 2 [/ latex]. Для [latex] i = 0,1,2, \ cdots, n [/ latex] пусть [latex] P = \ {x_i \} [/ latex] будет обычным разделом [latex] [0,2] [ /латекс]. Тогда

    [латекс] \ Delta x = \ frac {b-a} {n} = \ frac {2} {n} [/ latex].

    Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого [latex] i [/ latex] нам необходимо вычислить значение функции в правой конечной точке интервала [latex] [x_ {i-1} , x_i] [/ латекс].3 (2x-1) dx [/ латекс]. Используйте аппроксимацию правой конечной точки, чтобы получить сумму Римана.

    Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без взятия пределов сумм Римана. Однако на данный момент мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади.*) \ Delta x = [/ latex] (Площадь прямоугольников над осью [latex] x [/ latex]) [latex] — [/ latex] (Площадь прямоугольников под [latex] x [/ latex] — ось)

    Рис. 2. Для частично отрицательной функции сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью [латекс] x [/ latex] минус площадь прямоугольников под [латексом] x [/ латексом] — ось.

    Принимая предел как [латекс] n \ до \ infty [/ latex], сумма Римана приближается к площади между кривой над осью [латекс] x [/ latex] и [латексом] x [/ латексом] — ось за вычетом площади между кривой под осью [латекс] x [/ латекс] и осью [латекс] x [/ латекс], как показано на (Рисунок).2 f (x) dx & = \ underset {n \ to \ infty} {\ lim} \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ Sigma}} f (c_i) \ Delta x \\ & = A_1-A_2 \ end {array} [/ latex]

    Количество [латекс] A_1-A_2 [/ latex] называется чистой подписанной областью .

    Рис. 3. В пределе определенный интеграл равен площади [латекс] A_1 [/ latex] минус площадь [латекс] A_2 [/ latex] или чистая подписанная площадь.

    Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью [latex] x [/ latex] больше, чистая подписанная область положительна.Если область под осью [latex] x [/ latex] больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси [latex] x [/ latex] равны, чистая подписанная область равна нулю.

    Поиск чистой подписанной области

    Найдите чистую зону со знаком между кривой функции [latex] f (x) = 2x [/ latex] и осью [latex] x [/ latex] на интервале [latex] [- 3,3] [ /латекс].

    Показать решение

    Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от [latex] x = -3 [/ latex] до [latex] x = 0 [/ latex], а другой от [latex] x = 0 [/ latex] [латекс] х = 3 [/ латекс] ((рисунок)).3 2x dx = A_1-A_2 = 9-9 = 0 [/ латекс].

    Рис. 4. Площадь над кривой и под осью [latex] x [/ latex] равна площади под кривой и над осью [latex] x [/ latex].

    Анализ

    Если [latex] A_1 [/ latex] — это область над осью [latex] x [/ latex], а [latex] A_2 [/ latex] — это область ниже оси [latex] x [/ latex], тогда чистая площадь [латекс] A_1-A_2 [/ латекс]. Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

    Найдите чистую подписанную площадь [latex] f (x) = x-2 [/ latex] в интервале [latex] [0,6] [/ latex], как показано на следующем рисунке.

    Общая площадь

    Одно из применений определенного интеграла — определение смещения при заданной функции скорости. Если [latex] v (t) [/ latex] представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.2 75 дт = 150 [/ латекс].

    Рис. 5. Площадь под кривой [latex] v (t) = 75 [/ latex] показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

    В контексте смещения, чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение ((Рисунок)).5-40 dt & = 120-120 \\ & = 0 \ end {array} [/ latex]

    В этом случае смещение равно нулю.

    Рис. 6. Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

    Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать область между кривой и осью [latex] x [/ latex], независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью .5 40 dt \\ & = 120 + 120 \\ & = 240 \ end {array} [/ latex]

    Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

    Определение

    Пусть [latex] f (x) [/ latex] будет интегрируемой функцией , определенной на интервале [latex] [a, b] [/ latex]. Пусть [latex] A_1 [/ latex] представляет область между [latex] f (x) [/ latex] и осью [latex] x [/ latex], которая лежит на выше оси , и пусть [latex] A_2 [ / latex] представляют собой область между [latex] f (x) [/ latex] и осью [latex] x [/ latex], которая лежит на ниже оси .b | f (x) | dx = A_1 + A_2 [/ латекс].

