Определить область существования функции онлайн: Область определения функции онлайн

Содержание

Область определения функции двух переменных

Цели работы:

повторить и систематизировать нахождение области определения функции, закрепить это понятие и наглядно представить в координатной плоскости и в пространстве;
рассмотреть аналитические и геометрические методы не изолированно друг от друга, а в тесной взаимосвязи. Это позволит облегчить переход от стандартных решений конкретных математических задач к нестандартным;
воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности; восприятие компьютера, как инструмента обучения;
использование компьютера для нахождения области определения и построения графиков с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2, Copyright © 2000-2002 RomanLab Software и формирование информационной компетентности учащихся.

Определение функции двух переменных

Если каждой паре ( x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D.

Обозначается: z=f(x;y) или z=z(x;y).

Например, S=ab, S=S(a;b)- функции двух переменных; V=abc, V=V(a,b.c) – функция трех переменных;

A= – функция трех переменных.

Способы задания функций нескольких переменных

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто функция задается аналитически — это явное задание функции или неявное задание

Например, — это явно заданная функция двух переменных; уравнение задает неявно две функции двух переменных.

Область определения функции

Непрерывное множество пар значений независимых переменных , при которых функцияопределена, называется областью определения функции.

Область определения называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу; открытой областью, если она не включает в себя свою границу; ограниченной областью, если может быть помещена в круг конечного радиуса.

Геометрически изобразить область определения функции можно только для функций:

одной переменной – на прямой ,
двух переменных – на плоскости ,
трех переменных– в пространстве .

Геометрическое изображение самой функции возможно только для функции двух переменных.

Графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость в область D, которая является областью определения функции.

На рис. изображена поверхность графика функции и ее область определения.

В курсе учебного материала 9-го класса мы рассматриваем следующие задания на нахождение и построение области определения функции.

ПРИМЕРЫ

Найти область определения функции

Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость, т. к. нет ограничений на переменные x и y.

2. Найти область определения функции .

Решение

. Данная функция определена, когда xy > 0, т.е. в тех точках координатной плоскости, в которых знаки координат x и y - одинаковы. Это будут точки, лежащие в I и III координатных четвертях, т.е. множество точек, удовлетворяющих условиям:

3. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена при условии, когда

т.е. . Это множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат, радиус которого равен 2.

Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции .

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. следовательно, . Геометрическим решением неравенства служит полуплоскость, расположенная выше прямой и сама прямая.

5. Найти область определения функции и изобразить её графически.

Решение. Областью определения функции является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

6. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

Решение. Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. Данным соотношениям удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри кольца, образованного двумя окружностями с центрами в начале координат и радиусами R=3, R=4.

7. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

Решение. Учащиеся не могут найти область определения данной функции аналитически, но с помощью графического редактора 3D Grapher 1.

2 это выполняется легко.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся девятых классов.

Для учащихся 10-11 классов мы предлагаем систему упражнений по нахождению и построению области определения функции двух переменных. При этом отрабатываются свойства логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Данные упражнения можно использовать при изучении нового материала, при повторении, при решении уравнений и неравенств.

Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Решение. Область определения функции есть пересечение областей определения слагаемых функции. Для первой функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. Если значение логарифмической функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше или равно единице, т.

е. отсюда . Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной окружности. Вторая функция определена при Следовательно, Имеем две параболы с вершиной в начале координат . Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при

Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых.

Покажите на координатной плоскости xOy область определения функции

Решение. Ограничения для функции имеют вид:

3. Изобразить область определения функции

Решение. Эта функция определена при , т.е.

Областью определения является часть плоскости, расположенная между двумя прямыми.

4. Найти область определения функции .

Решение. Областью определения функции является решение неравенства. Поэтому нужно решить неравенство

Решая данное неравенство, получим Это область, заключенная между двумя параболами и .

5. Построить область определения функции

Решение. Область определения данной функции определяется системой неравенств:

Первое неравенство определяет круг с центром в точке (-2;0) и радиусом равным 2 за исключением его границы:

Второе неравенство определяет I и III координатные четверти, за исключением осей.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся десятых и одиннадцатых классов.

Рассмотрим задание С5, используя функцию двух переменных.

Найдите все значения параметра а, при которых система , имеет ровно два решения.

Решение. Из второго уравнения находим y =. Первое уравнение принимает вид .

Пусть . В этом случае уравнение имеет единственное решение .

Запишем второе уравнение в виде = 0. Его дискриминант равен 4 , и он положителен, поскольку . Уравнение имеет два различных корня и Значит, в этом случае система имеет ровно два решения и .

Пусть теперь 1. В этом случае уравнение если и имеет корни, то только больше единицы Но тогда дискриминант уравнения = 0 отрицателен. Решений нет.

Ответ: .

С помощью графического редактора задаем функцию двух переменных , Находим значения а, при которых функция обращается в ноль.

На рисунке видно, что решением является интервал от 0 до 1.

При подготовке учащихся к итоговой аттестации мы сталкиваемся с тем, что задания уровня С5 решаются тяжело и не сразу. А ведь это функция двух переменных! Оперирование геометрическими образами упрощает решение задач с параметрами, а в некоторых случаях геометрический подход часто является единственно возможным методом решения. В сборнике ЕГЭ-2011 предложено задание.

Найдите все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство.

Решение. Рассмотрим функцию

Если то убывает.

Если то возрастает.

Значит, наименьшее значение функции равно или , или . Поэтому решение задачи получаем из решения системы

Решений нет.

Ответ: .

C помощью графического редактора мы построили график функции и определили значение параметра а при . График функции в системе координат выглядит следующим образом.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Список источников и литературы.

Математика (математический анализ): учебно-методическое пособие для студентов нематематических специальностей / О.Ю. Ватюкова, Е. Е.Зайцева, Ю.В.Зайцева и др.; ВолГУ.-4-е изд., Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2009. – 238с.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике / Сост.: А. В. Анкилов, Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько.- Ульяновск: УлГТУ, 2004.-32 с.
ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.Захаров, В.С. Панферов, и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: Издательство “Экзамен”, 2011.-63с.
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.- сост. И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: АСТ: Астрель, 2010.-93с.
Мордкович А.Г. Алгебра . 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов .—11-е изд. , стер. -М.: Мнемозина, 2009.-224 с.
Смирнова И.М. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (гуманитарный профиль).- М.: Мнемозина,2004. -223с.

Функции, Область определения и значения, Четность и…

Привет, сегодня поговорим про функции, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое функции, область определения, область значения, четность функции, нечетность функции, периодичность функции, возрастание функции, убывание функции, преобразования графиков функций , настоятельно рекомендую прочитать все из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

функции

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x.

Обозначение: y = f(x)

Независимая переменная x – аргумент функции f.
Число y, соответствующее x – значение функции f в точке x.

График функции

График функции f – множество всех точек (x; y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения функции f.

Графики элементарных функций

Область определения функции ООФ

Область определения функции – множество значений x, для которых выполнимы действия, указанные в правиле f.
Обозначается: ООФ или D(f).
С геометрической точки зрения ООФ есть проекция графика этой функции на ось ОХ.

область значения функции ОЗФ

Область значений функции – множество значений функции f(x), которые она принимает при изменении x на ООФ.
Обозначается: ОЗФ или E(f).
С геометрической точки зрения ОЗФ – проекция графика на ось OY.

Четность и нечетность функций

Функция f называется четной, если для любых x из ООФ
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция f называется нечетной, если для любых x из ООФ f(-x) = — f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Алгоритм определения четности функции одной переменной

Периодичность функций

Функция называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого x из ООФ
f(x + T) = f(x) = f(x — T).

Для построения графика периодичностью функции с периодом T достаточно провести построение на отрезке длиной T и полученный график параллельно перенести на расстояние nT вправо и влево вдоль оси OX (n – любое натуральное число).

Возрастание, убывание функций

Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).

Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1).

преобразования графиков функций

Пусть дан график функции y = f(x)

Тогда:

1 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . График функции y = f(–x) получается симметричным отображением графика y = f(x) относительно оси OY:

2 . График функции y = –f(x) получается симметричным отображением графика y = f(x) относительно оси OX:

3 . График функции y = |f(x)| получается следующим образом: обводим ту часть графика функции y = f(x), которая лежит выше оси OX, а часть лежащую ниже отобразить симметрично оси OX:

4 . График функции y =f(|x|) получается следующим образом: отбрасываем часть графика функции y = f(x), лежащую левее оси OY, обводим ту часть графика функции y = f(x), которая лежит правее оси OY и отображаем ее симметрично оси OY:

5 .График функции y =f(x–a) + b получается построением графика функции y = f(x) в новой системе координат X`0`Y`, где 0`(a, b), 0`X` || 0X, 0`Y` || 0Y:

6 . График функции y =f(m*x), m > 0, получается из данного растяжением в 1/m раз (если m < 0) от оси OY (вдоль оси OX) и сжатием в m раз (m > 1) к оси OY:

7 . График функции y =k* f(x), k > 0, получается из данного растяжением в k раз (k > 1) относительно оси OX (вдоль оси OY) и сжатием в 1/k раз (при k < 1) к оси OX:

См. также

взаимно обратные функции , обратные функции ,
обратные тригонометрические функции , арксинус ,
дзета-функция римана ,
случайные функции , характеристики случайных функций ,
каррирование , мемоизация ,
Функциональное уравнение
Алгоритм
Уравнение
Булева функция

Понравилась статья про функции? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое функции, область определения, область значения, четность функции, нечетность функции, периодичность функции, возрастание функции, убывание функции, преобразования графиков функций и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Из статьи мы узнали кратко, но емко про функции

Дана функция y x4

Обновлено: 23.09.2022

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. 4)

Данный калькулятор предназначен для построения графиков функций онлайн.
Графики функций – это множество всех точек, представляющих геометрический вид функции; при этом x – любая точка из области определения функции, а все y — точки, равные соответствующим значениям функции. Другими словами, график функции y=f(x) является множеством всех точек, абсциссы и ординаты которых соответствуют уравнению y=f(x).
Изобразить график функции абсолютно точно в большинстве случаев невозможно, так как точек бесконечно много, трудно найти все точки графика функции. В таких случаях можно построить приблизительный график функции. Чем больше точек берется в расчет, тем график более точный.

Данный сервис дает возможность провести исследование графика функции наиболее точно, так как программа строит график функции онлайн в прямоугольной системе координат на определенном интервале значений с учетом максимального количества точек. Также можно построить несколько графиков функций в одной координатной плоскости. Подробная инструкция с примерами по вводу исходных данных представлена ниже.

Сервис поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке \right]» />
нужно написать в строке: f[x],. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например \right]» />
, нужно ввести: f[x],,.

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],.

Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике \right],y \in \left[ \right]» />
, нужно написать в строке: f[x, y],,. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^ = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_ = 0$$
Численное решение
$$x_ = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4. = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси

1. Дана функция g(x) = –1,2x + 4,8. При каких значениях аргумента g(x) = 0, g(x) <0, g(x)> 0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

2. Разложите на множители квадратный трехчлен

3. Сократите дробь

4. Область определения функции g (рис. 20) — отрезок [–3; 5]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, область значений функции.

5. Сумма положительных чисел m и n равна 62. При каких значениях m и n их произведение будет наибольшим?

