Определитель матрицы 5 порядка: Определитель матрицы 5х5 – онлайн калькулятор с подробным решением.

Определитель матрицы

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(1)

Умножим обе части первого уравнения на a₂₂ а второе на —a₁₂ и сложим. Получим следующее уравнение

Далее, первое уравнение умножим на —a₂₁ а второе на a₁₁ и сложим:

Пусть Тогда решение системы (1) примет следующий вид:

Выражение называется определителем матрицы

и обозначается:

Нетрудно заметить, что

Таким образом, решение системы линейных уравнений можно представить в виде:

Рассмотрим случай из трех неизвестных и трех уравнений. Пусть дана система линейных уравнений

(2)

Исключим неизвестные x₂ и x₃. Для этого умножим первое уравнение на a₂₂a₃₃—a₃₂a₂₃, второе на —(a₁₂a₃₃—a₁₃a₃₂), третье на a₁₂a₂₃—a₂₂a₁₃, и сложим:

Сделаем следующие обозначения:

Учитывая, что выражения перед элементами x₂ и x₃ равны нулю, имеем:

Выражение называется определителем матрицы

(3)

и обозначается:

(3a)

Элементы M_ij называются минорами элементов a_ij, и являются определителями матрицы (3), полученные вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Заметим, что выражение

является определителем матрицы

Если определитель (3a) неравен нулю, то x₁ вычисляется из следующего выражения:

Аналогично вычисляются x₂ и x₃, умножая уравнения системы (2) на соответствующие выражения и суммируя:

Распространяя вышеизложенное на системы линейных уравнений с n неизвестными и n уравнениями можно сформулировать понятие определителя для квадратной матрицы порядка n.

Пусть задана матрица

(4)

Определителем порядка n, соответствующим матрице (4), называется число равное

(5)

Сделаем следующее обозначение:

Тогда выражение (5) можно переписать в следующем виде:

(6)

A_ij называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.

В вышеизложенном выражении определитель вычисляется суммируя произведения всех элементов первого столбца на соответствующие им алгебраические дополнения. Аналогично можно показать, что определитель равна сумме произведений всех элементов какой либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

(7)

Однако, для вычисления определителя матрицы большой размерности, такой подход требует больших усилий. Ниже мы представим более оптимальный метод вычисления определителя. Для этого сначала изложим некоторые важные свойства определителей.

Свойства определителей

1. Перестановка строк меняет знак определителя на обратное.
2. Общий для всех элементов множитель какой либо строки, можно выносить за знак определителя.
3. При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются.
4. Прибавление одной строки к другой строке, умноженной на число, не изменяет значение определителя.
5. При замене местами строк и столбцов (при транспонировании) определитель не изменит своего значения.

Вычисление определителя матрицы с помощью исключения Гаусса

Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнему треугольному виду с помощью исключения Гаусса. Тогда выражение (7) примет следующий вид:

(8)

где Z— общее количество перестановок. При каждой перестановке строк, изменяется знак определителя на обратное (свойство 1). Если общее число перестановок нечетное, то нужно поменять знак произведения элементов главной диагонали на обратное.

Онлайн нахождение определителя матрицы

Для нахождения определителя матрицы вы можете использовать матричный онлайн калькулятор. Для подробного решения используйте онлайн калькулятор для вычисления определителя матрицы.

Определитель матрицы.

