ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ: ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ прСобразования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ комплСксного числа

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа. БопряТСнныС числа. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, страница 2

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° \ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Но ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ интСрСсный Ρ„Π°ΠΊΡ‚. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли , Ρ‚ΠΎ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сопряТСнныС числа симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ вСщСствСнной оси.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΠΈΠ· тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прост: Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ значСния ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΠΈΠ· алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ нСслоТСн. Β . НапримСр, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ число Β Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ. . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° . Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ . Из Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² записи ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½Ρ‹ΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько популярных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²:

1)Β 

2)Β 

3)Β 

4)Β 

5)Β 

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ± ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ комплСксных чисСл Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Th.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Β Β , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ доказываСтся Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.

Th. , Π³Π΄Π΅ Β — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Для Β Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½Π°, Ρ‚.ΠΊ. ΠΎΠ±Π΅ части равСнства ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ стСпСни. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€Π½Π° для Π½Π΅ΠΊΠΎΠ³ΠΎ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ . Для Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ достаточно Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ Β ΠΊ . Π­Ρ‚ΠΎ дСлаСтся Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.

Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти нСсколько ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Ρ… гСомСтричСских свойств. НапримСр, Ссли ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ , Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° пСрпСндикулярны ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅. Если , Π³Π΄Π΅ — вСщСствСнноС, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  пСрпСндикулярСн ΠΈ Π² Β Ρ€Π°Π· Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ Π΅Π³ΠΎ. Напомню, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для пСрпСндикулярности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈΠΌ чисСл ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π° .

Π’ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°ΡˆΠΈΡ… случаях это Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΈΠ· нашСй ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹).

На сСм Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„ заканчиваСтся, Π½ΠΎ ΠΊ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ комплСксных чисСл ΠΌΡ‹ Π΅Ρ‰Π΅ вСрнСмся.

Β§4. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи

Π’ тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ записи Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ нСудобство: ΠΎΠ½Π° слишком длинная. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Β Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ . Вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠ²ΠΎ число, оставим Π½Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ. НашС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ позволяСт Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ комплСксноС число Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Β . Вакая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи называСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Удобства Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… свойствах:

1)Β 

2)Β 

3)Β  , Π³Π΄Π΅ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

4)Β  , Π³Π΄Π΅ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

ВсС эти свойства Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ для тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ, особСнно Π² Ρ‚Π΅Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, Π³Π΄Π΅ приходится ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ комплСксныС числа.

Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Β Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ слоТно, Π·Π°Ρ‚ΠΎ ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Β . ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС свойства стСпСни с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ для ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи комплСксных чисСл. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈΠ· алгСбраичСской ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ выполняСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ. Как это Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, написано Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅.

Β§5. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² комплСксных числах

НачнСм с самого простого – Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с комплСксными коэффициСнтами ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным. Π”Π°Π»Π΅Π΅ — комплСксныС коэффициСнты Π² уравнСниях, - Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, — Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, Π° — нСизвСстныС.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Π Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ вСщСствСнноС, Ρ‚.Π΅. . Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ систСмС ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными. Для Π½Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² вСщСствСнных чисСл. Π”Π° ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ всС уравнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни Π² комплСксных числах Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² вСщСствСнных.

Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ уравнСния для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… приходится ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ понятиями, Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ для комплСксных чисСл, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ дСлитСля ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ случаи Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случая.

Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ»

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа. — ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° — Π£Ρ€ΠΎΠΊΠΈ

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΌ числом называСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° z=a+bj, Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, j – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ символ (мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Мнимой Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ называСтся число j, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ -1, Ρ‚.Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ОбъСдинСниС мноТСства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл с ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ называСтся мноТСством комплСксных чисСл ΠΈ обозначаСтся Β«Π‘Β».

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:

Если aβ‰ 0, b=0, Ρ‚ΠΎ z=a+0j – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число

Если a=0, bβ‰ 0, Ρ‚ΠΎ z=0+bj – ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число

Если a=0, b=0, Ρ‚ΠΎ z=0+0j – Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ число

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ комплСксного числа z Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл частного Π²ΠΈΠ΄Π° – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа a ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа bj, Ρ‚.Π΅. Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ a+bj называСтся алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ комплСксного числа, Π³Π΄Π΅ a — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа, b — мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа.

