Определитель равен нулю когда: Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн

Глава А4. Свойства определителей

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.

Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

		В задачах 1217-1222 требуется, не раскрывая определителей, доказать справедливость равенств.
1217
1218
1219
1220
1221
1222
		В задачах 1223-1227 требуется вычислить определитель, пользуясь только одним свойством (9).
1223
1224
1225
1226
1227
1228		Определители, данные в задачах 1223-1227, пользуясь свойством 8, преобразовать так, чтобы в каком-либо столбце (или строке) определителя два элемента стали равными нулю, а затем вычислить каждый из них, воспользовавшись свойством 9.
		В задачах 1229-1232 требуется вычислить определители.
1229
1230
1231
1232
1233		Доказать справедливость равенств:
	1233.1	;
	1233. 2
1234		Решить уравнения:
	1234.1	;
	1234.2
1235		Решить неравенства:
	1235.1	;
	1235.2	.

Свойства определителей

Главная | Обратная связь ⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 53Следующая ⇒ Определение 1. Если в матрице А строки записать в качестве ее столбцов с теми же номерами, то такое преобразование матрицы называется транспонированием, а полученная матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается . Аналогично вводится транспонирование определителя d и транспонированный определитель d’=|A’|.   Свойство 1. При транспонировании определитель не меняется, т.е. |A|=|A’|. (3) Доказательство. Пусть d=|A|. Произвольный член (1) определителя d входит в этот определитель со знаком, определяемым подстановкой (2). Рассмотрим транспонированный определитель d ’=|A’|. Заметим, что все множители произведения (1) входят в разные строки и разные столбцы определителя d’. Поэтому произведение (1) является и членом определителя d’. Знак члена (1) в определителе d’ определяется подстановкой , (4) т.к. элемент в d’ находится в строке с номером и столбце с номером . Очевидно, подстановки (2) и (4) имеют одну и ту же четность (по определению четности подстановки). Итак, каждый член определителя d является и членом d’, причем входит в d и d’ с одним и тем же знаком. Так как и в d, и в d’ по n! членов, то отсюда следует, что d= d’. Свойство доказано.   Следствие. В определителе строки и столбцы равноправны (т.е. каждое утверждение, доказанное на языке строк определителя, справедливо и для его столбцов, и обратно).   Свойство 2. Если в определителе поменять местами две какие-либо строки, то он изменит только знак. Доказательство. Рассмотрим произвольный определитель d. . Поменяем в нем местами j-ю и k-ю строки. Получим определитель . Докажем, что d1=-d. (5) Рассмотрим произвольный член определителя d: (6)   Знак члена (6) в d определяется подстановкой (7). Все множители произведения (6) находятся в разных строках и разных столбцах определителя d1, т. е. (6) является и членом определителя d1. Знак члена (6) в определителе d1 определяется подстановкой (8), т.к. элемент в d1 находится в j-ой строке и в том же самом -ом столбце, а элемент – в k-ой строке и ij-ом столбце. Подстановка (8) отличается от (7) только транспозицией чисел j и k в верхней строке, и потому четность подстановки (8) противоположна четности подстановки (7). Следовательно, каждый член определителя d является и членом определителя d 1, но с противоположным знаком. Отсюда, как и выше, получаем: d1=-d.   Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя: . Для доказательства достаточно представить первый определитель в виде алгебраической суммы и вынести множитель с.   Свойство 4 (достаточные признаки равенства определителя нулю). Если выполняется хотя бы одно из следующих условий 1)–3), то определитель равен нулю. 1) Определитель содержит строку из нулей. 2) Определитель содержит две одинаковые строки. 3) Определитель содержит две пропорциональные строки.   Доказательство. 1) Пусть в определителе содержится нулевая строка. Тогда в каждый член определителя войдет множитель, равный нулю; следовательно, все члены определителя будут равны нулю, и определитель равен нулю. 2) Пусть определитель d содержит две одинаковые строки. Поменяем в нем местами эти строки. Тогда, с одной стороны, определитель не изменится, т.к. эти строки одинаковые. С другой стороны, по свойству 2 он изменит только знак, т.е. станет равным –d. Мы получили, что d=-d; следовательно, т.к. d – комплексное число, то d=0. 3) Пусть определитель содержит две пропорциональные строки. . По свойству 3 вынесем общий множитель с за знак определителя; получим определитель с двумя одинаковыми строками. Как показано выше, он равен нулю.   Свойство 5 (представление в виде суммы). . Для доказательства рассматривается произвольный член определителя и представляется в виде суммы. Подробнее см. в [1]. Замечание 1. С помощью математической индукции это свойство доказывается для любого конечного числа слагаемых.   Свойство 6. Если к одной из строк определителя прибавить другую, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится. Доказательство. Рассмотрим определитель . Умножим k-ую строку на некоторое число c и прибавим к j-ой строке. Получим По свойству 5 представим определитель d1 в виде суммы двух определителей:   Первый определитель в этой сумме равен исходному определителю d, а второй содержит две пропорциональные строки и по свойству 4 равен нулю. Свойство доказано.   Определение 2. Одна из строк определителя называется линейной комбинацией других, если она представима в виде суммы этих ее строк, умноженных на некоторые числа. Свойство 7. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных строк, то определитель равен нулю. Для доказательства определитель представляется в виде суммы (по свойству 5) и к слагаемым применяется свойство 4. Замечание 2. Нетрудно видеть, что все достаточные признаки свойства 4 являются частными случаями признака 7, т.е. (7) – самый общий достаточный признак равенства определителя нулю. В дальнейшем будет доказано, что этот признак является и необходимым.   ⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒ ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

