Периметр и площадь правило: Периметр и площадь прямоугольника

Содержание

Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры / Геометрия / Справочник по математике 5-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Геометрия
Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рис. 1 изображен прямоугольник АВСD.

Отрезки АВ и СD, АD и ВС — противолежащие стороны прямоугольника. Противолежащие стороны прямоугольника не имеют общих точек. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, тогда на рис. 1 в прямоугольнике АВСD: АВ = DС, АD = ВС.

Отрезки АВ и АD, АD и DC, DC и ВС, АВ и ВС — соседние или смежные стороны.

Смежные стороны — стороны, которые имеют общую вершину. Смежные стороны прямоугольника имеют специальные названия: длина и ширина.

Отрезки АС и ВD — диагонали прямоугольника. Диагонали прямоугольника соединяют противолежащие вершины. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Так на рис. 1 АС = ВD и ОА = ОВ = ОС = ОD.

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. Обозначается периметр буквой .

Учитывая, что в прямоугольнике противоположные стороны равны, его периметр вычисляется по формуле: или , где и смежные стороны прямоугольника (длина и ширина).

Площадь прямоугольника обозначается буквой . Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон

, т.

е. если и смежные стороны прямоугольника, то его площадь .

Каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника. На рис. 2, диагональ АС делит прямоугольник АВСD на два равных треугольника АВС и АDС, т.е. АВС = АDС, а на рис. 2, б диагональ ВD делит прямоугольник АВСD на два равных треугольника ВАD и ВСD, т.е.

ВАD = ВСD.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

Ось симметрии

Прямоугольник имеет ось симметрии. Ось симметрии прямоугольника — это прямая, проходящая через средины противоположных сторон прямоугольника. У прямоугольника две оси симметрии, на рис. 3 прямые и оси симметрии прямоугольника

АВСD.

Если лист бумаги перегнуть по прямым (или ), то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой (или ), совпадут.

Существуют и другие фигуры, которые имеют ось симметрии, такие фигуры называют симметричными относительно прямой. Так, например, квадрат имеет четыре оси симметрии (рис. 4, ), равнобедренный треугольник одну ось симметрии (рис. 4, б), а равносторонний треугольник — три оси симметрии (рис.4, в).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отрезок

Ломаная

Четырехугольники

Единицы измерения площадей. Свойства площадей

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.

Плоскость

Прямая

Луч

Шкалы и координаты

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Куб. Площадь поверхности куба

Куб. Объем куба

Угол. Обозначение углов

Прямой и развернутый угол

Чертежный треугольник

Измерение углов. Транспортир. Виды углов

Треугольник и его виды

Окружность, круг, шар

Цилиндр, конус

Отрезок-xx

Геометрия

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 739, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 792, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 815, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 846, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1137, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1801, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 374, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 10, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 546, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 569, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 327, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 412, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 770, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1224, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 72, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 856, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 866, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1014, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 19, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 81, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 82, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 411, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 663, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 892, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 979, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 305, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 401, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 502, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Как найти периметр разных фигур.

Периметр и площадь прямоугольника

При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .

В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.

Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера — 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.

S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре — бесконечное количество.

Замечание для любознательных . В случае с прямоугольником, у которого задан периметр, максимальную площадь будет иметь квадрат.

Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга

и возможно решение.

В этом уроке:

Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Периметр прямоугольника равен 32 сантиметрам, а сумма площадей квадратов, построенных на каждой из его сторон — 260 квадратных сантиметров. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.

2(x+y)=32
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, четыре) будет равна
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16×252=64
x 1 =9
x 2 =7
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=16 (см. выше) при x=9, то y=7 и наоборот, если x=7, то y=9
Ответ : Стороны прямоугольника равны 7 и 9 сантиметров

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.

Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой — 3х.

Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?

Решение .
Площадь прямоугольника равна
S = ab

В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S 2 = 1,25ab

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1. 25
S 2 = 1,25ab / 1.25

Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 — 0,8) * 100% = 20%

Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.

В следующих тестовых заданиях требуется найти периметр фигуры, изображенной на рисунке.

Найти периметр фигуры можно разными способами. Можно преобразовать исходную фигуру таким образом, чтобы периметр новой фигуры можно было бы легко вычислить (например, перейти к прямоугольнику).

Другой вариант решения — искать периметр фигуры непосредственно (как сумму длин всех её сторон). Но в этом случае нельзя полагаться только на рисунок, а находить длины отрезков, исходя из данных задачи.

Хочу предупредить: в одном из заданий среди предложенных вариантов ответов я не нашла того, который получился у меня.

C) .

Перенесем стороны маленьких прямоугольников с внутренней области во внешнюю. В результате большой прямоугольник замкнулся. Формула для нахождения периметра прямоугольника

В данном случае, a=9a, b=3a+a=4a. Таким образом, P=2(9a+4a)=26a. К периметру большого прямоугольника прибавляем сумму длин четырех отрезков, каждый из которых равен 3a. В итоге, P=26a+4∙3a=38a .

C) .

После переноса внутренних сторон маленьких прямоугольников во внешнюю область, получаем большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(10x+6x)=32x, и четыре отрезка, два — диной по x, два — по 2x.

Итого, P=32x+2∙2x+2∙x=38x .

?) .

Перенесем 6 горизонтальных «ступенек» из внутренней части во внешнюю. Периметр полученного большого прямоугольника равен P=2(6y+8y)=28y. Осталось найти сумму длин отрезков внутри прямоугольника 4y+6∙y=10y. Таким образом, периметр фигуры равен P=28y+10y=38y .

D) .

Перенесем вертикальные отрезки из внутренней области фигуры влево, во внешнюю область. Чтобы получить большой прямоугольник, перенесём одни из отрезков длиной 4x в нижний левый угол.

Периметр исходной фигуры найдём как сумму периметра этого большого прямоугольника и длин оставшихся внутри трёх отрезков P=2(10x+8x)+6x+4x+2x=48x .

E) .

Перенеся внутренние стороны маленьких прямоугольников во внешнюю область, получим большой квадрат. Его периметр равен P=4∙10x=40x. Чтобы получить периметр исходной фигуры, нужно у периметру квадрата прибавить сумму длин восьми отрезков, каждый длиной 3x. Итого, P=40x+8∙3x=64x .