    Определение общей площади

    Найдите общую площадь между [латексом] f (x) = x-2 [/ latex] и осью [latex] x [/ latex] в интервале [latex] [0,6] [/ latex].

    Показать решение

    Рассчитайте интервал [латекс] x [/ latex] как [latex] (2,0) [/ latex] (установите [latex] y = 0 [/ latex], найдите [latex] x [/ latex]) . Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси [latex] x [/ latex] на подынтервале [latex] [0,2] [/ latex] и добавьте ее к области над [latex] x [/ латекс] -ось на подынтервале [латекс] [2,6] [/ латекс] ((Рисунок)).6 | (х-2) | dx = A_2 + A_1 [/ латекс].

    Тогда, используя формулу площади треугольника, получим

    [латекс] A_2 = \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} \ cdot 2 \ cdot 2 = 2 [/ латекс]

    [латекс] A_1 = \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} \ cdot 4 \ cdot 4 = 8 [/ латекс].

    Таким образом, общая площадь составляет

    [латекс] A_1 + A_2 = 8 + 2 = 10 [/ латекс].

    Найдите общую площадь между функцией [latex] f (x) = 2x [/ latex] и осью [latex] x [/ latex] в интервале [latex] [- 3,3] [/ latex].2 ф (х) дх [/ латекс].

    Сравнительные свойства интегралов

    Изображение иногда может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции. Интуитивно можно сказать, что если функция [latex] f (x) [/ latex] находится над другой функцией [latex] g (x) [/ latex], то область между [latex] f (x) [/ latex ] и ось [latex] x [/ latex] больше, чем область между [latex] g (x) [/ latex] и осью [latex] x [/ latex].2} [/ latex] и [latex] g (x) = \ sqrt {1 + x} [/ latex] в интервале [latex] [0,1] [/ latex].

    Показать решение

    Графическое изображение этих функций необходимо для понимания их сравнения в интервале [latex] [0,1] [/ latex]. Изначально при построении графика на графическом калькуляторе [latex] f (x) [/ latex] кажется, что везде выше [latex] g (x) [/ latex]. Однако на интервале [latex] [0,1] [/ latex] графики кажутся поверх друг друга. 1 f (x) dx [/ latex ] ((Фигура)).Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале [латекс] [0,1] [/ латекс].

    Рис. 9. (a) График показывает, что на интервале [latex] [0,1], \, g (x) \ ge f (x) [/ latex], где равенство выполняется только на концах интервала . (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

    Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69.Ваша семестровая оценка — это ваши средние результаты тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста. Таким образом,

    [латекс] \ frac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = \ frac {482} {6} \ приблизительно 80,33 [/ латекс].

    Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

    Однако предположим, что у нас есть функция [latex] v (t) [/ latex], которая дает нам скорость объекта в любое время [latex] t [/ latex], и мы хотим найти среднюю скорость объекта .b f (x) dx [/ латекс].

    Нахождение среднего значения линейной функции

    Найдите среднее значение [латекс] f (x) = x + 1 [/ latex] в интервале [latex] [0,5] [/ latex].

    Показать решение

    Сначала изобразите функцию на указанном интервале, как показано на (Рисунок).

    Рис. 10. На графике показана площадь под функцией [латекс] f (x) = x + 1 [/ латекс] над [латексом] [0,5] [/ латексом].

    Область представляет собой трапецию, лежащую на боку, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции [латекс] A = \ frac {1} {2} h (a + b) [/ latex], где [латекс] h [/ latex] представляет высоту, а [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] представляют две параллельные стороны.5 x + 1 dx = \ frac {1} {5} \ cdot \ frac {35} {2} = \ frac {7} {2}. [/ Latex]

    Найдите среднее значение [latex] f (x) = 6-2x [/ latex] в интервале [latex] [0,3] [/ latex].