Читайте также:

Моя самая красивая сборка с хорошим fps gta samp
Самая крутая пасхалка в battlefield
Общая характеристика элементов ib группы
Факты о книге 12 стульев
Самый сильный персонаж в скайриме

Интервалы монотонности функции.

Критические точки

Исследование функций должно начинаться с установления области определения и интервалов монотонности. Для этого студент должен обладать хорошими знаниями поведения элементарных функций и последующим теоретическим материалом.

Функция называется возрастающей на интервале если для любых двух точек и с этого промежутка и таких, что выполняется неравенство

Для того чтобы функция была убывающей на интервале необходимо, чтобы для любых и , принадлежащих к этому интервалу и удовлетворяющих условию исполнялось неравенство
.

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а интервалы в которых

функция возрастает или убывает – интервалами монотонности.

Область возрастания и убывания функции характеризуется знаком ее производной: если в

некотором интервале производная больше нуля , то функция возрастает в этом интервале;

если же наоборот – то функция убывает в этом интервале.

Интервалы монотонности могут прилегать друг к другу или точками, где производная равна нулю

или точками, где производная не существует. Эти точки называются критическими точками.

Для того, чтобы найти интервалы монотонности функции нужно:

1) найти область определения функции ;

2) вычислить производную данной функции;

3) найти критические точки из условия равенства нулю производной или при условии, что производная не существует;

4) разделить критическими точками область определения на интервалы, в каждом из которых определить знак производной.

На интервалах где производная положительная функция возрастает, а где отрицательная — убывает.

————————————

Примеры.

Рассмотрим задачу из сборника В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах» на нахождение интервалов монотонности функции.

1. (3.36.10)

Функция существует во всех точках где определен логарифм и он не обращается в нуль, а также где функция под корнем принимает неотрицательные значения. На основе этого находим

Итак, областью определения будут два интервала

2. (3.36.11)

С подкоренной функцией ведем себя как и в предыдущем примере, а функция определена на промежутке . Находим область определения

Единственным промежутком, который удовлетворяет эти условия являются следующий

3. (3.36.13)

Область определения функции находим из двух условий

Первое условие дает две точки

в которых функция не существует.

С второго условия получим

Исследуем поведение функции в интервалах монотонности на которые разбивают заданные точки. Для этого

выбираем произвольные точки из интервалов и проверяем знак

Функция принимает положительные значения в интервалах

Вместе с первым условием получим следующую область определения

——————————

Рассмотрим примеры исследования монотонности функции из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» .

І. (5.705) Показать, что функция возрастает на интервале и убывает в интервале .

1) Областью определения функции будет множество значений для которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения.

Решим квадратное уравнение

Определим знак функции на всем интервале

Таким образом получим следующую область определения

2) Найдем производную

3) Приравняем ее к нулю и найдем критические точки:

Не стоит забывать и о точках, в которых производная не существует. Это корни уравнения в
знаменателе. Итак производная существует на интервале в точке меняет знак.

4) Знаки производной: подставляем в производную

Так что на интервале функция возрастает, а на — убывает.

ІІ. (5.715) Найти интервалы монотонности функции

1. Областью определения будет множество точек для которых существует логарифм функция. На

основе этого получим

Итак

2) Найдем производную функции

3) Находим критические точки

Другая точка, где производная не существует это , не принадлежит области определения функции.

Таким образом получили два интервала монотонности и .

4) Выясним где функция возрастает, а где убывает. Подставим точки и в выражение для

производной

Исследуемая функция на интервале убывает и на растет.

При исследовании функций на монотонность определите все критические точки в которых производная равна нулю или не существует. Также не забывайте при этом учитывать область определения функции. Остальное зависит от Ваших знаний свойств элементарных функции, поскольку именно на их основе построены все задачи, которые Вам задают преподаватели.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Исследования функции и построения графика
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Локальный экстремум функции. Примеры
Выпуклость и вогнутисть графика функции
Асимптоты функции
Область определения функции

Определение предела функции по Гейне

11.1Определения предела по Коши и по Гейне

Определение предела функции, которое мы дали в предыдущей главе, называется также определением «по Коши». Напомним его:

Определение 1. (Предел функции по Коши) Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что предел функции f(x) в точке x=x0 равен числу b, если для всякого ε>0 найдётся такое δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 значения функции лежат в ε-окрестности точки b.

Формально: утверждение

limx→x0f(x)=b

по определению означает, что

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈˚Uδ(x0):f(x)∈Uε(b),

или (см. замечание 3 из предедыщей лекции 10):

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)−b|<ε.

Для некоторых целей нам будет удобно использовать другое определение, известное как определение предела функции «по Гейне». Оно основано на понятии предела последовательности.

Определение 2. (Определение предела функции по Гейне.) Пусть снова функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что предел функции f(x) в точке x=x0 равен числу b, если для любой последовательности {xn}, стремящейся к x0, все члены которой не равны x0, выполняется утверждение: последовательность значений функции f(x) в точках xn стремится к b: f(xn)→b при n→∞.

Формально:

∀{xn}:((∀n:xn≠x0)∧(limn→∞xn=x0))⇒limn→∞f(xn)=b.

∀{xn}:((∀n:xn≠x0)∧(limn→∞xn=x0))⇒⇒limn→∞f(xn)=b.

Это определение эквивалентно предыдущему (это мы чуть позже докажем) и хорошо согласуется с интуицией: например, на картинках в разделе примеры и мотивировка предыдущей лекции мы рисовали как раз последовательности значений x, и показывали (чисто визуально), что последовательность соответствующих значений функции стремится к нужному нам числу.

Нужно сказать про несколько тонкостей определения по Гейне:

Вообще говоря, не все значения f(xn) обязаны быть определены: возможно, какие-то из начальных членов последовательности {xn} лежат вне области определения функции f(x). Однако, мы знаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x0, а последовательность xn стремится к x0, и значит, начиная с некоторого члена, обязательно окажется внутри той окрестности, где функция определена. Вместе с дополнительным условием о том, что члены последовательности не равны x0, это гарантирует, что по крайней мере начиная с некоторого n=N, все члены последовательности {f(xn)} определены. А поскольку начальные члены последовательности не влияют на предел, их можно просто отбросить.
Условие о том, что все члены последовательности {xn}, не равны x0, очень важно. Рассмотрим функцию
f(x)={1,x≠2;3,x=2.
из примера 12 с предыдущей лекции. Последовательность
xn={2,n=2k2+1n,n=2k+1
стремится к x0, при этом последовательность значений функции {f(xn)} имеет вид:
f(xn)={3,n=2k,1,n=2k+1,
и не имеет предела. Таким образом, если бы мы не требовали от последовательности {xn} никогда не посещать x0, нам пришлось бы сказать, что данная функция не имеет предела в точке 2, хотя согласно определению по Коши оно его имеет.
Требование xn≠x0 соответствует выбору проколотой окрестности для x0 в определении по Коши вместо обычной окрестности.
Заметим, что его также можно ослабить, и требовать, чтобы xn≠x0 не для всех n, а для всех, начиная с некоторого.
Тот факт, что в определении используется квантор всеобщности (для любой последовательности {xn}…), а не существования, также очень важен. Рассмотрим функцию
f(x)={x+1,x≤1;x−2,x>1.
из примера 13 с предыдущей лекции. У неё нет предела (по Коши) в точке x=1, поскольку при приближении по x к точке 1 справа или слева, значение функции f(x) приближается к разным числам (−1 и 2 соответственно).
Однако, если мы рассмотрим последовательность xn=1+1/n, она удовлетворяет всем условиям определения по Гейне, и при этом f(xn)→−1. Если бы достаточно было проверить лишь одну последовательность, мы могли бы сказать, что предел равен −1. Что не так: выбирая другую последовательность (например, xn=1−1/n), мы бы получили другой предел f(xn).

11.2Эквивалентность определений

Теорема 1. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство.

Из Коши следует Гейне. Пусть предел функции f при x→x0 равен b по Коши. Докажем, что тогда он равен b также и по Гейне.

Идея доказательства такая. Из определения по Коши следует, что если x близок к x0 (но при этом не равен x0), f(x) близко к b. Пусть последовательность xn стремится к x0 и никогда не посещает x0. Тогда если подождать достаточно долго, xn начнут быть близкими к x0 (и не равными x0). В этом случае, согласно определению по Коши, f(xn) окажутся близкими к b. Значит, f(xn) стремится к b.

Осталось чётко сформулировать, что значит в каждом случае означают слова «близко» и «достаточно долго».

Утверждение «предел функции f(x) при x→x0 равен b по Коши» формализуется так:

∀ε1>0 ∃δ1=δ1(ε1)>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ1⇒|f(x)−b|<ε1.(11.1)

Докажем, что в этом случае определение по Гейне тоже выполняется. Пусть xn — произвольная последовательность, стремящаяся к x0 и никогда не посещающая x0. Тогда для всякого ε2>0 найдётся такое N2=N2(ε2), что для всех n>N2, выполняется неравенство |xn−x0|<ε2. Дополнительно известно, что для всех натуральных n, xn≠x0. Таким образом, для всех n>N2, выполняется неравенство

0<|xn−x0|<ε2.

Иными словами, все члены последовательности, начиная с номера N2+1, лежат в проколотой ε2-окрестности точки x0. Формально:

∀ε2>0 ∃N2=N2(ε) ∀n>N2:0<|xn−x0|<ε2.(11.2)

Мы хотим доказать, что в этом случае f(xn)→b. Иными словами, нам нужно доказать, что для всякого ε>0 найдётся такое N=N(ε), что для всех n>N выполняется неравенство |f(xn)−b|<ε.

Сравним утверждения (11.1) и (11.2). Утверждение (11.1) говорит, что если мы хотим сделать f(x) близким к b, то нужно потребовать, чтобы x был близок к x0 и не равнялся x0. Утверждение (11.2) говорит, что если мы хотим, чтобы xn был близок к x0, то нужно выбрать достаточно большое значение n. Осталось соединить эти два утверждения.

Пусть мы хотим сделать так, чтобы f(xn) был ε-близок к b. Согласно (11.1), для этого нужно сделать так, чтобы xn был δ1(ε)-близок к x0. Согласно (11.2), для этого нужно сделать так, чтобы n был больше, чем N2(δ1(ε)). Иными словами, мы в утверждении (11.2) в качестве ε2 должны использовать значение δ1(ε).

Действительно, положим N(ε):=N2(δ1(ε)). Тогда согласно (11.2) для всех n>N(ε), выполняется неравенство

0<|xn−x0|<δ1(ε).

Согласно (11.1), для всех значений x, для которых верно неравенство 0<|x−x0|<δ1(ε), верно неравенство |f(x)−b|<ε. Значит, для всех xn это неравенство также верно.

Итак, для всякого ε>0 мы построили такое N, что для всех n>N выполняется неравенство |f(xn)−b|<ε. Таким образом, f(xn)→b.

Это построение работает для любой последовательности {xn}, удовлетворяющей условиям xn→x0 и xn≠x0 для всех n. Значит, утверждение определения по Гейне доказано.

Из Гейне следует Коши. Будем доказывать от противного. Пусть есть такая функция f(x), что для неё выполняется утверждение limx→x0f(x)=b по Гейне, но не выполняется такое же утверждение по Коши.

Запишем формально, что значит «не выполняется такое же утверждение по Коши». Для этого нужно навесить отрицание на формулу (11.1). Получится такая штука:

∃ε1>0 ∀δ1>0 ∃x=x(δ1):(0<|x−x0|<δ1)∧|f(x)−b|≥ε1.