B) .

Перенесём все горизонтальные «ступеньки» и вертикальные верхние отрезки во внешнюю область. Периметр полученного прямоугольника равен P=2(7y+4y)=22y. Чтобы найти периметр исходной фигуры, нужно к периметру прямоугольника прибавить сумму длин четырех отрезков, каждый длиной y: P=22y+4∙y=26y .

D) .

Перенесем из внутренней области во внешнюю все горизонтальные линии и передвинем две вертикальные внешние линии в левом и правом углах, соответственно, на z левее и правее. В результате получим большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(11z+3z)=28z.

Периметр исходной фигуры равен сумме периметра большого прямоугольника и длин шести отрезков по z: P=28z+6∙z=34z .

B) .

Решение полностью аналогично решению предыдущего примера. После преобразования фигуры находим периметр большого прямоугольника:

P=2(5z+3z)=16z. К периметру прямоугольника прибавляем сумму длин оставшихся шести отрезков, каждый из которых равен z: P=16z+6∙z=22z .

Геометрия, если не ошибаюсь, в мое время изучалась с пятого класса и периметр был и есть одним из ключевых понятий. Итак, периметр — это сумма длин всех сторон (обозначается латинской литерой P) . Вообще, трактуют данный термин по разному, например,

общая длина границы фигуры,
длина всех ее сторон,
сумма длин ее граней,
длина ограничивающей фигуру линии,
сумма всех длин сторон многоугольника

Для различных фигур существуют свои формулы определения периметра. Чтобы понять сам смысл, предлагаю самостоятельно вывести несколько несложных формул:

для квадрата,
для прямоугольника,
для параллелограмма,
для куба,
для параллелепипеда

Периметр квадрата

Для примера возьмем самое простое — периметр квадрата.

Все стороны квадрата равны. Пусть одна сторона носит название «a» (также, как и остальные три), тогда

P = a + a + a + a

или более компактная запись

Периметр прямоугольника

Усложним задачу и возьмем прямоугольник. В данном случае уже нельзя сказать, что все стороны равны, поэтому пусть длины сторон прямоугольника будут равны a и b.

Тогда формула будет иметь следующий вид:

P = a + b + a + b

Периметр параллелограмма

Аналогичная ситуация будет и с параллелограммом (см. периметр прямоугольника)

Периметр куба

Что же делать, если мы имеем дело с объемной фигурой? Например, возьмем куб. Куб имеет 12 сторон и все они равны. Соответственно, периметр куба можно вычислить следующим образом:

Периметр параллелепипеда

Ну, и для закрепления материала вычислим периметр параллелепипеда. Тут необходимо немного поразмышлять. Давайте делать это вместе. Как мы знаем, прямоугольный параллелепипед представляет собой фигуру, сторонами которой являются прямоугольники. У каждого параллелепипеда есть два основания. Возьмем одно из оснований и посмотрим на его стороны — они имеют длину a и b. Соответственно, периметр основания есть P = 2a + 2b. Тогда периметр двух оснований есть

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Но ведь у нас есть еще и сторона «c». Значит формула для вычисления периметра параллелепипеда будет иметь следующий вид:

P = 4a + 4b + 4c

Как видно из примеров выше, всё, что необходимо сделать для определения периметра фигуры — найти длину каждой из сторон, а затем их сложить.

В заключение хочется отметить, что не всякая фигура имеет периметр. К примеру, у шара периметра нет.

Как вычислять периметр?

Нам частенько приходилось слышать от учителей: «Занимайтесь прилежно, знания очень пригодятся вам в жизни», и, действительно, такое случается. Например, когда мы беремся за ремонт, нам совершенно необходимо знать, как рассчитать периметр той или иной фигуры, чтобы определить требуемое количество строительного материала. В этой статье для тех, кто забыл школьный курс, расскажем о том, как вычислять периметр различных фигур.

Что такое периметр?

Периметр — это длина линии, очерчивающей геометрическую фигуру; длина всех сторон плоской фигуры. Таким образом, чтобы найти периметр фигуры, достаточно измерить длину каждой стороны и сложить все результаты. Однако иногда можно сделать расчет более простым способом с помощью специальных формул. Далее разберем способы нахождения периметра различных фигур с помощью обоих методов.

Периметр треугольника

Перед тем как вычислить периметр треугольника, необходимо измерить длину каждой стороны. После этого просто сложите их — это и будет периметр.

Однако если мы имеем дело с равнобедренным треугольником, можно измерить одну из равных сторон и умножить полученное значение на два, а затем прибавить к нему длину основания.

Для вычисления периметра равностороннего треугольника, достаточно и вовсе померить только одну сторону и умножить полученное значение на три.

Периметр четырехугольника

Разберем в данном разделе, как вычислить периметр квадрата, ромба, прямоугольника, параллелепипеда и трапеции.

Квадрат и ромб

Как известно, у квадрата четыре стороны и все они равны, а значит, для вычисления периметра квадрата необходимо померить одну из его сторон, а затем умножить полученное значение на 4. Собственно говоря, точно так же находится периметр ромба, потому как у ромба все стороны равны.

Прямоугольник и параллелограмм

У прямоугольника стороны равны попарно, таким образом, для вычисления периметра, потребуется померить большую и меньшую сторону, каждое из полученных значений умножить на два и сложить получившиеся значения. Аналогично находится периметр параллелограмма.

Трапеция

Еще один тип четырехугольника — трапеция. У этой фигуры, как правило, все стороны разной длины, а потому для нахождения периметра придется измерить каждую сторону и сложить их. Однако трапеция может быть равнобедренной. В таком случае для расчета периметра можно воспользоваться следующей формулой: P = a+b+2c, где c — длина одной из равных сторон.

Существует, кстати, еще один способ определения периметра равнобедренной трапеции — так называемый «метод средней линии». Сначала нужно провести эту самую среднюю линию (она проводится через две точки — середины равных сторон), затем надо измерить ее, умножить полученное значение на два и прибавить две длины равных сторон.

Периметр многоугольника

Для нахождения периметра многоугольника, как правило, действует правило — измерь все стороны и сложи их. Однако некоторые частные случаи позволяют более просто справиться с задачей. Например, если перед вами так называемый правильный шестиугольник, его периметр можно посчитать, умножив длину стороны на 6.