Навигация по странице: Определение определителя матрицы Свойства определителя матрицы Методы вычисления определителя матрицы Определитель матрицы 1×1 Определитель матрицы 2×2 Определитель матрицы 3×3 Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка Определитель матрицы произвольного размера Разложение определителя по строке или столбцу Приведение определителя к треугольному виду Теорема Лапласа Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач. Определение. Определителем матрицы n×n будет число: det(A) =  Σ (-1)N(α1,α2,. ..,αn)·aα11·aα22·…·aαnn (α1,α2,…,αn) где (α1,α2,…,αn) — перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Обозначение Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A). Свойства определителя матрицы Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1 Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(AT) Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1 Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов). Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя: a11 a12 . .. a1n a21 a22 … a2n . . . . k·ai1 k·ai2 … k·ain . . . . an1 an2 … ann  = k a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . ai1 ai2 … ain . . . . an1 an2 … ann Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A) где A матрица n×n, k — число. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . bi1 + ci1 bi2 + ci2 … bin + cin . . . . an1 an2 … ann  =  a11 a12 . .. a1n a21 a22 … a2n . . . . bi1 bi2 … bin . . . . an1 an2 … ann  +  a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . ci1 ci2 … cin . . . . an1 an2 … ann Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B) Методы вычисления определителя матрицы Вычисление определителя матрицы 1×1 Правило: Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы: ∆ = |a11| = a11 Вычисление определителя матрицы 2×2 Правило: Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей: ∆ =  a11 a12 a21 a22  = a11·a22 — a12·a21 Пример 1. Найти определитель матрицы A A =  5 7 -4 1 Решение: det(A) =   = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33 Вычисление определителя матрицы 3×3 Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка Правило: Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали. + – ∆ =  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  = =  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33 Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка Правило: Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»: ∆ =  a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32  = =  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33 Пример 2. Найти определитель матрицы A A =  5 7 1 -4 1 0 2 0 3 Решение: det(A) =  5 7 1 -4 1 0 2 0 3  = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97 Вычисление определителя матрицы произвольного размера Разложение определителя по строке или столбцу Правило: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения: n det(A) =  Σ aij·Aij          — разложение по i-той строке j = 1 Правило: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения: n det(A) =  Σ aij·Aij          — разложение по j-тому столбцу i = 1 При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов. Пример 3. Найти определитель матрицы A A =  2 4 1 0 2 1 2 1 1 Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу: det(A) =  2 4 1 0 2 1 2 1 1  = = 2·(-1)1+1·  + 0·(-1)2+1·  + 2·(-1)3+1·  = = 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6 Пример 4. Найти определитель матрицы A A =  2 4 1 1 0 2 0 0 2 1 1 3 4 0 2 3 Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей): det(A) =  2 4 1 1 0 2 0 0 2 1 1 3 4 0 2 3  = = -0· 4 1 1 1 1 3 0 2 3  + 2· 2 1 1 2 1 3 4 2 3  — 0· 2 4 1 2 1 3 4 0 3  + 0· 2 4 1 2 1 1 4 0 2  = = 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0 Приведение определителя к треугольному виду Правило: Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали. Пример 5. Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду A =  2 4 1 1 0 2 1 0 2 1 1 3 4 0 2 3 Решение: det(A) =  2 4 1 1 0 2 1 0 2 1 1 3 4 0 2 3 Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку помноженную на 2: det(A) =  2 4 1 1 0 2 1 0 2 — 2 1 — 4 1 — 1 3 — 1 4 — 2·2 0 — 2·4 2 — 2·1 3 — 2·1  =  2 4 1 1 0 2 1 0 0 -3 0 2 0 -8 0 1 Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбци: det(A) = — 2 1 4 1 0 1 2 0 0 0 -3 2 0 0 -8 1 Получим нули во третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец умноженный на 8: det(A) = — 2 1 4 + 8·1 1 0 1 2 + 8·0 0 0 0 -3 + 8·2 2 0 0 -8 + 8·1 1  = — 2 1 12 1 0 1 2 0 0 0 13 2 0 0 0 1  = -2·1·13·1 = -26 Теорема Лапласа Теорема: Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю. Онлайн калькуляторы с матрицами. Упражнения с матрицами. Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы. Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

линейная алгебра — Как найти определитель матрицы 5×5

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 7 месяцев назад

Изменено 1 год, 11 месяцев назад

Просмотрено 55 тысяч раз

$\begingroup$

Как мне найти определитель этого? $$\begin{bmatrix} 0& 6& −2& −1& 5\\ 0& 0& 0& −9& −7\\ 0& 15& 35& 0& 0\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{bmatrix}$$

Я пробовал выполнять сокращения строк, но каждый раз получаю $0$ и получаю число. Я не совсем уверен, как это сделать с помощью кофакторов