В этой формуле δ1>0 произвольна, а x зависит от этой δ1. Чтобы прийти к противоречию, мы построим последовательность {xn}, для которой утверждение в определении предела по Гейне будет нарушаться: а именно, xn будет стремиться к x0, но f(xn) не будет стремиться к b.

Для этого возьмём последовательность δn:=1n. (Как обычно в таких случаях, подойдёт любая последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю.) Положим также xn:=x(δn)=x(1n). Для всякого натурального n,

x0−1n<xn<x0+1n.

Левая и правая границы стремятся к x0, следовательно, по теореме о двух милиционерах, xn→x0. Дополнительно верно, что для всех n, xn≠x0. Таким образом, последовательность {xn} удовлетворяет условию в определении предела по Гейне.

Однако, |f(xn)−b|≥ε1>0. Это значит, что последовательность {f(xn)} отделена от b, и следовательно не может иметь b своим пределом (см. упражнение 1 из лекции 6).

Противоречие с определением предела по Гейне: мы построили последовательность {xn}, стремящуюся к x0 и не посещающую x0, для которой f(xn)↛b.

Это доказывает теорему.∎

11.3Применение предела по Гейне

Доказывать, что предел чему-то равен, пользуясь определением по Гейне, довольно тяжело — нужно рассмотреть все возможные последовательности. Зато с ним гораздо проще доказывать утверждение, что предел не существует или чему-то не равен — достаточно предъявить одну последовательность. Также с помощью предела по Гейне можно легко переносить результаты, доказанные для последовательностей, на функции. Например, докажем теорему о пределе суммы:

Утверждение 1. Пусть f(x)→a и g(x)→b при x→x0. Рассмотрим функцию h(x)=f(x)+g(x). Докажем, что h(x)→a+b при x→x0.

Доказательство. Докажем, что для функции h(x) выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть {xn} произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям xn→x0 и xn≠x0 для всех n. Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям f(x) и g(x):

f(xn)→a,g(xn)→b.

По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что

h(xn)=f(xn)+g(xn)→a+b.

Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если xn→x0 и xn≠x0 для всех n, то h(xn)→a+b. Утверждение доказано.∎

Упражнение 1. Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.

Кстати, до сих пор мы не доказывали, что предел функции определён однозначно. Это несложно сделать явно (хорошее упражнение!), но теперь мы получим этот факт совсем бесплатно. У нас есть аналогичное утверждение для последовательностей (см. соответствующую теорему в лекции 4), и с помощью определения по Гейне он автоматически переносится на предел функции: в определении по Гейне требуется, чтобы предел f(xn) был одним и тем же для всех подходящих последовательностей {xn}, и значит если бы нашлось два разных числа b, удовлетворяющих определению по Гейне, мы бы пришли к противоречию с единственностью предела последовательности.

11.4Заключение

Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».

← Предыдущая глава Следующая глава →

Взаимно обратные функции с примерами и образцами решения

Оглавление:

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными функциями. Подробное ознакомление с этим понятием начнем с простых примеров.

Напишем формулу для вычисления площади круга по его радиусу: S = . Эта формула задает площадь круга S как функцию его радиуса R, т. е. для каждого (положительного) числа R по этой формуле вычисляется площадь круга S. Представим себе, что надо решить обратную задачу: по данной площади круга S

вычислить его радиус. Для этого выразим R через S так:

Новая формула задает радиус круга R как функцию его площади S. Полученные две функции S=S(R) и R =R(S) являются примерами взаимно обратных функций.

Приведем еще примеры взаимно обратных функций:

В каждом из указанных примеров соответствие между переменными величинами, задаваемое взаимно обратными функциями, одно и то же. В самом деле, зависимость между радиусом и площадью круга остается одной и той же: записывается ли она в виде S = или же в виде Точно так же функции

выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у.

Определение. Две функции fug называются взаимно обратными, если формулы y=f (х) и x=g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, т. е. если равенство y=f (х) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x = g (y).

Если две функции f и g взаимно обратны, то g называют обратной функцией для f и, наоборот, f — обратной для g.

Как ответить на вопрос, что такое обратная функция для функции f? Это можно сделать следующим образом: обратная функция для функции f — это такая функция g, что f и g образуют пару взаимно обратных функций.

Как мы уже отметили, зависимость y = 2x+ 5 и

между переменными x и у одна и та же. Эту же зависимость можно записать и так: 2х —y + 5 = 0. Из последней формулы можно выразить у как функцию от х, а можно и, наоборот, выразить х как функцию от у. Эти две функции будут взаимно обратны.

Таким образом, исходным понятием является понятие зависимости. Если есть некоторая зависимость между переменными хну, которая позволяет выразить у как функцию от х и х как функцию от у, то эти две функции и являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций

При построении графиков взаимно обратных функций необходимо внимательно следить за обозначениями переменных. Рассмотрим функцию f. Аргумент этой функции и ее значения можно обозначить произвольными буквами. Так, в формулах у=, s = , N = переменные обозначены различными буквами, однако каждая из этих формул определяет одну и ту же показательную функцию, экспоненту.

Определение взаимно обратных функций сформулировано на языке зависимостей. Чтобы определить, являются ли эти две функции f и g (заметьте, здесь пока нет обозначений для переменных) взаимно обратными, надо взять две переменные, например х и у, составить две формулы y = f{x) и x = g(y) и затем определить, задают эти две формулы одну и ту же зависимость между переменными хну или нет.

Различия в обозначениях переменных сказываются при построении графиков функций. Пусть у нас есть две переменные х и у, значения которых откладываются на выбранных координатных осях, которые мы обозначаем этими же буквами х и у. Рассмотрим зависимости между х и у.

Ясно, что это разные записи одной и той же зависимости между переменными х и у.

Поэтому график каждой из этих зависимостей один и тот же — он состоит из всех точек Р (х; у), координаты которых связаны соотношением у = 2х+5, справедливым тогда и только тогда, когда или 2ч —у + 5 = 0 (рис. 113). Точно так же график зависимостей у = и х = ln у в системе координат (х; у) один и тот же (и зависимость между х и у на самом деле одна и та же; рис. 113).

Посмотрим на зависимость . Она выражает х как некоторую функцию от у. Аргумент этой функции обозначен буквой у, а значения — буквой х. Поменяем местами х и у, т. е. рассмотрим зависимость . Функция осталась одной и той же, но теперь ее аргумент обозначен, как обычно, буквой х, а значения — буквой у. Построим график функции (например, по двум точкам на рисунке 113). Мы видим, что этот график отличен от графика зависимости .

Как связаны между собой графики функций у = 2х+5 и ?

Возьмем какую-либо точку на графике первой функции, например Р(0; 5). Поменяем местами координаты, т. е. рассмотрим точку Q (5; 0). Эта точка лежит на графике второй функции ,

Точки Р (0; 5) и Q (5; 0) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу, т. е. прямой у — х. Из рисунка 114 видно, что при любых а и b точки Р (а; b) и Q (b а) симметричны друг другу относительно прямой у=х.

Теорема:

Пусть f и g — взаимно обратные функции. Графики функций y — f(x) и y = g(x) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу.

Доказательство

По определению взаимно обратных функций формулы y = f(x) и х = g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, а значит, эта зависимость изображается одним и тем же графиком — некоторой кривой С (схема XII). Кривая С является графиком функции y = f(x). Возьмем произвольную точку Р (а; b) ∈ С. Это означает, что b = f(a) и одновременно a = g(b). Построим точку Q, симметричную точке Р относительно биссектрисы угла хОу. Как мы заметили раньше, точка Q будет иметь координаты (b; а). Так как a = g (b), то точка Q принадлежит графику функции y = g(x): действительно, при х = b значение у = а равно g (х). Таким образом, все точки, симметричные точкам кривой С относительно указанной прямой, лежат на графике функции у = g (х). Они исчерпывают этот график целиком, так как аналогично показывается, что всякая точка функции y — g(x) при указанной симметрии попадает на график функции y = f(x). Теорема доказана.

На рисунке 115 изображены графики пар взаимно обратных функций:

Условие существования обратной функции

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f? По определению обратная функция к функции f строится так: из соотношения y=f(x) надо х выразить как функцию от у.

Таким образом, самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через у. Мы уже знакомы с примерами функций, для которых это можно сделать. Приведем примеры таких функций, для которых нельзя однозначно выразить аргумент через заданное значение функции.

у=\х. Для данного положительного числа у найдутся два значения аргумента х, такие, что |х|=у. Например, если у = 2, то х = 2 или х= — 2. Значит, выразить однозначно х через у нельзя.
у = . Ситуация здесь такая же, как в предыдущем примере: Х = или х=—.
y = sinx. При заданном значении у (где |y| ≤ l) найдется не по два, как в предыдущих примерах, а даже бесконечно много таких значений х, что y = sin х. Здесь также х нельзя однозначно выразить через у.

Сравним графически эти примеры с примерами, приведенными ранее. Возьмем число у0 из области значений функции f и проведем прямую у = уо, параллельную оси абсцисс. В ранее рассмотренных случаях эта прямая пересекает график в одной точке, т. е. можно по заданному значению у однозначно найти значение х. В последних трех примерах при некоторых у прямая пересекает график более чем в одной точке: для этих значений у мы не можем однозначно найти х, значит, эти функции не имеют обратных.

Дадим геометрическую трактовку условия того, что функция имеет обратную.

Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая у = уо пересекает график функции у = {х) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если уо не принадлежит области значений функции f).

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x)=yo при каждом уо имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Показательная функция у = строго монотонна, поэтому она имеет обратную — логарифмическую функцию y = loga x. Строго говоря, определение логарифма числа у требовало возможности однозначно определить показатель х, такой, что =у, т. е. чтобы из соотношения =у можно было однозначно выразить х через у.

Мы знаем, что многие функции не имеют обратных. Если при некотором b уравнение f(x) = b имеет более одного решения, то функция y =f(x) обратной не имеет. На графике это означает, что прямая у = b пересекает график функции более чем в одной точке.

Многие изучавшиеся ранее функции не имеют обратных, например у = , y = sin x, y = tg x и т. п. С неоднозначностью решения уравнения f(x)=b можно справиться следующим образом: уменьшить область определения функции f так, чтобы ее область значений не изменилась, но чтобы каждое свое значение она принимала ровно один раз.

Примеры:

В каждом из приведенных примеров функция сохранила область значений: для у = это промежуток [0; + ∞]. Для синуса и косинуса это отрезок [—1; 1], для тангенса это вся числовая ось. В то же время, уменьшив область определения, мы добились монотонности функции, а значит, и единственности решения уравнения f(x)=b.

Каждая из выписанных выше функций имеет обратную. Для обратных операций из примеров 1, 3, 5, 6 нами раньше введены специальные обозначения:

С помощью этих обозначений можно ввести функции, обратные к тем, которые были перечислены выше:

Функции в пропущенных примерах 2 и 4 можно выразить через уже введенные:

2. у=—является обратной функцией для функции у = , х ≤ О.