Для расчета периметра круга или, как говорят чаще, длины окружности, существует специальная формула: P=2πr, где π — постоянное значение, равное 3,14; r — радиус окружности. Формула также может выглядеть так: P=πd, где d- диаметр окружности.

Кстати, фактически π — это отношение длины окружности к ее диаметру. Доказано, что это значение для всех окружностей одинаково и равно 3,14.

Нарисуйте плоскость координат с осями X и Y. На плоскость координат нужно нанести точки с заданными координатами. Чтобы нарисовать плоскость координат, возьмите бумагу в клетку или с помощью линейки нарисуйте сетку на чистом листе бумаги. Теперь нарисуйте горизонтальную прямую (ось Х) и перпендикулярно ей посередине проведите вертикальную прямую (ось Y). Точку пересечения двух прямых пометьте как «0».

Когда будете наносить координатные метки, цифры над и справа «0» будут положительными, а цифры под и слева «0» будут отрицательными.

Запомните: первое число в паре координат (координата «х») откладывается по оси Х, а второе число (координата «y») — по оси Y. {2}}}}

Упростите уравнение и получите .

Вычислите: d = 25 {\displaystyle d={\sqrt {25}}} = 5. Следовательно, длина стороны равна 5 единиц.

Сложите длины всех сторон многоугольника, чтобы найти его периметр. Периметр многоугольника равен сумме всех его сторон. Когда вы вычислите значения каждой стороны многоугольника по данным координатам точек его вершин, просто сложите эти значения.

Например, если на координатной плоскости вы построили треугольник и вычислили, что его стороны равны 3, 2 и 5, сложите эти числа, чтобы получить 10. Таким образом, периметр треугольника равен 10 единиц.

Как найти площадь зная периметр квадрата, прямоугольника, многоугольника, треугольника

Затеяв ремонт, необходимо в первую очередь иметь план действий и рассчитать свой бюджет. Только при грамотной планировке можно добиться качественной работы в короткие сроки. Если вы собираетесь сделать ремонт своего потолка, то необходимо сделать необходимые замеры. Зная площадь потолка можно примерно рассчитать, сколько материалов нужно будет купить и сколько будет стоимость услуги мастеров, если собираетесь обратиться к ним. Но площадь прямоугольника – это еще не все. Иногда бывает так, что нужно знать периметр прямоугольника . встает вопрос можно ли узнать периметр, зная при этом площадь? Рассмотрим этот вопрос повнимательнее, и постараемся найти периметр прямоугольника.

Данные необходимые для того чтобы найти периметр

Сумма всех сторон прямоугольника называется периметром – это еще мы уяснили из курса арифметики начальных классов. Как видно из условия необходимо знать длину сторон. Площадь же – результат умножения двух сторон, в этом случае так же необходимо знать длину сторон. И в первом и во втором случае обязательным условием является знание длин сторон А и В.

Как же через показатель площади найти у прямоугольника периметр? Тут может быть два варианта: первый, если наш прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат, а второй, если длина сторон разная.

При условии, что потолок квадратный то найти периметр очень просто. Зная формулу нахождения площади квадрата, можно выяснить найти длину всех сторон, ведь они у квадрата одинаковые.

Площадь = длина стороны во второй степени. Чтобы найти длину стороны нам нужно переделать данную формулу следующим образом:
Длина стороны = корень квадратный от площади
Так длина стороны при площади 4 квадратных метров, будет 2 метра, а при 16 квадратных метров 4 метра.
Периметр = длина квадрата умноженная на 4. При длине стороны 2 метра, то периметр будет 8 метров. Тут все просто.

Довольно простой способ, который позволит посчитать периметр квадратного потолка. Квадратный потолок будет отличаться тем что, при большом показателе периметра будет относительно не большие площади. Однако квадратные потолки – это довольно редкий случай. Как правило, такие помещения не очень смотрятся, поэтому наиболее распространенные являются прямоугольные потолки.

Можно ли также найти периметр не квадратного прямоугольника?

Данный способ для прямоугольника с разными сторонами не подходит. Ведь вариантов разности сторон может быть до бесконечности много. И тут для определения периметра обязательным условием является знание хотя бы одной из сторон и площади.

Площадь = длина первой стороны умножается на длину второй стороны

Исходя из этой формулы, зная площадь найти две неизвестные стороны прямоугольника невозможно, но возможно выяснить длину одной стороны, если есть длина первой. Так если площадь прямоугольника 10 квадратных метров, а длина одной из сторон 2 метра, то можно посчитать

10 = 2 умножить на длину неизвестной стороны, следовательно, неизвестная сторона = 10 разделить на 2. Получаем ответ 5 метров.

Периметр = ( 5 + 2 ) * 2. Периметр такого прямоугольника будет 14 метров.

Таким образом, с подсчетом не возникнет проблем, если вы хорошо учили арифметику. Однако для того чтобы упростить себе жизнь, можно обратиться в фирмы по ремонту квартир. Мастера подобных организаций берут на себя весь процесс расчетов и монтажных работ, вам только необходимо будет подписать с ними соответствующие документы и все. Использование подобных услуг – это очень простой способ решения нудной проблемы ремонта потолков. Вы получаете компетентную помощь от высококвалифицированной бригады мастеров, которые имеют большой опыт работы. А подписывая с ними контракт, вы страхуете себя от ненужных проблем, которые порою бывают из-за недопонимания. Договоры о сотрудничестве содержат все нюансы работы, и выполняются в соответствии с законом.

При планировании бюджета на ремонт потолка, после проведенных расчетов необходимо закупить расходные материалы. Рекомендуется покупать немного больше требуемого объема материалов, так как бывают случаи с неожиданным результатом. Так хорошо будет брать запас в 15 процентов – это оптимальный объем. Но еще более приемлемым будет заказать ремонт потолков под ключ, ведь в этом случае нет надобности беспокоиться о закупках. Мастера сами предложат выбрать материалы для ремонта, после того как выбор был сделан они привезут и сделают ремонт. Как правило, у них налажена система логистики, поэтому с доставкой не возникает проблем. Если вы цените свое время и нервы, рекомендуется обратиться к подобным компаниям по ремонту потолков под ключ. Вы получите качественный сервис в короткие сроки, и ваш потолок будет радовать вас как никогда прежде. В любом случае решение остается за вами!

