Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(5) .
Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x)
, при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.
.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное
явно относительно неизвестной функции и содержащее
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
,
.
В результате мы получили общее решение —
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
.
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
.
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x, получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид
,
то есть, в нём в некотором виде появился x.
Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду
,
после чего интегрируем обе части уравнения:
.
Оба интеграла — табличные, находим их:
и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:
.
Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством
Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:
- решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
- написание лабораторных, рефератов и курсовых
- выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.
Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.
Объединение сервисов в одну систему
Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:
- Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
- Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
- Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Принцип работы
Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.
Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.
Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели
.Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).
Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.
За счет чего будет развиваться сервис
Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.
Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.
Преимущества для заказчиков
Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.
Преимущества для решающих задания
Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.
Преимущества для владельца сервиса
Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.
В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.
Что необходимо для создания сервиса
- Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
- Выбрать платежную систему.
- Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
- Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.
Решение дифференциальных уравнен
Решение дифференциальных уравнен
Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. MathCAD предоставляет большие возможности для решения ОДУ и очень ограниченные для решения уравнений в частных производных.
Поскольку решение дифференциальных уравнений состоит в интегрировании, чтобы обеспечить однозначность решения, необходимо задавать дополнительные условия для определения постоянных интегрирования.
MathCAD решает ОДУ двух типов:
задачи Коши ОДУ с
начальными условиями, в которых задаются значения функции и ее производных в
начальной точке интервала интегрирования;
краевые задачи ОДУ с граничными условиями, где задаются значения функции и ее
производных в начале и в конце интервала интегрирования.
Для численного интегрирования одного ОДУ (равно как и систем ОДУ) можно использовать вычислительный блок Given Odesolve (рис.5.1), впервые появившийся в версии MathCAD 2000 Pro, или применить встроенные функции, унаследованные от более ранних версий MathCAD.
Дифференциальное уравнение можно записать либо со штрихом, либо
с дифференциалом (поменяйте местами окрашенные уравнения). Для
набора штриха служат клавиши Ctrl+F7.
Given исходное уравнение
граничные значения
Рис. 5. 1 Использование функции Odesolve
MathCAD в состоянии решить только ОДУ, которые можно записать в стандартном виде, то есть решить алгебраически относительно производной высшего порядка и записать в виде y'(x)=f(x).
Решение квадратных уравнений через производные / Хабр
Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем забивать гвозди микроскопом.
Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:
Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:
Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.
Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!
Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.
Что же дальше делать? Непонятно. А в любом непонятном случае нужно брать производную ещё раз:
На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции — запомним это.
Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:
Где — время, — начальная скорость, — ускорение.
Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.
Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика
можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.
Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.
«Ускорение» у нас уже есть — им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка — ибо она и будет искомым.
В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:
В таком случае составим уравнение для поиска :
[подставили в производную первого порядка ]
Корнем такого уравнения относительно будет:
А значением исходной функции при таком аргументе будет:
Вспомним, какой целью мы задались в самом начале: «необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль». Иными словами, нам от положения необходимо «дойти до нуля».
Так как теперь нам известна начальная скорость, ускорение и какой путь необходимо пройти, то настало время отметить следующее:
, также как и
Тогда, подставив все известные величины, получим:
Поделим все на :
Теперь становится очевидно, что:
Соединим все «детали пазла» воедино:
Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли — мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. Практического смысла это не несет (примерно таким же образом можно решать уравнения первой/второй степени любого (не обязательно общего) вида).
Целью этой статьи является, в частности, подогрев интереса к анализу мат. функций и вообще к математике.
С вами был Петр, спасибо за внимание!
Использование производной для решения уравнений и неравенств
Использование производной для решения
уравнений и неравенств
Бирагова Л.Л.МБОУ лицей г.Владикавказ
При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются производными.
Пример 1.
Решим уравнение
. (1)
Решение.
Рассмотрим функцию . Область существования этой функции есть промежуток . Функция f(x) имеет внутри промежутка Х положительную производную .
Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке Х, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень .
Ответ: -1.
Пример 2.
Решим неравенство
(2)
Решение.
Рассмотрим функцию f(x)= . Поскольку эта функция на интервале X= имеет производную , которая положительна на этом интервале, то функция f(x) возрастает на интервале Х. Так как функция f непрерывна на интервале Х, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. Следовательно, уравнение f(x)=0 может иметь не более одного корня. Легко видеть, что число является корнем уравнения f(x)=0. Поскольку функция f(x) непрерывна и возрастает на интервале Х, то f(x)<0 при x<0 и f(x)>0 при x>0. Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка .
Ответ: .
Пример 3.
Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:
. (1)
Решение.
Рассмотрим функцию . Она на интервале имеет производную .
Производная обращается в нуль точках: и . Так как для любого х из интервалов и , то на каждом из промежутков и функция возрастает. Так как для любого х из промежутка , то на промежутке функция убывает.
Так как , , , и функция непрерывна на каждом из интервалов , и , то на каждом из них есть единственная точка, в которой эта функция обращается в нуль. Следовательно, функция имеет три нуля, т.е. уравнение (1) имеет три действительных корня.
Ответ: три действительных корня.
Пример 4.
Решить уравнение:
(1)
Решение.
Обе части уравнения (1) определены на отрезке . Рассмотрим функцию
.
Эта функция на интервале имеет производную
,
которая обращается в ноль в единственной точке .Так как функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Они находятся среди чисел , , .
Так как , то наибольшее значение 2 на отрезке функция достигает в единственной точке . Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень .
Ответ: 3.