    Ключевые понятия

    • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой подписанной площади, которая представляет собой площадь над осью [latex] x [/ latex] за вычетом площади под осью [latex] x [/ latex]. Чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой.
    • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральное выражение, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
    • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
    • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
    • Площадь под кривой многих функций может быть вычислена с использованием геометрических формул.
    • Среднее значение функции можно вычислить с помощью определенных интегралов.
    • Определенный интеграл
      [латекс] \ int_a ^ bf (x) dx = \ underset {n \ to \ infty} {\ lim} \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ Sigma}} f (x_i ^ *) \ Delta x [/ latex]
    • Свойства определенного интеграла
      [latex] \ int_a ^ af (x) dx = 0 [/ latex]
      [latex] \ int_b ^ af (x) dx = — \ int_a ^ bf (x) dx [/ латекс]
      [латекс] \ int_a ^ b [f (x) + g (x)] dx = \ int_a ^ bf (x) dx + \ int_a ^ bg (x) dx [/ latex]
      [латекс] \ int_a ^ b [f (x) -g (x)] dx = \ int_a ^ bf (x) dx — \ int_a ^ bg (x) dx [/ latex]
      [латекс] \ int_a ^ b cf (x) dx = c \ int_a ^ bf (x) dx [/ latex] для константы [латекс] c [/ latex]
      [латекс] \ int_a ^ bf (x) dx = \ int_a ^ cf (x) dx + \ int_c ^ bf ( x) dx [/ латекс]

    В следующих упражнениях выразите пределы в виде интегралов. 1 x dx [/ латекс]

    7.2) dx [/ латекс]

    В следующих упражнениях вычислите интегралы функций, изображенных на графике, с помощью формул для площадей треугольников и кругов и вычитания площадей под осью [latex] x [/ latex].

    11. 12. Показать решение

    [латекс] 1 + 2 \ cdot 2 + 3 \ cdot 3 = 14 [/ латекс]

    13. 14. 15. 16. Показать решение

    [латекс] 1-2 \ пи + 9 = 10-2 \ пи [/ латекс]

    В следующих упражнениях вычислите интеграл, используя формулы площади.3 (3- | x |) dx [/ латекс]

    Показать решение

    Интеграл — это площадь «большого» треугольника за вычетом «недостающего» треугольника, [латекс] 9- \ frac {1} {2} [/ latex].

    В следующих упражнениях используйте средние значения в левой ([latex] L [/ latex]) и правой ([latex] R [/ latex]) конечных точках для вычисления интегралов кусочно-линейных функций с графиками, которые проходят через заданный список точек за указанные интервалы. 2 g (x) dx = 2 [/ latex].2}, \, a = 0, \, b = 2 [/ латекс]

    54. [латекс] f (x) = (3- | x |), \, a = -3, \, b = 3 [/ latex]

    Показать решение

    [латекс] \ frac {3} {2} [/ latex], если [латекс] c = \ pm \ frac {3} {2} [/ latex]

    55. [латекс] f (x) = \ sin x, \, a = 0, \, b = 2 \ pi [/ латекс]

    56. [латекс] f (x) = \ cos x, \, a = 0, \, b = 2 \ pi [/ латекс]

    Показать решение

    [латекс] f _ {\ text {ave}} = 0; \, c = \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2} [/ latex]

    В следующих упражнениях аппроксимируйте среднее значение, используя суммы Римана [латекс] L_ {100} [/ латекс] и [латекс] R_ {100} [/ латекс].d g (t) dt [/ latex] на этом интервале.

    73. Предположим, что среднее значение [латекс] f [/ латекс] по [латексу] [a, b] [/ латекс] равно 1, а среднее значение [латекс] f [/ латекс] по [латексу] [b, c] [/ latex] равно 1, где [latex] a

    74. Предположим, что [latex] [a, b] [/ latex] можно разделить. взяв [latex] a = a_0

    • Показать решение

    а. График антисимметричен относительно [latex] t = \ frac {1} {2} [/ latex] над [latex] [0,1] [/ latex], поэтому среднее значение равно нулю. б. Для любого значения [latex] a [/ latex] график между [latex] [a, a + 1] [/ latex] представляет собой сдвиг графика относительно [latex] [0,1] [/ latex], Таким образом, чистые площади выше и ниже оси не изменяются, а среднее значение остается равным нулю.