Как подготовить ребенка к переводу в лицей

Олеся Сидорова

подготовила сына к гимназии

Профиль автора

У моего сына неплохие математические способности. В какой-то момент ему стало скучно в обычной школе, и мы с мужем решили перевести его в профильную.

Наша семья живет в Петербурге, где много рейтинговых школ, в том числе лицей № 344. Туда и попал сын, но пришлось приложить много усилий, чтобы сдать вступительные тесты по русскому и математике.

Отчасти мне повезло: я работаю в школе, веду кружок по олимпиадной математике и занимаюсь репетиторством, поэтому понимала слабые места в подготовке сына. Но для лицея я с ним не занималась, а записала на специальные подготовительные курсы. Хотя это не единственный вариант.

В статье расскажу, как мы готовились к поступлению и почему отложили его на несколько лет: перевестись решили в 2019 году, а поменяли школу только в 2022.

Лицей № 344. Источник: «Яндекс»

Почему мы решили перевести сына в лицей и как это сделать

Как я говорила, у сына хорошие математические способности. Он любит головоломки, с азартом занимается олимпиадной математикой. В шесть лет он решал примеры на умножение и деление — в школе эти арифметические операции проходят во втором классе, а зачет на знание таблицы умножения сдают в конце третьего. Во втором классе сын решал задачи через систему уравнений, выражая неизвестную величину с помощью Х, — эту тему проходят в шестом классе.

Я не считаю, что такие результаты — проявление только природного таланта. У меня смышленый ребенок, но без регулярных занятий способности могли бы не проявиться. Большую роль в успехах сына сыграл шахматный кружок. Сын ходил туда с пяти лет и до третьего класса.

/what-is-the-difference/

«Социализация везде отличная»: моя дочь училась в частной, государственной и онлайн-школе

Кроме того, я сама занималась с сыном математикой с шести лет. Два года подряд я покупала подписку в заочной школе олимпиадной математики «Фрактал» за 3000 Р в месяц. Раз в неделю получала письмо с десятью задачами и разбором упражнений за предыдущую неделю. У «Фрактала» интересные нетривиальные задачи, я сама решала их с интересом. Кое-что даже взяла себе в копилку и даю ученикам на кружке олимпиадной математики.

В 2020 году я нашла бесплатный аналог этой рассылки на сайте Санкт-Петербургской математической олимпиады начальной школы. Эти олимпиады проходят в очном формате каждый год с дифференциацией по году обучения. То есть для каждого класса — с первого по четвертый — организаторы формируют свои задания, а задачи предыдущих лет публикуют на сайте. Я скачивала примеры и прорешивала их с сыном.

У нас не получалось заниматься в рабочие дни, и мы учились вместе час в неделю по выходным. Но этого хватило, чтобы обогнать школьную программу года на два. Когда сын пошел в первый класс общеобразовательной школы, на уроках математики ему было скучно. Я не виню в этом учительницу. Проблема не в том, что она не может увлечь его на уроках, а в том, что общеобразовательная школа не рассчитана давать детям знания выше стандарта, предписанного Министерством просвещения.

Я сама веду математику в школе, вижу на уроках талантливых учеников. Они схватывают суть решения с первого раза, а потом скучают, пока я объясняю его остальным по несколько раз. Я не могу дать одаренным детям столько знаний, сколько они могли бы усвоить: приходится следить за тем, чтобы все поняли хотя бы минимум, который требует программа. Поэтому учителя в общеобразовательной школе по объективным причинам ориентируются на средний уровень способностей учеников.

Например, в шестом классе я объясняю тему «арифметические действия с дробями». Программа выделяет на нее 38 академических часов. Одаренные ребята понимают принципы работы с дробями за 10 уроков. Им бы в оставшееся время решать задачи и примеры с постепенным усложнением материала. Но вместо этого мы еще 28 уроков продолжаем отрабатывать действия с дробями на базовом уровне, чтобы другие ученики научились выполнять их без ошибок.

Я видела, что сыну нужны занятия уровнем выше, поэтому начала искать дополнительные возможности для обучения. Мы с мужем рассматривали такие варианты:

заниматься математикой дома в выходные самостоятельно;
пойти на курсы;
нанять репетитора;
перейти на домашнее обучение и пройти школьную программу по математике с опережением;
перейти в физико-математический лицей.

Заниматься с сыном самостоятельно в выходные мне было все сложнее, ведь я заранее готовилась к нашим урокам. В первом классе тратила на это полчаса: внимательно читала задание и уже понимала, как его решить. К пятому классу подготовка занимала около полутора часов. Предполагаю, что дальше время бы только увеличивалось. К тому же в выходные хочется отдохнуть, а не сидеть лишний час за уроками. Я бы с радостью переложила обязанность заниматься с сыном на кого-нибудь другого. Поэтому только домашние занятия — слабый вариант, нужно было искать что-то еще.

Занятия с репетитором или на курсах кроме времени требуют и денег. Например, в 2022 году занятия олимпиадной математикой для учеников началки в онлайн-школе «123» стоят 33 150 Р: уроки длятся час, проходят раз в неделю. В 2019 году было дешевле — 28 800 Р.

Средняя цена урока с репетитором, по моей оценке, — 1000 Р за час. Если заниматься два раза в неделю, выходит 8000 Р в месяц, или 64 000 Р в год — если вычесть каникулы. Кроме того, после пятого класса добавляются другие точные науки: физика, информатика, химия. Мы хотели, чтобы сын развивался и в этих областях знаний. Платные занятия рассматривали как запасной вариант, если больше ничего не найдем, но надеялись обойтись без них.

/private-tutors/

«Когда есть классный вайб, есть и результат»: 4 истории о работе репетитором

Домашнее обучение тоже быстро отвергли: боялись оставить сына без общения со сверстниками. Конечно, можно общаться с ребятами вне школы, но социальная жизнь в школе интенсивнее и многограннее. Ее трудно чем-то заменить.

Вариант с переводом сына в лицей показался самым перспективным. Договорились, что переведем туда сына, если найдем подходящую школу.