Высшая математика для менеджеров (стр. 7 из 22)

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j=

), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом — из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +… + a_{i n} A_{i n} (i =

)

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +… + a_{n j} A_{n j} (j =

).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример 2.4. Не вычисляя определителя

, показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель

, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель

, в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2.5. Вычислить определитель D =

, разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a₁₂A₁₂ + a₂₂A₂₂+a₃₂A₃₂=

=

.

Пример 2.6. Вычислить определитель

A =

,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны

нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a₁₁ A₁₁ =

.

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

A =

.

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а₁₁ а_22... a_nn.

Пример 2.7. Вычислить определитель

.

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель:

, равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

4.3 Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 £ r(A) £ min (m, n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

.

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2.8. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ =

, отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

= 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример 2.9. Найти ранг матрицы А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В =

, которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

.

4.4 Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

A =

.

Обозначим D =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^—1, так что В = А^—1. Обратная матрица вычисляется по формуле

А^—1 = 1/D

, (4.5)

где А _{i j} — алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Понимание свойств определителей | Колледж Алгебра |

Существует много свойств определителей . Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

A Общее примечание: Свойства определителей

1. Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак. 9{-1}A−1
   является обратной величиной определителя матрицы

   AAA

   .
3. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример 7: Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Раствор

Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.

A=[12302100−1]A=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad 2& \qquad 3\\ \qquad 0& \qquad 2& \qquad 1\\ \qquad 0& \qquad 0& \qquad -1\end{массив}\right]A=⎣

⎡​100​220​31−1​⎦

⎤​

Дополните

AAA

первыми двумя столбцами.

A=[12302100−1∣100220]A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{массив}|\begin{массив}{ c}1\\ 0\\ 0\end{массив}\begin{массив}{c}2\\ 2\\ 0\end{массив}\right]A=⎣

⎡​100​220​31−1​∣100​220​⎦

⎤​

Тогда

det(A)=1(2)(−1)+2(1)(0)+3(0)(0)−0(2)(3)−0(1)(1)+1 (0)(2)=-2\begin{array}{l}\mathrm{det}\left(A\right)=1\left(2\right)\left(-1\right)+2\left (1\правый)\левый(0\правый)+3\левый(0\правый)\левый(0\правый)-0\левый(2\правый)\левый(3\правый)-0\левый(1 \вправо)\влево(1\вправо)+1\влево(0\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =-2\qquad \end{массив}det(A)=1(2)( −1)+2(1)(0)+3(0)(0)−0(2)(3)−0(1)(1)+1(0)(2)=−2​

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

A=[−154−3],det(A)=(−1)(−3)−(4)(5)=3−20=−17B=[4−3−15],det(B )=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17\begin{массив}{l}\begin{массив}{l}\\ A=\left[\begin{массив }{cc}-1& 5\\ 4& -3\end{массив}\right],\mathrm{det}\left(A\right)=\left(-1\right)\left(-3\right) -\left(4\right)\left(5\right)=3 — 20=-17\end{массив}\qquad \\ \qquad \\ B=\left[\begin{array}{cc}4& — 3\\ -1& 5\end{массив}\right],\mathrm{det}\left(B\right)=\left(4\right)\left(5\right)-\left(-1\right) )\left(-3\right)=20 — 3=17\qquad \end{массив}A=[−14​5−3​],det(A)=(−1)(−3)−(4 )(5)=3−20=−17​B=[4−1​−35​],det(B)=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17

