Перевести матрицу в обратную матрицу: Обратная матрица онлайн

Как найти обратную матрицу: формула, пример

В данной публикации мы рассмотрим, что такое обратная матрица, а также на практическом примере разберем, как ее можно найти с помощью специальной формулы и алгоритма последовательных действий.

• Определение обратной матрицы
• Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определение обратной матрицы

Для начала вспомним, что из себя представляют обратные значения в математике. Допустим, у нас есть число 7. Тогда обратное ему будет равняться 7^-1 или ¹/₇. Если умножить данные числа, в результате получится один, т.е. 7 · 7^-1 = 1.

Почти то же самое и с матрицами. Обратной называется такая матрица, умножив которую на исходную, мы получим единичную. Обозначается она как A^-1.

A · A^-1 = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы нужно уметь вычислять определитель матрицы, а также иметь навыки выполнения определенных действий с ними.

Сразу отметить, что найти обратную можно только для квадратной матрицы, а делается это по формуле ниже:

|A| – определитель матрицы;
A^T_M – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Примечание: если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Пример
Давайте найдем для матрицы A ниже обратную ей.

Решение
1. Для начала найдем определитель заданной матрицы.

2. Теперь составим матрицу миноров, которая имеет те же самые размеры, что и исходная:

Нам нужно выяснить, какие числа должны стоять на месте звездочек. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Минор к нему находится путем зачеркивания строки и столбца, в котором он находится, т.е. в обоих случаях под номером один.

Число, которое останется после зачеркивания, и является требуемым минором, т.е. M₁₁ = 8.

Аналогичным образом находим миноры для оставшихся элементов матрицы и получаем такой результат.

3. Определяем матрицу алгебраических дополнений. Как их посчитать для каждого элемента мы рассмотрели в отдельной публикации.

Например, для элемента a₁₁ алгебраическое дополнение считается так:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ · M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Выполняем транспонирование полученной матрицы алгебраических дополнений (т. е. поменяем столбцы и строки местами).

5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти обратную матрицу.

Ответ можем оставить в таком виде, не деля элементы матрицы на число 11, так как в этом случае получится некрасивые дробные числа.

Проверка результата

Чтобы убедиться в том, что мы получили обратную исходной матрицу, мы можем найти их произведение, которое должно равняться единичной матрице.

В результате мы получили единичную матрицу, значит все сделали верно.

Функция МОБР — Служба поддержки Майкрософт

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. ..Меньше

Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, храняной в массиве.

Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу

ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.

Синтаксис

МОБР(массив)

Аргументы функции МОБР описаны ниже.

Замечания

• org/ListItem»>

  Массив может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9} или как имя диапазона или массива.

• Если какие-либо ячейки в массиве пустые или содержат текст, функции МОБР возвращают #VALUE! ошибку «#ВЫЧИС!».

• МоБР также возвращает #VALUE! если массив не имеет равного числа строк и столбцов.

• Обратные матрицы, такие как определители, обычно используются для решения систем математических уравнений с несколькими переменными. Произведением матрицы и обратной является матрица удостоверений — квадратный массив, в котором диагональные значения равны 1, а все остальные — 0.

• В качестве примера вычисления обратной матрицы, рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов A1:B2, который содержит буквы a, b, c и d, представляющие любые четыре числа. В таблице приведена обратная матрица для массива A1:B2.

	Столбец A	Столбец B
Строка 1	d/(a*d-b*c)	b/(b*c-a*d)
Строка 2	c/(b*c-a*d)	a/(a*d-b*c)

• org/ListItem»>

  Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления.

• Некоторые квадратные матрицы невозможно инвертировать и возвращают #NUM! в функции МОБР. Определител непревратимой матрицы 0.