Для начала собрали больше информации о физматлицеях. Мы живем в Невском районе Санкт-Петербурга, и в пешей доступности от дома есть математический лицей № 344. Я посмотрела отзывы о нем. Школа занимает 12-е место в списке 100 лучших школ Санкт-Петербурга по версии «Петербургского образования», официального образовательного сайта Правительства Санкт-Петербурга. Большинству петербуржцев он известен, потому что там регистрируют электронный дневник.

Затем на сайте Информационно-методического центра Невского района я нашла отчет по итогам работы за 2019 год. В нем в том числе указаны средние баллы ЕГЭ различных школ района. Согласно отчету средний балл ЕГЭ учеников лицея № 334 по физике — 70,34, по профильной математике — 75,16. В 2019 году в России средний балл по физике составлял 54,4, по профильной математике — 56,5.

У меня есть знакомые, дети которых учатся в этом лицее. Я узнала их впечатления: все жаловались на большой объем домашних заданий и требовательность учителей. Для меня же эти приметы служили показателем того, что учителя дают детям максимум знаний по своим предметам. Именно этого я ожидала от школы.

Словом, нас с мужем воодушевили высокие показатели лицея.

И мы решили поговорить с руководством школы по поводу перевода. Для начала я записалась на прием к директору. На момент публикации приемный день — четверг, с 16 до 19 часов. После разговора мы с мужем решили повременить с переводом по двум причинам:

Сын попал бы в переполненный класс, поскольку все места уже были заняты.
Программа начальной школы в лицее не отличается от той, что проходят в общеобразовательных школах. Дело было в 2019 году, тогда сын учился во втором классе.

Территориальный принцип описан в п. 3 ст. 67 закона «Об образовании»

Преимущества перехода в лицей появляются в пятом классе: в средней школе начинается углубленное изучение профильных предметов. Мы с мужем решили подождать и перевести сына после четвертого класса.

Лицей набирает дополнительный пятый класс ежегодно, есть 30 вакантных мест. Чтобы поступить, надо сдать тестирование по русскому языку и математике. Это самый удачный момент для перевода в лицей. Если бы сын завалил тесты, он мог бы попытать удачу через год и поступить в шестой класс. Технически тест проходит так же, но только на свободные места, оставшиеся после набора в пятый класс: новые наборы после не открывают. К примеру, в лицейском классе сына осталось шесть свободных мест, возможно, на них и будет конкурс.

Если кто-то из учеников уходит из лицея, информация о вакантных местах появляется на сайте школы. Заранее неизвестно, сколько мест для перевода будет в параллели в средней школе и будут ли они вообще. Но если они есть — обычно от двух до восьми на параллель. Чтобы претендовать на них, ребенок в любом случае должен сдать тестирование по русскому и математике.

/list/school-requirements/

6 факторов, которые влияют на поступление ребенка в престижную школу

Вступительные тесты проходят в мае. В 2022 году 12 мая дети сдавали тест по математике, 13 мая — по русскому. Максимальное количество баллов за тест — 50, минимальный проходной балл — 30. То есть конкуренция начинается тогда, когда больше 30 детей сдают оба теста на 30 и более баллов.

На сайте указано, что с теми, кто получает проходные баллы за два теста, 18 мая проводится собеседование. На него надо принести аттестат с четвертными оценками, олимпиадные грамоты и подтверждение любой внешкольной активности. Например, сгодится справка из спортивной секции о том, что ребенок там занимается. Это влияет на зачисление, если на одно место претендуют несколько учеников с одинаковыми оценками за тесты.

Как мы выяснили позже, собеседование проводится только в спорных случаях. Если все хорошо, проходить его не надо. У нас собеседования не было, об этом предупредили в письме с результатами тестов.

Мой сын сдавал экзамены раньше — в апреле, потому что занимался на подготовительных курсах при лицее. На каждую работу выделили 45 минут, сын успел решить оба теста до конца. По математике он получил 39 баллов из 50, а по русскому — 38 из 50. Чтобы поступить, надо было набрать не меньше 60 баллов за оба теста. Так мы и попали в новую школу.

/list/vse-olimpiady/

4 вида школьных олимпиад, которые помогут поступить в вуз

Моральная подготовка

Считаю, что перевод в лицей даст моему сыну лучшие шансы построить карьеру и жизнь в целом. Для меня это важное решение. Но в гонке за результатом я старалась не потерять контакт с ребенком и учесть его желания. Для этого я сформулировала три правила, которые снижают психологическое напряжение.

Право на выбор. Определившись с переводом, мы с мужем обсудили с сыном, готов ли он переходить в новую школу. Проговорили все недостатки лицея: домашних заданий прибавится, станет сложнее учиться, придется раньше вставать, потому что школа далеко от дома. Но ребенок сказал, что готов попробовать, если будет интересно.

/resilience/

Как повысить стрессоустойчивость: 5 советов

Право отказаться в любой момент. Он мог отказаться от учебы в лицее до и во время экзаменов и может изменить мнение в течение учебы. Это нормально — попробовать и отказаться. Если у сына не будет страха ошибиться, он не будет переживать из-за неудач.

Право на отдых. Я слежу, чтобы у сына было время на игры с друзьями и свои занятия. Ради этого мы отказались от шахмат, хотя у сына уже был взрослый разряд. Лицей — это не самоцель, а только часть общей картины. В центре ее — ребенок и его отношения с нами.

Отличия лицейской программы от общеобразовательной

С первого по четвертый класс в лицее занимаются по программе «Школа России». Эта же программа используется в большинстве российских школ. Поэтому мы и решили повременить с переводом в лицей в начальной школе.

В средних классах появляется разрыв в уровне подготовки между общеобразовательной школой и лицеем. Чем старше класс, тем больше разрыв. Например, в седьмом классе лицея проходят систему линейных уравнений. В школе, где работаю я, эту тему проходят в восьмом классе. Но важно даже не опережение темпов стандартной школьной программы, а то, что в лицее выделяют больше часов на профильные предметы.