4. у = π — arcsin x является обратной функцией для функции у=sin,

Проверим последнее утверждение:

а) Вычислим sin у:

б) Проверим, что π —arcsin х имеет областью значений отрезок

Свойства взаимно обратных функций

1) Тождества. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Это означает, что равенства y = f(х) и x=g(y) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два тождества:

Примеры:

Пусть f — показательная, g — логарифмическая функция. Получаем знакомые тождества:

2. Функции у = , х ≥ 0 и у = взаимно обратны. Имеем два тождества:

2) Область определения. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и, наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g. Действительно, обратная функция к функции y = f(x) определена для всякого числа у, которое является значением функции f для некоторого числа х: мы берем равенство y = f(x) и из него выражаем л: как функцию от у. Это свойство наглядно проявляется на графике: график функции y = f(x) совпадает с графиком обратной функции x = g(y), только аргумент функции g откладывается по оси у. Ясно, что аргументы функции g — это значения функции f и наоборот.

Пример. Область определения показательной функции — вся числовая ось R, а ее область значений — множество всех положительных чисел. У логарифмической функции наоборот: область определения — множество всех положительных чисел, а область значений — все множество R.

3) Монотонность.

Теорема:

Если одна из взаимно обратных функций строго возрастает, то и другая строго возрастает.

Действительно, пусть f и g— взаимно обратные функции, причем f строго возрастает. Докажем, что тогда и g строго возрастает. Пусть x₁ и x₂ — два числа, лежащие в области определения функции g, причем x₁ < x₂. Надо доказать, что g ( x₁ )<g{ x₂ ). Обозначим g(x1) = y1, g( x₂)=y2. Надо доказать, что g (х)<g (х2). Обозначим g( x₁ ) = yi, g( x₂ ) = y2. Числа у1 и у2 лежат в области определения функции f, так как они являются значениями функции g. Предположим, что у1 ≥ у2. В силу монотонности функции f имеем f {у1) ≥ {у2). Но f (y1) = f{g ( x₁ )) = x₁ и f (у2)= x₂ , т. е. x₁ ≥ x₂ , что противоречит условию x₁ < x₂ . Следовательно, у1<у2, что и требовалось доказать.

Выведем общую формулу производной обратной функции аналогично тому, как мы выводили формулу производной логарифмической функции. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Как найти производную функции g, зная производную функции f?

Графики функций y = f(x) и y=g(x) симметричны друг другу относительно биссектрисы I угла хОу (рис. 116,а).

Возьмем какую-нибудь точку х = а и вычислим значение одной из функций в этой точке: f (a)=b. Тогда по определению обратной функции g (b)—a.

Точки (а;f (а)) = (а; b) и (b; g (b))=(b; а) симметричны относительно указанной прямой l. Так как кривые симметричны, то и касательные к ним симметричны относительно прямой l.

Из симметрии ясно, что угол одной из этих прямых с осью х равен углу другой прямой с осью у. Если первая прямая образует с осью х угол а, то ее угловой коэффициент равен k1 =tg а; тогда вторая прямая имеет угловой коэффициент (рис. 116,). Таким образом, угловые коэффициенты прямых, симметричных относительно прямой l, взаимно обратны, т. е.

Переходя к производным и учитывая, что угловой коэффициент касательной является значением производной в точке касания, делаем вывод:

Значения производных взаимно обратных функций в соответствующих точках взаимно обратны, т. е.

Напомним еще, что b = f{a) и a = g{b).

Замечание:

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что k1 ≠ 0 т. е. касательные к кривым не параллельны осям координат.

Приведем примеры нахождения производной обратной функции.

Обратной функцией будет функция y = g(x) = Найдем производную функции g:

Обратной функцией будет y = g (x) = arcsin x. Найдем производную арксинуса:

Аналогично вычисляется производная арктангенса:

Дополнение к обратным функциям

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Как создать онлайн-калькулятор

Что такое онлайн-калькулятор?

Электронные калькуляторы существуют с начала 1960-х годов. Ранние модели были разработаны для выполнения основных математических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Со временем они были разработаны для выполнения более сложных функций, таких как тригонометрические, статистические и алгебраические уравнения (например, построение графиков, дифференцирование, интегрирование).

С развитием современных вычислений электронные калькуляторы приобрели новую форму приложений, выполняя единственную функцию многоцелевого устройства. Рост и эволюция мобильных телефонов привели к тому, что эти калькуляторы оказались в задних карманах потребителей в меньшем форм-факторе, чем когда-либо прежде.

Электронные калькуляторы предназначены для вычисления результатов математической функции, созданной конечным пользователем.

В свою очередь онлайн-калькулятор имеет другое предназначение: это интерактивный программный инструмент, предназначенный для обработки предопределенного набора математических функций с целью имитации бизнес-процесса. За создание расчетной модели отвечает не конечный пользователь, а разработчик инструмента. Это помогает абстрагироваться от математической и логической сложности, оставляя конечному пользователю более простой интерфейс, который более четко адаптируется к его конкретным интересам или опыту.

Как создать онлайн-калькулятор?

Прежде чем мы рассмотрим, как создать онлайн-калькулятор, важно понять его общую структуру. Онлайн-калькулятор состоит из двух основных компонентов:

Пользовательский интерфейс
Алгоритм расчета

Пользовательский интерфейс — это то, как конечный пользователь взаимодействует с онлайн-калькулятором. Он включает в себя набор элементов управления вводом, где пользователю будет предложено ввести данные (например, текстовые поля, раскрывающиеся списки, ползунки). Он может предоставлять объяснения и подсказки конечному пользователю о том, как выполнять определенные операции. Он может проверять ввод пользователя, чтобы предотвратить сбор недопустимых или недопустимых данных.

Кроме того, он, скорее всего, будет отображать результаты вычислений в различных формах, таких как диаграммы, таблицы и документы.

На другой стороне калькулятора находится алгоритм расчета, представляющий собой математическую модель, способную преобразовать определенный набор входных переменных в понятную форму результатов расчета. Он инкапсулирует набор сложных формул и механизмов обработки данных с предопределенной структурой ввода и вывода, часто для того, чтобы обеспечить более понятный интерфейс для целевого набора конечных пользователей. Это центральный механизм обработки, отвечающий за фактическое преобразование введенных пользователем данных в набор связанных результатов.

Назначение алгоритма может быть столь же разнообразным, как и его разработчики, от анализа материального стресса до агрегирования политических данных и оптовых цен на инвентарь. Процесс создания набора полезной информации из ряда предопределенных переменных составляет ваш алгоритм расчета, независимо от его конкретной цели.

На рынке существует множество онлайн-инструментов, которые можно использовать для создания интерактивных пользовательских интерфейсов. Однако реализация алгоритма расчета часто является самой сложной частью создания онлайн-калькулятора. Многие онлайн-инструменты для создания пользовательских интерфейсов также включают в себя некоторый язык сценариев, который позволяет конечным пользователям реализовывать базовые алгоритмы.

При таком подходе есть несколько проблем. Во-первых, разработчик отвечает за изучение проприетарного языка для реализации алгоритма. Это часто может быть трудоемким и дорогостоящим процессом для тех, кто не имеет опыта программирования, а проприетарная природа этих языков часто не выходит за рамки предварительного использования. Без этого опыта эти инструменты часто ограничивают разработчика созданием более простых алгоритмов, что может серьезно ограничить жизнеспособность или полезность конечного продукта.

Вот почему многие люди строят свои алгоритмы в Excel. Существует ограниченная кривая обучения, поскольку большинство бизнес-профессионалов имеют некоторый опыт работы с Excel. Многие компании даже нанимают специалистов по Excel, которые могут реализовать эти алгоритмы быстрее и с меньшими затратами, чем на любой другой платформе. Они также могут создавать чрезвычайно сложные расчетные модели в Excel, например, используемые в финансовом и инженерном секторах.

SpreadsheetWeb предлагает решение для реализации обоих аспектов онлайн-калькулятора. Он включает в себя интуитивно понятный модуль перетаскивания для создания пользовательского интерфейса калькулятора, а также механизм расчета, способный выполнять сложные расчетные модели на основе Excel. Это позволяет пользователям разрабатывать свои алгоритмы в Excel, а затем запускать их на платформе SpreadsheetWeb путем создания веб-интерфейса без какого-либо опыта программирования. Используйте свою модель Excel как есть с SpreadsheetWeb — никаких сценариев не требуется.

Вот краткое видео, показывающее, как превратить страховой калькулятор, созданный с помощью Excel, в быстродействующее веб-приложение на платформе SpreadsheetWeb:

5 основных способов использования научного калькулятора

Большинство из нас вообще носят с собой простой калькулятор. раз; иначе известный как наш смартфон. Но что, если вы посещаете уроки математики и естественных наук на продвинутом уровне? Или если вы работаете в отрасли, где регулярно используются сложные расчеты для проектирования или разработки передовых концепций, таких как проектирование, геодезия, медицина или химия?

Тогда вам нужно что-то более подходящее для решения ваших сложных проблем. Научный калькулятор будет отвечать всем требованиям. И если вы планируете в ближайшем будущем посещать занятия по математике более высокого уровня, ваш профессор может потребовать от вас использования научного калькулятора.

В конце этой статьи мы рассмотрим 3 научных калькулятора HP с разной ценой, но сначала давайте подробно рассмотрим, что это такое, и 5 вещей, для которых вы можете использовать свой научный калькулятор.

Что такое научный калькулятор?

Научные калькуляторы выполняют те же функции, что и их стандартные электронные аналоги, но они также имеют множество других доступных функций. Сегодня на рынке есть три основных категории калькуляторов: бизнес, базовые и научные.

Вполне вероятно, что вы уже использовали базовый калькулятор на уроках математики в старшей школе, и, возможно, вы даже использовали бизнес-калькулятор или графический калькулятор на курсе экономики или бизнес-статистики.

Однако научный калькулятор — единственный, который может выполнять определенные функции в таких областях, как тригонометрия, физика, химия и инженерия.

Научный калькулятор имеет дополнительные функции, позволяющие работать с экспонентами и логарифмами, которые требуют больше памяти для выполнения функций для достижения наилучших результатов.

Хотя вы также можете выполнять базовые вычисления, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, это лишь малая часть типов уравнений, с которыми может справиться этот калькулятор.

Что я должен искать в инженерном калькуляторе?

Если вы планируете посещать какие-либо курсы, посвященные геометрии, научной системе обозначений, тригонометрии, инженерному делу и физике, то, вероятно, в какой-то момент вам придется научиться пользоваться научным калькулятором.

Стоимость

Вы не должны тратить больше 200 долларов на научный калькулятор. На самом деле у HP есть 3 устройства до 60 долларов (2 из них до 15 долларов). Будьте готовы заплатить немного больше, чем вы заплатите за базовый или бизнес-калькулятор, из-за его функций.

Функции

В зависимости от производителя у вас могут быть разные обозначения для ваших функций. По большей части они должны быть в состоянии выполнять одни и те же задачи. Если у вас есть доступ к учебному плану, еще раз проверьте, покупаете ли вы рекомендуемый вариант.

Бонусные функции

Вам не обязательно иметь самую крутую модель, чтобы сдать экзамен, но за последние несколько лет в научных калькуляторах произошли важные улучшения. К ним относятся Wi-Fi и возможность поделиться своей работой с одноклассниками или инструктором.

Вот пять основных способов использования научного калькулятора и то, как вы можете ожидать его использования на следующем занятии.

1. Основные функции и показатели

Вычисление основных функций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Следует иметь в виду, что знак вычитания (-) отличается от отдельной отрицательной функции. Это может привести к некоторой путанице в отношении отрицательных и положительных чисел, когда вы впервые начнете использовать калькулятор, потому что знаки выглядят одинаково.