• линейной алгебры
• определителя

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Используя разложение Лапласа по первому столбцу, проблема сразу сводится к вычислению $R=-2\cdot\det(M)$ с $$ \det M=\det\begin{pmatrix}6&-2&-1& 5 \\ 0 & 0 & -9 & -7 \\ 15 & 35 & 0 & 0 \\ -1&-11&-2&1\end{ pmatrix}=-5\cdot\det\begin{pmatrix}6&-2&1& 5 \\ 0 & 0 & 9 & -7 \\ 3 & 7 & 0 & 0 \\ -1&-11&2&1\end{pmatrix}$$ следовательно $$ R = 10\влево[-9\det\begin{pmatrix}6&-2&5 \\ 3 & 7 & 0 \\ -1&-11&1\end{pmatrix}-7\det\begin{pmatrix}6&-2&1 \\ 3 & 7 & 0 \\ -1&-11&2\end{pmatrix}\right]$$ $$ R = 10\left[-9\det\begin{pmatrix}11&53& 0 \\ 3 & 7 & 0 \\ -1&-11&1\end{pmatrix}-7\det\begin{pmatrix}6&-2&1 \ \ 3 & 7 & 0 \\ -13&-7&0\end{pmatrix}\right]$$ $$ R = 10\влево[-9\cdot(11\cdot 7-53\cdot 3)-7\cdot\влево(-7\cdot 3+7\cdot 13\вправо)\right]=\color{ красный}{2480}. $$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Если вы хотите сделать это чисто сокращением строки:

Сначала прибавьте 6 раз четвертую строку к первой, мы получим \начать{выравнивать} \begin{vmatrix} 0& 6& −2& −1& 5\\ 0& 0& 0& −9& −7\\ 0& 15& 35& 0& 0\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0& 0& −68& −13& 11\\ 0 и 0 и 0 и −9& −7\\ 0& 15& 35& 0& 0\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix}. \end{выравнивание} Теперь прибавьте 15 раз четвертый ряд к третьему: $$ \begin{vmatrix} 0& 0& −68& −13& 11\\ 0& 0& 0& −9& −7\\ 0& 0& -130& -30& 15\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix}. $$ Теперь умножьте первую строку на 65, а третью на 34 (разумеется, выделив эти числа как делители: $$ \frac1{34\times65}\,\begin{vmatrix} 0& 0& -4420& -845& 715\\ 0 и 0 и 0 и −9& −7\\ 0& 0& -4420& -1020& 510\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix}. $$ Теперь вычитаем третью строку из первой: $$ \frac1{34\times65}\,\begin{vmatrix} 0& 0& 0& 175& 205\\ 0& 0& 0& −9& −7\\ 0& 0& -4420& -1020& 510\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix}. $$ Теперь умножьте первую строку на 9, а вторую на 175: $$\frac1{9\times34\times65\times175}\,\begin{vmatrix} 0& 0& 0& 1575& 1845\\ 0& 0& 0& −1575& −1225\\ 0& 0& -4420& -1020& 510\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix} $$ а затем добавьте вторую строку к первой: $$ \ frac1 {9\times34\times65\times175}\,\begin{vmatrix} 0& 0& 0& 0& 620\\ 0& 0& 0& −1575& −12255\\ 0& 0& -4420& -1020& 510\\ 0 &−1 &−11& −2& 1\\ −2 &−2& 3& 0& −2\end{vmatrix} $$

Тогда определитель равен $$ \frac{(-2)\times1\times (-4420)\times1575\times620}{9\times34\times65\times175}=2480. $$

$\endgroup$

2

линейная алгебра — Как найти определитель этой матрицы $5 \times 5$?

спросил 7 лет, 6 месяцев назад

Изменено 6 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 19 тысяч раз

$\begingroup$

Как найти определитель этой матрицы?

Я знаю в матрице $3 \times 3$

$$A= 1(5\cdot 9-8\cdot 6)-2 (4\cdot 9-7\cdot 6)+3(4\cdot 8-7\cdot 5) $$

а как работать с матрицей $5\x 5$?

• линейная алгебра
• матрицы
• определитель

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Когда матрица начинает увеличиваться, может быть проще использовать сокращение строк или столбцов для нахождения определителя, особенно если не так много разреженных строк или столбцов, которые можно было бы использовать в повторяющихся разложениях Лапласа. Этот метод использует тот факт, что замена двух строк/столбцов меняет знак определителя, умножение строки/столбца на скаляр умножает определитель на ту же величину, а добавление скаляра, кратного одной строке/столбцу, к другой оставляет определитель без изменений.