    83. Если [латекс] f [/ латекс] 1-периодический [латекс] (f (t + 1) = f (t)) [/ latex], нечетный и интегрируемый по [латексу] [0, 1] [/ latex], всегда ли верно, что [latex] \ int_0 ^ 1 f (t) dt = 0 [/ latex]?

    84.{1 + a} f (t) dt = A [/ latex] для всех [latex] A [/ latex]?

    Показать решение

    Да, интеграл по любому интервалу длины 1 одинаков.

    Глоссарий

    среднее значение функции
    (или [latex] f _ {\ text {ave}} [/ latex] ) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервал
    определенный интеграл
    первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью [латекс] х [/ латекс] на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
    интегрируемая функция
    функция является интегрируемой, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана как [latex] n [/ latex] стремится к бесконечности, существует
    подынтегральное выражение
    функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию
    пределы интеграции
    эти значения появляются рядом с верхней и нижней частью знака интеграла и определяют интервал, в котором функция должна быть интегрирована.
    чистая подписанная область
    область между функцией и осью [latex] x [/ latex], так что область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из области над [latex] x [/ latex] — ось; результат совпадает с определенным интегралом функции
    общая площадь
    Общая площадь между функцией и осью [latex] x [/ latex] вычисляется путем сложения области над осью [latex] x [/ latex] и области под [latex] x [/ latex] — ось; результат такой же, как и определенный интеграл от модуля функции
    переменная интегрирования
    указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это [latex] x [/ latex], то за функцией в подынтегральном выражении следует [latex] dx [/ latex]

    Свойства определенных интегралов

    Интегрирует: \ (f \), \ (g \), \ (u \), \ (v \)
    Первообразные: \ (F \), \ (G \)
    Независимые переменные: \ (x \), \ (t \)
    Пределы интегрирования: \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \)

    Подынтервалы интегрирования: \ (\ Delta {x_i} \)
    Произвольная точка подынтервала: \ ({\ xi_i} \)
    Натуральные числа: \ (n \), \ (i \)
    Площадь криволинейной трапеции: \ (S \)

    1. Пусть вещественная функция \ (f \ left (x \ right) \) определена и ограничена на интервале \ (\ left [{a, b} \ right] \).{\, ​​\ prime} \ left (x \ right) = g \ left (x \ right). \)

    Wolfram | Примеры альфа: интегралы

    Неопределенные интегралы

    Найдите первообразные математических выражений.

    Вычислить неопределенный интеграл:

    Вычислите неопределенный интеграл, который нельзя выразить элементарными терминами:

    Сгенерируйте таблицу интегралов, содержащих заданную функцию:

    Другие примеры

    Определенные интегралы

    Найдите интегралы с нижним и верхним пределами, также известные как интегралы Римана.

    Вычислить определенный интеграл:

    Вычислить неправильный интеграл:

    Составьте таблицу определенных интегральных формул:

    Другие примеры

    Кратные интегралы

    Вычисляет определенные вложенные интегралы от нескольких переменных.

    Вычислить кратный интеграл:

    Вычислить интеграл по неограниченной области:

    Другие примеры

    Другие примеры

    Численное интегрирование

    Интегрируйте выражения, используя численное приближение.

    Численно интегрируйте функции, которые не могут быть объединены символически:

    Приближаем интеграл с помощью указанного численного метода:

    Другие примеры

    Интегральные представления

    Изучите интегральные представления различных математических функций.

    Найдите интегральные представления для функции:

    Другие примеры

    Интегралы, относящиеся к специальным функциям

    Найдите определенные или неопределенные интегралы, связанные с определенной специальной функцией.

    Изучите интересные неопределенные интегралы, содержащие специальные функции:

    Изучите интересные определенные интегралы, содержащие специальные функции:

    Другие примеры

    4.b`

    `= F (б) -F (а)`

    где

    `F (x)` — интеграл от `f (x)`;

    `F (b)` — значение интеграла на верхнем пределе, `x = b`; и

    `F (a)` — значение интеграла на нижнем пределе, `x = a`.