Экспоненты, неизвестные числа

Наряду с отрицанием, вы также можете возводить числа в другую степень и находить квадратный корень из числа или формулы.

Экспоненты используются почти в любом курсе математики после начальной школы, но только научный калькулятор может выполнять любую алгебраическую функцию.

Помимо использования калькулятора для вычисления известного числа, вы можете использовать его для вычисления неизвестного числа. Это полезно для алгебры или любой другой более сложной математики, которую вы можете изучать.

Порядок операций

Базовые калькуляторы отлично подходят для решения простых уравнений с одной или двумя переменными, а научные калькуляторы позволяют вводить задачи, в которых есть порядок операций. Если ввести одно из этих уравнений в обычный калькулятор, он не сможет правильно определить, к каким числам следует обращаться в первую очередь.

Однако, как только вы введете уравнение в научный калькулятор, он должен дать вам правильный ответ. Это связано с тем, что круглые скобки включены в качестве опции, что позволяет решать более сложные задачи. Это говорит калькулятору сначала выполнить эту операцию, как если бы вы делали это на бумаге.

Квадратный корень

Также можно использовать научный калькулятор, чтобы найти квадратный корень числа, и это одна из самых простых операций, которые вы можете выполнить. Введите число, нажмите клавишу SQRT, и появится ваш ответ.

Быстро или правильно? Теперь вы можете делать и то, и другое

Часто для поиска ответов на уравнения достаточно использовать одну или две клавиши, что может ускорить и упростить решение сложных задач.

И хотя сейчас большинство преподавателей поощряют использование калькуляторов в своих классах, стоит сначала спросить, разрешены ли устройства такого типа. Почти каждый может извлечь выгоду из использования научного калькулятора.

2. Логарифмы

После того, как вы расширите свои знания и изучите новые понятия, связанные с исчислением и тригонометрией, вполне вероятно, что вам придется изучить логарифмы. Эти формулы помогут вам рассчитать скорость, площадь и многое другое.

В прошлом это делалось почти полностью вручную. Теперь требуется всего несколько минут, чтобы ввести правильную информацию и решить задачу с помощью калькулятора.

Медицина и инженерия стали проще

Логарифмы в основном используются теми, кто занимается медициной и инженерией, но в какой-то момент с ними могут столкнуться и другие профессии. Их может быть сложно решить вручную, но с помощью научного калькулятора процесс может быть намного проще.

Ваше устройство, вероятно, решит натуральный логарифм уравнения в большинстве классов. Некоторые учителя могут объяснять логарифмы только с помощью научного калькулятора, потому что все, что для этого требуется, — это знать, как вводить правильную формулу.

Память является ключом к решению логарифмов

Еще одна причина, по которой вы можете захотеть использовать научный калькулятор для вычисления логарифмов, заключается в том, что они имеют встроенную память, которая позволяет вам хранить определенные уравнения.

Если вы работаете над чем-то, что требует нескольких сеансов, вы можете указать своему калькулятору сохранять то, что вы уже ввели в устройство. Это позволяет легко вернуться, если вам нужно сделать перерыв или если вы хотите попробовать другую комбинацию.

3. Функции синуса, косинуса и тангенса

Для тех, кто изучает тригонометрию или математический анализ, функция синуса является данностью. Они также часто появляются, если ваша карьера связана с какой-либо инженерной или архитектурной областью.

Вычисление синуса

Функция синуса используется для нахождения измерения определенного угла, особенно когда неизвестны другие стороны или углы. Вы также можете встретить арксинус, который часто используется для нахождения гипотенузы треугольника.

Подобно логарифмам, это вычисление когда-то занимало некоторое время, пока вы просматривали один лист бумаги за другим. С научными калькуляторами вы можете получить ответ почти сразу после того, как правильно введете функцию. Найдите кнопки sin, cos и tan на любом калькуляторе, чтобы убедиться, что он поддерживает эти функции.

Построение графика синуса

Другим родственным вычислением, которое вам может понадобиться, является построение графика синуса. Это прямой способ показать свою работу, и теперь многие классы требуют, чтобы вы знали, как графически отображать различные функции.

Функции косинуса

Точно так же вы можете построить график и решить функции косинуса. Косинус угла — это мера длины треугольника, и его чаще всего используют в курсах тригонометрии. Скорее всего, вы будете использовать косинусы, чтобы найти длину гипотенузы треугольника, а научный калькулятор также работает в обратном порядке с арккосинусами.

Косинусы можно найти для любого угла, даже если он большой или отрицательный. Опять же, вам может потребоваться показать, что вы знаете, что такое косинусы, используя калькулятор для построения графика.

Тангенс в градусах или радианах

Тангенс — это еще одна концепция, которую вам придется изучать на уроках тригонометрии, и это также связано с поиском неизвестных величин. В геометрии вы, скорее всего, столкнетесь с касательными при вычислении перпендикулярных линий.

В тригонометрии вы будете использовать его, чтобы найти значение противоположной стороны данных значений. Вы также можете выбрать получение ответа в градусах или радианах в зависимости от требований преподавателя.

Опять же, научный калькулятор — единственный тип калькулятора, который может найти ответ на эти типы уравнений, и вполне вероятно, что в какой-то момент он вам понадобится в школе. Это может быть особенно верно, если ваш преподаватель требует, чтобы вы продемонстрировали, как умеете строить графики определенных функций, что может быть частью вашей итоговой оценки.

Совет для профессионалов: Убедитесь, что ваш калькулятор не находится в радианном режиме, если вы хотите, чтобы ваши ответы были в градусах, потому что это может нарушить ваше уравнение и дать вам совершенно другой ответ, чем тот, который вы ищете.

4. Научное обозначение

Калькулятор для научных расчетов используется не только для решения более сложных математических задач. На самом деле, одним из его лучших применений может быть то, что он может вычислять экспоненциальное представление. Для чисел, которые не могут быть записаны в форме десятичной точки, потому что они слишком велики, обычный калькулятор не сможет их покрыть. 9x на вашем устройстве

Введите значение x

Нажмите кнопку «Ввод», чтобы получить ответ

В отличие от обычных калькуляторов, которые могут обрабатывать только меньшие значения, научный калькулятор может обрабатывать числа в гораздо более широком масштабе, что может быть полезно, когда дело доходит до сбора данных или работы физиком или химиком. Он также может вычислять отрицательную экспоненциальную запись.

Для тех, кто хочет заняться инженерным делом, есть специальный режим, который поможет вам рассчитать уравнения, характерные для вашей области. Вы найдете его как режим отображения ENG на своем устройстве, и он разработан, чтобы помочь передавать числа устно и посредством чтения.

5. Двоичные функции

Подобно тому, как вы вводите уравнения в свой калькулятор для вычисления обозначений или логарифмов, тангенсов и синусов, научный калькулятор может решать двоичные функции. Эти уравнения требуют двух входных данных.

Вы, скорее всего, столкнетесь с этим в алгебре или математическом анализе, когда будете находить неизвестное, но вы также можете обсудить его, изучая декартово произведение и подмножества.

Это еще один тип уравнения, который трудно отследить, не имея калькулятора с памятью, потому что, если вы можете сохранить результаты, которые дает вам калькулятор, вы можете продолжить работу, которую вы выполнили раньше, или сохранить свои усилия для другого время.

Научные калькуляторы HP

Вот лучшие научные калькуляторы HP:

Научный калькулятор HP 35s

Получите профессиональную производительность от научного калькулятора HP 35s . Это совершенный научный программируемый калькулятор HP RPN, который идеально подходит для инженеров, геодезистов, студентов колледжей, ученых и медицинских работников.

Идеально подходит для инженеров, геодезистов, студентов, ученых и медицинских работников
Большой 2-линейный дисплей
30 КБ памяти
42 Встроенные физические постоянные константы
800 Регистры памяти
Более 100 встроенных функций

HP 300S Scipuction Calculator

ARM SOWER SOPHISISTED HP 300S 300S 300S 300S 300S 300S 300S 300S 300S 300S 300S. Калькулятор с расширенными арифметическими, алгебраическими и тригонометрическими функциями для решения самых сложных математических и естественных наук.

Одобрено для использования на большинстве вступительных экзаменов в колледжи
Питание от солнечной батареи с резервным аккумулятором
4-строчный ЖК-дисплей формата учебника
9 регистров памяти
315 встроенных функций

Научный калькулятор HP 10s

Выберите прочный калькулятор a6 Scientific 8 с пользователем HP 10s — удобный дизайн, легко читаемый дисплей и широкий набор алгебраических, тригонометрических, вероятностных и статистических функций для занятий математикой и естественными науками.

Идеально подходит для продвинутой математики, такой как алгебра, тригонометр и статистика
Питание от солнечной батареи с резервным аккумулятором
9 регистров памяти
240 встроенных функций

Вкратце

Раньше целые классы посвящались изучению того, как вычислять определенные уравнения, и ученики, возможно, не ожидали, что на самом деле узнать, для чего предназначались эти уравнения и как они будут использовать их в будущей карьере.

Благодаря научному калькулятору стало проще выполнять различные функции и видеть, как они могут повлиять на карьеру в области естественных наук или математики.

Об авторе

Дэниел Горовиц (Daniel Horowitz) — автор статей для HP® Tech Takes. Дэниел живет в Нью-Йорке и пишет для таких изданий, как USA Today, Digital Trends, Unwinnable Magazine и многих других СМИ.

Управление содержанием проекта и его значение в 2022 году

Управление содержанием проекта относится к набору процессов, обеспечивающих точное определение и отображение содержания проекта. Методы управления содержанием позволяют руководителям проектов и супервайзерам распределять необходимый объем работы, необходимый для успешного завершения проекта, в первую очередь связанный с контролем того, что входит и не входит в объем проекта.

Для менеджера проекта знание предметной области имеет решающее значение, и Институт управления проектами (PMI)® подчеркивает это.

Запишитесь на наш сертификационный курс PMP® сегодня и создайте прочную основу в принципах управления проектами.

Что такое содержание проекта?

Объем относится к подробному набору результатов или характеристик проекта. Эти результаты вытекают из требований проекта. PMBOK® определяет объем проекта как «работу, которую необходимо выполнить для предоставления продукта, услуги или результата с указанными свойствами и функциями».

Ниже приведены три процесса управления содержанием проекта:

Планирование
Процесс планирования — это попытка зафиксировать и определить работу, которую необходимо выполнить.
Управление
Процессы контроля и мониторинга сосредоточены на документировании отслеживания, расширения масштаба, отслеживания и отклонения/утверждения изменений проекта.
Закрытие
В заключительном процессе закрытие включает в себя аудит результатов проекта и оценку результатов по сравнению с первоначальным планом.

Важность управления содержанием проекта

Если вы управляете проектом, учет ожиданий заинтересованных сторон и клиентов может стать одной из самых сложных задач. Но с четкой областью действия и установленным графиком времени руководителю проекта легче обеспечить соблюдение сроков и эффективное использование времени на протяжении всего жизненного цикла проекта.

Управление содержанием проекта помогает избежать ряда общих проблем, таких как:

Напоминание о том, что фактический результат оказался меньше ожидаемого
Регулярно меняющиеся требования
Измените направление проекта, когда вы уже на полпути.
Пересмотр обсуждения бюджета
Несоблюдение сроков проекта

Управление содержанием необходимо для долгосрочного управления проектом. Это позволяет оценить, сколько времени, труда и денег потребуется для выполнения проекта. Объем является критическим компонентом управления проектом; он устанавливает параметры для меняющихся аспектов жизненного цикла проекта.