Для вашей матрицы мы можем начать с прибавления $3$ от первой строки к четвертой: $$\begin{vmatrix} 1 и 2 и 3 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 2 и 4 и 2 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\ 0 и 0 и 1 и 1 и 1 \notag \end{vmatrix}$$ Очистить первую и вторую строки: $$\begin{vmatrix} 1 и 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и -1 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\ 0 и 0 и 1 и 1 и 1 \notag \end{vmatrix}$$ Очистить третий и последний столбцы: $$\begin{vmatrix} 1 и 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и -1 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \notag \end{vmatrix}$$ Поменяйте местами четвертую и пятую строки: $$-1\cdot\begin{vmatrix} 1 и 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и -1 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 1 и 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \notag \end{vmatrix}$$ В этот момент мы можем остановиться и перемножить диагональные элементы вместе, чтобы найти определитель, который равен 28.

Обновление: Должен отметить, что я проделал гораздо больше работы, чем необходимо выше. Вам не нужно выполнять полное сокращение строк — достаточно привести матрицу к верхнетреугольному виду, поскольку определитель такой матрицы также является произведением ее элементов главной диагонали. После первого шага, описанного выше, мы можем перейти непосредственно к добавлению $-\frac14$, умноженных на третью строку, к последней: $$\begin{vmatrix} 1 и 2 и 3 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 2 и 4 и 2 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \notag \end{vmatrix}$$ и затем поменять местами последние две строки$$-1\cdot\begin{vmatrix} 1 и 2 и 3 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 2 и 4 и 2 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 1 и 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \notag \end{vmatrix}.$$ Это, очевидно, имеет тот же определитель, что и результат приведенной выше полной редукции строк.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Разложение определителя по Лапласу можно выполнить, используя любую строку или столбец квадратной матрицы. {4+4}b_{44}\left|\begin{array}{ccc}1&2&4\\0&-1&4\\-3&-6&-12\end{массив}\right|\right ) = 4\left(-\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&2\\-3&-6&4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 1&2&4\\0&-1&4\\-3&-6&-12\конец{массив}\право|\право)$$ Первый столбец подходит для обоих этих расширений определителя 3×3. Я опущу символику кофактора, так как вы уже знаете, как разложить детерминанты 3×3: $$4\left(-\left(\left|\begin{array}{cc}-1&2\\-6&4\end{массив}\right| — 3\left|\begin{array}{cc}2&1\\ -1&2\конец{массив}\право|\право) + \влево(\влево|\начало{массив}{cc} -1&4\\-6&-12\конец{массив}\вправо| — 3\влево|\ begin{массив}{cc}2&4\\-1&4\end{массив}\right|\right)\right)$$ И, наконец, разложим определители 2×2: $4(-((-4-(-12)) — 3(4 — (-1))) + ((12-(-24)) — 3(8-(-4)))) = 28$ $

$\endgroup$

$\begingroup$

1) Сначала выберите самую простую строку/столбец для расширения, чтобы сэкономить работу. Третья строка в вашем случае имеет только одну ненулевую запись.

2) Развернуть по этому ряду. Вы получаете

\begin{equation} 4 \begin{vmatrix} 1 и 2 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 4 и 2 \\ -3&-6&-12&4\ 0 и 0 и 1 и 1 \нетаг \end{vmatrix}, \end{уравнение} так как все остальные члены равны нулю. Эта матрица получается удалением третьей строки и третьего столбца.

3) Повторив процесс снова с этим новым определителем 4×4, вы получите ответ в терминах определителей 3×3, и, судя по всему, вы знаете, как с ними обращаться…

$\endgroup$

$\begingroup$

Умножив 1-ю строку на $3$ и прибавив к 4-й строке, а затем умножив 3-ю строку полученной матрицы на $-\frac 1 4$ и прибавив к 5-й строке, получим

$$ \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ -3 & -6 & -9& -12 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Мы получили блочную верхнюю треугольную матрицу.