Свойство 3 гласит, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

A=[122222−122∣12−1222]det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2)(2)+1(2)(2) −2(2)(1)−2(2)(2)=4−4+8+4−4−8=0\begin{массив}{l}A=\left[\begin{массив}{ccc }1& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ -1& 2& 2\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{c}1\\ 2\\ -1\end{массив} \begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{массив}\right]\qquad \\ \qquad \\ \mathrm{det}\left(A\right)=1\left(2\ вправо)\влево(2\вправо)+2\влево(2\вправо)\влево(-1\вправо)+2\влево(2\вправо)\влево(2\вправо)+1\влево(2\вправо) )\влево(2\вправо)-2\влево(2\вправо)\влево(1\вправо)-2\влево(2\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =4 — 4+8 +4 — 4-8=0\qquad \end{массив}A=⎣

⎡​12−1​222​222​ ∣ 12−1​222​⎦

⎤​det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2) (2)+1(2)(2)−2(2)(1)−2(2)(2)=4−4+8+4−4−8=0​

Свойство 4 гласит, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,

A=[1200],det(A)=1(0)−2(0)=0A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\ вправо],\mathrm{det}\left(A\right)=1\left(0\right)-2\left(0\right)=0A=[10​20​],det(A)=1( 0)−2(0)=0

Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы

9{-1}\right)=-2\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{3}{2}\right)\left(1\right)=-\ frac{1}{2}\qquad \end{array}A=[13​24​],det(A)=1(4)−3(2)=−2A−1=[−223​​1− 21​],det(A−1)=−2(−21​)−(23​)(1)=−21​​

Свойство 6 гласит, что если любую строку или столбец матрицы умножить на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

A=[1234],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)2(2)34],det(B)=2(4)− 3(4)=−4\begin{массив}{l}A=\left[\begin{массив}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{массив}\right],\mathrm{det}\left (A\right)=1\left(4\right)-2\left(3\right)=-2\qquad \\ \qquad \\ B=\left[\begin{array}{cc}2\left (1\правый)& 2\левый(2\правый)\\ 3&4\конец{массив}\правый],\mathrm{det}\левый(B\правый)=2\левый(4\правый)-3 \left(4\right)=-4\qquad \end{array}A=[13​24​],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)3 ​2(2)4​],det(B)=2(4)−3(4)=−4​

Пример 8.

Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

2x+4y+4z=2(1)3x+7y+7z=−5(2) x+2y+2z=4(3)\begin{массив}{ll}2x+4y+4z=2\qquad & \left(1\right)\qquad \\ 3x+7y+7z=-5\qquad & \left(2\right)\qquad \\ \text{ }x+2y+2z=4\qquad & \left (3\right)\qquad \end{array}2x+4y+4z=23x+7y+7z=−5 x+2y+2z=4​(1)(2)(3)​

Решение

Используя Правило Крамера , мы имеем

D=∣244377122∣D=|\begin{массив}{ccc}2& 4& 4\\ 3& 7& 7\\ 1& 2& 2\end{массив}|D=∣231​472​472​∣

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и добавьте результат к уравнению (1).

   −2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=20=−6\frac{\begin{array}{l}-2x — 4y — 4x=-8\qquad \\ \text{ }2x+ 4y+4z=2\qquad \end{array}}{0=-6}0=−6−2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=2​

Получение утверждения, являющегося противоречием, означает, что система не имеет решения.

Как узнать, равен ли определитель матрицы 0?

• 09.12.2021
• 52

Индекс

• Как узнать, равен ли определитель матрицы 0?
• Что значит, когда матрица равна 0?
• Как доказать матрицу?
• Определитель какой матрицы равен нулю?
• Может ли определитель быть отрицательным?
• Сколько существует решений, если определитель равен нулю?
• Что происходит, когда в матрице есть ряд нулей?
• Может ли ранг матрицы быть нулевым?
• Является ли матрица обратимой?
• Что такое ранг матрицы?
• Что нужно знать о нулевой матрице?
• Когда матрица А является делителем нуля в алгебре?
• Какая единственная матрица имеет ранг 0?
• У вас должна быть обратная матрица?

Как узнать, равен ли определитель матрицы 0?

Если две строки матрицы равны , ее определитель равен нулю.

Что значит, когда матрица равна 0?

Когда определитель матрицы равен нулю, объем области со сторонами, заданными ее столбцами или строками, равен нулю , что означает, что матрица, рассматриваемая как преобразование, переводит базисные векторы в линейно зависимые векторы, определяющие 0 объем.