Масштаб проекта — это четкое определение работы, необходимой для успешного завершения или реализации проекта. Одна из обязанностей менеджера проекта состоит в том, чтобы гарантировать, что будет выполнена только необходимая работа (объем) и что каждый из результатов может быть завершен в отведенное время и в рамках бюджета.

В документации по объему проекта объясняются границы проекта, устанавливаются обязанности каждого члена группы и устанавливаются процедуры проверки и утверждения выполненной работы. Эта документация может называться описанием объема работ, техническим заданием или техническим заданием.

шагов, связанных с управлением содержанием проекта

Как руководителю проекта, вам необходимо определить объем проекта независимо от того, какую методологию вы выберете. Вот один из примеров систематического процесса сбора, определения и мониторинга масштаба.

Определение потребностей проекта
Определение потребностей проекта — это первый шаг к установлению графика проекта, распределению ресурсов проекта и постановке целей проекта. Только с помощью этих определенных шагов вы сможете понять работу, которую необходимо выполнить, то есть необходимо определить объем проекта. Как только это будет сделано, членам команды могут быть назначены задачи и даны указания по реализации проекта в заданные сроки и в заданный бюджет.
Понимание целей проекта
Чтобы определить объем проекта, важно сначала установить цели проекта, которые могут включать в себя новый продукт, создание новой услуги в организации или разработку нового программного обеспечения. Есть несколько целей, которые могут быть центральными для проекта; менеджер проекта гарантирует, что команда достигнет результатов в соответствии с указанными функциями или функциями.
Определение содержания проекта
Ресурсы и работа, затраченные на создание продукта или услуги, в основном определяют объем проекта. Масштаб обычно описывает цели, которые будут достигнуты для достижения удовлетворительного результата.

шагов для определения содержания проекта

Цели проекта
голов
Подэтапы
Задачи
Ресурсы
Бюджет
Расписание

Чтобы определить объем проекта, укажите вышеуказанные параметры.

После того, как эти параметры установлены, необходимо уточнить ограничения проекта и определить аспекты, которые не должны быть включены в проект. Таким образом, масштаб проекта прояснит заинтересованным сторонам, высшему руководству и членам команды, что будет и что не будет включено в конечный продукт или услугу.

Кроме того, объем проекта должен иметь осязаемую цель для организации, выполняющей проект. Это неотъемлемая часть масштаба проекта, поскольку она будет играть жизненно важную роль в том, как проектные методологии применяются для его завершения.

Процессы управления содержанием проекта

Зарегистрируйтесь для сертификации PMP и продвигайтесь по карьерной лестнице, изучая самые востребованные в отрасли навыки.

1. Управление содержанием плана

Это первый процесс в процессе управления содержанием проекта. В пятое издание Руководства PMBOK® добавлено несколько процессов, позволяющих отделить первоначальные действия по планированию от других действий. Этот процесс создает план управления содержанием. План управления содержанием описывает содержание проекта и документирует, как оно будет далее определяться, проверяться и контролироваться.

В таблице ниже показаны входы, инструменты и методы, а также выходы процесса управления содержанием плана.

План управления содержанием проекта описывает, как будет определяться, подтверждаться и контролироваться содержание. Он также включает информацию о предотвращении или устранении расползания содержания, обработке запросов на изменение, пути эскалации любых разногласий по элементам содержания между заинтересованными сторонами, процессе создания описания содержания, WBS и о том, как результаты будут приняты.

2. Соберите требования

Этот процесс включает в себя документирование потребностей заинтересованных сторон с заявленным намерением достичь целей проекта. В этом процессе менеджеры используют несколько методов и инструментов для сбора проектных требований от заинтересованных сторон. Этот процесс не оставляет камня на камне, что приводит к подробному списку требований к проекту. Если этот процесс выполняется тщательно и правильно, он может значительно снизить вероятность неприятных сюрпризов по мере приближения проекта к завершению.

В таблице ниже показаны входы, инструменты и методы, а также выходы процесса сбора требований.

3. Определить объем

Этот процесс включает в себя подготовку подробного описания проекта и его основных результатов. Масштаб четко указывает, чего проект должен достичь и чего он не может достичь. Сопроводительные документы проверяются, чтобы убедиться, что проект будет выполнять работу в соответствии с заявленными целями. Полученный объем определяет потребности заинтересованных сторон и сообщает об ожиданиях в отношении эффективности проекта.

В таблице ниже показаны входы, инструменты и методы, а также выходы процесса определения содержания.

4. Создайте структуру разбивки работ (WBS)

Структура распределения работ (WBS) является важным элементом процесса управления содержанием, и PMI® уделяет этому аспекту большое внимание — многие менеджеры проектов часто пропускают этот шаг, что приводит к неточному планированию. WBS предоставляет руководителю проекта и команде возможность разбить высокоуровневое описание содержания на более мелкие, управляемые единицы работы, называемые рабочими пакетами. В результате WBS должен предоставить полный список всех рабочих пакетов, необходимых для завершения проекта 9.0003

В приведенной ниже таблице показаны входы, инструменты и методы, а также выходы процесса «Создать структуру декомпозиции работ».

5. Проверка области действия

Процесс Validate Scope фокусируется главным образом на принятии клиентом. Это когда заказчик проекта официально принимает все результаты проекта. Этот процесс происходит в конце каждой фазы. В процессе работы заказчик дает отзыв о выполненной работе.

В таблице ниже показаны входные данные, инструменты и методы, а также выходные данные процесса подтверждения объема.

6. Контрольный объем

Control Scope — это последняя группа процессов управления содержанием проекта. Процесс управления объемом включает в себя мониторинг состояния проекта и управление изменениями в объеме.

В таблице ниже показаны входы, инструменты и методы, а также выходы процесса контроля содержания.

Этот процесс включает в себя оценку дополнительных требований со стороны заказчика или упреждающий учет содержания проекта. Менеджеры оценивают рабочий продукт по сравнению с базовым планом, чтобы убедиться, что проект идет по плану, а все запрошенные изменения и рекомендуемые корректирующие или предупреждающие действия обрабатываются с помощью интегрированного процесса управления изменениями.

Найдите наш тренинг PMP в лучших городах

Советы по управлению содержанием проекта

Некоторые общие проблемы с управлением содержанием проекта могут привести к проблемам после начала проекта. Мы рекомендуем просмотреть всю документацию по управлению содержанием с прицелом на:

Первое, что нужно знать об управлении областью действия, — это не сама область действия. Существует пять шагов планирования для управления содержанием. Чтобы даже начать работу над своим проектом, лучше всего иметь хорошее представление о том, что это будет.

Ваш клиент захочет узнать, какие процессы вы будете использовать и как вы будете выполнять свой проект. Есть разница между этим и планом вашего проекта.

Если вы не совсем уверены в пяти шагах управления содержанием проекта, запишите их сейчас.

Сбор требований
Определить объем
Создание структуры декомпозиции работ
Проверка объема
Контрольный прицел

Хорошее понимание и внимание к этим шагам при управлении объемом необходимо для эффективного завершения проекта.

Итак, теперь, когда вы знаете шаги, давайте начнем с основ. Очевидно, что это важная идея, и ее нельзя игнорировать. Чтобы начать проект, вы должны понимать требования. Знание требований к проекту является ключом к реализации успешных проектов. И никто не может реализовать успешные проекты без него. С другой стороны, однако, сбор требований к проекту может быть сложной задачей. После столь долгой работы руководителем проекта, я уверен, вы уже это знаете.

Узнайте, чего именно они хотят. Исследуйте те животрепещущие вопросы, которые у вас есть, и делайте подробные заметки. Однако не расстраивайтесь, если ваша первая встреча с клиентом не предоставит вам всей информации, необходимой для продолжения проекта, потому что маловероятно, что она будет.

Если вы начнете свой проект со смутным представлением о том, что вы собираетесь делать, вы с меньшей вероятностью примете какие-либо конкретные решения, поэтому найдите время, чтобы спланировать, что вы хотите сделать, прежде чем говорить что-либо своему клиент.

Когда вы вернетесь в офис, найдите время, чтобы задокументировать все, что вы знаете о проекте. Когда вы закончите, поделитесь своими мыслями с коллегами и получите отзывы о своих ожиданиях и целях в отношении проекта.

Чтобы создать окончательное проектное предложение, набросайте грубый набросок и составьте список своих ожиданий. Понятно, что это большой объем работы, поэтому делегируйте как можно больше своей команде и ставьте им задачи, чтобы они могли исследовать различные задачи для вас и делиться с вами ответами.

Хорошим первым шагом для большинства проектов является привлечение заинтересованных сторон с самого начала, даже до того, как вы окончательно определите содержание проекта. Содержание проекта устанавливает основу для вашего предложения и описывает ожидаемые результаты вашего проекта.

Как только вы почувствуете уверенность в конкретных потребностях вашего проекта, следующим шагом будет определение его масштаба. Это раздел, в котором вы должны подробно описать, что даст ваш проект. В нем также должно быть указано, что не будет выполнено, а также бюджет и график.

Когда вы закончите разработку содержания проекта, представьте его своему клиенту. Используйте этот шанс, чтобы обсудить ожидаемые результаты и контрольные показатели вашего проекта. Поделитесь ожидаемым бюджетом и графиком проекта.

Почему руководителям проектов необходимо управление содержанием?

Для эффективного управления содержанием проекта требуется четкая коммуникация, чтобы гарантировать, что заинтересованные стороны и члены команды в равной степени понимают масштаб проекта, при этом соглашаясь с тем, как будут достигнуты цели проекта.

Scope Management помогает избежать проблем, с которыми может столкнуться проект из-за раздутого объема и неконтролируемого списка требований. Объем проекта четко определяет, что входит или не входит в проект, и контролирует, что добавляется или удаляется по мере выполнения проекта. Управление содержанием устанавливает механизмы контроля для устранения факторов, которые могут привести к изменениям в течение жизненного цикла проекта.

Без определения масштаба проекта нельзя оценить стоимость и время, которое потребуется для реализации проекта. Иногда из-за отсутствия связи может потребоваться изменение масштаба. Это напрямую влияет на стоимость и нарушает график проекта, вызывая убытки.

Заключение

Project Scope Management несложно внедрить; однако это требует усилий, времени и терпения. Это стоит вложений, потому что правильное управление объемом работ поможет вам определить четкий объем и выполнить проект с минимальным перерасходом средств.

Если вы готовитесь к экзамену PMP, рассмотрите возможность онлайн-обучения по сертификации PMP от Simplilearn. Мы предлагаем широкий спектр курсов по управлению проектами, таких как программа последипломного образования по управлению проектами, которую преподают сертифицированные преподаватели с опытом работы в отрасли не менее 10 лет.

Ждете ли вы успеха в области управления проектами? Если да, зарегистрируйтесь в программе «Основы управления проектами» прямо сейчас и станьте на шаг ближе к своей карьерной цели!

Тройное ограничение в управлении проектами: время, объем и стоимость

Управление проектами

Руководитель проекта

Джейсон Уэстленд | 17 января 2022 г.