/list/first-time-huh/

6 проблем, которые осложняют жизнь первоклассникам

Показательный пример с преподаванием физики. В общеобразовательной школе этот предмет появляется в седьмом классе, на него выделено 70 академических часов в год, это два урока в неделю. В лицее уже в шестом классе появляется предмет «введение в физику», и выделяют на него 102 академических часа в год, то есть три урока в неделю. В седьмом классе и далее на физику продолжают выделять столько же уроков.

За 32 дополнительных академических часа в год можно пройти одну большую тему. Например, в седьмом классе лицея на изучение темы «энергия» выделяют 19 часов, а на тему «давление твердых тел, жидкостей и газов» — 24 часа.

Это же время позволяет учителю углубиться в изучении предмета от базового до олимпиадного уровня. Даже если в лицее будут преподавать те же темы, что и в общеобразовательной школе, благодаря дополнительным часам ученики изучат их на другом уровне.

/unusual-schools/

«Оценки не ставят вообще»: 3 школы с нестандартным подходом к образованию

Встретившись с директором, я решила выяснить, какого уровня подготовки руководство ожидает от поступающих четвероклассников и хватит ли сыну школьных знаний, чтобы сдать вступительные тесты. Для этого я нашла раздел о вступительных экзаменах на сайте лицея и скачала образец вступительного теста по математике для поступающих в пятый класс.

Просмотрев лицейский тест, я убедилась, что он требует хорошей подготовки: нужно не просто хорошо знать определения математических понятий, но и понимать их смысл; не только выполнять арифметические действия без ошибок, но и делать все быстро и с большими числами. Это значит, что ребенок может получать пятерки в школе по математике, но завалить вступительный тест в лицей. Чтобы поступить, нужно дополнительно заниматься.

Для наглядности сравню пару заданий из лицейского теста и задачки из итоговой контрольной для четвертого класса по программе «Школа России».

Сравнивать буду по сборнику «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль. Четвертый класс»

Задачи на арифметические действия. Тут ребята складывают, вычитают, умножают, делят натуральные числа, определяют порядок арифметических действий в примере, ориентируются в способах упрощения вычислений.

Вот такой пример предлагают в «Школе России»:

Найди значение выражения 347 × 8 − (718 + 86) / 2.

А такой — в лицее № 344:

Найди значение выражения 351 + 3 × (14 497 − 3649) / 24 − 28 × 47.

Можно подумать, что разница между четырьмя и шестью действиями в примерах невелика. На практике для десятилетнего ребенка сложно удерживать внимание при вычислении ответа, если используются даже трехзначные числа. А в примере из лицейского теста есть и пятизначное число.

Два дополнительных действия повышают вероятность ошибки в вычислениях. Если я дам пример из теста лицея пятиклассникам, половина решит с ошибками. Чтобы ребенок легко справился с заданием из лицейского теста, нужно решать много примеров и довести этот навык до автоматизма.

В обеих задачах ниже надо преобразовать условие в уравнение и решить его. Но задача лицея дополнительно проверяет на знание определений разности, произведения, трехзначного числа и однозначного числа. Его можно решить на основе школьной программы, если хорошо знать все определения арифметических выражений.

Задача из «Школы России»:

В школьной секции художественной гимнастики занимается 24 человека, айкидо — в два раза больше, легкой атлетики — столько же, сколько в секции айкидо. Сколько всего человек занимается в школьных спортивных секциях?

Такую давали в лицее:

Неизвестное число уменьшили на 243. Полученную разность увеличили в пять раз. В результате получили число, равное удвоенному произведению наименьшего трехзначного числа и наибольшего однозначного числа. Найдите это число.

В тесте из сборника «Школы России» больше нет заданий на арифметические действия, тогда как в тесте для лицея появляется еще одна:

Коля и Вова делили одно и то же число. Коля делил на 14, а Вова — на 16. Коля не ошибся, он получил результат 578 (остаток 4). Какой результат должен получить Вова, если не допустит ошибки в вычислении?

Для решения ребенок уже умеет делить с остатком и составлять систему уравнений. Решение задач через систему уравнений с одним неизвестным мы проходим в пятом классе. Это тот случай, когда задание из теста лицея выходит за рамки школьной программы.

Геометрические фигуры. Надо строить фигуры по заданным параметрам, находить площадь и периметр прямоугольника и квадрата. Приведу примеры.

Такой был в «Школе России»:

Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и 1 дм. Вычисли площадь и периметр этого прямоугольника.

Задача лицея предполагает цепочку вычислений длиннее:

Начерти прямоугольник со сторонами 8 и 6 см и квадрат, площадь которого составляет треть площади прямоугольника. Найди периметр квадрата.

Задача контрольной «Школы России» проверяет, знает ли ребенок определение прямоугольника, формулы площади и периметра. Чтобы справиться с лицейской задачей, надо не просто знать определение квадрата, но и понимать его — иначе ребенок не сможет из площади квадрата вывести длину его стороны, а без нее не вычислить периметр.

В тесте лицея есть дополнительная задача.

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 и 25 см. Паркет продается в коробках по 15 штук. Сколько таких коробок необходимо купить?

Задание требует, чтобы ребенок умел переводить квадратные метры в квадратные сантиметры, искать закономерность между количеством дощечек и площадью комнаты. Эта задача тоже выходит за рамки программы начальной школы.

/list/summer-math-school/

Летние математические лагеря для школьников

Решение логических задач. Решение логических задач не требует сложных вычислений. С их помощью проверяют способность ребенка выстраивать взаимосвязи между явлениями. На таких задачах я вычисляю ребят с развитым рациональным мышлением, которые при этом могут наделать кучу ошибок в примерах на арифметические действия из-за невнимательности. Так можно понять, ошибается ли ребенок, потому что не понимает математику или потому что ему не хватает терпения.

Вот пример из «Школы России» — здесь нужно перевернуть слово по образцу:

Задачка из общеобразовательной программы

Лицейские задачи посложнее:

В магазине купили сладости: шоколадные конфеты, карамель и мармелад. Карамели купили на 190 г меньше, чем шоколадных конфет, а мармелада — на 70 г больше, чем карамели. Сколько купили мармелада, если масса всей покупки составила 800 г?

В очереди за мороженым стоят Юра, Ира, Оля, Саша и Коля. Юра стоит впереди Иры, но после Коли. Оля и Коля не стоят рядом; Саша не находится рядом ни с Колей, ни с Юрой, ни с Олей. В каком порядке стоят ребята?