Как доказать матрицу?

Доказательство. Каждое из свойств представляет собой матричное уравнение. Определение равенства матриц гласит, что я могу доказать, что две матрицы равны, доказав, что их соответствующие элементы равны .

Определитель какой матрицы равен нулю?

Предположим, D = ( 6 4 3 2 ). Когда матрица имеет нулевой определитель, как здесь матрица D, мы говорим, что матрица сингулярная . Любая сингулярная матрица является квадратной матрицей, у которой определитель равен нулю. Любая несингулярная матрица называется неособой.

Может ли определитель быть отрицательным?

Да, определитель матрицы может быть отрицательным числом . По определению определителя определителем матрицы является любое действительное число. Таким образом, он включает в себя как положительные, так и отрицательные числа вместе с дробями.

Сколько существует решений, если определитель равен нулю?

бесконечный Если этот определитель равен нулю, то система имеет бесконечное число решений .

Что происходит, когда в матрице есть ряд нулей?

Если есть строка из всех нулей, то она находится внизу матрицы . Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим. Ведущий в любом ряду находится справа от ведущего в предыдущем ряду.

Может ли ранг матрицы быть нулевым?

Нулевая матрица является единственной матрицей, ранг которой равен 0 .

Является ли матрица обратимой?

Обратимая матрица — это квадратная матрица, имеющая обратную . Мы говорим, что квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Другими словами, матрица 2 x 2 обратима только в том случае, если определитель матрицы не равен 0.

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы относится к количеству линейно независимых строк или столбцов в матрице . ρ(A) используется для обозначения ранга матрицы A. Говорят, что матрица имеет нулевой ранг, когда все ее элементы обращаются в нуль. Ранг матрицы — это размерность векторного пространства, полученного по ее столбцам.

Что нужно знать о нулевой матрице?

• 1 Нулевая матрица — это просто матрица любых размеров, в которой все элементы внутри матрицы равны 0. Она НЕ обязана… 2 Вы правы. Сал мог бы умножить на 2×2 нулевую матрицу на 2×3 матрицу , чтобы получить на , получая нулевую матрицу . Подробнее…

Когда матрица является делителем нуля в алгебре?

• Если A не обратим, его строки линейно зависимы, поэтому вы можете найти вектор-столбец v такой, что A v = 0. матрица (с четными нулями, если вам нравится ) и вам показали А есть делитель нуля .

Какая единственная матрица имеет нулевой ранг?

• Нулевая матрица — единственная матрица, ранг которой равен 0. Вхождения. Проблема смертных матриц — это проблема определения для конечного набора матриц размера n × n с целыми элементами, можно ли их умножить в некотором порядке, возможно, с повторением, чтобы получить нулевую матрицу.

У вас должна быть обратная матрица?

• Прежде всего, чтобы получить обратную матрицу , матрица должна быть «квадратной» (одинаковое количество строк и столбцов). Но также определитель не может быть ноль (иначе мы закончим делением на ноль ).

⇐ Как поставить пробел между бутстрапом?

Как подключить Дидди Конга к заднему выключателю Донки Конга? ⇒

Почтовый индекс:

Почему определитель равен нулю?

Вопрос задан: Мерритт Дуглас

Оценка: 4,6/5 (35 голосов)

Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю . Если матрица содержит либо строку нулей, либо столбец нулей, определитель равен нулю. … Если любую строку или столбец умножить на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Что означает определитель 0?

Когда определитель матрицы равен нулю, объем области со сторонами, заданными ее столбцами или строками, равен нулю, что означает, что матрица, рассматриваемая как преобразование, переводит базисные векторы в векторы, которые линейно зависимы и определяют 0 объем.

Почему определитель равен 0?

Если две строки матрицы равны , ее определитель равен нулю. Это из-за свойства 2, правила обмена. С одной стороны, замена двух одинаковых строк не меняет определителя.

Может ли определитель быть нулевым значением?

Если любые две строки (или столбца) определителя равны (все соответствующие элементы одинаковы), то значение определителя равно нулю.

Когда матрица равна нулю?

Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов. 4. Матрица null (ноль) — это матрица, в которой все элементы равны нулю.

Линейная алгебра 14TBD: Определитель равен нулю ⇔ Матрица сингулярна

Найдено 30 похожих вопросов

Всегда ли ряд нулей означает, что существует бесконечное число решений?

Строка с нулями означает только то, что одно из исходных уравнений было избыточным . Набор решений был бы точно таким же, если бы он был удален. В следующих примерах показано, как получить бесконечный набор решений, начиная с rref расширенной матрицы для системы уравнений.

