Векторы, практическое занятие
Векторы, практическое занятие.
Пример 1.
В параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ заданы векторы, совпадающие с его ребрами: .
Построить каждый из следующих векторов:
Получим:
Пример 2.
Проверьте на коллениарность векторы:
Установить какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены относительно друг друга.
Решение.
Так как координаты этих векторов пропорциональны( ), то коллениарны.
, значит вектор длиннее в 3 раза, чем вектор .
Так как отношение всех их координат равно , то есть меньше 0, то данные векторы разнонаправлены.
Пример 3.
Определить при каких значениях векторы:
коллениарны.
Решение.
коллениарны при условии что все их координаты имеют одинаковые отношения, то есть:
Ответ:
Пример 4.
Доказать что точки: А(3;-1;2), B(1;2;-1), C(-1;1;-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.
Решение.
Найдем следующие векторы:
Легко доказать, что коллениарны, а значит AB и DC параллельны и что, не коллениарны, а значит AB и СD не параллельны.
А так как имеются 4 прямые, две из которых параллельны, а остальные две – нет и пересекают параллельные прямые, то они образуют трапецию, что и требовалось доказать.
Пример 5.
Определить, при каком значении , векторы взаимно перпендикулярны.
Решение.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0, верно и обратное, значит, для того чтобы были взаимно перпендикулярны нужно чтобы их скалярное произведение равнялось 0, получим:
Ответ:
Пример 6.
Даны векторы ,
Найти координаты векторных произведений:
Решение.
2
2
=det = .
Ответ: 1) = .
2).
Пример 7.
Даны вершины треугольника ABC: A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Определите его угол B.
Решение.
, = {7;0;1}
и в тоже время
Получим: , далее найдем :
и .
Подставив полученные данные в выражение , получиим
.
Ответ: .
Пример 8.
Даны векторы: . Вычислить проекцию вектора на направление .
Решение.
, обозначим , .
, , .
Подставив полученные данные в исходную формулу, получим:
.
Проекция = =
Ответ: проекция вектора на направление равно .
Задания для самостоятельного решения.
Даны вершины четырехугольника: A(1;-2;2), B(1;4;0), C(-4;1;1), D(-5;-5;3). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Вычислить образованный векторами .
Вектор коллениарен и образует острый угол с осью OZ, зная, что , найти его координаты.
Найти вектор .
Точки A(1;2;0), B(3;0;-3), C(5;2;6) образуют треугольник. Вычислить площадь треугольника ABC.
studfiles.net
|
Определение Скалярным произведением векторов A и B называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение так: ( Ab), (A, b) или A×B. Итак
Поскольку (см. рис. 2.2.1), то получаем: Рис. 2.2.1
Если известны координаты перемножаемых векторов, т. е. A={ax, ay, az}, B={bx, by, bz}, то скалярное произведение этих векторов можно вычислить по формуле:
Свойства скалярного произведения: 1. A×B = B×A. 2. A×(B + c) = A×B + 3. l( a×B) = (lA)×B = A×(lB). 4. Векторы A И B взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
Пример Даны вершины треугольника A(–1,–2,4), B(–4,–2,0), C(3,–2,1). Определить его внутренний угол при вершине B. Решение Внутренний угол при вершине B (рис. 2.2.2) – это угол между векторами и : . Рис. 2.2.2 Найдем координаты векторов и : = {xA–xB, yA–yB, zA–zB} = {3, 0, 4}; = {xC–xB, yC–yB, zC–zB} = {7, 0, 1}. Скалярное произведение этих векторов и их длины: . Итак. Пример Даны три вектора: A = 3I – 6J – K, B = I +4J – 5K, C = 3I – 4J + 12K. Найти . Решение: Векторы заданы их разложением по базису. Выпишем их координаты: A = {3, –6, –1}, B = {1, 4, –5}, C = {3, –4, 12}, A + B = {3+1, –6+4, –1+(–5)} = {4, –2, 6}. Знак “минус” говорит о том, что угол между векторами A + B и C Тупой. Пример Определить при каком значении m векторы A = mI – 3J + 2K и B = I + 2J – mK взаимно перпендикулярны. Решение A = {m, –3, 2}, B = {1, 2, –m}. Векторы взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: A×B = m – 6 – 2m = –6 – m; –6 – m = 0; m = –6.