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ комплСксных чисСл:

  1. – ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ число;

  2. — сопряТСнноС число.

КомплСксноС число z=a+bj гСомСтричСски изобраТаСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ М(a,b) Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚: каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ комплСксноС число.

КомплСксноС число z=a+bj гСомСтричСски изобраТаСтся радиусом Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ОМ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (Π°;b).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π»ΠΈΠ½Π° радиуса Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ комплСксноС число z=a+bj, называСтся ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ комплСксного числа ΠΈ обозначаСтся Β«rΒ»,

Π”Π²Π° комплСксных числа Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ссли Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² смыслС «», Β«

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. АргумСнтом комплСксного числа называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиус – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ комплСксноС число с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси.

ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠšΠΎΡ€Π½ΡΠΌΠΈ уравнСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° сопряТСнных комплСксных числа.

Задания

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа Π² тригономСтричСской ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

АргумСнтом комплСксного числа называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° любого Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ числу z:

АргумСнт вычисляСтся ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:

Если , Ρ‚ΠΎ Если , Ρ‚ΠΎ

Если , Ρ‚ΠΎ Если , Ρ‚ΠΎ

ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° , Π³Π΄Π΅ r- ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ, Ο† – Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ комплСксного числа, j – мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, называСтся тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ комплСксного числа. ; — Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΊ алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ комплСксноС число z = 2,6( Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ записи.

РСшСниС.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: z

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΈΠ· тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΊ алгСбраичСской, производится с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°. r(cosΟ†

+sinφj)=a+bj

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ алгСбраичСской ΠΊ тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ комплСксного числа: ; ; .

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° , Π³Π΄Π΅ r-ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ, Ο†-Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, j-мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, называСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ комплСксного числа.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ комплСксноС число Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ задаСтся ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ r ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Ο†, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ тригономСтричСской ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ комплСксноС число z = Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи.

РСшСниС.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ комплСксноС число z = Π²ΠΈΠ΄Π° , Ρ‚ΠΎ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: z =

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ комплСксного числа ΠΊ тригономСтричСской, осущСствляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°. a+bj=r(cosΟ†+sinΟ†j).

ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ записи

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ комплСксныС числа: ;

  1. ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

  2. Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

  3. Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ: z=

  4. ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня n-ΠΉ стСпСни: ΠΊ=0,1,…,(n -1)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ: 1) ;

2)

Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ с вопросами: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл ΠΈΠ· алгСбраичСских Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ большС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ минус 𝑖 Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ 𝑧 Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° этот вопрос, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° слоТных числа Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. А для этого Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° сопряТСниС знамСнатСля, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° распрСдСлитС ΠΈ упроститС, насколько это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π― ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½, Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это скорСС Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ процСсс. ВмСсто этого ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ запись эти комплСксныС числа Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹.

𝑖 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π° являСтся чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ число. На Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Аргана это прСдставлСн Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡ΡŒΠΈ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π°. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ – это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π°. И Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ измСряСтся Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ этого комплСксного числа эквивалСнтСн 90 градусов. Π­Ρ‚ΠΎ πœ‹ Π½Π° Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°. И Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π° 𝑒 Π² πœ‹ Π½Π° Π΄Π²Π° 𝑖.

КомплСкс Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ минус 𝑖 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТнСС. Π•Π³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚. ΠœΡ‹ просто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ….

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ большС остороТнСС с Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ находится Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ для комплСксных чисСл, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½ 𝑏 Π½Π°Π΄ π‘Ž, Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½ дСлСния ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС это Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ большС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ πœ‹ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅. ΠœΡ‹ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π° этот Ρ€Π°Π· ΠΌΡ‹ измСряСм ΠΏΠΎ часовой стрСлкС. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΡˆΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π° 𝑒 ΠΊ πœ‹ Π½Π° Π΄Π²Π° 𝑖 Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° 𝑒 ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ πœ‹ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑖. И Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа Π½Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ πœ‹ Π½Π° Π΄Π²Π° минус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ πœ‹ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ πœ‹ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 𝑧 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 𝑒 Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ πœ‹ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑖.