Являются ли нули матрицами один к одному?

Существует ровно одна нулевая матрица любой заданной размерности m×n (с элементами из заданного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто говорят о нулевой матрице. … Нулевая матрица — единственная матрица, ранг которой равен 0.

Может ли определитель быть отрицательным?

Да, определитель матрицы может быть отрицательным числом . По определению определителя определителем матрицы является любое действительное число. … Предположим, что матрица P имеет определитель положительного числа, тогда определитель P будет отрицательным после замены любых строк или столбцов.

Когда определитель равен нулю Каково решение?

Если определитель матрицы равен нулю, то представляемая им линейная система уравнений не имеет решения . Другими словами, система уравнений содержит не менее двух уравнений, не являющихся линейно независимыми.

Определитель какой матрицы всегда будет равен 0?

Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю. Матрица с нулевой строкой имеет нулевой определитель. Матрица невырожденна тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Определитель матрицы ступенчатой ​​формы — это произведение вниз по ее диагонали.

Как узнать, равен ли определитель матрицы 0?

При перестановке двух строк определитель меняет знак. Если две строки или два столбца совпадают, определитель равен нулю. Если матрица содержит либо строку нулей, либо столбец нулей, определитель равен нулю .

Что делать, если определитель равен 1?

Определители определены только для квадратных матриц. … Если определитель матрицы равен 0, матрица называется вырожденной, а если определитель равен 1, матрица называется унимодулярной .

Является ли матрица обратимой, если определитель равен 0?

Мы говорим, что квадратная матрица обратима, если и только если определитель не равен нулю . Другими словами, матрица 2 x 2 обратима только в том случае, если определитель матрицы не равен 0. Если определитель равен 0, то матрица необратима и не имеет обратной.

Могут ли две разные матрицы иметь одинаковый определитель?

Таким образом, обе матрицы имеют одинаковое значение определителя . Следовательно, мы можем сказать, что две различные матрицы могут иметь одно и то же значение детерминанта.

Всегда ли определитель положителен?

Определитель матрицы не всегда положителен .

Что такое определитель?

В математике определитель равен скалярному значению, которое является функцией элементов квадратной матрицы . Это позволяет охарактеризовать некоторые свойства матрицы и линейного отображения, представляемого матрицей. … В геометрии знаковый n-мерный объем n-мерного параллелепипеда выражается определителем.

Как узнать, имеет ли система единственное решение?

В системе линейных одновременных уравнений единственное решение существует тогда и только тогда, когда (a) количество неизвестных и количество уравнений равны, (b) все уравнения согласованы , и (c) существует между любыми двумя или более уравнениями нет линейной зависимости, то есть все уравнения независимы.

Как определить, что система уравнений не имеет решений или их бесконечно много?

Если непротиворечивая система имеет бесконечное число решений, она зависима. Когда вы рисуете уравнения, оба уравнения представляют одну и ту же линию. Если система не имеет решений, говорят, что не соответствует . Графики прямых не пересекаются, поэтому графики параллельны и решения нет.

Как вы решаете определители?

Как решить систему двух уравнений по правилу Крамера.

1. Вычислите определитель D, используя коэффициенты при переменных.
2. Вычислите определитель. …
3. Вычислите определитель. …
4. Найдите x и y.
5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Что произойдет, если определитель отрицательный?

Определитель может быть отрицательным числом. Это вообще не связано с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии . … Определитель матрицы 1 × 1 — это единственное значение в определителе. Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Что делать, если определитель положителен?

Определитель положительно определенной матрицы всегда положителен , поэтому положительно определенная матрица всегда неособая. … Матрица, обратная положительно определенной матрице, также является положительно определенной.

О чем говорит отрицательный определитель?

Отрицательный определитель означает ориентацию пространства на обратную . Если вы присваиваете своим пальцам измерения и если после преобразования эти присвоения остаются в силе, то это означает, что ориентация пространства не изменилась и определитель положителен.

Все ли нулевые матрицы равны?

Матрица называется нулевой матрицей , если все ее элементы равны 0 . Следовательно, мы можем сказать, что [000000] — нулевая матрица. … Но если у нас есть две нулевые матрицы разного порядка, то матрицы не равны. Например, предположим, что [000000] и [00] являются нулевыми матрицами, но не равны.

Для чего нужна нулевая матрица?

Определение нулевой матрицы

Нулевая матрица обозначается буквой O, и при необходимости может быть добавлен нижний индекс для указания размеров матрицы.