| 1 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 |
| Результаты этапа: 1. Улучшены оценки снизу на рост норм в среднем последовательности коэффициентов Фурье экспонент от нелинейного преобразования тора на себя. 2. Изучены асимптотические свойства чебышёвских сплайнов с фиксированным числом узлов, в частности, найдены асимптотика узлов и C-нормы, доказано, что нормированный сплайн асимптотически равен многочлену Чебышёва, получены следствия для асимптотики колмогоровских поперечников классов Соболева. 3. Доказано, что декартово произведение октаэдров плохо приближается пространствами половинной размерности в смешанной (2,1)-норме. 4. Получены оценки распределения подмножеств натуральных чисел, замкнутых относительно операции умножения на коротких интервалах. 5. А) Получены оценки на длину шага дискретизации динамической системы с переключениями в терминах неравенства Маркова-Бернштейна для систем экспонент на полупрямой. Б) Построена теория линейных динамических систем на графах, разработан алгоритм вычисления показателя Ляпунова и получения кусочно-линейной функции Ляпунова таких систем. В) Используя теорию масштабирующих функциональных уравнений, найдены точные показатели асимптотического роста бинарной функции разбиения Эйлера для произвольных множеств цифр. 6. А) Доказана теорема о существовании инвариантного подпространства для несжимающей ограниченной полугруппы аффинных операторов. Б) Исследована структура полугрупп вещественных конечномерных линейных операторов с постоянным спектральным радиусом. В) Получены необходимые и достаточные условия сходимости цепей Маркова с многомерным временем в терминах “k-полупримитивных” семейств матриц. Г) Построен канонический изоморфизм, связывающий одномерные и многомерные решения уравнений самоподобия. 7. Исследованы некоторые свойства гладких чебышёвских обобщённых полиномов и построенных по ним «обобщённо-полиномиальных» сплайнов. 8. При доказательстве ключевой оценки для нелинейного функционала от разрешающего оператора системы Стокса, входящего в явную формулу для решения НПУ, был обнаружен ряд серьезных технических проблем. Еще на этапе 2015г. оценку функционала от решения системы Стокса, зависящего от трех пространственных переменных, удалось свести к оценке нескольких различных функционалов от решения одномерного уравнения теплопроводности.K$. Получены поточечные и среднеквадратичные оценки решения. Граничное управление для уравнения Бюргерса выражено в явном виде при помощи подстановки Хопфа-Коула. Отметим важный вычислительный аспект, что данное построение допускает обратную связь с получаемым решением. 11. Для 3D-системы Стокса построено граничное управление в явном виде. Решена задача стабилизации ротора (решения) со степенной скоростью. Граничное условие для ротора выражено через сферические функции. Получена оценка решения в пространстве квадратично суммируемых функций с весом. Данная оценка в дальнейшем позволит получить соответствующую оценку для векторного поля. 12. Задача Стокса-Лейбензона для Хиле-Шоу течения формулируется как задача Коши для нелинейного интегро-дифференциального уравнения относительно функции a и b, связанных с помощью преобразования Гильберта. Функция а выражает эволюцию коэффициента продольной деформации свободной границы, а функция b является эволюцией угла наклона касательной к этому контуру. Эти функции непосредственно отражают изменения геометрических характеристик свободной границы более высокого порядка, чем эволюция точки контура, получаемая с помощью классического Галина-Кочиной уравнение. Именно поэтому удалось выявить 1) причину отсутствия решений в случае стока, если исходный контур не является аналитическим хотя бы в одной точке, 2) доказать теоремы существования и единственности, 3) выявить критическое множество в пространстве контуров. Один из элементов этого множества — окружность, в центре которой расположен источник или сток. Существенным является анализ дискретной квази-контурной модели этой задачи, численный анализ которой подтвердил теоретические результаты, в частности, существование критического подмножества ко-размерности 1 в пространстве квази-контуров. Б. Рассмотрена обратная задача идентификации параметров систем дифференциальных уравнений по экспериментальным измерениям тех функций, которые соответствуют некоторым компонентам вектор-решения системы. Изучен важный для приложений химической и биохимической кинетики частный случай, когда редуцированные уравнения линейно зависят от комбинаций исходных неизвестных параметров. Проведен анализ и получены численные результаты для двух типовых систем уравнений химической кинетики: модели Лотки–Вольтерры о сосуществовании “жертвы” и “хищника” и уравнения химической кинетики, моделирующие реакции ферментного катализа, включая уравнения Михаэлиса–Ментен. Поиск неизвестных параметров сводится к задаче минимизации квадратичной функции. При этом используются редуцированные дифференциальные уравнения систем, а не их вектор-решения, которые в большинстве случаев неизвестны. Проанализированы случаи как устойчивого, так и неустойчивого поиска неизвестных параметров. | ||
| 2 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2017) |
| Результаты этапа: Исследованы взаимосвязи необходимых условий минимума в абстрактной задаче оптимального управления (в форме принципа максимума Понтрягина), условий минимума в соответствующей ей релаксационной (ослабленной) задаче и достаточных условий локальной управляемости управляемой системы, задающей ограничения в исходной постановке. Полученные результаты применяются к стандартной задаче оптимального управления общего вида. Доказана теорема о неявной функции для включений, задаваемых близкими отображениями и показано ее применение к обработке результатов, полученных с погрешностью. Найдены достаточные условия локальной управляемости управляемой динамической системы для случая, когда линейное приближение этой системы не является управляемым. В качестве следствия получены необходимые условия оптимальности второго порядка для задачи оптимального управления общего вида. | ||
| 3 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2018) |
| Результаты этапа: | ||
| 4 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2019) |
| Результаты этапа: Для абстрактной управляемой системы получены достаточные условия ее локальной управляемости, содержательные для случая, когда линейное приближение этой системы не является вполне управляемым. В качестве непосредственного следствием этого результата получены условия оптимальности второго порядка для абстрактного варианта задачи оптимального управления. Доказанные общие утверждения применяются к классической ситуации — к управляемой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В задача о форме выпуклого тела, имеющего минимальное сопротивление при движении в разреженной среде, была аналитически выведена форма тела в классе минимальных тел, обладающих вертикальной плоскостью симметрии, и доказана его локальная оптимальность. Полученное сопротивление хорошо согласуется с существующими численными расчетами. Показана корректность обратной МЭЭГ-задачи. | ||
| 5 | 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2020) |
| Результаты этапа: Итак, за отчётный период: 1. Получены необходимые условия для локального инфимума – понятия, обобщающего понятие оптимальной траектории (эти условия усиливают классический результат – принцип максимума Понтрягина и развивают его на более общие классы задач оптимального управления, где отсутствует оптимальная траектория). 2. Найдены явные выражения для оптимальных методов восстановления в задаче Дирихле для полупространства (эти явные выражения могут служить основой для построения эффективных численных алгоритмов в задачах нахождения решений дифференциальных уравнений по неточным исходным данным). | ||
Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным : Дискуссионные темы (М)
В начале я отвечу ha. Действительно дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка можно решить с помощью метода характеристик. Кроме того, если решение гиперболическое, или уравнение квантовой механики его можно решить относительно фазы с помощью экспоненты с мнимым большим параметром в фазе. Тогда второй производной от фазы пренебрегаем, и получаются уравнения первого порядка, которые можно решить с помощью уравнений Гамильтона. Т.е. можно получить высокочастотную асимтотику. Аналогия между решением уравнений в частных производных первой степени и тем, что я предлагаю есть. При нахождении параметра, от которого зависит решение, необходимо решать систему дифференциальных уравнений Гамильтона, или считать характеристики, как в методе характеристик. Далее при нахождении неизвестных вектор функций, решается одно уравнение второго порядка, если система уравнений в частных производных содержит частные производные второго порядка.Странный или странная эта shwedka. Решение можно построить для любого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, нужно только, чтобы число неизвестных функций было не больше числа аргументов. Тогда вместо частной производной от аргумента, возникнет обыкновенная производная, умноженная на частную производную от аргумента. И в результате возникнет, обыкновенное, дифференциальное, возможно нелинейное уравнение, которое я и решаю.
По поводу сведения уравнения относительно вектора к скаляру. Оказалось, что функция от которой зависит решение это метрический интервал. Т.е. имеем , кроме того имеем . Т.е. и аргумент и вектор функция образуют сферу, и зависят от одного параметра. Т.е .
Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений свелось к зависимости V(s). Эту зависимость можно пересчитать к векторной зависимости. Скажу более, чтобы найти проекцию на ось нужно приравнять тогда получим . При этом имеет определяемый вид и зависит от величины s.
1. Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение (или «DE») содержит производных или дифференциалов .
Наша задача решить дифференциальное уравнение. В какой-то момент это потребует интеграции, и мы (в основном) получим выражение типа « y = …».
Вспомните из раздела «Дифференциал» в главе «Интеграция», что дифференциал можно рассматривать как производную , где `dy / dx` фактически не записывается в дробной форме.
Примеры дифференциалов
dx (это означает «бесконечно малое изменение в x »)
`d \ theta` (это означает« бесконечно малое изменение в `\ theta`»)
`dt` (это означает« бесконечно малое изменение в т »)
Примеры дифференциальных уравнений
Пример 1
Мы видели следующий пример во введении к этой главе. Он включает производную, `dy / dx`:
`(dy) / (dx) = x ^ 2-3`
Как и раньше, интегрируем.3 / 3-3x + К`
Но откуда этот dy ушел из `(dy) / (dx)`? Почему оно как будто исчезло?
В этом примере кажется, что мы интегрируем только часть x (справа), но на самом деле мы интегрировали также и относительно y (слева). DE похожи на это — вам нужно интегрировать по одной (иногда и больше) разных переменных, по одной за раз.
Мы могли бы написать наш вопрос, используя только дифференциалы :
dy = ( x 2 — 3) dx
(Все, что я сделал, это умножил обе стороны исходного dy / dx в вопросе на dx .3 / 3-3x + К`
С левой стороны мы интегрировали int dy = int 1 dy, чтобы получить y.
Примечание о константе: Мы интегрировали обе стороны, но есть константа интеграции только с правой стороны. Что случилось с тем, что слева? Ответ довольно прост. 2 d \ theta = sin (t + 0.3} / 3 = -cos (t + 0,2) + K`
Мы проинтегрировали по θ слева и по t справа.
Вот график нашего решения, взяв K = 2:
Типичный график решения для примера 2 DE: `theta (t) = root (3) (- 3cos (t + 0.2) +6)`.
Решение дифференциального уравнения
Из приведенных выше примеров мы видим, что решение DE означает нахождение уравнение без производных, удовлетворяющее заданной DE.Решение дифференциального уравнения всегда требует одного или нескольких интеграции шага.
Важно уметь идентифицировать тип DE , с которым мы имеем дело, прежде чем пытаться реши это.
Определения
DE первого порядка: Содержит только первые производные
DE второго порядка: Содержит вторые производные (и возможно также первые производные)
Степень: наивысшая мощность из наивысшая производная , встречающаяся в DE.7-5лет = 3`
Это DE имеет порядок 2 (самая высокая производная вторая производная ) и степень 4 (степень старшей производной 4.)
Общие и частные решения
Когда мы впервые выполнили интеграцию, мы получили общий раствор (с постоянной K ).
Мы получили частное решение заменой известных значения для x и y .Эти известные условия называется граничными условиями (или начальных условия ).
Это та же концепция, что и при решении дифференциальных уравнений — сначала найдите общее решение, а затем замените заданные числа, чтобы найти частные решения.
Рассмотрим несколько примеров ДУ первого порядка и первой степени.
Пример 4
а. Найдите общее решение для дифференциала уравнение
`dy + 7x dx = 0`
г.2 + К`
Ответ тот же — способ его написания и мышления немного отличается.
ПРИМЕЧАНИЕ 2: «int dy» означает «int1 dy», что дает нам ответ «y».
У нас также могло быть:
`intdt = t`
`intd theta = theta`
`int da = a`
и так далее. В этом разделе мы будем часто сталкиваться с такими интегралами.
(b) Теперь мы используем информацию y (0) = 3, чтобы найти K.2 + 3`.
Пример 5
Найдите частное решение
`y ‘= 5`
с учетом того, что когда `x = 0, y = 2`.
Ответ
Мы можем написать
y ‘ = 5
как дифференциальное уравнение:
dy = 5 dx
Объединение обеих сторон дает:
y = 5 x + K
Применяя граничные условия: x = 0, y = 2, получаем K = 2, поэтому:
y = 5 x + 2
Пример 6
Найдите частное решение
`у » = 0`
при том, что:
у (0) = 3, у (1) = 4, у (2) = 6`
Ответ
Поскольку y » ‘ = 0, когда мы интегрируем один раз, получаем:
y ‘ = A ( A — постоянная)
Повторное интегрирование дает:
y ‘ = Ax + B ( A, B — константы)
Еще раз:
`y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` ( A, B и C — константы)
Граничные условия:
y (0) = 3, y ‘ (1) = 4, y’ ‘ (2) = 6
Нам нужно подставить эти значения в наши выражения для y » и y ‘ и наше общее решение, `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` .
Сейчас
y (0) = 3 дает C = 3.
и
y ‘ (2) = 6 дает A = 6
(на самом деле y » = 6 для любого значения x в этой задаче, поскольку нет члена x )
Наконец,
y ‘ (1) = 4 дает B = -2.
Итак, конкретное решение этого вопроса:
y = 3 x 2 — 2 x + 3
Проверка решения путем дифференцирования и подстановки начальных условий:
y ‘= 6 x — 2
y ‘ (1) = 6 (1) — 2 = 4
y ‘= 6
y » = 0
Наше решение правильное.
Пример 7
После решения дифференциала уравнение,
`(dy) / (dx) ln x-y / x = 0`
(мы увидим, как решить эту DE в следующих раздел Разделение переменных), получаем результат
`y = c ln x`
Приняли ли мы правильное общее решение?
Ответ
Теперь, если `y = c ln x`, то` (dy) / (dx) = c / x`
[См. Производную логарифмической функции, если вы не знаете этого.)
Так
`» LHS «= (dy) / (dx) ln x-y / x`
`= (c / x) ln x — ((c ln x)) / x`
`= 0`
`=» RHS «`
Делаем вывод, что у нас есть правильное решение.
DE второго порядка
Мы включили сюда еще два примера, чтобы дать вам представление о DE второго порядка. Позже в этой главе мы увидим, как решать такие линейные DE второго порядка.
Пример 8
Общее решение второго порядка DE
y ‘+ a 2 y = 0
это
`y = A cos ax + B sin ax`
Пример 9
Общее решение второго порядка DE
y ‘- 3 y ‘ + 2 y = 0
это
y = Ae 2 x + Be x
Если у нас есть следующие граничные условия:
y (0) = 4, y ‘ (0) = 5
, то конкретное решение дает:
y = e 2 x + 3 e x
Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием DE второго порядка, где нам дается окончательный ответ, и нам нужно проверить, является ли это правильным решением. (2x)`
Это очевидно.2) = 2 (dy) / (dx) `
Руководство по решению дифференциальных уравненийВ нашем мире все меняется, и , описывающий, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением.
Примеры из реального мира, где Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловую поток, планетарное движение, экономические системы и многое другое!
Решение
Дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.
Пример: рост населения
Это короткое уравнение говорит, что популяция «N» увеличивается (в любой момент) по мере того, как скорость роста умножается на численность населения в этот момент:
dN dt = rN
Но и так не очень-то полезно.
Нам нужно решить это!
Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или набор функций y), удовлетворяющий уравнению, и тогда его можно успешно использовать.
Пример: продолжение
В нашем примере решено с помощью этого уравнения:
N (t) = N 0 e rt
Что там написано? Давайте воспользуемся этим, чтобы увидеть:
При т в месяцах, численности населения, которое начинается с 1000 ( N 0 ) и темпах роста 10% в месяц ( r ), мы получаем:
- N (1 месяц) = 1000e 0,1×1 = 1105
- N (6 месяцев) = 1000e 0.1×6 = 1822
- и т. Д.
Не существует волшебного способа решить всех дифференциальных уравнений.
Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли разные методы (возможно, длинные и сложные!) Решения или типов дифференциальных уравнений.
Итак, возьмем посмотрите несколько различных типов дифференциальных уравнений и способы их решения:
Разделение переменных
Разделение переменных может использоваться, когда:
- Все члены y (включая dy) можно переместить в одну сторону уравнения, и
- Все члены x (включая dx) на другую сторону.
Если это так, мы можем интегрировать и упростить, чтобы получить решение.
Линейное письмо Первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка относятся к этому типу:
dy dx + P (x) y = Q (x)
Где P (x) и Q (x) — функции от x.Они относятся к «первому порядку», когда имеется только dy dx (не d 2 y dx 2 или d 3 y dx 3 и др.)
Примечание: нелинейное дифференциальное уравнение часто трудно решить, но иногда мы можем аппроксимировать его линейным дифференциальным уравнением найти более простое решение.