MathOnWeb β€” ЭлСктронная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ β€” ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа


15.1 β€” Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² комплСксныС числа


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β« … Π½Π°Π΄ комплСксными Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рассматриваСмая систСма счислСния являСтся комплСксными числами, ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β« … Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рассматриваСмая систСма счислСния являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. НапримСр ΠΎΠ½ΠΈ скаТут, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Β 2 = βˆ’9 Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ для x Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами , Π½ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π΄ комплСксными числами .

Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ числа

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа.

МнимоС число β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ВообраТаСмая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° i опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΡ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ° β€” это ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ комплСксныС числа. К соТалСнию, Π±ΡƒΠΊΠ²Π° i ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для обозначСния элСктричСских Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Ρ‹-элСктрики ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ j для ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ. Π£ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π΅Ρ€Π° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ опция, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ i , Π»ΠΈΠ±ΠΎ j для прСдставлСния ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.


Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ с ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ числами. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ любого ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ ΠΈ . Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ПослСдний ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ любая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ i ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.



ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°

КомплСксноС число z β€” это сумма Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

z = a + bΒ i

Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b β€” ΠΎΠ±Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. a называСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ z ΠΈ b называСтся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ z . ΠœΡ‹ записываСм это ΠΊΠ°ΠΊ a = Re( z ) ΠΈ Π± = Im( z ).


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Если z = βˆ’ 5 βˆ’ 7 i , Ρ‚ΠΎ Re( z ) = βˆ’5 ΠΈ Im( z ) = βˆ’7.


КомплСксноС сопряТСниС любого комплСксного числа a + b i опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ a βˆ’ b i. (Π£ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части просто помСнялся Π·Π½Π°ΠΊ.) КомплСксно-сопряТСнноС число z обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ z *. НапримСр, Ссли z = βˆ’ 5 βˆ’ 7 i Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° z * = — 5 + 7 i .



АрифмСтика с комплСксными числами

ΠœΡ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа ΠΈ комплСксныС числа ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π»ΠΈ всСми свойства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, плюс нСсколько Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ с комплСксными числами:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа, просто ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа, просто ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ комплСкс Ρ€Π°Π· Ρ€Π°Π·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° слоТноС, просто распрСдСлитС, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ i 2 = βˆ’ 1,
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа, просто распрСдСлитС ΠΈΡ…, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ i Β 2 = βˆ’Β 1,
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа Π½Π° Π΅Π³ΠΎ комплСксно-сопряТСнноС число (ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅) всСгда ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ вСщСствСнному числу ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСкрСстныС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, просто Ρ€Π°Π·Π±Π΅ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ части.
ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число i Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ βˆ’Β  i . Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² этом ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСкрСстного умноТСния.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ просто Ρ€Π°Π·Π±Π΅ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ части, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число i Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ βˆ’Β  i .
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ комплСксного числа, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ комплСксным сопряТСниСм знамСнатСля. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΎ для получСния ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ числитСля.
Π―Ρ€Π»Ρ‹ΠΊ для ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΡƒΡŽ комплСксно-сопряТСнный Π² числитСлС Π½Π°Π΄ суммой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ комплСксным сопряТСниСм знамСнатСля. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.


Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ комплСксных чисСл

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ стрСлок Π½Π° комплСксной плоскости . Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа откладываСтся вдоль вСщСствСнной (Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) ось, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ откладываСтся вдоль ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ (Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) оси. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ β€” Π½Π° вообраТаСмая ось.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ: Π²Ρ‹ добавляСтС Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ добавляСтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹. Но комплСксныС числа Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π΅Ρ‚.


15.2 — ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² полярной ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅


Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° a + b i Β , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ для комплСксных чисСл, называСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ комплСксного числа с ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ . ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ для построСния числа ΠΌΡ‹ прСдставляСм сСбС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈ высота Π± , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Но комплСксныС числа, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, r ∠ ΞΈ . (Π­Ρ‚ΠΎ произносится ΠΊΠ°ΠΊ Β« r ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΞΈ Β».) На рисункС справа ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Число r ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ символом ΡƒΠ³Π»Π° называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° комплСксного числа ΠΈ расстояниС комплСксноС число ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°. Π£Π³ΠΎΠ» ΞΈ послС символа ΡƒΠ³Π»Π° β€” это Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксноС число ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° отсчитываСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси.

Для любого комплСксного числа z , запись | ΠΈΠ· Β | ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. НапримСр, Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ комплСксных числа 5 ΠΈ βˆ’5 ΠΈ 3Β +Β 4Β  i ΠΈ 5 ∠ 120Β° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ 5, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ всС находятся Π½Π° расстоянии 5 ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΌΡ‹ пишСм | 5Β | = 5 ΠΈ | βˆ’5Β | = 5 ΠΈ | 3Β +Β 4Β  я Β | = 5 ΠΈ | 5 ∠ 120Β° | = 5.




ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Π°Ρ β†’ ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ комплСксноС число, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. (Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ r ΠΈ ΞΈ ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π± .) ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ рисунку, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ β†’ полярноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ комплСксноС число, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. (Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ a ΠΈ b ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ r ΠΈ ΞΈ .) ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа 5 ∠ 53Β° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

РСшСниС: ИмССм r = 5 ΠΈ ΞΈ = 53Β°. ΠœΡ‹ вычисляСм a = 5 cos (53Β°) = 3 ΠΈ b = 5 sin (53Β°) = 4, поэтому комплСксноС число Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 3 + 4 i .


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа 5 + 2 i Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

РСшСниС: ИмССм a = 5 ΠΈ b = 2. Вычислим

поэтому комплСксноС число Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 5,39 ∠ 21,8 Β°.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа βˆ’5 βˆ’ 2 i Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

РСшСниС: Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ a = βˆ’5 ΠΈ b = βˆ’2. ΠœΡ‹ вычисляСм

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ! Π­Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ. Π§Ρ‚ΠΎ пошло Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция arctan всСгда Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 180Β° ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, комплСксноС число Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 5,39 ∠ 201,8Β°.



Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ особСнно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ дСлятся. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

  • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
  • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ дСлСния: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ частноС, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ (5 ∠ 30Β°) Β· (3 ∠ 25Β°)

(5 ∠ 30°) · (3 ∠ 25°) = (5·3) ∠ (30+25)° = 15 ∠ 55°


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ 15 ∠ 32Β° Π½Π° 3 ∠ 25Β°



ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ 5Β +Β 3 i Π½Π° 2Β βˆ’Β 4 i

Π Π°Π΄ΠΈ интСрСса ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΎΠ±Π° числа Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ (с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…), Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ сдСлал Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π» Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.




ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎ слоТСнии ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, вСроятно, Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° прибавлСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания стСпСнСй ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ экспонСнт:

x ΠΌ Β Β·Β  x n = x ΠΌ + n ΠΈ x ΠΌ Β /Β  x n = x ΠΌΒ —Β n .

Они ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ своСго Ρ€ΠΎΠ΄Π° показатСлями. Π­Ρ‚Π° Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄ΠΊΠ° оказываСтся Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Π³Π΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, основаниС e Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу e = 2,71828… Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° r e Β  i ΞΈ называСтся ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ комплСксных чисСл Π² ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ…:

полярная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°
ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ свойства ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ для получСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° умноТСния. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ приятнСС, Ρ‡Π΅ΠΌ полярная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ввСсти странныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° умноТСния Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΈ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².



Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

r ∠ ΞΈ Β  = Ρ€ Π΅ Β  i ΞΈ Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ полярная ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ комплСксного числа эквивалСнтны, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r ∠ ΞΈ Β  = Ρ€ Π΅ Β  ΠΈ ΞΈ , Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ использования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, поэтому ΠΌΡ‹ сначала сформулируСм ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°. Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

e i ΞΈ = cos ( ΞΈ ) + i sin ( ΞΈ ) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°

Π­Ρ‚ΠΎ связано с Π›Π΅ΠΎΠ½Π°Ρ€Π΄ΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΈ это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт глубокая связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ростом ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ колСбаниями. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ способ вычислСния синуса, косинуса ΠΈ экспонСнты. любого значСния Β ΞΈΒ  , ΠΊΠ°ΠΊ это Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€. Ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ способ.

БСрия Taylor для e x :

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4! ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ 4 Β· 3 Β· 2 Β· 1 ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ … ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ряд (сумма) продолТаСтся Π²Π΅Ρ‡Π½ΠΎ. ИдСя состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ сохраним Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ нСсколько Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для e x . Π§Π΅ΠΌ большС Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ сохраняСм, Ρ‚Π΅ΠΌ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. НапримСр e Β 1 ΠΈΠ»ΠΈ e округляСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ 5 Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ² ΡƒΠΆΠ΅ подходят ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΊ 3 Π·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΠΌ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌ:

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ряды Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° для sin( ΞΈ ) ΠΈ cos( ΞΈ ):

ΠΈ

( Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для синуса ΠΈ косинуса ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΞΈ измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΞΈ Π² градусах Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π±Ρ‹ смысла, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ряда ΠΈΠΌΠ΅Π» Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… нСльзя Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ.) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ станСт Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ правая сторона. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ΅Ρ€ΠΈΡŽ Π½Π° x . Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² x Π½Π° i Β  ΞΈ :

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ упроститС ΠΈ сгруппируйтС всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ вмСстС ΠΈ сгруппируйтС всС ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ вмСстС. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… скобках β€” это просто числа Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°. ряд для cos( ΞΈ ) ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… скобках ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ просто рядом Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° для sin( ΞΈ ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ( ΞΈ ) + i sin( ΞΈ ), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°. На этом Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° заканчиваСтся.


Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r ∠ ΞΈ Β  = r e Β  i ΞΈ . ΠœΡ‹ снова Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ стороной, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ сравняСтся с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ стороной. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ сторону Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ r ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° ΠΊ слагаСмым Π² скобках.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r ∠ ΞΈ Β  = rΒ e Β  i ΞΈ


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с использованиСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, полярной ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ вычислСний с комплСксными числами, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ? Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ для слоТСния ΠΈ вычитания, полярная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° для умноТСния ΠΈ дСлСния ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° для возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ манипулирования Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния. Π’ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ e Β  i Β Ο€ = βˆ’1. Π­Ρ‚ΠΎ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ тоТдСство Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ:



ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ i n для n = 1, 2, 3, …, нанСситС числа Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

РСшСниС: ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ† Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ всСго ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π² полярной, Π³Π΄Π΅ i = 1 ∠ 90Β°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
Π‘ΡŽΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ справа. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ силы Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ радиуса 1 ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ПослС Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΡƒΠ³ΠΎΠ» большС 360Β°. Π½ΠΎ схСма ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки продолТаСтся с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ числами, ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π½Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° старых чисСл.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: ВычислСниС ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (3 + 4 i ) (6 + 7 i )

РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ манипуляции:

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ основания Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Π‘Π°Π·Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ содСрТит Π΄Π²Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свойство экспонСнты
( Π° Π± ) Β  ΠΌ = Π° ΠΌ Β· Π± ΠΌ .
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свойство ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ
bΒ  mΒ +Β n = Π± ΠΌ Β Β·Β  Π± Π½ .
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ….
Π˜Π·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ основаниС с 5 Π½Π° e , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€
5 = e Β  ln(5) .
ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅.
Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, полярной ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

МногиС тригономСтричСскиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΈ тоТдСства Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ комплСксных чисСл. выраТаСтся Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π½ΠΈΡ… Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ синусов ΠΈ косинусов, сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², тригономСтричСскиС тоТдСства ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ синусов ΠΈ косинусов

Π’ этом Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ комплСксноС сопряТСниС, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ z *.

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли z = a + b i прСдставляСт собой комплСксноС число, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, Ρ‚ΠΎ z * = a – b i .

Если Β  z = r ∠ ΞΈ прСдставляСт собой комплСксноС число, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° z *Β =Β  r ∠(βˆ’ ΞΈ Β )

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксно-сопряТСнноС число любоС комплСксноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ достаточно ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ i Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ to – i ΠΈ мСняСм ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ Β Π΄ΠΎ – ΞΈ . КомплСксноС сопряТСниС ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

z + z * = 2 a = 2 r cos ΞΈ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ всСгда Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

z – z * =2 b i = 2 r i sin ΞΈ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ всСгда ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅, ΠΈ

z Β· z * = a 2 Β + b 2 Β = r

9 9 Ρ‡Ρ‚ΠΎ всСгда Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ.


На рисункС справа ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ комплСксных числа (красныС стрСлки), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

Π± ∠ ΞΈ βˆ’ Π° ∠0 = с ∠ Ο†

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a , b ΠΈ c Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ сторон сСрого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. КаТдоС число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ комплСксноС сопряТСниС (сСрыС стрСлки). ( a ∠0, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, являСтся собствСнным комплСксным сопряТСниСм.) КомплСксно-сопряТСнныС ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

Π± ∠(- ΞΈ ) βˆ’ a ∠0 = c ∠(βˆ’ Ο† )

Если ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ эти Π΄Π²Π° уравнСния, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠΌ ΠΈ упростим, получится Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ уравнСния.

( Π± ∠ ΞΈ βˆ’ Π° ∠0) Β· ( Π± ∠(- ΞΈ ) — Π° ∠0) = Π² ∠ Ο† Β· с ∠(- Ο† )

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ LHS.

Π± 2 ∠0 βˆ’ Π°Π± ∠ ΞΈ βˆ’ Π°Π± ∠(βˆ’ ΞΈ ) + a 2 ∠0 = c 2 ∠0

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ упроститС.

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса , c 2 = a 2 + b 2 βˆ’ 2 a b cos ΞΈ .

Для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° синусов достаточно Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π± ∠ ΞΈ βˆ’ Π° ∠0 = с ∠ Ο† . Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ b sin ΞΈ βˆ’ 0 = c sin Ο† ΠΈΠ»ΠΈ

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт собой Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов .



Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ тоТдСство суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² sin(

ΞΈ + Ο† ) = sin( ΞΈ )Β·cos( Ο† ) + cos( ΞΈ )Β·sin( Ο† ).

НачнитС с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° умноТСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ (1∠ ΞΈ ) Β· (1∠ Ο† ) = 1∠( ΞΈ + Ο† ). ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ комплСксноС число Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ ∠α = r cos Ξ± + i r sin Ξ±).

(cos ΞΈ + i sin ΞΈ ) Β· (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ο† + i sin Ο† ) = cos ( ΞΈ + Ο† ) + i sin ( ΞΈ + Ο† )

Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡŒΡ‚Π΅ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ упроститС.

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… частСй Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² для синуса. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… частСй Π΄Π°Π΅Ρ‚ тоТдСство суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² для cos.




Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(1∠ θ ) п = 1 ∠ ( н θ )

Π³Π΄Π΅ n β€” любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ( r ∠ ΞΈ ) n = r n ∠( n ΞΈ ). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это, просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ число r ∠ ΞΈ само Π½Π° сСбя, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ² ΠΈ упростив. НапримСр

(2∠40°) 3 = (2∠40°) (2∠40°) (2∠40°) = (2) 3 ∠(40° + 40° + 40°) = 8∠120°

Одно ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π° β€” Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокиС многоракурсныС тоТдСства. НапримСр, Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈΡ‚Π΅ с (1∠ ΞΈ ) Β· (1∠ ΞΈ ) = 1∠(2 ΞΈ ) ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

(cos ΞΈ + i sin ΞΈ ) Β· (cos ΞΈ + i sin ΞΈ ) = cos (2 ΞΈ ) + i sin (2 ΞΈ )

Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡŒΡ‚Π΅ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ упроститС.

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… частСй Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для Π³Ρ€Π΅Ρ…Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… частСй Π΄Π°Π΅Ρ‚ тоТдСство Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° для косинуса.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π”Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для нахоТдСния n th ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ любого комплСксного числа Π³ ∠ ΞΈ (Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния z n = r ∠ ΞΈ , Π³Π΄Π΅ n являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом, для z ). ВсСго n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Один ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, взяв n th ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½- n th ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, это r 1/ n ∠( ΞΈ / n ). ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ n – 1 ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ распрСдСлСны Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° комплСксной плоскости. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ производят ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ n th .

НапримСр, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 8 (Ρ‚.Π΅. Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ z 3 = 8 для z ). Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ 8 ΠΊΠ°ΠΊ 8∠0Β°.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *