Перевод из показательной формы в алгебраическую: Калькулятор преобразования формы комплексного числа

Содержание

Комплексные числа. Сопряженные числа. Применение комплексных чисел в геометрии и тригонометрии, страница 2

Математика \ Математика

Но пока отметим еще один интересный факт. Заметим, что если , то . Таким образом, сопряженные числа симметричны относительно вещественной оси.

Теперь давайте попробуем попереводить комплексные числа из одной формы записи в другую. Перевод из тригонометрической формы в алгебраическую предельно прост: надо посчитать значения соответствующих тригонометрических функций и подставить их. Перевод из алгебраической формы в тригонометрическую также несложен. . Например, переведем число в тригонометрическую форму. . Тогда . В итоге . Из двух вариантов записи углов предпочтительней радианный. Приведем еще несколько популярных примеров:

Теперь докажем полезную теорему об умножении и делении комплексных чисел в тригонометрической форме.

Th.

Доказательство. , что и требовалось доказать. Часть про деление доказывается точно так же.

Докажем формулу Муавра.

Th. , где — целое число.

Доказательство. Для формула очевидно верна, т.к. обе части равенства обращаются в единицу. Теперь проведем индукцию по показателю степени. Пусть формула верна для некого . Тогда по предыдущей теореме имеем . Таким образом, мы доказали теорему для натурального . Для целого достаточно доказать переход от к . Это делается точно так же. Поэтому можно считать формулу доказанной.

Из первой теоремы можно вывести несколько полезных геометрических свойств. Например, если отношение двух комплексных чисел равно , то два соответствующих вектора перпендикулярны и равны по длине. Если , где — вещественное, то вектор перпендикулярен и в раз длиннее его. Напомню, что для перпендикулярности векторов достаточно, чтобы аргументы соответствующих им чисел отличались на .

В двух наших случаях это вытекает из теоремы о делении и умножении (из нашей первой теоремы).

На сем данный параграф заканчивается, но к геометрии комплексных чисел мы еще вернемся.

§4. Показательная форма записи

В тригонометрической форме записи есть одно неудобство: она слишком длинная. Введем новое обозначение. будем обозначать как . Вопрос о том, что здесь делает Эйлерово число, оставим на потом. Наше переобозначение теперь позволяет записать комплексное число в виде . Такая форма записи называется показательной. Удобства такой формы записи заключены в следующих свойствах:

3) , где — целое число.

4) , где — целое число.

Все эти свойства вытекают из теорем для тригонометрической формы записи. Тем не менее, показательная форма очень часто используется, особенно в тех задачах, где приходится очень много умножать и возводить в степень комплексные числа.

Скажем, возводить в десятую степень сложно, зато куда проще посчитать . Повторю, что все свойства степени с целым показателем сохраняются и для показательной формы записи комплексных чисел. Перевод в показательную форму из алгебраической и наоборот выполняется через тригонометрическую. Как это делать, написано в предыдущем параграфе.

§5. Решение уравнений в комплексных числах

Начнем с самого простого – линейного уравнения с комплексными коэффициентами и одним неизвестным. Далее — комплексные коэффициенты в уравнениях, - натуральное число, — целые числа, а — неизвестные.

Итак, рассмотрим уравнение . Решается оно точно так же, как и вещественное, т.е. . Теперь перейдем к системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Для нее решение тоже такое же, как и в вещественных чисел. Да и вообще все уравнения первой степени в комплексных числах решаются точно так же, как и в вещественных.

Исключения составляют те уравнения для решения которых приходится пользоваться понятиями, не определенными для комплексных чисел, например, извлечение корня, разложение в цепную дробь, нахождение общего делителя и так далее. Такие случаи надо разбирать отдельно. Здесь мы разберем два таких случая.

Скачать файл

Комплексные числа. — Математика — Уроки

Комплексные числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида z=a+bj, где a и b – некоторые действительные числа, j – некоторый символ (мнимая единица).

Определение. Мнимой единицей называется число j, квадрат которого равен -1, т.е.

Пример:

Определение. Объединение множества действительных чисел с мнимой единицей называется множеством комплексных чисел и обозначается «С».

Замечание:

Если a≠0, b=0, то z=a+0j – действительное число

Если a=0, b≠0, то z=0+bj – мнимое число

Если a=0, b=0, то z=0+0j – нулевое число

Определение. Запись комплексного числа z в виде суммы двух комплексных чисел частного вида – действительного числа a и мнимого числа bj, т.е. в виде a+bj называется алгебраической формой комплексного числа, где a — действительная часть комплексного числа, b — мнимая часть комплексного числа.

Виды комплексных чисел:

– противоположное число;
— сопряженное число.

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается точкой М(a,b) на координатной плоскости и наоборот: каждая точка координатной плоскости изображает какое либо комплексное число.

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается радиусом вектора ОМ с координатами (а;b).

Определение. Длина радиуса вектора изображающего комплексное число z=a+bj, называется модулем комплексного числа и обозначается «r»,

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Комплексные числа в смысле «», «

Определение. Аргументом комплексного числа называется величина угла, образованного радиус – вектором, изображающим комплексное число с положительным направлением действительной оси.

Пример. Решить уравнение:

Ответ: Корнями уравнения являются два сопряженных комплексных числа.

Задания

Представить комплексные числа в тригонометрической и показательной форме:

10.

Определение.

Аргументом комплексного числа называется величина любого направленного угла, образованного положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим числу z:

Аргумент вычисляется по одной из четырех формул:

Если , то Если , то

Тригонометрическая форма комплексного числа

Определение. Выражение вида , где r- модуль, φ – аргумент комплексного числа, j – мнимая единица, называется тригонометрической формой комплексного числа. ; — формулы перехода от тригонометрической формы к алгебраической форме.

Пример. Перевести комплексное число z = 2,6( в алгебраическую форму записи.

Решение.

Ответ: z

Переход из тригонометрической формы к алгебраической, производится с помощью калькулятора. r(cosφ

+sinφj)=a+bj

Формулы перехода от алгебраической к тригонометрической форме комплексного числа: ; ; .

Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера:

Определение. Выражение вида , где r-модуль, φ-аргумент, j-мнимая единица, называется показательной формой комплексного числа.

Так как комплексное число в показательной форме задается модулем r и аргументом φ, то формулой перехода от алгебраической формы к показательной и наоборот, такие же, как от тригонометрической к показательной и наоборот.

Пример. Перевести комплексное число z = в тригонометрическую и показательную формы записи.

Решение.

Так как комплексное число z = вида , то

Ответ: z =

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, осуществляется с помощью калькулятора. a+bj=r(cosφ+sinφj).

Действия над комплексными числами в показательной форме записи

Пусть даны комплексные числа: ;

умножение:
деление:
возведение в натуральную степень: z=
извлечение корня n-й степени: к=0,1,…,(n -1)

Примеры.

Вычислить: 1) ;

Видео с вопросами: Преобразование комплексных чисел из алгебраических в экспоненциальные формы больше одного минус 𝑖 запишите 𝑧 в экспоненциальной форме.

Чтобы ответить на этот вопрос, у нас есть два варианта. Мы могли бы разделить эти два сложных числа в алгебраической форме. А для этого нам нужно умножить и числитель, и знаменатель на сопряжение знаменателя, тогда распределите и упростите, насколько это возможно. Я уверен, вы согласитесь, что это скорее длительный процесс. Вместо этого мы выберем запись эти комплексные числа в экспоненциальной форме. Поэтому нам нужно вычислить их модули и аргументы.

𝑖 корень два является чисто мнимым число. На диаграмме Аргана это представлен точкой, чьи декартовы координаты равны нулю, корень два. Его модуль – это длина отрезок линии, соединяющий эту точку с началом координат. Итак, корень два. И так как аргумент измеряется в направлении против часовой стрелки от положительной действительной оси, мы можем видеть, что аргумент этого комплексного числа эквивалентен 90 градусов. Это 𝜋 на два радиана. И в экспоненциальной форме мы можем сказать что это то же самое, что корень два 𝑒 в 𝜋 на два 𝑖.

Комплекс номер один минус 𝑖 равен немного сложнее. Его действительная часть положительна и его мнимая часть отрицательна. Так что это лежит в четвертом квадрант. Теперь его модуль не зависит от этот факт. Мы просто используем формулу квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Так что это квадратный корень из одного в квадрате плюс минус один в квадрате, что опять-таки является квадратным корнем из двух.

Нам нужно немного больше осторожнее с аргументом. Поскольку он находится в четвертом квадранте, мы можем использовать формулу, уникальную для комплексных чисел, отображаемых на графике. первый и четвертый квадранты. Это арктан 𝑏 над 𝑎, арктан деления мнимой части на действительную часть. Так что в данном случае это арктан отрицательного на единицу больше одного отрицательного 𝜋 на четыре. Мы ожидали отрицательное значение для аргумент, поскольку на этот раз мы измеряем по часовой стрелке. Итак, мы можем переписать нашу дробь как корень два 𝑒 к 𝜋 на два 𝑖 над корнем два 𝑒 к отрицательному 𝜋 на четыре 𝑖. И теперь мы можем легко разделить.

Чтобы разделить комплексные числа на экспоненциальной форме, мы делим их модули и вычитаем их аргументы. Корень два разделить на корень два равно одному и 𝜋 на два минус отрицательное 𝜋 на четыре равно три 𝜋 на четыре. Тогда в экспоненциальной форме 𝑧 равно равно 𝑒 трем 𝜋 на четыре 𝑖.

MathOnWeb — Электронная книга по алгебре — Комплексные числа

15.1 — Введение в комплексные числа

Примечание: Математики используют выражение « … над комплексными номерами » означать, что рассматриваемая система счисления является комплексными числами, и выражение « … над действительными числами » означать, что рассматриваемая система счисления является действительными числами.

Например они скажут, что уравнение x ² = −9 не может быть решен для x над действительными числами , но у него есть решение над комплексными числами .

Воображаемые числа

Сначала введем мнимые числа.

Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа. Воображаемая единица i определяется как:

Примечание: Электротехника — это приложение, в котором широко используются комплексные числа. К сожалению, буква i уже используется для обозначения электрических текущий. Поэтому инженеры-электрики обычно используют букву j для представлять воображаемую единицу. У тренера по алгебре есть опция, позволяющая чтобы установить либо i , либо j для представления мнимой единицы.

Вот несколько примеров арифметики с мнимыми числами. Первый пример показывает, как квадратный корень любого отрицательного числа может быть выражено как кратное мнимой единице и . Второй пример показывает, что возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное число. Последний пример показывает, как любая степень i можно упростить.

Комплексные номера

Комплексное число z — это сумма действительного числа и мнимого числа. Его можно записать в виде:

z = a + b i

где a и b — оба действительные числа. a называется действительной частью z и b называется мнимой частью z . Мы записываем это как a = Re( z ) и б = Im( z ).

Пример: Если z = − 5 − 7 i , то Re( z ) = −5 и Im( z ) = −7.

Комплексное сопряжение любого комплексного числа a + b i определяется как a − b i. (У мнимой части просто поменялся знак.) Комплексно-сопряженное число z обозначается как z *. Например, если z = − 5 − 7 i тогда z * = — 5 + 7 i .

Арифметика с комплексными числами

Мы требуем, чтобы мнимые числа и комплексные числа обладали всеми свойства, которыми обладают действительные числа, плюс несколько новых, которые мы обнаружите по пути. Вот несколько примеров арифметики с комплексными числами:

Чтобы сложить два комплексных числа, просто объедините одинаковые термины.
Чтобы вычесть два комплексных числа, просто объедините одинаковые члены.
Чтобы умножить реальный комплекс раз раздайте.
Чтобы умножить мнимое на сложное, просто распределите, а затем использовать i ² = − 1,
Чтобы умножить два комплексных числа, просто распределите их, а затем используйте i ² = − 1,
Умножение комплексного числа на его комплексно-сопряженное число (определено выше) всегда приводит к положительному вещественному числу потому что перекрестные члены отменяются.
Чтобы разделить комплексное число на действительное, просто разбейте дробь на две части.
Обратное число i равно − i . Вы можете убедиться в этом путем перекрестного умножения.
Чтобы разделить комплексное число на мнимое просто разбейте дробь на две части, а затем воспользуемся тем, что обратное число i равно − i .
Чтобы упростить обратную величину комплексного числа, умножьте числитель и знаменатель комплексным сопряжением знаменателя. Это предназначено для получения положительного действительного числа в знаменателе который затем можно разделить на каждый член числителя.
Ярлык для предыдущего примера состоит в том, чтобы заменить взаимную комплексно-сопряженный в числителе над суммой квадратов типа Пифагора в знаменателе.
Чтобы разделить два комплексных числа, умножьте числитель и знаменатель комплексным сопряжением знаменателя. Получается Пифагор введите сумму квадратов в знаменателе и двух комплексных чисел в числитель, который можно умножить, как описано выше.

График комплексных чисел

Комплексные числа могут отображаться в виде точек или стрелок на комплексной плоскости . Действительная часть комплексного числа откладывается вдоль вещественной (горизонтальной) ось, а мнимая часть откладывается вдоль мнимой (вертикальной) оси. Действительные числа лежат на действительной оси, а мнимые — на воображаемая ось.

Комплексные числа аналогичны двумерным векторам в том, как они складываются: вы добавляете горизонтальные компоненты и добавляете вертикальные компоненты. Но комплексные числа тоже можно умножать, а векторы нет.

15.2 — Комплексные числа в полярной и экспоненциальной форме

Форма полярных координат

Форма a + b i , используемая до сих пор для комплексных чисел, называется формой комплексного числа с прямоугольной координатой .

потому что для построения числа мы представляем себе прямоугольник шириной и и высота б , как показано на графике выше.

Но комплексные числа, как и векторы, также может быть выражено в форме полярных координат, r ∠ θ . (Это произносится как « r под углом θ ».) На рисунке справа показан пример. Число r перед символом угла называется величина комплексного числа и расстояние комплексное число из начала. Угол θ после символа угла — это направление комплексное число от начала отсчитывается против часовой стрелки от положительная часть действительной оси.

Для любого комплексного числа z , запись | из | обозначает его величину. Например, четыре комплексных числа 5 и −5 и 3 + 4 i и 5 ∠ 120° имеют звездную величину 5, потому что они все находятся на расстоянии 5 от начала координат. Используя обозначение величины, мы пишем | 5 | = 5 и | −5 | = 5 и | 3 + 4 я | = 5 и | 5 ∠ 120° | = 5.

Полярная → Прямоугольная Преобразование

Предположим, у нас есть комплексное число, выраженное в полярной форме, и мы хотим выразить его в прямоугольной форме. (То есть мы знаем r и θ и нам нужно и б .) Обращаясь к рисунку, мы видим, что мы можем использовать формулы:

Прямоугольное → полярное преобразование

С другой стороны, предположим, что у нас есть комплексное число, выраженное в прямоугольную форму, и мы хотим выразить ее в полярной форме. (То есть мы знаем a и b и нам нужно r и θ .) Мы видим, что мы можем использовать формулы:

Пример: Преобразование комплексного числа 5 ∠ 53° в прямоугольную форму.

Решение: Имеем r = 5 и θ = 53°. Мы вычисляем a = 5 cos (53°) = 3 и b = 5 sin (53°) = 4, поэтому комплексное число в прямоугольной форме должно быть 3 + 4 i .

Пример: Преобразование комплексного числа 5 + 2 i в полярную форму.

Решение: Имеем a = 5 и b = 2. Вычислим

поэтому комплексное число в полярной форме должно быть 5,39 ∠ 21,8 °.

Пример: Преобразование комплексного числа −5 − 2 i в полярную форму.

Решение: У нас есть a = −5 и b = −2. Мы вычисляем

что точно такой же ответ, как и для предыдущего примера ! Этого не может быть. Что пошло не так? Ответ заключается в том, что функция arctan всегда возвращает угол в первой или четвертой четверти, и нам нужен угол в третий квадрант. Таким образом, мы должны добавить 180° к углу вручную . Таким образом, комплексное число в полярной форме должно быть 5,39 ∠ 201,8°.

Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме

Комплексные числа в полярной форме особенно легко умножаются и делятся. Правила:

Правило умножения: Чтобы составить произведение, умножьте величины и сложить углы.
Правило деления: Чтобы составить частное, разделить величины и вычесть углы.

Пример: умножить (5 ∠ 30°) · (3 ∠ 25°)

(5 ∠ 30°) · (3 ∠ 25°) = (5·3) ∠ (30+25)° = 15 ∠ 55°

Пример: разделить 15 ∠ 32° на 3 ∠ 25°

Пример: разделить 5 + 3 i на 2 − 4 i

Ради интереса мы преобразовали оба числа в полярную форму (с углами в радианах), затем сделал деление в полярной форме, а затем преобразовал результат обратно в прямоугольную форму.

Комплексные числа в экспоненциальной форме

Эти правила о сложении или вычитании углов при умножении или деление комплексных чисел в полярной форме, вероятно, напомнит вам правила прибавления или вычитания степеней при умножении или деление экспонент:

x ^м · x ⁿ = x ^{м + n} и x ^м / x ⁿ = x ^м — n .

Они предполагают, что, возможно, углы являются своего рода показателями. Эта догадка оказывается верной. В следующем разделе мы докажем, что:

где, как обычно, основание e равно числу e = 2,71828… Форма r e ^{i θ} называется экспоненциальной форма комплексного числа. В следующем примере показано умножение одних и тех же комплексных чисел в обеих формах:

полярная форма
экспоненциальная форма

Обратите внимание, что в экспоненциальной форме нам не нужно ничего, кроме знакомого свойства показателей для получения результата умножения. Это намного приятнее, чем полярная форма, где мы должны ввести странные правила умножения длин и сложения углов.

Доказательство того, что

r ∠ θ = р е ^{i θ}

Доказательство того, что полярная и экспоненциальная формы комплексного числа эквивалентны, а именно, что r ∠ θ = р е ^{и θ} , требует использования формулы Эйлера, поэтому мы сначала сформулируем и докажем Формула Эйлера. Эта формула утверждает, что:

e ^{i θ} = cos ( θ ) + i sin ( θ ) Формула Эйлера

Это связано с Леонардом Эйлером, и это показывает, что существует глубокая связь между экспоненциальным ростом и синусоидальными колебаниями. Чтобы доказать это, нам нужен способ вычисления синуса, косинуса и экспоненты. любого значения θ , как это делает калькулятор. Ряд Тейлора дает способ.

Серия Taylor для e ^x :

Обозначение 4! означает 4 · 3 · 2 · 1 и т. д. Точки … означают, что ряд (сумма) продолжается вечно. Идея состоит в том, что если мы сохраним только первые несколько членов, то получим приближение для e ^x . Чем больше членов мы сохраняем, тем лучше приближение. Если бы мы могли сохранить все термины, то получили бы точный ответ. Например e ¹ или e округляется только первые 5 терминов уже подходят примерно к 3 значащим цифрам:

Существуют аналогичные ряды Тейлора для sin( θ ) и cos( θ ):

( Важное примечание: эти две формулы для синуса и косинуса предположим, что θ измеряется в радианах. Измерение θ в градусах не имело бы смысла, потому что тогда каждый член ряда имел бы разные единицы, и тогда их нельзя было сложить.) Чтобы доказать формулы мы будем манипулировать левой частью, пока она не станет равной правая сторона. Сначала замените серию на ^x . в левую часть формулы Эйлера, заменив x на i θ :

Теперь упростите и сгруппируйте все действительные термины вместе и сгруппируйте все мнимые термины вместе. Мы получаем:

Теперь обратите внимание, что члены в первых скобках — это просто числа Тейлора. ряд для cos( θ ) и что члены во вторых скобках являются просто рядом Тейлора для sin( θ ). Таким образом, мы преобразовали левую часть формулы Эйлера, чтобы читать потому что( θ ) + i sin( θ ), что равно правой части формулы Эйлера. На этом доказательство формулы Эйлера заканчивается.

Теперь, когда у нас есть формула Эйлера, легко доказать, что r ∠ θ = r e ^{i θ} . Мы снова будем манипулировать левой стороной, пока она не сравняется с правой стороной. Сначала преобразуйте левую сторону в прямоугольную форму:

Теперь вычтите r и примените формулу Эйлера к слагаемым в скобках.

В результате мы преобразовали левую часть в правую. Это доказывает, что r ∠ θ = r e ^{i θ}

Примеры с использованием прямоугольной, полярной и экспоненциальной формы

При выполнении вычислений с комплексными числами, какую форму следует использовать? Вообще говоря, используйте прямоугольную форму для сложения и вычитания, полярная форма для умножения и деления и экспоненциальная форма для возведения в степень или манипулирования буквальные выражения. Вот некоторые примеры.

Пример 1: Покажите, что e ^{i π} = −1. Это известно как тождество Эйлера.

Решение: Просто преобразовать в полярную, а затем в прямоугольную:

Пример 2: Вычислить i ⁿ для n = 1, 2, 3, …, нанесите числа на комплексную плоскость и определите закономерность.

Решение: Образец легче всего обнаружить в полярной, где i = 1 ∠ 90°. Тогда:

Сюжет показан справа. Различные силы дают последовательность комплексные числа, идущие по кругу радиуса 1 против часовой стрелки около Происхождение. После четвертой степени угол больше 360°. но схема против часовой стрелки продолжается с новыми числами, падающими на вершина старых чисел.

Пример 3: Вычисление экспоненциального (3 + 4 i ) ^{(6 + 7 i )}

Решение: Проделайте следующие манипуляции:

Преобразование основания в экспоненциальную форму. Помните, что угол должен быть в радианах. База теперь содержит два фактора.
Применить свойство экспоненты
( а б ) ^м = а ^м · б ^м .
Применить свойство показателей
b ^m + n = б ^м · б ^н .
Переместите реальные факторы на передний план и оцените их.
Изменить основание с 5 на e , используя идентификатор
5 = e ^ln(5) .
Объедините показатели степени и оцените.
Выразите ответ в экспоненциальной, полярной или прямоугольной форме.

Многие тригонометрические законы и тождества легко доказать с помощью комплексных чисел. выражается в полярной форме. Среди них законы синусов и косинусов, сумма углов, тригонометрические тождества и формула Муавра.

Доказательство законы синусов и косинусов

В этом доказательстве используется комплексное сопряжение, обозначаемое z *.

Напомним, что если z = a + b i представляет собой комплексное число, выраженное в прямоугольных координатах, то z * = a – b i .
Если z = r ∠ θ представляет собой комплексное число, выраженное в полярных координатах, тогда z * = r ∠(− θ )

В общем, чтобы получить комплексно-сопряженное число любое комплексное выражение достаточно изменить каждые i в выражении to – i и меняем каждый угол θ до – θ . Комплексное сопряжение полезно, потому что:

z + z * = 2 a = 2 r cos θ , что всегда реально,
z – z * =2 b i = 2 r i sin θ , которое всегда мнимое, и
z · z * = a ² + b ² = r
9 9 что всегда реально и позитивно.

На рисунке справа показаны три комплексных числа (красные стрелки), удовлетворяющие соотношению
б ∠ θ − а ∠0 = с ∠ φ
Обратите внимание, что a , b и c также являются длинами сторон серого треугольника. Каждое число имеет комплексное сопряжение (серые стрелки). ( a ∠0, будучи действительным, является собственным комплексным сопряжением.) Комплексно-сопряженные подчиняются соотношению
б ∠(- θ ) − a ∠0 = c ∠(− φ )
Если мы умножим эти два уравнения, расширим и упростим, получится закон косинусов. Сначала умножьте уравнения.
( б ∠ θ − а ∠0) · ( б ∠(- θ ) — а ∠0) = в ∠ φ · с ∠(- φ )
Теперь разверните LHS.
б ² ∠0 − аб ∠ θ − аб ∠(− θ ) + a ² ∠0 = c ² ∠0
Теперь упростите.
Это закон косинуса , c ² = a ² + b ² − 2 a b cos θ .
Для доказательства закона синусов достаточно взять мнимую часть б ∠ θ − а ∠0 = с ∠ φ . Это дает b sin θ − 0 = c sin φ или
который представляет собой закон синусов .

Доказательство тождество суммы углов sin(
θ + φ ) = sin( θ )·cos( φ ) + cos( θ )·sin( φ ).
Начните с правила умножения в форме (1∠ θ ) · (1∠ φ ) = 1∠( θ + φ ). Преобразуйте каждое комплексное число в прямоугольное с помощью тригонометрии. (то есть использовать г ∠α = r cos α + i r sin α).
(cos θ + i sin θ ) · (поскольку φ + i sin φ ) = cos ( θ + φ ) + i sin ( θ + φ )
Расширьте левую часть и упростите.
Приравнивание мнимых частей дает идентичность суммы углов для синуса. Приравнивание действительных частей дает тождество суммы углов для cos.

Формула де Муавра
Формула де Муавра утверждает, что
(1∠ θ ) ^п = 1 ∠ ( н θ )
где n — любое целое число. Его можно обобщить, чтобы прочитать ( r ∠ θ ) ⁿ = r ⁿ ∠( n θ ). Чтобы доказать это, просто умножьте число r ∠ θ само на себя, повторив и упростив. Например
(2∠40°) ³ = (2∠40°) (2∠40°) (2∠40°) = (2) ³ ∠(40° + 40° + 40°) = 8∠120°
Одно из применений формулы де Муавра — доказательство двойного, тройные и более высокие многоракурсные тождества. Например, начните с (1∠ θ ) · (1∠ θ ) = 1∠(2 θ ) и преобразовать в прямоугольный.
(cos θ + i sin θ ) · (cos θ + i sin θ ) = cos (2 θ ) + i sin (2 θ )
Расширьте левую часть и упростите.
Приравнивание мнимых частей дает двуугольная идентичность для греха и приравнивание действительных частей дает тождество двойного угла для косинуса.
Формулу Де Муавра также можно использовать для нахождения n ^th корни любого комплексного числа г ∠ θ (точнее, его можно использовать для решения уравнения z ⁿ = r ∠ θ , где n является положительным целым числом, для z ). Всего n корней. Один корень (называемый главным корнем) можно найти, взяв n ^th корень длины и один- n ^th угол. Таким образом, это r ^{1/ n} ∠( θ / n ). Остальные n – 1 корни распределены равномерно по окружность вокруг начала координат на комплексной плоскости. Это равномерное распределение гарантирует, что все они производят одинаковую мощность n ^th.
Например, найдем кубический корень из 8 (т.е. решим уравнение z ³ = 8 для z ). Запишите 8 как 8∠0°.
No related posts.