Примеры

Чтобы указанные выше формулы вычислялись правильно, нужно вводить их в виде формул массивов. После ввода формулы нажмите ввод, если у вас есть текущая Microsoft 365 подписка. в противном случае нажмите CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, возвращается единственный результат.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Обратные матрицы

Цели

1. Поймите, что означает обратимость квадратной матрицы.
2. Узнайте об обратимых преобразованиях и поймите взаимосвязь между обратимыми матрицами и обратимыми преобразованиями.
3. Рецепты: вычислить обратную матрицу, решить линейную систему, взяв обратные.
4. Изображение: обратное преобразование.
5. Словарные слова: обратная матрица , обратное преобразование .

В разделе 3.1 мы научились перемножать матрицы. В этом разделе мы научимся «делить» по матрице. Это позволяет нам элегантно решить матричное уравнение Ax=b:

Ах=b⇐⇒x=A−1b.

Однако при «делении на матрицы» следует соблюдать осторожность, поскольку не каждая матрица имеет обратную, а порядок умножения матриц важен.

Взаимная или обратное ненулевого числа a есть число b, которое характеризуется тем свойством, что ab=1.

Например, обратное число 7 равно 1/7. Мы используем эту формулировку для определения обратной матрицы.

Определение

Пусть A — матрица размера n × n (квадратная). Мы говорим, что A является обратимым , если существует матрица B размера n × n такая, что

AB=In и BA=In.

В этом случае матрица B называется обратной матрицы A, и мы пишем B=A−1.

Мы должны потребовать AB=In и BA=In, потому что в общем случае умножение матриц не является коммутативным. Однако в этом следствии в разделе 3.6 мы покажем, что если A и B являются матрицами размера n × n, такими что AB = In, то автоматически BA = In.

Пример

Факты об обратимых матрицах

Пусть A и B — обратимые матрицы размера n × n.

1. A−1 обратим, и его обращение равно (A−1)−1=A.
2. AB обратим, и его инверсия равна (AB)−1=B−1A−1 (обратите внимание на порядок).

Доказательство

1. Уравнения AA-1=In и A-1A=In одновременно представляют A-1 как инверсию A и A как инверсию A-1.
2. Мы вычисляем

   (B-1A-1)AB=B-1(A-1A)B=B-1InB=B-1B=In.

   Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что InB=B. Это показывает, что B−1A−1 является инверсией AB.

Почему инверсия AB не равна A−1B−1? Если бы это было так, то у нас было бы

.

In=(AB)(A-1B-1)=ABA-1B-1.

Но нет никаких оснований для того, чтобы ABA-1B-1 равнялась единичной матрице: нельзя поменять порядок A-1 и B, поэтому в этом выражении нечего отменять. На самом деле, если In=(AB)(A−1B−1), то мы можем умножить обе части справа на BA, чтобы сделать вывод, что AB=BA. Другими словами, (AB)-1=A-1B-1 тогда и только тогда, когда AB=BA.

В более общем смысле, обратным произведением нескольких обратимых матриц является произведение обратных в обратном порядке; доказательство такое же. Например,

(АВС)-1=С-1В-1А-1.

До сих пор мы определяли обратную матрицу, не давая никакой стратегии ее вычисления. Мы делаем это сейчас, начиная со специального случая матриц 2×2. Затем мы дадим рецепт для случая n×n.

Определение

Определитель матрицы 2×2 есть число

detFabcdG=ad-bc.

Предложение

Пусть A=FabcdG.

1. Если det(A)A=0, то A обратим, и A-1=1det(A)Fd-b-caG.
2. Если det(A)=0, то A необратима.

Существует аналогичная формула для обратной матрицы размера n×n, но она не так проста и требует больших вычислительных ресурсов. Заинтересованный читатель может найти его в этом подразделе Раздела 4.2.

Пример

Следующая теорема дает общую процедуру вычисления A−1.

Теорема

Пусть A — матрица размера n × n, и пусть (A|In) — матрица, полученная путем увеличения A единичной матрицей. Если редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет форму (In|B), то A обратима и B=A−1. В противном случае A необратима.

Доказательство

Сначала предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) не имеет формы (In|B). Это означает, что в первых n столбцах (нерасширенная часть) содержится менее n опорных точек, поэтому у A меньше n опорных точек. Отсюда следует, что Nul(A)A={0} (уравнение Ax=0 имеет свободную переменную), поэтому в Nul(A) существует ненулевой вектор v. Предположим, что существует матрица B такая, что BA=In. Затем

v=Inv=BAv=B0=0,

, что невозможно, так как vA=0. Следовательно, A необратима.

Теперь предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет вид (In|B). В этом случае все опорные точки содержатся в нерасширенной части матрицы, поэтому расширенная часть не играет роли в сокращении строк: элементы расширенной части не влияют на выбор используемых операций над строками. Следовательно, редукция строк (A|In) эквивалентна решению n систем линейных уравнений Ax1=e1,Ax2=e2,…,Axn=en, где e1,e2,…,en стандартные векторы координат :

Ax1=e1:C1041000120100-3-4001DAx2=e2:C1041000120100-3-4001DAx3=e3:C1041000120100-3-4001D.

Столбцы x1,x2,. ..,xn матрицы B в приведенной по строкам форме являются решениями следующих уравнений:

AC100D=e1:C1001-6-20100-2-100103/21/2DAC-6-23/2D=e2:C1001-6-20100-2-100103/21/2DAC-2-11/2D=e3:C1001- 6-20100-2-100103/21/2Д.

В соответствии с этим фактом в разделе 3.3 произведение Bei является просто i-м столбцом xi матрицы B, поэтому

ei=Axi=ABei

для всех i. По тому же факту i-й столбец матрицы AB равен ei, а это означает, что матрица AB единична. Таким образом, B является инверсией A.

Пример (обратимая матрица)

Пример (необратимая матрица)

В этом подразделе мы научимся решать Ax=b «делением на A».

Теорема

Пусть A — обратимая матрица размера n × n, а b — вектор в Rn. Тогда матричное уравнение Ax=b имеет ровно одно решение:

х=А-1б.

Пруф

Рассчитаем:

Ax=b=⇒A−1(Ax)=A−1b=⇒(A−1A)x=A−1b=⇒Inx=A−1b=⇒x=A−1b.

Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что Inx=x для любого вектора b.

Пример (Решение системы 2 × 2 с использованием инверсий)

Пример (Решение системы 3 × 3 с использованием инверсий)

Преимущество решения линейной системы с использованием обратных величин заключается в том, что решение матричного уравнения Ax=b для других или даже неизвестных значений b становится намного быстрее. Например, в приведенном выше примере решение системы уравнений

E2x1+3×2+2×3=b1x1+3×3=b22x1+2×2+3×3=b3,

, где b1,b2,b3 неизвестны, равно

Cx1x2x3D=C232103223D-1Cb1b2b3D=C-6-5932−422−3DCb1b2b3D=C−6b1−5b2+9b33b1+2b2−4b32b1+2b2−3b3D.

Как и в случае умножения матриц, обращение матриц полезно понимать как операцию линейных преобразований. Напомним, что тождественное преобразование на Rn обозначается IdRn.

Определение

Преобразование T:Rn→Rn является обратимым , если существует преобразование U:Rn→Rn такое, что T◦U=IdRn и U◦T=IdRn. В этом случае преобразование U называется обратным преобразования T, и мы пишем U=T−1.

Инверсия U к T «отменяет» все, что сделал T. У нас есть

T◦U(x)=xandU◦T(x)=x

для всех векторов x. Это означает, что если вы примените T к x, затем примените U, вы получите вектор x обратно, и то же самое в другом порядке.

Пример (функции одной переменной)

Пример (Расширение)

Пример (вращение)

Пример (Отражение)

Не пример (проекция)

Предложение

1. Преобразование T:Rn→Rn обратимо тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно и на.
2. Если уже известно, что Т обратимо, то U:Rn→Rn является инверсией T при условии, что либо T◦U=IdRn, либо U◦T=IdRn: необходимо проверить только одно.

Как и следовало ожидать, матрица, обратная линейному преобразованию, является обратной матрицей преобразования, как утверждает следующая теорема.

Теорема

Пусть T:Rn→Rn — линейное преобразование со стандартной матрицей A. Тогда T обратимо тогда и только тогда, когда A обратимо, и в этом случае T−1 линейно со стандартной матрицей A−1.

Доказательство

Предположим, что T обратим. Пусть U:Rn→Rn — обратное к T. Мы утверждаем, что U линейно. Нам нужно проверить определяющие свойства в Разделе 3.3. Пусть u,v — векторы в Rn. Затем

u+v=T(U(u))+T(U(v))=T(U(u)+U(v))

по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает

U(u+v)=UAT(U(u)+U(v))B=U(u)+U(v).

Пусть c — скаляр. Затем

cu=cT(U(u))=T(cU(u))

по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает

U(cu)=UAT(cU(u))B=cU(u).

Поскольку U удовлетворяет определяющим свойствам в разделе 3.3, это линейное преобразование.

Теперь, когда мы знаем, что U является линейным, мы знаем, что у него есть стандартная матрица B. В соответствии с совместимостью матричного умножения и композиции в разделе 3.4 матрица для T◦U равна AB. Но T◦U — это тождественное преобразование IdRn, а стандартной матрицей для IdRn является In, поэтому AB=In. Аналогичным образом показано, что BA=In. Следовательно, A обратим и B=A−1.

Обратно, предположим, что A обратима. Пусть B=A−1, и определим U:Rn→Rn как U(x)=Bx. По совместимости матричного умножения и композиции в разделе 3.4 матрица для T◦U есть AB=In, а матрица для U◦T есть BA=In. Следовательно,

T◦U(x)=ABx=Inx=xandU◦T(x)=BAx=Inx=x,

, который показывает, что T обратим с обратным преобразованием U.

Пример (Расширение)

Пример (вращение)

Пример (Отражение)

Комментарии, исправления или предложения? (Требуется бесплатная учетная запись GitHub)

Как, черт возьми, инвертировать матрицу? И почему?

Предупреждение и задача со словом

Purplemath

Можно ли разделить на матрицу?

Для матриц нет такого понятия, как деление. Вы можете складывать, вычитать и умножать матрицы, но не можете их делить. Однако существует родственная концепция, которая называется «инверсия». Сначала я объясню, почему инверсия полезна, а затем покажу вам, как это сделать.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.

com

Вспомните, когда вы впервые узнали, как решать линейные уравнения. Если бы вам дали что-то вроде 3 x  = 6, вы бы решили, разделив обе части на 3. Поскольку умножение на 1/3 равносильно делению на 3, вы также можете умножить обе части на 1/3, чтобы получить тот же ответ: x  = 2.

Если вам нужно решить что-то вроде (3/2) x  = 6, вы все равно можете разделить обе части на 3/2, но, вероятно, проще умножить обе стороны на 2/3. Обратная дробь 2/3 обратна 3/2, потому что, если вы перемножите две дроби, вы получите 1, что в данном контексте называется (мультипликативной) тождественностью;: 1 называется мультипликативной тождественностью, потому что умножение чего-либо на 1 не меняет своего значения.

Эта терминология и эти факты очень важны для матриц. Если вам дано матричное уравнение типа AX  =  C , где вам даны A и C и вам предлагается вычислить X , вы хотели бы разделить матрицу A . Но вы не можете делать деление с матрицами.

Для чего используются обратные матрицы?

Учитывая матричное уравнение AX  =  C , что, если бы вы могли найти обратную A , что-то похожее на нахождение обратных дробей для решения линейных уравнений? Вы можете использовать инверсию A , записанную как A ⁻¹ и произносимую как « A обратное», чтобы исключить A из матричного уравнения; это позволит вам затем решить матричное уравнение для X .

АХ = С
А ⁻¹ АХ = А ⁻¹ С
IX = А ⁻¹ С
X = A ⁻¹ C

Как « A ⁻¹ AX » в левой части уравнения (во второй строке выше) превратилось в «10 X » » в последней строке?

Вспомните природу инверсий для обычных чисел. Если у вас есть число (например, 3/2) и обратное ему число (в данном случае 2/3), и вы умножаете их, вы получаете 1. А 1 — это мультипликативное тождество, называемое так потому, что 1 x  =  x для любого числа x .

Инверсия работает так же для матриц. Если вы умножите матрицу (такую ​​как A ) и ее обратную (в данном случае A ⁻¹ ), вы получите единичную матрицу I , которая является матричным аналогом числа 1. И точка единичной матрицы состоит в том, что IX  =  X для любой матрицы X (имеется в виду, конечно, «любая матрица правильного размера»).

Следует отметить, что порядок умножения выше важен и вовсе не произволен. Напомним, что для матриц умножение не является коммутативным. то есть AB почти никогда не совпадает с BA .

Таким образом, умножение матричного уравнения «слева» (чтобы получить A ⁻¹ AX ) совсем не то же самое, что умножение «справа» (чтобы получить AXA ⁻¹ ). Произведение AXA ⁻¹ не равно A ⁻¹ AX , потому что нельзя изменить порядок умножения матриц.

Вместо этого вы должны умножить A ⁻¹ слева, поместив его рядом с A в исходном матричном уравнении. А поскольку при решении вы должны проделать одно и то же с обеими частями уравнения, вы должны умножить «слева» и на правую часть уравнения, в результате чего получится A ^{— 1} С .

Вы не можете быть случайным с размещением матриц; вы должны быть точными, правильными и последовательными. Это единственный способ успешно отменить A и решить матричное уравнение.

---

Как вы видели выше, обратные матрицы могут быть очень полезны для решения матричных уравнений. Но…

Как найти обратную матрицу?

Чтобы найти обратную матрицу, выполните следующие действия:

1. Запишите матрицу, которую вы хотите инвертировать.
2. Добавьте к этой матрице единичную матрицу, сделав одну матрицу, которая теперь в два раза шире, чем в высоту.
3. Используя операции со строками, преобразуйте левую половину двойной ширины в единичную матрицу.
4. Новая правая часть двойной ширины является обратной исходной матрице.

Этот метод инвертирования матриц довольно умный. Вот пример того, как это работает:

• Найдите обратное число
.

Сначала я записываю элементы матрицы A , но я записываю их в матрицу двойной ширины:

В другой половине матрицы двойной ширины я записываю единичную матрицу:

Теперь я буду выполнять операции со строками матрицы, чтобы преобразовать левая сторона двойной ширины в личности. (Как всегда с операциями со строками, не существует единственного «правильного» способа сделать это. Ниже приведены лишь шаги, которые произошли со мной. Ваши расчеты легко могут выглядеть совершенно по-другому.)

Теперь, когда левая часть двойной ширины содержит единицу, правая часть содержит обратную. То есть обратная матрица следующая:

---

Откуда вы знаете, что эта матрица является обратной?

Обратите внимание, что мы можем подтвердить, что эта матрица является обратной A , перемножив две матрицы и увидев, что мы получаем тождество.

Поскольку умножение закончилось единичной матрицей, подтверждено, что найденная нами матрица является обратной исходной матрице, которую нам дали.

Имейте в виду, что в «реальной жизни» обратная матрица редко представляет собой матрицу, заполненную красивыми аккуратными целыми числами, подобными этому. Однако, если повезет, особенно если вы делаете инверсии вручную, вам дадут хорошие, подобные этому.

Есть ли формула для инвертирования матрицы 2×2?

Чтобы найти обратную матрицу 2 на 2, используйте следующую формулу:

Для следующей матрицы:

.