Однородные уравнения
Уравнение Бернулли
Уравнения Бернулла имеют следующий общий вид:
dy dx + P (x) y = Q (x) y n
где n — любое вещественное число, но не 0 или 1
- Когда n = 0, уравнение может быть решено как линейное уравнение первого порядка. Дифференциальное уравнение.
- При n = 1 уравнение можно решить, используя разделение Переменные.
Для других значений n мы можем решить его, подставив u = y 1 − n и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решив это).
Уравнение второго порядка
второго порядка (однородные) относятся к типу:
d 2 y dx + P (x) dy dx + Q (x) y = 0
Обратите внимание, что существует вторая производная d 2 y dx 2
общее уравнение второго порядка выглядит так
a (x) d 2 y dx 2 + b (x) dy dx + c (x) y = Q (x)
Среди этих уравнения.
Они классифицируются как однородные (Q (x) = 0), неоднородные, автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и т. д.
Для неоднородных уравнений общее решение представляет собой сумму:
- раствор соответствующего однородного уравнение, и
- частное решение неоднородное уравнение
Неопределенные коэффициенты
Неопределенный Метод коэффициентов работает для неоднородного уравнения, например:
d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)
, где f (x) — полином , экспонента, синус, косинус или линейная комбинация этих .(Более общую версию см. В разделе «Изменение параметров» ниже)
Этот метод также включает в себя предположение !Изменение параметров
Вариант of Parameters немного сложнее, но работает с более широким набором функций, чем предыдущий Undetermined Коэффициенты .
Точные уравнения и интегрирующие множители
Точные уравнения и интегрирующие множители можно использовать для такого дифференциального уравнения первого порядка:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
, который должен иметь некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой могут быть заменены M и N следующим образом:
∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0
Наша задача — найти эту магическую функцию I (x, y), если она существует.Сравнение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП)
Все методы до сих пор известны как обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Термин обычный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.
Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для решить их.
Они называются дифференциальными уравнениями в частных производных (PDE), и извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Возможно, вам сначала захочется прочитать о дифференциальных уравнениях
и разделении переменных!
Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:
Пример: уравнение с функцией y и ее
производная dy dx
Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений, называемых линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Первый орден
Они «Первого Ордена», когда их всего dy dx , а не d 2 y dx 2 или d 3 y dx 3 и т. Д.
Линейный
Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , если его можно сделать так:
dy dx + Р (х) у = Q (х)
Где P (x) и Q (x) — функции от x.
Для ее решения есть специальный метод:
- Мы изобретаем две новые функции от x, называем их u и v и говорим, что y = uv .
- Затем мы решаем найти и , а затем находим и , приводим в порядок, и все готово!
И мы также используем производную y = uv (см. Производные правила (правило продукта)):
dy dx = u дв dx + v du dx
ступеньки
Вот пошаговый метод их решения:
Давайте посмотрим на примере, чтобы увидеть:
Пример 1: Решите это:
dy dx — л х = 1
Во-первых, это линейно? Да, так как в форме
dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = — 1 х и Q (x) = 1
Итак, давайте выполним шаги:
Шаг 1: Подставляем y = uv и . dy dx = u дв dx + v du dx
Так это: dy dx — л х = 1
Становится этим: u дв dx + v du dx — УФ х = 1
Шаг 2: Разложите на множители детали v
Фактор v : u дв dx + v ( du dx — u х ) = 1
Шаг 3. Положите член v равным нулю
v член равен нулю: du dx — u х = 0
Итак: du dx знак равно u х
Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u
Отдельные переменные: du u знак равно dx х
Поставьте знак интеграла: ∫ du u = ∫ dx х
Интегрировать: ln (u) = ln (x) + C
Сделайте C = ln (k): ln (u) = ln (x) + ln (k)
Итак: u = kx
Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2
(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx дв dx = 1
Шаг 6: Решите это, чтобы найти v
Отдельные переменные: k dv = dx х
Поставить знак интеграла: ∫k дв. = ∫ dx х
Интегрировать: kv = ln (x) + C
Сделайте C = ln (c): kv = ln (x) + ln (c)
И так: kv = ln (cx)
И так: v = 1 к ln (сх)
Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.
y = uv: y = kx 1 к ln (сх)
Упростить: y = x ln (cx)
И он производит это прекрасное семейство кривых:
y = x ln (cx) для различных значений c
Что означают эти кривые?
Они являются решением уравнения dy dx — л х = 1
Другими словами:
В любом месте на любой из этих кривых
наклон минус л х равно 1
Давайте проверим несколько точек на c = 0.6 кривая:
Расчет по графику (до 1 знака после запятой):
| Точка | х | y | Уклон ( dy dx ) | dy dx — л х |
|---|---|---|---|---|
| А | 0.6 | -0,6 | 0 | 0 — -0,6 0,6 = 0 + 1 = 1 |
| Б | 1,6 | 0 | 1 | 1 — 0 1,6 = 1 — 0 = 1 |
| С | 2,5 | 1 | 1.4 | 1,4 — 1 2,5 = 1,4 — 0,4 = 1 |
Почему бы не проверить несколько пунктов самостоятельно? Здесь вы можете построить кривую.
Может, вам поможет еще один пример? Может, посложнее?
Пример 2: Решите это:
dy dx — 3 года х = х
Во-первых, это линейно? Да, так как в форме
dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = — 3 х и Q (x) = x
Итак, давайте выполним шаги:
Шаг 1: Подставляем y = uv и . dy dx = u дв dx + v du dx
Так это: dy dx — 3 года х = х
Становится этим: u дв dx + v du dx — 3uv х = х
Шаг 2: Разложите на множители детали v
Фактор v : u дв dx + v ( du dx — 3u х ) = х
Шаг 3. Положите член v равным нулю
v член = ноль: du dx — 3u х = 0
Итак: du dx знак равно 3u х
Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u
Отдельные переменные: du u = 3 dx х
Поставьте знак интеграла: ∫ du u = 3 ∫ dx х
Интегрировать: ln (u) = 3 ln (x) + C
Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = 3ln (x)
Тогда: uk = x 3
Итак: u = x 3 к
Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2
(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 x 3 к ) дв dx = х
Шаг 6: Решите это, чтобы найти v
Отдельные переменные: dv = k x -2 dx
Поставьте знак интеграла: ∫dv = ∫k x -2 dx
Интегрировать: v = −k x -1 + D
Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.
у = УФ: у = x 3 к (−k x -1 + D)
Упростить: y = −x 2 + D к х 3
Заменить D / k одной константой c : y = c х 3 — х 2
И он производит это прекрасное семейство кривых:
у = с
x 3 — x 2 для различных значений c
И еще один пример, на этот раз еще на сложнее :
Пример 3: Решите это:
dy dx + 2xy = −2x 3
Во-первых, это линейно? Да, так как в форме
dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = 2x и Q (x) = −2x 3
Итак, давайте выполним шаги:
Шаг 1: Подставляем y = uv и . dy dx = u дв dx + v du dx
Так это: dy dx + 2xy = −2x 3
Становится этим: u дв dx + v du dx + 2xuv = −2x 3
Шаг 2: Разложите на множители детали v
Фактор v : u дв dx + v ( du dx + 2xu ) = −2x 3
Шаг 3. Положите член v равным нулю
v член = ноль: du dx + 2xu = 0
Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u
Отдельные переменные: du u = −2x dx
Поставьте знак интеграла: ∫ du u = −2∫x dx
Интегрировать: ln (u) = −x 2 + C
Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = −x 2
Тогда: uk = e -x 2
Итак: u = e -x 2 к
Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2
(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 e -x 2 к ) дв dx = −2x 3
Шаг 6: Решите это, чтобы найти v
Отдельные переменные: dv = −2k x 3 e x 2 dx
Поставить знак интеграла: ∫dv = ∫ − 2k x 3 e x 2 dx
Интегрировать: v = о нет! это трудно!
Посмотрим… мы можем интегрировать по частям … где написано:
∫RS dx = R∫S dx — ∫R ‘(∫S dx) dx
(Боковое примечание: здесь мы используем R и S, использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)
Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:
Итак, вперед:
Первый вытащить k: v = k∫ − 2x 3 e x 2 dx
R = −x 2 и S = 2x e x 2 : v = k∫ (−x 2 ) (2xe x 2 ) dx
Теперь интегрировать по частям: v = kR∫S dx — k∫R ‘(∫ S dx) dx
Положим R = −x 2 и S = 2x e x 2
А также R ‘= −2x и ∫ S dx = e x 2
Таким образом, получается: v = −kx 2 ∫2x e x 2 dx — k∫ − 2x (e x 2 ) dx
Теперь интегрируйте: v = −kx 2 e x 2 + k e x 2 + D
Упростить: v = ke x 2 (1 − x 2 ) + D
Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.
у = УФ: у = e -x 2 к (ke x 2 (1 − x 2 ) + D)
Упростить: y = 1 — x 2 + ( D к ) д — x 2
Заменить D / k на одну константу c : y = 1 — x 2 + c е — x 2
И мы получаем красивое семейство кривых:
y = 1 — x 2 +
c
e — x 2 для различных значений c
9429, 9430, 9431, 9432, 9433, 9434, 9435, 9436, 9437, 9438
Точные уравнения и интегрирующие множители
Привет! Возможно, вам сначала захочется узнать о дифференциальных уравнениях и частных производных!
Точное уравнение
«Точное» уравнение — это дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
имеет некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой могут быть заменены M и N следующим образом:
∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0
, и наша задача — найти эту магическую функцию I (x, y), если она существует.
Мы можем знать с самого начала, точное это уравнение или нет!
Представьте, что мы делаем следующие частные производные:
∂M ∂y = ∂ 2 I ∂y ∂x
∂N ∂x = ∂ 2 I ∂y ∂x
у них получается то же ! Так и будет:
∂M ∂y = ∂N ∂x
Когда это правда, у нас есть «точное уравнение», и мы можем продолжить.
И чтобы открыть I (x, y) , мы делаем ЛИБО :
- I (x, y) = ∫M (x, y) dx (с x в качестве независимой переменной), OR
- I (x, y) = ∫N (x, y) dy (с y в качестве независимой переменной)
И затем есть некоторая дополнительная работа (мы покажем вам), чтобы прийти к общему решению
Я (х, у) = С
Давайте посмотрим на это в действии.
Пример 1: Решить(3x 2 y 3 — 5x 4 ) dx + (y + 3x 3 y 2 ) dy = 0
В данном случае имеем:
- M (x, y) = 3x 2 y 3 — 5x 4
- N (x, y) = y + 3x 3 y 2
Мы оцениваем частные производные для проверки их точности.
- ∂M ∂y = 9x 2 y 2
- ∂N ∂x = 9x 2 y 2
Они такие же! Итак, наше уравнение точное.
Мы можем продолжить.
Теперь мы хотим открыть I (x, y)
Сделаем интеграцию с x в качестве независимой переменной:
I (x, y) = ∫M (x, y) dx
= ∫ (3x 2 y 3 — 5x 4 ) dx
= x 3 y 3 — x 5 + f (y)
Примечание. f (y) — это наша версия константы интегрирования «C», потому что (из-за частной производной) у нас было y в качестве фиксированного параметра, который, как мы знаем, действительно является переменной.
Итак, теперь нам нужно найти f (y)
В самом начале этой страницы мы сказали, что N (x, y) можно заменить на ∂I ∂y , поэтому:
∂I ∂y = N (x, y)
Что нас подводит:
3x 3 y 2 + df dy = y + 3x 3 y 2
Условия отмены:
df dy = y
Объединение обеих сторон:
f (y) = y 2 2 + C
У нас есть f (y). Теперь просто положи на место:
I (x, y) = x 3 y 3 — x 5 + y 2 2 + C
и общее решение (как упоминалось перед этим примером):
Я (х, у) = С
Ой! Эта буква «C» может иметь значение, отличное от предыдущей буквы «C». Но оба они означают «любая константа», поэтому назовем их C 1 и C 2 , а затем превратим их в новый C ниже, сказав C = C 1 + C 2
Получаем:
x 3 y 3 — x 5 + y 2 2 = C
И вот как работает этот метод!
Поскольку это был наш первый пример, давайте продолжим и убедимся, что наше решение верное.
Выведем I (x, y) относительно к x, то есть:
Начать с:
I (x, y) = x 3 y 3 — x 5 + y 2 2
Использование неявного дифференциация получаем
∂I ∂x = x 3 3y 2 y ‘ + 3x 2 y 3 — 5x 4 + yy ‘
Упростить
∂I ∂x = 3x 2 y 3 — 5x 4 + y ‘(y + 3x 3 y 2 )
Мы используем факты, что y ‘= dy dx и ∂I ∂x = 0, затем умножаем все на dx, чтобы в итоге получить:
(y + 3x 3 y 2 ) dy + (3x 2 y 3 — 5x 4 ) dx = 0
, которое является нашим исходным дифференциальным уравнением.
Итак, мы знаем, что наше решение правильное.
Пример 2: Решить(3x 2 — 2xy + 2) dx + (6y 2 — x 2 + 3) dy = 0
- M = 3x 2 — 2xy + 2
- N = 6y 2 — x 2 + 3
Итак:
- ∂M ∂y = −2x
- ∂N ∂x = −2x
Уравнение точное!
Теперь найдем функцию I (x, y)
На этот раз попробуем I (x, y) = ∫N (x, y) dy
Итак, I (x, y) = ∫ (6y 2 — x 2 + 3) dy
I (x, y) = 2y 3 — x 2 y + 3y + g (x) (уравнение 1)
Теперь мы продифференцируем I (x, y) по x и установим его равным M:
∂I ∂x = M (x, y)
0 — 2xy + 0 + g ‘(x) = 3x 2 — 2xy + 2
−2xy + g ‘(x) = 3x 2 — 2xy + 2
г ‘(x) = 3x 2 + 2
И выход интеграции:
г (х) = х 3 + 2x + C (уравнение 2)
Теперь мы можем заменить g (x) в уравнении 2 в уравнении 1:
I (x, y) = 2y 3 — x 2 y + 3y + x 3 + 2x + C
И общее решение имеет вид
Я (х, у) = С
и так (помня, что предыдущие две «C» — разные константы, которые можно свести в одну, используя C = C 1 + C 2 ), мы получаем:
2 года 3 — x 2 y + 3y + x 3 + 2x = C
Решено!
Пример 3: Решить
(xcos (y) — y) dx + (xsin (y) + x) dy = 0
У нас:
M = (xcos (y) — y) dx
∂M ∂y = −xsin (y) — 1
N = (xsin (y) + x) dy
∂N ∂x = sin (y) +1
Таким образом
∂M ∂y ≠ ∂N ∂x
Итак, это уравнение
не совсем!
Пример 4: Решить
[y 2 — x 2 sin (xy)] dy + [cos (xy) — xy sin (xy) + e 2x ] dx = 0
M = cos (xy) — xy sin (xy) + e 2x
∂M ∂y = −x 2 y cos (xy) — 2x sin (xy)
N = y 2 — x 2 sin (xy)
∂N ∂x = −x 2 y cos (xy) — 2x sin (xy)
Они такие же! Итак, наше уравнение точное.