    Это выражение называется определенным интегралом . Обратите внимание, что это не включает константу интеграция и дает нам определенное значение (число) при конец расчета.(n + 1)) / (n + 1) + K` (если `n ≠ -1`)

    Когда мы заменяем, мы меняем переменную, поэтому мы не можем используйте одинаковые верхний и нижний пределы. Мы можем либо:

    • Решите задачу как неопределенный интеграл сначала , затем использовать верхний и нижний пределы позже
    • Решите проблему, используя новую переменную и новые верхний и нижний пределы
    • Показать правильную переменную для верхнего и нижнего предела во время фазы замены.4] `

      `= 0`, как и раньше.

      Этот второй подход будет весьма полезен позже, когда замены становятся более сложными (например, тригонометрические замена).

      Заявление: Работа


      Эйнштейн катается на велосипеде.

      В физика, работа выполняется, когда сила, действующая на объект вызывает смещение. (Например, езда на велосипеде.)

      Если сила непостоянна, мы должны использовать интеграцию найти проделанную работу.4] `

      `= 1/24 [16-1]`

      `= 15/24`

      `= 5/8`

      Таким образом, требуется среднее значение 0,625 единиц. Это согласуется с нашей предыдущей оценкой.

      Приложение: смещение

      Если мы знаем выражение, v , для скорость в терминах t , время, мы можем найти смещение (записано s ) движущегося объекта от времени t = a до времени t = b путем интегрирования, как показано ниже:

      `s = int_a ^ bv \ dt`

      Пример 7

      Найдите смещение объект от т = 2 до т = 3, если скорость объект в момент времени t выдается

      `v = (t ^ 2 + 1) / ((t ^ 3 + 3t) ^ 2`

      Ответ

      Чтобы найти смещение, нам нужно оценить:

      `int_2 ^ 3 (t ^ 2 + 1) / ((t ^ 3 + 3t) ^ 2) dt`

      Положим `u = t ^ 3 + 3t`, тогда` du = (3t ^ 2 + 3) dt = 3 (t ^ 2 + 1) dt`

      Так `(du) / 3 = (t ^ 2 + 1) dt`

      Итак имеем:

      `int_2 ^ 3 (t ^ 2 + 1) / ((t ^ 3 + 3t) ^ 2) = 1 / 3int_ (t = 2) ^ (t = 3) 1 / u ^ 2du`

      `= 1 / 3int_ (t = 2) ^ (t = 3) u ^ -2du`

      `= -1 / 3 [1 / u] _ (t = 2) ^ (t = 3)`

      `= -1 / 3 [1 / (t ^ 3 + 3t)] _ 2 ^ 3`

      `= -1 / 3 [1 / (3 ^ 3 + 3 (3)) — 1 / (2 ^ 3 + 3 (2))]`

      `= -1 / 3 [1 / 36-1 / 14]`

      `= 0.014550`

      Таким образом, смещение объекта от времени t = 2 до t = 3 составляет 0,015 единиц.

      См. Подробнее: смещение, скорость и ускорение как приложения интеграции.

      ПРИМЕЧАНИЕ 1: Как видно из приведенных выше приложений работы, среднего значения и смещения, определенный интеграл можно использовать для поиска не только площадей под кривыми.

      ПРИМЕЧАНИЕ 2: Определенный интеграл только дает нам площадь , когда вся кривая находится на выше оси x в область от x = a до x = b.2+ 1`.

      Затем находим дифференциал:

      `du = 2x \ dx`

      Но в вопросе нет «` 2x \ dx` «(только» dx` «), поэтому мы не можем заменить что-либо в вопросе на «du» должным образом. Это означает, что мы не можем решить ее ни одним из используемых методов интеграции. выше. ( Примечание: Этот вопрос можно задать с помощью тригонометрической подстановки, однако, мы встретим тригонометрическую замену позже. 2 + 1`

      Тогда найдем дифференциал:

      `du = 2x \ dx`

      Затем мы могли бы перейти к нахождению интеграла, как мы делали в примерах выше, заменив `2x \ dx` на` du` , а часть квадратного корня на `sqrt u`.2 + 1) \ dx`

      ( Примечание: Исторически все определенные интегралы аппроксимировались численными методами до того, как Ньютон и Лейбниц разработали методы интегрирования, которые мы изучили до сих пор в этой главе.)

      Мы можем использовать два различных численных метода для вычисления интеграла:

      Мы встречаемся с этими методами в следующих двух разделах.

      Определенные интегралы — Исчисление 2

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      .

      No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *