Основные тригонометрические значения: Основные тригонометрические тождества, формулы приведения, сложения, двойного угла, суммы и разности, половинного аргумента, тангенс половинного аргумента. Тест

Содержание

Раздел 1. Алгебра и начала анализа

Тема 1.3. Основы тригонометрии Задание 15. Решение задач на использование основных тригонометрических тождеств. – 1 ч.

Цель: формирование умения использовать основные тригонометрические тождества для преобразования и вычисления значений тригонометрических выражений, доказательства тождеств.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 15.1. Внимательно изучите формулы – соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Какое тождество называют основным тригонометрическим? Запишите его формулой. Какие приёмы доказательства тригонометрических тождеств Вам известны?

Основные сведения из теории:

15.2. Замените символ * так, чтобы выражение стало соотношением между тригонометрическими функциями одного аргумента:

;
;
;
;
;
.

Примеры и упражнения:

15.3. Начало учения о тригонометрических величинах было положено в Индии в 4 – 5 веках нашей эры. Индийские учёные впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды и составили первые тригонометрические таблицы синусов (полухорд). Им было известно и основное тригонометрическое тождество. Термины «синус» и «косинус» также пришли к нам от индийцев.

Установите правильную последовательность косточек математического домино, и Вы узнаете, какому слову на санскрите обязан своим происхождением термин «синус» (в переводе – «половина тетивы лука»):

Х	Ж	А	Д	1

A	И	Р

В	А

15. 4. Упростите тригонометрическое выражение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) .

15.5. Докажите тождество:

а) ; б) ;

в) ; г) .

15.6. Вычислите:

а) , если ; б) , если ; в) , если .

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.: Дрофа, 2010.-395 с. – Глава 3, §27, стр. 144 – 146.

Раздел 1. Алгебра и начала анализа

Тема 1.3. Основы тригонометрии Задание 16. Решение упражнений на вычисление значений тригонометрических выражений. – 1 ч.

Цель: формирование умения находить значения тригонометрических функций одного угла с использованием формул тригонометрии.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 16. 1. Внимательно изучите теоретический материал учебника и разберите упражнения. Выясните, как выражаются тригонометрические функции одного угла через синус (косинус, тангенс, котангенс). В зависимости от чего в тригонометрической формуле, содержащей корень, перед корнем ставится знак плюс или минус?

Основные сведения из теории:

16.2. Закончите утверждение:

а) Если известен , при этом является углом первой координатной четверти, то можно найти по формуле …

б) Если известен , при этом является углом третьей координатной четверти, то можно найти по формуле …

в) Если известен , при этом является углом четвёртой координатной четверти, то можно найти по формуле …

г) Если известен , при этом является углом второй координатной четверти, то можно найти по формуле …

Примеры и упражнения:

16.3. Заполните таблицу:

В таблице представлена информация об угле и дано значение одной из тригонометрических функций данного угла.

Вычислите значения остальных тригонометрических функций.

16.4. Вычислите значение тригонометрического выражения:

а) , если и ;

б) , если и ;

в) , если и ;

г) , если и .

16.5. Вычислите:

а) , если и ;

б) , если и .

16.6. Пройдите тест на вычисление значений тригонометрических выражений. Электронная версия теста «Тест 16» находится на прилагаемом к пособию диске.

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.: Дрофа, 2010.-395 с. — Глава 3, §27, стр. 144 – 146.

Тригонометрические функции. Свойства. Основные тригонометрические тождества. Преобразование тригонометрических выражений. | План-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему:

Тригонометрические функции. Свойства. Основные тригонометрические тождества. Преобразование тригонометрических выражений

Демина Елена Максимовна, Учитель математики

Разделы: Преподавание математики

Тип урока: повторения и обобщения знаний.

Цели урока :

– повторить и обобщить знания учащихся по изученной теме, осуществить проверку знаний учащихся по наиболее важным разделам пройденной темы, корректировка знаний учащихся;

– развивать навыки самостоятельной работы, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы, используя грамотно математическую терминологию;

– развивать внимание, память, логическое мышление.

Оборудование: плакат с тригонометрической окружностью, карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Устная работа.

Проводится учителем в виде фронтальной работы с классом с целью повторения теоретического материала по данной теме.

Учителем задаются вопросы, при ответе на которые учащиеся могут пользоваться плакатом с тригонометрической окружностью.

Что называется единичной окружностью? Единичным радиусом?
Какие направления поворота единичного радиуса известны?
В каких единицах измеряется угол поворота единичного радиуса?
Что такое угол в один радиан? Сколько приблизительно градусов содержит угол в 1 радиан ?
Сформулировать правила перевода из градусной меры угла в радианную меру и наоборот.
Определение основных тригонометрических функций.
Что является аргументом для всех тригонометрических функций?
От чего зависит значение тригонометрических функций?

Назвать области определения и множества значений для всех тригонометрических функций.

2. Самостоятельная работа учащихся по вариантам.

На парту каждому ученику раздаётся карточка с заданием , которое объясняет учитель: “ В таблицу рядом с окружностью вы должны поставить ту букву, в которую перейдет конец единичного радиуса ( точка Т) при повороте его на заданный угол а ”.

По истечении 3-4 минут выполнения задания учитель вызывает по одному ученику из каждого варианта, которые записывают полученную из выбранных семи букв фразу на доске.

Первая буква (Т) записывается учителем после всех написанных букв. В результате всех верно полученных ответов должна получиться известная фраза А.В. Суворова :

“Тяжело в ученье – легко в бою”

3. Свойства тригонометрических функций.

Учащиеся устно вспоминают основные свойства тригонометрических функций с помощью следующих заданий:

1) После выполнения этого задания вы вспомните это свойство; тригонометрических функций .

ВЕРНО	О	Н	Б	К
	cos0,1	tg12° > 0		ctg4 > 0
НЕВЕРНО	З	Е	А	Т

2) Указать номера верных равенств:

1. sin ( — 3x) = sin 3x

2. cos 5x = cos (- 5x)

3. tg 0,6x = — tg 0,6x

4. ctg (- 2,4x) = — ctg 2,4x

5. sin (x-) = sin (–x)

6. cos (1,7 –x) = cos ( x-1,7 )

По номерам верных ответов легко сделать вывод о таком свойстве тригонометрических функций как чётность (нечётность).

3) Приведите пример нескольких значений угла х , для которых верно равенство:

а) sin x = 1

б) cos x = 0

в) tg x = 1

г) ctg x = -1

После выполнения этого задания учащиеся делают вывод о том, что тригонометрические функции имеют период.

Применение этих свойств тригонометрических функций учащиеся находят при вычислении значений тригонометрических функций.

Выполняются № 908, 917 (в, г).

4. Основные тригонометрические тождества.

Перед учащимися ставится вопрос : “ А существует ли зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента? ” Пока один из учащихся на доске записывает основные тригонометрические тождества, остальные учащиеся класса с места вспоминают данные тождества. Следующий вопрос учителя об основной задаче, решаемой с помощью этих тождеств. У доски ученик решает задачу: Найти значение всех тригонометрических функций аргумента “ х ”, если известно, что sin x = 0,8 и . При решении учащийся подробно повторяет порядок нахождения всех неизвестных значений тригонометрических функций, используя при этом основные тригонометрические тождества и свойства функций.

Самостоятельно учащиеся выполняют аналогичное задание по вариантам с последующей проверкой у доски.

1 вариант:	,
2 вариант:	,	0
3 вариант:	,

5. Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Два ученика вызываются к доске для выполнения № 921 (в,г)

6..Самостоятельная работа по вариантам (7 – 8 мин.)

1 вариант

1. УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ:

а)

б)

2. ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО:

2 вариант

1. УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ:

а)

б)

2. ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО:

7. Итог урока.

В конце урока учащиеся сдают тетради с выполненными заданиями самостоятельной работы, записывают домашнее задание: п.28-32. № 768, 789, 924 (б, в) .

Основные тригонометрические функции | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Основные тригонометрические функции
Конкретные значения — основные
Конкретные значения — средний уровень
Решение проблем
Прямоугольная тригонометрия

Тригонометрические функции связывают углы прямоугольного треугольника с отношением сторон. Для следующего треугольника:

\hspace{4cm}

основные тригонометрические функции определены для 0<θ<π2 0 < \theta < \frac{\pi}{2} 0<θ<2π как

sin ⁡θ=bc,cos⁡θ=ac,tan⁡θ=ba.\begin{массив}{c}&\sin\theta = \frac{b}{c}, &\cos\theta = \frac{a {c}, &\tan \theta = \frac{b}{a}. \конец{массив} sinθ=cb,cosθ=ca,tanθ=ab.

Если рассмотреть угол θ\thetaθ и обозначить стороны относительно θ\thetaθ, то aaa — длина «прилегающей» стороны, bbb — длина «противоположной» стороны, а ccc — длина гипотенуза. Тогда основные тригонометрические функции могут быть выражены следующим образом:

sin⁡θ=противоположная гипотенуза,cos⁡θ=прилежащая гипотенуза,tan⁡θ=противоположноприлежащая.\begin{array}{c}&\sin\theta = \frac{\text {напротив}}{\текст{гипотенуза}}, &\cos\theta = \frac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}}, &\tan \theta = \frac{\text{напротив}} {\текст{прилегающий}}. \конец{массив} sinθ=гипотенуза напротив,cosθ=гипотенуза примыкает,tanθ=прилегает напротив.

Обзор преобразования градусов в радианы см.

в разделе Градусы и радианы. Однако более полезное определение исходит от единичного круга. Если мы рассмотрим окружность радиусом 1 единицу с центром в начале координат, то угол θ \ тета θ внутри окружности описывает прямоугольный треугольник, когда мы опускаем перпендикуляр к оси x x x из точки пересечения с окружностью. .

Единичный круг

Обратите внимание, что прямоугольный треугольник, описанный таким образом, имеет гипотенузу, равную радиусу окружности, прилежащую сторону, равную xxx-координате точки (x,y),(x,y),(x,y), и противоположная сторона равна yyy-координате. Это естественным образом приводит к следующим уточненным определениям:

sin⁡θ=yradius,cos⁡θ=xradius,tan⁡θ=yx. \text{радиус}}, &\cos \theta = \frac{x}{\text{radius}}, &\tan \theta = \frac{y}{x}. \конец{массив} sinθ=радиусy,cosθ=радиусx,tanθ=xy.

Как показано на диаграмме выше, поскольку радиус единичной окружности равен 111, это упрощается до x=cos⁡θx= \cos \thetax=cosθ и y=sin⁡θy= \sin \theta y=sinθ. \circ & \frac{\pi}{2} = 9\циркуляр\\ \hline \ sin \ theta & \ frac {\ sqrt {0}} {2} & \ frac {\ sqrt {1}} {2} & \ frac {\ sqrt {2}} {2} & \ frac {\ sqrt { 3}} {2} & \ frac {\ sqrt {4}} {2} \\ \hline \ cos \ theta & \ frac {\ sqrt {4}} {2} & \ frac {\ sqrt {3}} {2} & \ frac {\ sqrt {2}} {2} & \ frac {\ sqrt { 1}} {2} & \ frac {\ sqrt {0}} {2} \\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} &\infty{} \\ \hline \end{массив}θsinθcosθtanθ0∘202406π=30∘2123314π=45∘222213π=60 ∘232132π=90∘2420∞

Причина, по которой они написаны таким образом, состоит в том, чтобы облегчить запоминание этих терминов. Например, числитель для sin⁡θ \sin\thetasinθ — это просто квадратный корень из 0, 1, 2, 30, 1, 2, 30, 1, 2, 3 или 4.4.4. Чтобы визуализировать эти значения в единичном круге, см. конкретные значения тригонометрических функций.

Какие значения θ\thetaθ удовлетворяют
0≤θ<2π и cos⁡θ=0?\begin{array}{c}&0 \leq \theta < 2 \pi &\text{ и } &\cos \theta = 0? \end{массив}0≤θ<2π и cosθ=0?
Хороший подход к решению такой задачи — представить себе единичную круговую диаграмму, показанную выше. На этой единичной круговой диаграмме cos⁡θ\cos\thetacosθ является координатой xxx. Таким образом, задача состоит в том, чтобы задать угол θ\thetaθ, координата xxx которого равна 000 и который возникает в двух точках пересечения единичной окружности с осью yyy: θ=π2\theta = \frac{\pi}{2 }θ=2π и θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2}θ=23π. Поскольку эти углы удовлетворяют заданным условиям, два возможных угла: θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}θ=2π и θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2}θ =23π. □_\квадрат□

Если θ\theta θ — это угол, такой что cos⁡θ=0, \cos \theta = 0,cosθ=0, каковы возможные значения sin⁡θ\sin \thetasinθ?
Решение 1 :
Как мы видели выше, cos⁡θ=0\cos\theta=0cosθ=0 соответствует точкам на единичной окружности, xxx-координата которых равна 000. Поскольку эти точки находятся в точках пересечения с по оси yyy возможные значения sin⁡θ\sin\thetasinθ — это возможные координаты yyy, которые равны 111 и −1-1−1. □_\квадрат□
Решение 2 :
Из первого примера, если cos⁡θ=0\cos \theta=0cosθ=0 и 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2 \pi0≤θ<2π , то θ=π2\ theta=\frac{\pi}{2}θ=2πили θ=3π2\theta=\frac{3\pi}{2}θ=23π. Обратите внимание, что для всех других значений θ\thetaθ за пределами этого диапазона мы имеем sin⁡θ=sin⁡(θ±2π),\sin\theta = \sin (\theta \pm 2\pi),sinθ=sin( θ±2π), поэтому мы можем добавлять или вычитать кратные 2π2\pi2π, пока θ\thetaθ не окажется в этом диапазоне. Для θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}θ=2π мы имеем sin⁡θ=1\sin\theta = 1sinθ=1, а для θ=3π2\theta = \frac{3\pi {2}θ=23π, мы имеем sin⁡θ=−1\sin\theta = -1sinθ=−1. Следовательно, возможные значения sin⁡θ\sin\thetasinθ равны 111 и −1-1−1. □_\квадрат□ 9{\circ}.θ=6π=30∘. Кроме того, поскольку yyy-координата точек на единичной окружности увеличивается по мере того, как θ\thetaθ изменяется от 000 до π2\frac{\pi}{2}2π, значение θ=π6\theta = \frac{\pi {6}θ=6π – это уникальное значение, такое что 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}0<θ<2π и sin⁡θ=12\sin \theta =\ frac{1}{2}sinθ=21. Тогда мы имеем cos⁡θ=cos⁡π2=32\cos\theta=\cos\frac{\pi}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ=cos2π=23 . □_\квадрат□

Почему в приведенной выше таблице конкретных значений тригонометрических функций нет значения для tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2}tan2π? Что происходит с tan⁡θ\tan\thetatanθ по мере того, как θ\thetaθ становится все ближе и ближе к π2\frac{\pi}{2}2π?
Из приведенного выше определения tan⁡θ\tan\thetatanθ имеем tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx\tan \theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac {y}{x}tanθ=cosθsinθ=xy, где (x,y)(x,y)(x,y) — xxx- и yyy-координаты точки угла θ\thetaθ на единице круг. По мере того как θ\thetaθ движется к π2\frac{\pi}{2}2π, cos⁡θ\cos\thetacosθ (координата xxx) становится все меньше и меньше, тогда как sin⁡θ\sin\thetasinθ (координата yyy ) становится все ближе и ближе к 111. Следовательно, числитель tan⁡θ=yx\tan \theta=\frac{y}{x}tanθ=xy приближается к 111, а знаменатель приближается к 000, что означает tan⁡θ\tan \ thetatanθ приближается к бесконечности. □_\квадрат□ 9\циркуляр\\ \hline \ sin \ theta & \ frac {\ sqrt {0}} {2} & \ frac {\ sqrt {1}} {2} & \ frac {\ sqrt {2}} {2} & \ frac {\ sqrt { 3}} {2} & \ frac {\ sqrt {4}} {2} \\ \hline \ cos \ theta & \ frac {\ sqrt {4}} {2} & \ frac {\ sqrt {3}} {2} & \ frac {\ sqrt {2}} {2} & \ frac {\ sqrt { 1}} {2} & \ frac {\ sqrt {0}} {2} \\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} & \pm \infty \\ \hline \end{массив}θsinθcosθtanθ0∘202406π=30∘2123314π=45∘222213π=60 ∘232132π=90∘2420±∞
Причина, по которой они написаны таким образом, состоит в том, чтобы облегчить запоминание этих терминов. Например, числитель для sin⁡θ \sin \thetasinθ — это просто квадратный корень из 0, 1, 2, 3, 4.
Визуализация в единичной окружности значения в единичном круге:
Поскольку функция косинуса соответствует значениям xxx, функция косинуса будет положительной, если значения xxx положительные, и отрицательной, если значения xxx отрицательные. Точно так же, поскольку функция синуса соответствует значениям yyy, функция синуса будет положительной, когда значения yyy положительны, и будет отрицательной, если значения yyy отрицательны. Это дает нам следующее поведение в четырех квадрантах плоскости:
Затем, используя несколько конкретных значений из первого квадранта, мы можем вычислить конкретные значения функций косинуса и синуса во всех квадрантах. Вот визуализация для всех квадрантов:
Изображение предоставлено commons. wikimedia.org
Каковы значения θ\thetaθ в диапазоне 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2 \pi0≤θ<2π такие, что sin⁡θ=cos⁡θ\sin\theta = \cos \thetasinθ=cosθ?
Из приведенной выше визуализации единичного круга видно, что θ=π4\theta = \frac{5\pi}{4} θ=4πи θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} θ= 45π удовлетворяет
sin⁡(π4)=cos⁡(π4)=22sin⁡(5π4)=cos⁡(5π4)=−22.\begin{выровнено} \ sin \ left ( \ frac {\ pi} {4} \ right) & = \ cos \ left ( \ frac {\ pi} {4} \ right) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ \ \sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) &= \cos \left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{ 2}. \end{align}sin(4π)sin(45π)=cos(4π)=22=cos(45π)=−22.
Заметим также, что прямая y=xy=xy=x пересекает единичные окружности только для этих двух значений θ\thetaθ, поэтому значения θ\thetaθ, удовлетворяющие требуемым условиям, равны θ=π4\theta = \frac{\ pi}{4}θ=4π и θ=5π4. □\theta = \frac{5\pi}{4} .\ _\squareθ=45π. □
Какие значения θ\thetaθ в диапазоне 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2 \pi0≤θ<2π удовлетворяют условиям sin⁡θ≥22\sin \theta \geq \frac{\sqrt{2}}{2} sinθ≥22?
Проводя линию y=22,y = \frac{\sqrt{2}}{2},y=22, мы хотели бы найти значения θ\thetaθ такие, что значение yyy угол θ\thetaθ на единичной окружности лежит выше этой прямой (поскольку sin⁡θ\sin \theta sinθ соответствует yyy-координате единичной окружности). Это верно для θ∈[π4,3π4]\theta\in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]θ∈[4π,43π], так что это значения θ\thetaθ, удовлетворяющие sin⁡θ≥22. □\sin\theta\geq\frac{\sqrt{2}}{2}.\ _\squaresinθ≥22. □
Каковы значения θ\thetaθ в диапазоне 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2 \pi0≤θ<2π такие, что sin⁡θ=−cos⁡θ\sin\theta = - \cos\thetasinθ=− cosθ?
Из приведенной выше визуализации единичного круга видно, что θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} θ=43πи θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4} θ =47π удовлетворяет
sin⁡(3π4)=−cos⁡(3π4)=22sin⁡(7π4)=−cos⁡(7π4)=−22.\begin{выровнено} \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) &= -\cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{ 2}\\ \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right) &= — \cos \left( \frac{7\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}} {2}. \end{выровнено}sin(43π)sin(47π)=−cos(43π)=22=-cos(47π)=−22. 9\circ < 9. 2
Это дает нам 84−64+1=21 84-64 + 1 = 21 84−64+1=21 целочисленное решение xxx. □_\квадрат□
0 1 2 3 4 Бесконечно много решений
Сколько действительных чисел 9\circ &= \cos \left(\frac{\pi}{3} \right)= \frac{1}{2} = \frac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}}. \end{align}sin60∘cos60∘=sin(3π)=23=hypotenuseopposite=cos(3π)=21=hypotenuseadjacent.
Рассмотрим следующий прямоугольный треугольник:
Предположим, нам даны две длины сторон треугольника: например, гипотенуза ссс и противоположная сторона bbb. Затем мы находим
sin⁡θ=гипотенуза напротив=bc.\sin\theta = \frac{\text{противоположность}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}.sinθ=hypotenuseopposite=cb .
Исходя из этого, можем ли мы определить cos⁡θ?\cos \theta?cosθ? Поскольку треугольник является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны a,a,a, и отсюда мы можем найти
cos⁡θ=adjacenthypotenuse=ac. \cos\theta = \frac{\ text{прилегающий}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}.cosθ=hypotenuseadjacent=ca.
Проиллюстрируем это на примере:
В прямоугольном треугольнике ниже даны длины двух сторон a=3a=3a=3 и b=4b=4b=4. Найдите sin⁡θ\sin\thetasinθ и cos⁡θ.\cos\theta.cosθ. 92 = 25 c2=a2+b2=32+42=25, или c=5c = 5c=5. Следовательно,
sin⁡θ=bc=45cos⁡θ=ac=35. □\begin{выровнено} \sin \theta&= \frac{b}{c} = \frac{4}{5}\\ \cos \theta&= \frac{a}{c} = \frac{3}{5}. \ _\площадь \end{align}sinθcosθ=cb=54=ca=53. □
Мы продолжим исследовать отношения между тригонометрическими функциями на прямоугольных треугольниках в вики Pyphagorean Identities.
Теперь предположим, что нам даны один из острых углов прямоугольного треугольника и одна из сторон треугольника. Можем ли мы использовать тригонометрические функции, чтобы найти значения других сторон треугольника?
Рассмотрим следующий прямоугольный треугольник:
Если угол θ\theta θ равен π3\frac{\pi}{3}3π и длина стороны aaa равна 555, найдите длину стороны bbb.
У нас есть
загар⁡θ=загар⁡(π3)=ba=b53=b5b=53. □\begin{выровнено} \tan \theta = \tan \left(\frac{\pi}{3} \right) = \frac{b}{a} &= \frac{b}{5}\\ \sqrt{3} &= \frac{b}{5}\\ b&=5 \sqrt{3}. \ _\площадь \end{align}tanθ=tan(3π)=ab3b=5b=5b=53. □
Цитировать как: Основные тригонометрические функции. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/basic-trigonometric-functions/
Основные тригонометрические соотношения: решение треугольников
Определения
Purplemath
тригонометрические значения для данного треугольника. Чтобы найти ответы, вы просто подставите длины, которые они вам дали, к соответствующему соотношению триггеров.
Перечислите значения sin(α), cos(α), sin(β) и tan(β) для приведенного ниже треугольника с точностью до трех знаков после запятой:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.
com
Основные тригонометрические соотношения
Гипотенуза любого из двух непрямых углов этого треугольника имеет длину 9,7. Прямоугольные треугольники имеют только одну гипотенузу, поэтому это значение не меняется по отношению к непрямым углам.
Для угла α «противоположная» сторона имеет длину 6,5, а «прилегающая» сторона имеет длину 7,2.
Отношение синуса «противоположно гипотенузе»; для этого треугольника это означает 6,5 на 9,7. Я подставлю данные значения в определение синуса:
sin(α) = 6,5/9,7 &приблизительно; 0,6701030928
Косинус α будет «смежным по гипотенузе»; для этого треугольника это означает 7,2 на 9,7. Я подставлю данные значения в определения косинуса:
cos(α) = 7,2/9,7 &приблизительно; 0,74225680412
Имею в виду, что «противоположные» и «прилежащие» находятся относительно названного угла. Так, для угла β противолежащая сторона имеет длину 7,2, а прилежащая сторона имеет длину 6,5.
Следовательно, для угла β синус определяется как:
sin(β) = 7,2/9,7 &приблизительно; 0,742268412
Отношение тангенса «противоположное к соседнему». По отношению к углу β значение тангенса определяется формулой:
tan(β) = 7,2/6,5 &приблизительно; 1,107692308
Округляя до трех знаков после запятой, я получаю:
sin(α) = 0,670, cos(α) = 0,742, sin(β) = 0,742, tan(β) = 1,108
Как только вы запомнили коэффициенты срабатывания, вы можете начать использовать их для поиска других значений. Для этого вам, скорее всего, понадобится калькулятор. Если в вашем калькуляторе нет клавиш или пунктов меню с «SIN», «COS» и «TAN», то сейчас самое время обновить его! Убедитесь, что вы также умеете пользоваться калькулятором; в руководстве по эксплуатации должны быть четкие инструкции.
(Да, я знаю, что у вас есть полнофункциональный калькулятор на вашем телефоне. У вас также есть приложения для текстовых сообщений и обмена сообщениями, которые можно использовать, скажем так, для «несанкционированной помощи» на тестах. Так что вы, вероятно, также нужен автономный калькулятор. Не думайте, что ваш инструктор будет холоден из-за того, что вы пользуетесь мобильным телефоном во время экзамена. ) прямоугольные треугольники.
Что значит «решить» прямоугольный треугольник?
«Решение прямоугольного треугольника» относится к процессу сбора частичной информации (например, длины одной из сторон треугольника и меры одного из непрямых углов) и включения этой информации в тот или иной из шесть тригонометрических соотношений для создания уравнений, а затем решение этих уравнений (часто с помощью калькулятора), чтобы найти значения недостающих длин сторон или мер углов.
В показанном ниже треугольнике найдите значение .x с точностью до трех знаков после запятой.
Мне дали меру угла и длину стороны, «противолежащей» этому углу, и спросили длину гипотенузы. Отношение синуса «противоположно гипотенузе», поэтому я могу преобразовать то, что они мне дали, в уравнение:
sin(20°) = 65/ x
x = 65/sin(20°)
Мне нужно вставить это в свой калькулятор, чтобы получить значение x : x = 190,047286. … Округлив до трех знаков после запятой, мой ответ:
x = 190,047
«режим»; ваш калькулятор настроен на «радианы», а не на «градусы». (О радианах вы узнаете позже.)
Для показанного треугольника найдите значение y с точностью до четырех знаков после запятой.
Мне дали угол, значение для «примыкающего» и переменную для «противоположного», так что я могу составить уравнение:
тангенс (55,3°) = y /10
10tan(55,3°) = y
Подключив это к моему калькулятору, я получаю y = 14,44183406….. Округляя до четырех знаков после запятой, мой ответ:
y = 14,4413 9004 Найти углы, обозначенные буквами на схеме. Дайте каждому ответу правильный ответ до ближайшего целого числа.
Поначалу это выглядит довольно устрашающе. Но потом я замечаю, что, чтобы найти длину высоты r , я могу использовать угол основания 30 ° от большего треугольника и полную длину основания этого треугольника 60, потому что r / 60 «противоположно» относительно «прилегающего», что является отношением касательной. Я использую эту информацию для создания уравнения, которое затем решу.
r /60 = tan(30°)
r = 60tan(30°) = 34,64101615…
Я должен быть до ближайшего целого числа, поэтому r Теперь 23,
что у меня есть значение
r , я могу использовать r и другой угол при основании 55°, чтобы найти длину другого основания s , используя (55°)
35/tan(55°) = с = 24,50726384…
В инструкциях мне указано округлить до ближайшего целого числа, поэтому мой ответ:
r = 35, с = 25
3
3
3
3
3
3
3 Если вы используете предварительно округленное значение 60tan(30°), то ваше значение 25/tan(55°) будет немного другим; это будет больше похоже на 24.2559006…. Вот почему я не одобряю такое строгое округление, как «до ближайшего целого числа»; это может сильно отбросить ваши ценности. Имейте это в виду, когда делаете свою работу, особенно при решении текстовых задач.
No related posts.