Содержание

Что такое тройное ограничение?
Как работает тройное ограничение?
Как справиться с тройным ограничением
Инструменты для управления тройным ограничением

Тройному ограничению в управлении проектами дали много названий — треугольник управления проектом, железный треугольник и треугольник проекта — которые должны дать вам представление о насколько важно тройное ограничение при управлении проектом. Если вы управляете проектом, значит, вы работаете с тройным ограничением.

Таким образом, можно легко утверждать, что Тройное ограничение может быть самой важной концепцией в истории управления проектами. При использовании в сочетании с эффективным программным обеспечением для управления проектами это может дать вам возможность привести ваши проекты к успеху.

Что такое тройное ограничение в управлении проектами?

Итак, что такое тройное ограничение? Это просто, это модель ограничений, присущих управлению проектом. Эти ограничения тройные:

Стоимость: Финансовые ограничения проекта, также известные как бюджет проекта
Объем: Задачи, необходимые для достижения целей проекта
Время: График завершения проекта

По сути, Тройное ограничение гласит, что успех проекта зависит от его стоимости, времени и объема. Как менеджер проекта, вы можете сохранить контроль над тройным ограничением, уравновешивая эти три ограничения посредством компромиссов. Мы объясним, как работают эти компромиссы, в разделе ниже.

Хотя верно то, что тройное ограничение является важной частью любого успешного проекта, оно не определяет успех. Проекты состоят из многих частей, а не из трех, составляющих Тройное ограничение. Вот почему некоторые эксперты по управлению проектами добавили в модель еще три ограничения, чтобы лучше отразить наиболее важные области проекта. Вот они:

Качество: Существуют стандарты качества для каждого проекта, будь то материальный или нематериальный продукт. Руководителям проектов нужен план управления качеством для контроля качества.
Риск: Риск присущ любому проекту. Вот почему руководители проектов должны создать план управления рисками, чтобы объяснить, как будут обрабатываться риски проекта
Выгода: Существуют различные виды выгоды, получаемой от проекта. Руководители проектов должны гарантировать, что заинтересованные стороны проекта получат максимально возможную финансовую выгоду.

Как работает тройное ограничение?

Как указано выше, руководители проектов могут увеличивать или уменьшать стоимость, время и объем проекта, идя на компромиссы, чтобы уложиться в график и в рамках бюджета. Давайте посмотрим, как эти компромиссы треугольника проекта работают на некоторых примерах.

Время и объем: Вы можете уменьшить объем проекта, чтобы также сократить его продолжительность, если вы отстаете от графика. В противном случае вы можете увеличить продолжительность графика проекта на случай, если заинтересованные стороны проекта предложат дополнительные действия по проекту.
Стоимость и объем: Уменьшая объем проекта, вам потребуется выполнять меньше задач, что означает снижение затрат. В противном случае больший масштаб проекта означает более высокие затраты.
Стоимость и время: В некоторых проектах время и стоимость могут быть напрямую связаны. Например, затраты на аренду оборудования или рабочей силы прямо пропорциональны времени, на которое они вам нужны.

Во всех этих сценариях применяется Тройное ограничение для управления проектом, но существует гораздо больше возможных компромиссов, которые могут возникнуть в проекте, которые также включают качество, риск и выгоду.

Используя панель управления проектами, менеджер может следить за ходом проекта. Такие показатели, как график, стоимость и масштаб проекта, легко отследить. С помощью этой информации руководитель проекта может определить проблемы и настроить тройное ограничение, чтобы предотвратить их перерастание в проблемы. ProjectManager имеет панель управления в режиме реального времени, на которой представлены все важные данные проекта, влияющие на тройное ограничение.

Как управлять тройным ограничением

Тройное ограничение кажется простым, но это только на первый взгляд. Каждую из трех точек этого треугольника можно распаковать, чтобы раскрыть более глубокий смысл.

Стоимость

Финансовые обязательства проекта зависят от нескольких переменных. Есть задействованные ресурсы, от материалов до людей, которые включают затраты.

Существуют также фиксированные и переменные затраты, присущие любому проекту, такие как оборудование или рабочая сила, которые необходимо рассчитать. Это может серьезно повлиять на использование контрактных работников или аутсорсинга.

Вот что делают руководители проектов для контроля затрат:

Оценка затрат на все задачи в рамках проекта
Создание бюджета проекта на основе сметной стоимости проекта
Использование бюджета проекта в качестве базовой стоимости, которая используется для контроля затрат во время выполнения проекта
Контролируйте все расходы по проекту, чтобы не выходить за рамки бюджета проекта
При необходимости скорректируйте бюджет проекта

Связанный: Бесплатный шаблон бюджета проекта

Прицел

Как уже упоминалось, объем проекта относится ко всем работам по проекту, необходимым для завершения проекта. Управление этой работой имеет решающее значение для успеха проекта. При управлении масштабом важно расставлять приоритеты для своих задач, что позволяет эффективно планировать и распределять ресурсы.

Для управления объемом, руководители проектов:

Используйте план управления содержанием, чтобы четко определить, какие действия по проекту будут выполняться
Поделитесь планом управления содержанием со всеми заинтересованными сторонами, чтобы все были на одной странице
Используйте заказы на изменение, чтобы избежать расползания области действия и отслеживать все изменения, внесенные в область действия проекта
Управление ожиданиями заинтересованных сторон для поддержания содержания проекта
Используйте инструменты и методы управления задачами, чтобы отслеживать все действия проекта в области

Все эти действия по управлению содержанием, предпринимаемые руководителями проектов, очень важны, поскольку количество времени, которое потребуется для каждой задачи, имеет решающее значение для стоимости и качества конечного продукта. Это может сильно повлиять на график и стоимость, особенно если проект крупномасштабный.

Связанный: Теория ограничений: руководство для руководителей проектов

ProjectManager имеет функции управления задачами, которые упрощают назначение, сортировку и приоритизацию задач. Таким образом, вы можете делегировать все критически важные задачи проекта нужным людям, предотвращая ужасное расширение масштабов. Кроме того, предлагая общий доступ к файлам и комментарии к задачам, мы обеспечиваем совместную работу на уровне задач.

Время

В своей основе график проекта представляет собой предполагаемый график времени, отведенный для завершения проекта или получения окончательного результата. Обычно это выясняется путем предварительной оценки времени, которое займет каждая задача проекта.

Структура распределения работ (WBS) используется для определения всех операций проекта. Затем менеджеры проектов могут использовать различные методы планирования, такие как метод критического пути или диаграммы PERT, для определения общей продолжительности проекта.

Вот что делают руководители проектов, чтобы контролировать расписание проекта:

Использование диаграммы Ганта для визуализации расписания проекта, определения последовательности задач и отслеживания продолжительности каждой задачи
Создание политик, процедур и документации для планирования, выполнения и мониторинга графика проекта
Эффективно распределяйте ресурсы, используя расписание ресурсов, чтобы избежать узких мест
Сравните базовый план расписания с фактическим ходом выполнения, чтобы определить, выполняются ли проекты по плану

Теперь, когда мы узнали, что делает большинство менеджеров проектов для управления тройным ограничением, давайте узнаем об инструментах управления проектами, которые вы можете использовать, чтобы помочь себе в этом процессе.

Управление тройным ограничением с помощью ProjectManager

Как упоминалось в начале сообщения, тройное ограничение при использовании в сочетании с программным обеспечением для управления проектами — это лучший способ контролировать ваш проект и привести его к успешному завершению. ProjectManager — это облачное программное обеспечение для управления проектами с данными в режиме реального времени, которое дает менеджерам проектов возможность управлять каждой частью тройного ограничения: затратами, временем и объемом.

Затраты

ProjectManager поможет вам отслеживать расходы по проекту, чтобы убедиться, что вы не перерасходуете средства. Вы можете создавать бюджеты, добавлять расходы по проекту и вводить почасовые ставки для всех ваших ресурсов. Информационная панель в режиме реального времени отслеживает стоимость и пять других показателей по вашему проекту и мгновенно сообщает о них в виде удобных для чтения диаграмм и графиков. Это простой способ следить за своими расходами и убедиться, что вы соответствуете своему бюджету. Теперь вы можете уловить проблемы с бюджетом до того, как они станут проблемой.

Время

Ваш график может ускользнуть от вас, но только не с помощью ProjectManager. Когда задачи обновляются, они мгновенно отражаются в программном обеспечении. Это означает, что ваши отчеты и панель мониторинга точны и актуальны. Вы даже можете наблюдать за ходом выполнения отдельных задач на онлайн-диаграмме Ганта, где полоса длительности показывает, какой прогресс был достигнут в выполнении задачи.

Табели учета рабочего времени синхронизируются с задачами команды, что позволяет членам команды легко выбирать задачу и просто вводить ее. Это заносит их время в расписание, которое затем можно просмотреть и утвердить несколькими щелчками мыши.

Прицел

Scope будет меняться на протяжении всего проекта, и ProjectManager имеет инструменты, позволяющие гибко реагировать на эти изменения. Существует несколько представлений проекта, поэтому вы можете переключиться с диаграммы Ганта на доску канбан, чтобы получить представление о своем рабочем процессе. Карты канбан, которые представляют задачи, устанавливаются по приоритету, который может меняться по мере изменения актуальности этих задач.

Преимущество канбан-досок в том, что они настроены так, чтобы доставлять задачи членам команды только тогда, когда есть ресурсы и возможности для их выполнения. По мере изменения масштаба проекта канбан-доска может быстро меняться.

Если вы заметили, что команды недораспределены или перераспределены, вы можете сбалансировать это на странице рабочей нагрузки. На странице рабочей нагрузки есть диаграммы с цветовой кодировкой, которые сразу показывают, кто перегружен задачами, а кто свободен. Вы можете быстро и легко перераспределить их работу, чтобы сохранить проект в рамках.

Тройное ограничение поможет вам управлять вашим проектом. Планирование графика, объема и стоимости вашего проекта поможет вам достичь ваших целей и задач. ProjectManager, облачное программное обеспечение для управления проектами, предоставляет инструменты для эффективного использования этой модели. Узнайте, как наши информационные панели в реальном времени и интерактивные диаграммы Ганта могут помочь вам, воспользовавшись бесплатной 30-дневной пробной версией.

Что такое масштаб проекта?

Что такое объем проекта?
Объем проекта — это часть планирования проекта, которая включает определение и документирование списка конкретных целей проекта, результатов, задач, затрат и сроков. Документация по содержанию проекта называется описанием содержания или техническим заданием 9.1168 . В нем разъясняются границы проекта, устанавливаются обязанности каждого члена команды и устанавливаются процедуры проверки и утверждения выполненной работы.
Во время проекта эта документация помогает команде проекта оставаться сосредоточенной и выполнять задачу. Заявление о содержании также предоставляет команде рекомендации по принятию решений о запросах на изменение в ходе проекта. Обратите внимание, что описание содержания проекта не следует путать с его уставом; устав проекта просто документирует существование проекта.
Большие проекты имеют тенденцию изменяться по мере их выполнения. Если в начале проект был эффективно «распределен», то утверждение этих изменений и управление ими будет проще. При документировании масштаба проекта заинтересованные стороны должны быть как можно более конкретными, чтобы избежать расползания масштаба. Расползание масштаба — это ситуация, в которой одна или несколько частей проекта требуют больше работы, времени или усилий из-за плохого планирования или недопонимания.
Для эффективного управления областью действия требуется хорошая коммуникация. Это гарантирует, что все в команде понимают масштабы проекта и согласны с тем, как именно будут достигнуты цели проекта. В рамках управления содержанием руководитель группы должен запрашивать одобрение и одобрение заинтересованных сторон по мере продвижения проекта, гарантируя, что предлагаемый готовый проект соответствует потребностям каждого.

Важность определения масштаба проекта
Написание описания содержания проекта, включающего информацию о результатах проекта, является первым шагом в планировании проекта. Преимущества описания содержания проекта для любой организации, предпринимающей новую инициативу, включают следующее:
формулирует содержание проекта, чтобы все заинтересованные стороны могли понять, о чем идет речь;
предоставляет дорожную карту, которую менеджеры могут использовать для назначения задач, планирования работы и бюджета;
помогает сфокусировать членов команды на общих целях; и
не позволяет проектам, особенно сложным, выйти за рамки установленного видения.
Определение масштаба проекта гарантирует, что проекты будут сфокусированы и выполнены в соответствии с ожиданиями. Объем обеспечивает прочную основу для управления проектом по мере его продвижения и помогает гарантировать, что ресурсы не отвлекаются и не тратятся впустую на элементы, выходящие за рамки.
Как определить объем проекта
Для определения содержания проекта требуется участие заинтересованных сторон проекта. Они работают с менеджерами проектов, чтобы установить ключевые элементы бюджета, целей, качества и сроков.
Чтобы определить масштаб, менеджеры проекта должны собрать требования к тому, что нужно заинтересованным сторонам от проекта. Сюда входят следующие элементы:
цель проекта и результаты;
, когда проект должен быть завершен; и
сколько заинтересованные лица могут заплатить за это.
Цель состоит в том, чтобы собрать и записать точную и точную информацию во время этого процесса, чтобы объем проекта отражал все требования. Это повышает шансы руководителей проектов выпускать продукты, отвечающие ожиданиям заинтересованных сторон, в срок и в рамках бюджета.
Посмотрите, как объем проекта вписывается в общее проектное предложение.
Написание описания содержания проекта
Описание содержания проекта — это письменный документ, который включает всю необходимую информацию для получения результатов проекта. Это более подробно, чем техническое задание; это помогает команде проекта оставаться сосредоточенной и на задаче. Заявление о содержании также предоставляет руководителю проектной группы или фасилитатору рекомендации по принятию решений о запросах на изменение в ходе проекта.
Описание содержания проекта устанавливает, что не включено в его инициативы, явно или неявно. Цели и задачи, не перечисленные в описании содержания, следует считать выходящими за рамки. Руководители проектов также могут перечислить конкретные работы, которые не будут частью проекта.
Таким образом, это утверждение устанавливает границы проекта. Руководители проекта должны принять эти требования и составить карту того, что должно происходить и в каком порядке эти элементы должны выполняться. Это приводит к созданию структурной декомпозиции работ (WBS). WBS разбивает запланированную работу на более мелкие, определенные части и необходимые задачи.
Четко сформулированное описание содержания является важной частью эффективного управления проектом. Объем проекта должен быть определен для каждого проекта, независимо от того, какой метод управления проектом используется. Заинтересованные стороны проекта должны просмотреть описание содержания проекта, при необходимости пересмотреть его и утвердить.
После завершения и утверждения описания содержания проекта руководители проектов могут назначать задачи и давать своим командам указания о том, что им необходимо сделать для соблюдения установленных сроков, бюджета и целей.
Планирование содержания и управление
Обновления и изменения являются частью процесса управления проектом. По ходу работы менеджеры должны тщательно контролировать, какие изменения вносятся в содержание проекта, и документировать их. Это требует сильных навыков управления проектами.
Процесс управления изменениями также требует, чтобы руководители проектов и заинтересованные стороны придерживались описания содержания проекта. Они должны понимать, какие элементы входят в рамки проекта, а какие запросы выходят за рамки.
Процессы управления изменениями помогают руководителям проектов определить, как оценивать запросы на обновления и изменения в проекте. Различение необходимых запросов и тех, которые выходят за рамки, позволяет организациям избежать расползания области.
Расширение масштаба — это когда к проекту добавляется больше работы, пока он находится в стадии реализации. Это может привести к дополнительным затратам и ненужной работе, отвлекая от целей и угрожая качеству намеченных результатов.
Пример содержания проекта Заявления о масштабах
пытаются предоставить ключевым заинтересованным сторонам всю необходимую им информацию. Ниже приведены некоторые элементы, которые должны быть включены в описание области действия:
Введение. Это определяет что и почему проекта. Примером может быть: «Этот проект по созданию контента и маркетингу осуществляется компанией RealContent Inc. для распространения статей в своем блоге и на сайтах социальных сетей для повышения узнаваемости бренда и увеличения посещаемости веб-сайта».
Объем проекта. Это определяет требования проекта. Он устанавливает общие цели для графика проекта и задач и определяет, кто будет вовлечен. В примере с созданием контента можно указать: «Проект будет включать в себя исследование, написание, стратегию контента и поисковую оптимизацию, а также публикацию на веб-сайте компании и в профилях социальных сетей в марте 2021 года. Джон Смит, директор по контенту RealContent, будет контролировать эти задачи. Персонал и авторы контрактов создадут результаты».
Результаты. Раздел результатов определяет, что будет предоставлено в конце проекта, и указывает дату отправки. В нашем примере «Результаты проекта будут включать хорошо проработанную статью из 2000 слов, которая будет опубликована не позднее 28 февраля 2021 года. тот же срок».
Критерии приемки. Здесь описываются цели проекта и показатели, которые будут использоваться для оценки успеха. Например, «Основная статья наберет 3000 кумулятивных просмотров страниц в течение шести месяцев после публикации и создаст двух новых лидов».
Исключения. Описывает то, что не будет включено в проект. Например, «Проекту не потребуется создавать мультимедиа для статей».
Ограничения. Здесь перечислены жесткие ограничения проекта и вещи, которые нельзя изменить. Ограничения проекта могут относиться к графику проекта, бюджету проекта или техническим проблемам. Например, «Проект имеет точную дату подачи 28 февраля 2021 года и твердый бюджет в размере 5000 долларов США».
Объем проекта и объем продукта
Объем проекта не следует путать с объемом продукта. Объем продукта определяет возможности, характеристики, особенности и функции результатов в конце проекта.
Руководители проекта должны создать отдельное описание содержания продукта. Они должны использовать как описание содержания проекта, так и описание содержания продукта, чтобы дополнять друг друга и обеспечивать четкое понимание того, к чему стремится каждый проект.
Еда на вынос
Определение содержания проекта — важный шаг в планировании проекта и управлении им. Прежде чем приступить к проекту, менеджеры проекта должны понять, каков объем проекта, чтобы определить, что необходимо сделать, а что выходит за рамки проекта.
Объем проекта определяется в описании содержания, документе, в котором указаны цели, графики, задачи и результаты проекта. Заявления о масштабах согласовывают ожидания заинтересованных сторон и дают проектам основу для успеха.
Как только проект запущен, важно следить за его ходом и в рамках. Различные инструменты и стратегии управления проектами помогут командам в этом.
Последнее обновление: сентябрь 2021 г.
Продолжить чтение О масштабах проекта
15 основных вопросов для собеседования с менеджером ИТ-проекта
Проверьте себя по принципам управления проектами Agile
Удаленное внедрение ERP: 10 основных принципов управления проектами
Почему проекты терпят неудачу в модели гражданского разработчика
От общего объема проекта до полного контроля над проектом
Углубленное изучение ИТ-приложений, инфраструктуры и операций
устав проекта
Автор: Александр Гиллис
Планирование проекта: что это такое и 5 шагов для создания плана
Автор: Бен Луткевич
Примеры экзаменационных вопросов CCISO по управлению проектами безопасности
Автор: Кэти Донеган
Как написать документ с бизнес-требованиями в Agile
Автор: Дайан Хоффман
SearchCloudComputing
Инструменты управления затратами Azure для контроля расходов на облако
С помощью предупреждений, панелей мониторинга затрат и других функций инструменты управления затратами Azure могут помочь администраторам более четко видеть свои . ..
Сравните Фабрику данных Azure и SSIS
Узнайте о различиях между Фабрикой данных Azure и SSIS, двумя инструментами ETL. Эти отличия включают в себя ключевые функции управления данными…
Упростите управление пакетами с помощью этого руководства по Azure Artifacts
Являясь расширением службы Azure DevOps, Azure Artifacts может помочь разработчикам управлять пакетами и обмениваться ими, чтобы оптимизировать общую…
SearchMobileComputing
Apple преследует растущий премиальный рынок с iPhone 14
Apple переключила свое внимание на смартфоны премиум-класса в новейшей линейке iPhone 14 с такими функциями, как режим блокировки, который IT …
Предотвращение атак на мобильные приложения на предприятии
По мере того, как мобильные устройства становятся все более популярными в качестве корпоративных устройств, мобильные приложения становятся все большей мишенью для хакеров.
No related posts.

Область определения функции двух переменных

Функции, Область определения и значения, Четность и…

функции

График функции

Область определения функции ООФ

область значения функции ОЗФ

Четность и нечетность функций

Периодичность функций

Возрастание, убывание функций

преобразования графиков функций

См. также

Дана функция y x4

Интервалы монотонности функции.

Определение предела функции по Гейне

11.1Определения предела по Коши и по Гейне

11.2Эквивалентность определений

11.3Применение предела по Гейне

11.4Заключение

Взаимно обратные функции с примерами и образцами решения

Дополнение к обратным функциям

Рекомендации по управлению областью проекта в Project Online

Что такое объем проекта и откуда он берется?

Определите область проекта и опубликуйте описание области действия в Project Online

Разработка структуры декомпозиции работ и списка задач в Project Online

Предотвратить расползание прицела

Управление изменениями области как проблемами в Project Online

Отслеживание запросов на изменение как проблем

Записать проблему

Изменить информацию о проблеме

Посмотреть список вопросов по проекту

Как создать онлайн-калькулятор

Что такое онлайн-калькулятор?

Как создать онлайн-калькулятор?

5 основных способов использования научного калькулятора

Что такое научный калькулятор?

Что я должен искать в инженерном калькуляторе?

Стоимость

Функции

Бонусные функции

1. Основные функции и показатели

Экспоненты, неизвестные числа

Порядок операций

Квадратный корень

Быстро или правильно? Теперь вы можете делать и то, и другое

2. Логарифмы

Медицина и инженерия стали проще

Память является ключом к решению логарифмов

3. Функции синуса, косинуса и тангенса

Вычисление синуса

Построение графика синуса

Функции косинуса

Тангенс в градусах или радианах

4. Научное обозначение

5. Двоичные функции

Научные калькуляторы HP

Научный калькулятор HP 35s

HP 300S Scipuction Calculator

Научный калькулятор HP 10s

Вкратце

Об авторе

Управление содержанием проекта и его значение в 2022 году

Что такое содержание проекта?

Планирование

Управление

Закрытие

Важность управления содержанием проекта

шагов, связанных с управлением содержанием проекта

Определение потребностей проекта

Понимание целей проекта

Определение содержания проекта

шагов для определения содержания проекта

Процессы управления содержанием проекта

1. Управление содержанием плана

2. Соберите требования

3. Определить объем

4. Создайте структуру разбивки работ (WBS)

5. Проверка области действия

6. Контрольный объем

Советы по управлению содержанием проекта

Почему руководителям проектов необходимо управление содержанием?