На этот раз мы оценим I (x, y) = ∫M (x, y) dx
I (x, y) = ∫ (cos (xy) — xy sin (xy) + e 2x ) dx
Используя интеграцию по частям, получаем:
I (x, y) = 1 y sin (xy) + x cos (xy) — 1 y sin (xy) + 1 2 e 2x + f (y)
I (x, y) = x cos (xy) + 1 2 e 2x + f (y)
Теперь оценим производную по y
∂I ∂y = −x 2 sin (xy) + f ‘(y)
И это равно N, что равно M:
∂I ∂y = N (x, y)
−x 2 sin (xy) + f ‘(y) = y 2 — x 2 sin (xy)
f ‘(y) = y 2 — x 2 sin (xy) + x 2 sin (xy)
f ‘(y) = y 2
f (y) = 1 3 y 3
Таким образом, наше общее решение I (x, y) = C становится:
xcos (xy) + 1 2 e 2x + 1 3 y 3 = C
Готово!
Интегрирующие факторы
Некоторые неточные уравнения можно умножить на некоторый коэффициент, a функция u (x, y) , чтобы сделать их точными.
Когда эта функция u (x, y) существует, она называется интегрирующим коэффициентом . Это сделает действительным следующее выражение:
∂ (u · N (x, y)) ∂x = ∂ (u · M (x, y)) ∂y
Есть несколько особых случаев:- u (x, y) = x m y n
- u (x, y) = u (x) (то есть u является функцией только от x)
- u (x, y) = u (y) (что есть, u является функцией только y)
Давайте посмотрим на те случаи…
Интегрирующие коэффициенты с использованием u (x, y) = x
m y n Пример 5: (y 2 + 3xy 3 ) dx + (1 — ху) dy = 0
M = y 2 + 3xy 3
∂M ∂y = 2y + 9xy 2
N = 1 — ху
∂N ∂x = −y
Итак, ясно, что ∂M ∂y ≠ ∂N ∂x
Но мы можем попытаться сделать точным , умножив каждую часть уравнение по x m y n :
(x м y n y 2 + x m y n 3xy 3 ) dx + (x m y n — x m y n xy) dy = 0
Что «упрощает» до:
(x м y n + 2 + 3x m + 1 y n + 3 ) dx + (x m y n — x m + 1 y n + 1 ) dy = 0
А теперь у нас:
M = x м y n + 2 + 3x m + 1 y n + 3
∂M ∂y = (n + 2) x m y n + 1 + 3 (n + 3) x m + 1 y n + 2
N = x м y n — x м + 1 y n + 1
∂N ∂x = mx m − 1 y n — (m + 1) x m y n + 1
И мы хотим ∂M ∂y = ∂N ∂x
Итак, давайте выберем правильные значения: m и n , чтобы уравнение было точным.
Уравнять:
(n + 2) x m y n + 1 + 3 (n + 3) x m + 1 y n + 2 = mx m − 1 y n — (m + 1) x м y n + 1
Заказать и упростить:
[(m + 1) + (n + 2)] x m y n + 1 + 3 (n + 3) x m + 1 y n + 2 — mx m − 1 y n = 0
Чтобы он был равен нулю, каждый коэффициент должен быть равен нулю, поэтому:
- (м + 1) + (п + 2) = 0
- 3 (п + 3) = 0
- м = 0
Последний, m = 0 , очень помогает! При m = 0 можно рассчитать, что n = −3
И результат:
x м y n = г −3
Теперь мы знаем, как умножить наше исходное дифференциальное уравнение на y −3 :
(y −3 y 2 + y −3 3xy 3 ) dx + (y −3 — y −3 xy) dy
Что становится:
(y −1 + 3x) dx + (y −3 — xy −2 ) dy = 0
И это новое уравнение должно быть точным, но давайте еще раз проверим:
M = y -1 + 3х
∂M ∂y = −y −2
N = y −3 — xy −2
∂N ∂x = −y −2
∂M ∂y = ∂N ∂x
Они такие же! Наше уравнение теперь точное !
Итак, продолжим:
I (x, y) = ∫N (x, y) dy
I (x, y) = ∫ (y −3 — xy −2 ) dy
I (x, y) = −1 2 y −2 + xy −1 + g (x)
Теперь, чтобы определить функцию g (x), мы оцениваем
∂I ∂x = y −1 + g ‘(x)
И это равняется M = y −1 + 3x, поэтому:
y −1 + g ‘(x) = y −1 + 3x
А так:
г ‘(x) = 3x
г (x) = 3 2 x 2
Итак, наше общее решение I (x, y) = C:
−1 2 y −2 + xy −1 + 3 2 x 2 = C
Интегрирующие множители с использованием u (x, y) = u (x)
Для u (x, y) = u (x) мы должны проверить это важное условие:
Выражение:
Z (x) = 1 N [ ∂M ∂y — ∂N ∂x ]
должен иметь , а не , иметь член y , так что интегрирующий коэффициент является функцией только x
Если вышеупомянутое условие верно, то наш интегрирующий коэффициент:
u (x) = e ∫Z (x) dx
Давайте попробуем пример:
Пример 6: (3xy — y 2 ) dx + x (x — y) dy = 0M = 3xy — y 2
∂M ∂y = 3x — 2y
N = х (х — у)
∂N ∂x = 2x — y
∂M ∂y ≠ ∂N ∂x
Итак, наше уравнение , а не точно.Вычислим Z (x):
Z (x) = 1 N [ ∂M ∂y — ∂N ∂x ]
= 1 N [3x − 2y — (2x − y)]
= x − y x (x − y)
= 1 х
Итак, Z (x) — это функция только от x, yay !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Итак, наш интегрирующий коэффициент равен
u (x) = e ∫Z (x) dx
= e ∫ (1 / x) dx
= e ln (x)
= х
Теперь, когда мы нашли интегрирующий коэффициент, давайте умножим дифференциальное уравнение по нему.
x [(3xy — y 2 ) dx + x (x — y) dy = 0]
и получаем
(3x 2 y — xy 2 ) dx + (x 3 — x 2 y) dy = 0
Теперь должно быть точно. Проверим:
M = 3x 2 y — xy 2
∂M ∂y = 3x 2 — 2xy
N = x 3 — x 2 y
∂N ∂x = 3x 2 — 2xy
∂M ∂y = ∂N ∂x
Итак, наше уравнение точное!
Теперь решаем так же, как и в предыдущих примерах.
I (x, y) = ∫M (x, y) dx
= ∫ (3x 2 y — xy 2 ) dx
= x 3 y — 1 2 x 2 y 2 + c 1
И мы получаем общее решение I (x, y) = c:x 3 y — 1 2 x 2 y 2 + c 1 = c
Объедините константы:
x 3 y — 1 2 x 2 y 2 = c
Решено!
Интегрирующие множители с использованием u (x, y) = u (y)
u (x, y) = u (y) очень аналогично предыдущему случаю u (x, y) = и (х)
Итак, аналогично имеем:
Выражение
1 M [ ∂N ∂x — ∂M ∂y ]
должен иметь , а не иметь член x , чтобы интегрирующий коэффициент должен быть функцией только от до .
И если это условие выполняется, мы называем это выражение Z (y) , а наш интегрирующий коэффициент равен
.u (y) = e ∫Z (y) dy
И мы можем продолжить, как в предыдущем примере
И вот оно!
Разделение переменных
Разделение переменных — это специальный метод решения некоторых дифференциальных уравнений
Когда я могу его использовать?
Разделение переменных может использоваться, когда:
Все члены y (включая dy) можно переместить в одну сторону уравнения, а
Все члены x (включая dx) на другую сторону.
Метод
Три ступени:
- Шаг 1 Переместите все члены y (включая dy) в одну сторону уравнения и все члены x (включая dx) в другую сторону.
- Шаг 2 Интегрируйте одну сторону относительно y , а другую сторону относительно x . Не забудьте «+ C» (постоянная интегрирования).
- Шаг 3 Упростить
Пример: Решите это (k — константа):
dy dx = ky
Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения и все члены x в другую сторону:
Умножаем обе стороны на dx: dy = ky dx
Разделите обе стороны на y: dy y = k dx
Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:
Поставьте знак интеграла впереди: ∫ dy y = ∫ k dx
Интегрируйте левую часть: ln (y) + C = ∫ k dx
Интегрируйте правую часть: ln (y) + C = kx + D
C — постоянная интегрирования.И мы используем D для другого, поскольку это другая константа.
Шаг 3 Упростить:
Мы можем свести две константы в одну (a = D − C): ln (y) = kx + a
И e kx + a = e kx e a , поэтому получаем: y = e kx e a
e a — это просто константа, поэтому мы заменяем ее на c : y = ce kx
Мы решили:
y = ce kx
Это общий тип дифференциального уравнения первого порядка, который встречается во всевозможных неожиданных местах в реальных примерах.
Мы использовали y и x , но тот же метод работает для других имен переменных, например:
Пример: кролики!
Чем больше у вас будет кроликов, тем больше у вас будет кроликов. Потом кролики вырастают и тоже заводят детей! Население будет расти все быстрее и быстрее.
Важными частями этого являются:
- население N в любое время т
- темп роста р
- Скорость изменения населения dN dt
Скорость изменения в любой момент равна скорости роста, умноженной на численность населения:
dN dt = rN
Но привет! Это то же самое, что и уравнение, которое мы только что решили! Просто у него разные буквы:
- N вместо y
- т вместо х
- r вместо k
Итак, мы можем перейти к решению:
N = CE RT
А вот пример графика N = 0.3e 2t :
Экспоненциальный рост
Есть и другие уравнения, которые следуют этому шаблону, например, непрерывные сложные проценты.
Другие примеры
Хорошо, перейдем к различным примерам разделения переменных:
Пример: Решите это:
dy dx = 1 y
Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения и все члены x в другую сторону:
Умножаем обе стороны на dx: dy = (1 / y) dx
Умножаем обе стороны на y: y dy = dx
Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:
Поставьте знак интеграла впереди: ∫ y dy = ∫ dx
Интегрируйте каждую сторону: (y 2 ) / 2 = x + C
Мы объединили обе стороны в одну линию.
Мы также использовали сокращение только одной константы интегрирования C. Это совершенно нормально, поскольку мы могли бы иметь + D на одном, + E на другом и просто сказать, что C = E − D.
Шаг 3 Упростить:
Умножаем обе стороны на 2: y 2 = 2 (x + C)
Квадратный корень из обеих частей: y = ± √ (2 (x + C))
Примечание: это не то же самое, что y = √ (2x) + C, потому что C было добавлено до того, как мы взяли квадратный корень.Это часто случается с дифференциальными уравнениями. Мы не можем просто добавить C в конце процесса. Он добавляется при интеграции.
Мы решили:
y = ± √ (2 (x + C))
Более сложный пример:
Пример: Решите это:
dy dx = 2xy 1 + x 2
Шаг 1 Разделите переменные:
Умножьте обе стороны на dx, разделите обе стороны на y:
1 y dy = 2x 1 + x 2 dx
Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:
∫ 1 y dy = ∫ 2x 1 + x 2 dx
Левая часть представляет собой простой логарифм, правая часть может быть интегрирована с помощью замены:
Пусть u = 1 + x 2 , поэтому du = 2x dx : ∫ 1 y dy = ∫ 1 u du
Интегрировать: ln (y) = ln (u) + C
Тогда получаем C = ln (k) : ln (y) = ln (u) + ln (k)
Итак, мы можем получить это: y = uk
Теперь снова положим u = 1 + x 2 : y = k (1 + x 2 )
Шаг 3 Упростить:
Это уже настолько просто, насколько это возможно.Решили:
у = к (1 + х 2 )
Еще более сложный пример: знаменитое уравнение Ферхульста
Пример: снова кролики!
Помните наше дифференциальное уравнение роста:
dN dt = rN
Что ж, этот рост не может продолжаться вечно, так как у них скоро закончится доступная еда.
Парень по имени Ферхульст включил тыс. (максимальное количество населения, которое может поддерживать еда), чтобы получить:
dN dt = rN (1 − N / k)
Уравнение Ферхюльста
Можно ли это решить?
Да, с помощью одной хитрости…
Шаг 1 Разделите переменные:
Умножаем обе части на dt: dN = rN (1 − N / k) dt
Разделите обе стороны на N (1-N / k): 1 N (1-N / k) dN = r dt
Шаг 2 Интегрировать:
∫ 1 N (1 − N / k) dN = ∫ r dt
Хммм … левую сторону сложно интегрировать. На самом деле это можно сделать с помощью небольшого трюка с частичными дробями… переставляем так:
Начнем с этого: 1 N (1 − N / k)
Умножить верх и низ на k: k N (k − N)
Вот трюк, добавьте N и −N к вершине: N + k − N N (k − N)
и разделить его на две фракции: N N (k − N) + k − N N (k − N)Упростите каждую дробь: 1 k − N + 1 N
Теперь решить намного проще.Мы можем интегрировать каждый термин отдельно, например:
Теперь наше полное уравнение выглядит следующим образом: ∫ 1 k − N dN + ∫ 1 N dN = ∫ r dt
Интегрировать: −ln (k − N) + ln (N) = rt + C
(Почему это стало минус ln (k − N)? Потому что мы интегрируем по N.)
Шаг 3 Упростить:
Отрицательное из всех членов: ln (k − N) — ln (N) = −rt — C
Объединить ln (): ln ((k − N) / N) = −rt — C
Разделите степени e: (k − N) / N = e −rt e −C
e −C — постоянная, мы можем заменить ее на A: (k − N) / N = Ae −rt
Мы приближаемся! Еще немного алгебры, чтобы получить N само по себе:
Разделите члены дроби: (k / N) −1 = Ae −rt
Добавьте 1 к обеим сторонам: k / N = 1 + Ae −rt
Разделим оба значения на k: 1 / N = (1 + Ae −rt ) / k
Взаимное значение обеих сторон: N = k / (1 + Ae −rt )
И у нас есть решение:
N = к 1 + Ae −rt
Вот пример , график 40 1 + 5e −2t
Начинает расти экспоненциально,
затем выравнивается по мере достижения k = 40
17.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Начнем с рассмотрения уравнений, в которых только первая производная функции появляется.
Определение 17.1.1 Дифференциал первого порядка уравнение — это уравнение форма $ F (t, y, \ dot {y}) = 0 $. Решением дифференциального уравнения первого порядка является функция $ f (t) $, которая делает $ \ ds F (t, f (t), f ‘(t)) = 0 $ для каждого значения $ t $. $ \ квадрат $
Здесь $ F $ — функция трех переменные, которые мы помечаем как $ t $, $ y $ и $ \ dot {y} $.3/3 + t + 8/3 $. $ \ квадрат $
Общее уравнение первого порядка является слишком общим, т. Е. мы не можем описать методы, которые будут работать со всеми или даже с большим часть из них. Мы можем добиться прогресса с конкретными видами Дифференциальные уравнения первого порядка. Например, многое можно сказать об уравнениях вида $ \ ds \ dot {y} = \ phi (t, y) $, где $ \ phi $ является функцией двух переменных $ t $ и $ y $. При разумных условиях на $ \ phi $ такая уравнение имеет решение и соответствующее Задача начального значения имеет уникальное решение.Однако в целом эти уравнения могут быть очень сложными или невозможно решить явно.
Пример 17.1.6 Рассмотрим этот конкретный пример задачи начального значения. для закона охлаждения Ньютона: $ \ dot y = 2 (25-y) $, $ y (0) = 40 $. Мы сначала заметим, что если $ y (t_0) = 25 $, правая часть дифференциала уравнение равно нулю, поэтому постоянная функция $ y (t) = 25 $ является решением к дифференциальному уравнению. Это не решение начального проблема стоимости, поскольку $ y (0) \ not = 40 $. (Физическая интерпретация это постоянное решение состоит в том, что если жидкость имеет ту же температуру как и его окружение, тогда жидкость будет оставаться при этой температуре.{-2t} $ описывает все решения дифференциала уравнение $ \ ds \ dot y = 2 (25-y) $, и все решения ассоциированного проблемы с начальным значением. $ \ квадрат $
Почему мы могли решить эту проблему? Наше решение зависело от переписывания уравнение так, чтобы все экземпляры $ y $ находились по одну сторону уравнение и все экземпляры $ t $ были на другом; конечно, в в этом случае единственный $ t $ был изначально скрыт, так как мы не писали $ dy / dt $ в исходном уравнении. Однако этого не требуется.2} $, позволяя $ A $ быть равным нулю. $ \ квадрат $
Определение 17.1.8 Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид отделяемое если оно можно записать в виде $ \ dot {y} = f (t) g (y) $. $ \ квадрат $
Как и в примерах, мы можем попытаться решить разделимое уравнение с помощью преобразование в форму $$ \ int {1 \ над g (y)} \, dy = \ int f (t) \, dt. $$ Этот метод называется разделением переменные . Самый простой (в принципа) разновидностью разделяемого уравнения является уравнение, в котором $ g (y) = 1 $, в в каком случае мы пытаемся решить $$ \ int 1 \, dy = \ int f (t) \, dt.$$ Мы можем это сделать, если найдем антипроизводную от $ f (t) $.
Также, как мы уже видели, дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечное количество решений. В идеале, но обязательно не всегда соответствующая задача начального значения будет иметь только один решение. Решение, в котором не осталось неизвестных констант называется частное решение .
Общий подход к разделимым уравнениям таков: Предположим, мы хотим решить $ \ dot {y} = f (t) g (y) $, где $ f $ и $ g $ — непрерывные функции.2-1 $ имеет постоянные решения $ y (t) = 1 $ и $ y (t) = — 1 $.
Чтобы найти непостоянные решения, заметим, что функция $ 1 / g (y) $ непрерывна, где $ g \ not = 0 $, поэтому $ 1 / g $ имеет первообразную $ G $. Пусть $ F $ — первообразная $ f $. Теперь мы пишем $$ G (y) = \ int {1 \ over g (y)} \, dy = \ int f (t) \, dt = F (t) + C, $$ поэтому $ G (y) = F (t) + C $. Теперь решим это уравнение относительно $ y $.
Конечно, есть несколько мест, где можно было бы найти это идеальное описание. неправильно: нам нужно найти первообразные $ G $ и $ F $, и нам нужно решить окончательное уравнение для $ y $.В результате решения исходного дифференциального уравнения — постоянные решения, если таковые имеются, и все функции $ y $, удовлетворяющие $ G (y) = F (t) + C $.
Пример 17.1.9 Рассмотрим дифференциальное уравнение $ \ dot y = ky $. Когда $ k> 0 $, это описывает некоторые простые случаи роста населения: он говорит, что изменение населения $ y $ пропорционально Население. Основное предположение состоит в том, что каждый организм в текущая популяция воспроизводится с фиксированной скоростью, поэтому чем больше популяции, тем больше производится новых организмов.\ circ $? (отвечать)
Пр. 17.1.13 Решить логистическое уравнение $ \ dot {y} = ky (M-y) $. (Это несколько больше разумная популяционная модель в большинстве случаев, чем более простая $ \ dot y = ky $.) Нарисуйте эскиз график решения этого уравнения при $ M = 1000 $, $ k = 0,002 $, $ y (0) = 1 $. (отвечать)
Пр. 17.1.14 Предположим, что $ \ dot {y} = ky $, $ y (0) = 2 $ и $ \ dot {y} (0) = 3 $. Что такое $ y $? (отвечать)
Пр. 17.1.15 Радиоактивное вещество подчиняется уравнению $ \ dot {y} = ky $, где $ k0 $.В какое время остается половина массы? (Это известно как период полураспада. Обратите внимание, что период полураспада зависит от $ k $, но не на $ M $.) (отвечать)
Пример 17.1.16 Период полураспада висмута-210 составляет пять дней. Если там есть изначально 600 миллиграммов, сколько осталось через 6 дней? Когда будет осталось всего 2 миллиграмма? (отвечать)
Пр. 17.1.17 Период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет. Если начать со 100 миллиграммами углерода-14, сколько осталось после 6000 годы? Как долго нам придется ждать, пока не останется меньше двух? миллиграммы? (отвечать)
Пр. 17.1,18 Популяция определенного вида бактерий удваивается (или его масса) каждый час в лаборатории. Дифференциальное уравнение, моделирующее это явление это $ \ dot {y} = ky $, где $ k> 0 $ и $ y $ это популяция бактерий в момент времени $ t $. Что такое $ y $? (отвечать)
Пр. 17.1.19 Если определенный микроб удваивает свою популяцию каждые 4 часов и через 5 часов масса всего населения 500 грамм, какая была начальная масса? (отвечать)
17. Дифференциальные уравнения
Многие физические явления можно моделировать с помощью язык математического анализа.Например, данные наблюдений позволяют предположить, что что температура чашки чая (или другой жидкости) в комната с постоянной температурой со временем остынет со скоростью пропорционально разнице между комнатной температурой и температура чая.
В символах, если $ t $ — время, $ M $ — комнатная температура, и $ f (t) $ — температура чая в момент времени $ t $, тогда $ f ‘(t) = k (M-f (t)) $, где $ k> 0 $ — константа, которая будет зависеть от сорта чая. (или, в более общем смысле, жидкость), но не при комнатной температуре или температура чая.Это Закон охлаждения Ньютона и уравнение, которое мы только что записанный пример дифференциальное уравнение . В идеале мы бы хотели решить это уравнение, а именно найти функцию $ f (t) $, описывающую температура с течением времени, хотя это часто оказывается невозможно, и в этом случае необходимо использовать различные методы аппроксимации. использовал. Использование и решение дифференциальных уравнений является важным область математики; здесь мы видим, как решить несколько простых, но полезных типы дифференциального уравнения.
Неформально дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором одно или появляется больше производных какой-либо функции. Обычно научная теория создаст дифференциальное уравнение (или систему дифференциальные уравнения), который описывает или управляет некоторыми физическими процесс, но теория не даст желаемой функции или функционирует напрямую.
Напомним из раздела 6.2, что когда переменная — время, производная функции $ y (t) $ иногда записывается как $ \ dot y $ вместо $ y ‘$; это довольно часто встречается при изучении дифференциальные уравнения.