|
matica.org.ua
| 795 | Векторы и образуют угол , зная, что =3, =4, вычислить: | |
| 795.1 | ; | |
| 795.2 | ; | |
| 795.3 | ; | |
| 795.4 | ; | |
| 795.5 | ; | |
| 795.6 | ; | |
| 795.7 | ; | |
| 796 | Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные ; зная, что =3, =5, =8, вычислить: | |
| 796.1 | ; | |
| ; | ||
| 796.3 | . | |
| 797 | Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл. | |
| 798 | Доказать, что ; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства? | |
| 799 | Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство . | |
| 800 | Даны единичные вектторы , , , удовлетворяющие условию . Вычислить . | |
| 801 | Даны векторы , , , удовлетворяющие условию . Зная, что =3, =1, =4, вычислить . | |
| 802 | Векторы , , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 600. Зная, что =2, =2, =6, определить модуль вектора . | |
| 803 | Дано, что =3, =5. Определить, при каком значении векторы , будут взаимно перпендикулярны. | |
| 804 | Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен к вектору . | |
| 805 | Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору . | |
| 806 | Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору . | |
| 807 | Даны векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису , . | |
| 808 | Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и . | |
| 809 | Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равноберденного прямоугольного треугольника. | |
| 810 | Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условию , где — данный вектор и — данное число. | |
| 811 | Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условиям , , где и — данные неколлинеарные векторы и , — данные числа. | |
| 812 | Даны векторы ={4; -2; -4}, ={6; -3; 2}. Вычислить: | |
| 812.1 | ; | |
| 812.2 | ; | |
| 812.3 | ; | |
| 812.4 | ; | |
| 812.5 | ; | |
| 812.6 | . | |
| 813 | Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора ={2; -5; -7}. | |
| 814 | Даны точки A(-1; 3; -7), B(2; -1; 5), C(0; 1; -5). Вычислить: | |
| 814.1 | ; | |
| 814.2 | ; | |
| 814.3 | ; | |
| 814.5 | Найти координаты векторов и . | |
| 815 | Вычислить, какую работу производит сила f={3; -2; -5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; -3; 5} в положение B(3; -2; -1). | |
| 816 | Даны силы ={3; -4; 2}, ={2; 3; -5}, ={-3; -2; 4}, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1(5; 3; -7) в положение M2(4; -1; -4). | |
| 817 | Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. | |
| 818 | Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны. | |
| 819 | Вычислить косинус угла, образованного векторами ={2; -4; 4} и ={-3; 2; -6}. | |
| 820 | Даны вершины треугольника A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В. | |
| 821 | Даны вершины треугольника A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине А. | |
| 822 | Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный. | |
| 823 | Вектор , коллинеарный вектору ={6; -8; -7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что =50, найти его координаты. | |
| 824 | Найти вектор , коллинеарный вектору ={2; 1; -1} и удовлетворяющий условию . | |
| 825 | Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что . | |
| 826 | Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к ={2; 3; -1}, ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию . | |
| 827 | Даны векторы ={3; -1; 5}, ={1; 2; -3}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям , . | |
| 828 | Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , . | |
| 829 | Найти проекцию вектора ={4; -3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. | |
| 830 | Найти проекцию вектора ={; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы , , а с осью Oy – острый угол . | |
| 831 | Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oy углы , , а с осью Oz – тупой угол . | |
| 832 | Вычислить проекцию вектора ={5; 2; 5} на ось вектора ={2; -1; 2}. | |
| 833 | Даны векторы , , . Вычислить . | |
| 834 | Даны векторы ={1; -3; 4}, ={3; -4; 2} и ={-1; 1; 4}. Вычислить . | |
| 835 | Даны векторы , , . Вычислить . | |
| 836 | Сила, определяемая вектором ={1; -8; -7}, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора . | |
| 837 | Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора ={1; -3; 1} на ось вектора . | |
| 838 | Даны точки A(-2; 3; -4), B(3; 2; 5), C(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить . |
a-geometry.narod.ru