Сколько цифр понадобится для записи всех чисел от 1 до 1000?

Логические задачи хороши тем, что для их решения не нужны специальные знания. Здесь важнее нешаблонное мышление. Талантливый ребенок вполне может без особой подготовки решить все три задачи из лицейского теста. Но можно повысить вероятность удачного исхода. Существует ограниченное количество алгоритмов решения логических задач. На них тоже можно натренироваться, подойдет любой сборник олимпиадных задач по математике.

Дополнительная литература для подготовки

«Малыши и математика» А. К. Звонкина — моя книга для вдохновения. Александр Звонкин — профессиональный математик, он организовал кружок математики для дошкольников и описал этот опыт в книге. Это не инструкция, которую можно взять и повторить, а рассуждение о том, что игра и серьезные научные рассуждения могут дополнять друг друга. Перечитываю ее, чтобы не закоснеть в рамках школьной программы. Купить можно в «Лабиринте» за 599 Р.

Рабочие тетради для 1—3-х классов «Математика. Дракоша» Жени Кац и Анны Шварц — эту серию привожу для примера, но советую все материалы от Жени Кац. Рабочие тетради подходят, чтобы подготовить ребенка к школе или подтянуть по математике в начальных классах. Для сына тетрадка его возрастной категории показалась скучной. Мы занимались по тетради для детей на год старше. Тетрадь за первый класс есть в «Лабиринте» за 120 Р.

Научно-математический журнал «М-123» от Центра олимпиадной математики, физики и программирования «Раз-два-три» — если ребенок увлекается математикой, рекомендую почитать. Он рассчитан на начальную школу, то есть на детей 7—11 лет. В каждом номере есть олимпиадные задачки вперемежку с математическими играми и историей математики. Я сама расширяю кругозор, когда читаю журнал с сыном. Распространяется бесплатно, через группу во «Вконтакте», есть архив на «Гугл-диске».

Подготовительные курсы

Я могла бы сама подтянуть сына по математике, но боялась, что он завалит тест по русскому языку. Поэтому начала искать дополнительные занятия по предметам.

Есть коммерческие курсы, которые готовят детей к поступлению в физико-математические лицеи. Я знакома с программами от «Фрактала» и Центра олимпиадной математики, физики и программирования «Раз-два-три». Их ученики поступают в сильнейшие школы города, но соотношения между поступившими и непоступившими я не знаю.

Лицей № 344 организует платные подготовительные курсы для четвероклассников по русскому языку и математике, я нашла информацию на сайте школы. Мы с мужем выбрали именно их: программа адаптирована под вступительные тесты. Так мы были уверены, что готовим ребенка именно по стандартам лицея. Курсы проходили по субботам, в тот день, когда мы обычно занимались с сыном, поэтому я сама с ним не занималась.

Записаться на курсы можно было с 20 сентября. Занятия начались в ноябре, закончились в конце апреля, проходили раз в неделю по субботам. Дети занимались 45 минут русским языком и 90 минут — математикой.

2500 Р

стоил месяц занятий в лицее

После каждого урока выдавали распечатки с домашними заданиями. Учителя их проверяли и ставили оценки. Оценки ни на что не влияли, но показывали, в каких заданиях у сына проблемы. По русскому задавали 5—10 заданий на неделю. По математике — 10—15. Сын разбивал домашнее задание на пять дней, занимался по 30 минут. То есть на всю домашку уходило примерно два с половиной часа.

Домашнее задание по русскому языку — такие распечатки выдавали на курсах Домашнее задание по математике, тоже с курсов

Темы, которые разбирали на курсах, в основном совпадали со школьной программой, но уровень сложности был выше. Если по математике проходили примеры на умножение, то с пятизначными числами. Если уравнения, то обязательно со скобками. В каждом домашнем задании были задачи на логику.

По русскому языку делали упор на разные виды разборов: синтаксический, морфологический, фонетический. Мне трудно оценить, насколько задания с курсов по предмету сложнее в сравнении со школьными. Могу только заметить, что в школе у сына уверенная пятерка по русскому языку, а на курсах средняя оценка за домашние задания была между тройкой и четверкой. После каждой пройденной темы проводили контрольную. Это тоже помогало оценить, как ребенок усвоил тему. Я довольна подготовительными курсами.

Если не пропускать занятия и делать все домашние задания, их достаточно, чтобы подготовиться к поступлению.

Дети, которые занимаются на курсах, получили шанс поступить досрочно. Они сдали вступительные тесты в апреле: 16-го — по русскому, 22-го — по математике. Если завалить тесты в апреле, можно попробовать сдать еще раз в мае, с основным потоком.

У подготовительных занятий есть еще одно преимущество: до перехода в гимназию можно оценить, насколько тяжело ребенку будет в новой школе. В нашем потоке на курсы ходило 15 человек, но состав участников с осени до весны поменялся наполовину. Кто-то пришел позже, а кто-то ушел после месяца занятий. Четырех уроков было достаточно, чтобы понять, что ребенку сложно или скучно, — значит, будет тяжело в школе.

Для тех, кто ушел, занятия сэкономили время и силы. Поступить, а потом переводиться в другую школу было бы сложнее. Советую походить на подготовительные курсы всем, кто не уверен в своем решении переводить ребенка в лицей. Мой сын спокойно справлялся с нагрузкой на курсах. На математике даже было интересно, когда проходили нестандартные задачи. Русский язык он скорее терпел, но не капризничал.

6 неочевидных ресурсов для подготовки к ЕГЭ по русскому и литературе

Последний плюс курсов — знакомство с потенциальными одноклассниками. Ребята на курсах перезнакомились, с кем-то сын уже подружился. В сентябре он встретил приятелей в классе.

Первые впечатления

С первой недели учебы мы ощутили, что слова про большой объем домашних заданий — правда. Задают много и без раскачки, большая часть заданий — со звездочкой, повышенной сложности. Уже сейчас сын спрашивает меня, как решить тот или иной пример из домашней работы. Раньше, в общеобразовательной школе, он решал все сам.

Очень порадовало, что в школе много бесплатных кружков — от математики до английского, некоторые работают уже 20—30 лет. Есть даже кружок по подготовке к Национальной технологической олимпиаде, НТО, это инженерные игры для школьников и студентов. Лицей выставляет свою команду на соревнование каждый год.

В классе учится 25 человек — значит, лицей не набрал 30 учеников, как ожидалось. Мы зря боялись конкуренции за место. В целом я рада, что перевела сына. Вижу, что школа хочет дать детям качественное образование, но взамен требует ответственного отношения к учебе — и от детей, и от родителей. Отдать ребенка в школу и забыть о его занятиях — это не про лицей.

/forced-learning/

«Нарыдалась и натерпелась»: 5 испытаний кружками, которые пришлось пройти в детстве

Еще раз подчеркну несколько важных вещей:

Подготовка к лицею — стресс для ребенка, поэтому у него должна быть возможность без страха бросить все в любой момент.
В теории к поступлению в профильную школу можно подготовиться самостоятельно, но лучше посмотреть на курсы при учебном заведении — так программа подготовки точно будет соответствовать вступительным тестам.
Сравните программы для началки в общеобразовательной школе и лицее — возможно, они одинаковые, тогда переводиться нет смысла, лучше подождать.
Не получится подготовить ребенка к поступлению и расслабиться. Нацеливайтесь на серьезную работу на годы вперед. Если вам тяжело готовиться к поступлению в лицей, скорее всего, будет тяжело и после перевода. Постарайтесь заранее оценить свои силы.

Общие советы по подготовке

Одновременно с тем, как занимался сын, я вела уроки с девочкой, которая собиралась перейти в восьмой класс лицея № 344. Ее родители наняли меня, потому что при школе нет подготовительных курсов для поступающих после пятого класса. Если бы у лицея не было курсов для четвертого класса, я бы готовила сына к поступлению по той же схеме.

Девочка в итоге не пошла лицей: поняла, что не сумеет совмещать учебу со спортивной секцией по гимнастике. Решила, что спорт важнее.

Сбор информации о темах, которые будут на вступительных экзаменах. На сайте школы я нашла раздел о переводе в среднюю школу. Там есть примеры вступительных заданий по математике. Мне повезло: в пояснении к тесту есть список тем, которые будут на вступительном экзамене. Этот список стал нашим учебным планом занятий. Если бы его не было, я бы пошла в раздел рабочих программ. Он есть на сайте любой школы.

В разделе рабочих программ можно посмотреть список тем, которые дети проходят по каждому предмету с первого по одиннадцатый класс. Мы готовились к поступлению в восьмой класс, и меня интересовала программа по математике за седьмой класс. В ней кроме списка тем есть пояснение, какие навыки должны быть у учеников после прохождения темы.

/pre-university/

«В итоге я неплохо сдал ЕГЭ и поступил в Вышку»: 3 истории об учебе в предуниверсариях

Выбор учебных пособий. В разделе рабочих программ надо найти, по каким учебникам в лицее проходят математику. Важно заниматься именно по конкретному пособию, потому что учебные программы могут сильно различаться по степени погружения в тему.

Кроме учебника и рабочей тетради нужны материалы для учителя — подходящие источники тоже есть в рабочих программах. Меня интересовали:

Методическое пособие для учителя с примерным планом занятий по теме и комментариями к заданиям, оно служило мне базой для подготовки к уроку. Пособие по алгебре Феоктистова, к примеру, на «Лабиринте» стоит 460 Р.
Дидактические материалы — сборник контрольных работ и заданий для работы на уроке, благодаря им я могла не искать задачи и примеры для каждой темы. Дидактические материалы под авторством Звавича можно купить за 285 Р.

Проверка знаний ребенка. Перед разбором конкретных тем по математике я оценила общий уровень подготовки ученицы. Для этого взяла итоговую контрольную из сборника контрольных работ к учебнику, по которому мы впоследствии будем заниматься. На проверочную работу дала 45 минут, ребенку не помогала и не подсказывала. Мне было важно увидеть, как ученица справится с контрольной работой в полевых условиях.

На контрольной и после нее я установила, как быстро ученица решает задания, какие темы не знает или плохо понимает, как быстро вычисляет в уме и насколько она внимательна. Так я поняла, сколько занятий нужно, чтобы подготовиться к тесту по математике, на что делать упор.

Закрытие пробелов. Дальше мы проходили все темы из учебного плана, даже те, с которыми не было проблем. Если тема была новой, первую половину урока я объясняла материал, а на второй мы вместе решали задания из дидактических материалов. Если мы закрепляли тему, которую ученица уже знала, я спрашивала у нее основные правила, давала несколько заданий на проверку и проводила работу над ошибками.

В школе моя ученица получала пятерки по математике. Чтобы пройти все темы для перевода в лицей, нам понадобилось полгода занятий — два раза в неделю по часу.

Новости из мира образования, советы по карьере и учебе, вдохновляющие истории — в нашем телеграм-канале: @t_obrazovanie.

Правила нахождения периметра и площади. Как найти площадь и периметр прямоугольника

Для того, чтобы находить периметр и площадь прямоугольника, нужно знать формулы и главное — уметь применять их для решения задач — ведь они бывают разной сложности.

Очень часто при решении задач легкого уровня достаточно знать основные формулы и решить их просто подставляя нужные значения.

Если задачи посложнее и в их условии нет данных нужных для формулы, нужно их находить с помощью других алгебраических действий.

В этом случае можно навести следующий пример

нужно найти площадь прямоугольника, если его периметр равен 120 см, а стороны относятся как 2 к 3

сначала составляем уравнение , чтобы найти стороны используя при этом формулу периметра (P=2(а+b ):

2*(2х+3Х)=120 решаем его, х=12 значит стороны равны 24 см и 36 см и теперь уже подставляем значения в формулу площади S=ab и находим ее S=24*36=864 см. кв.

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины и вычисляется по формуле a*b, где а и b -стороны прямоугольника. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон и вычисляется по формуле a+b+a+b.

Нахождение площади прямоугольника — умножим длину прямоугольника на его ширину.

Нахождение периметра прямоугольника (сумма длин всех сторон) — простым сложением длин всех сторон, либо к длине продольной стороны прямоугольника, прибавляем длину поперечной и полученную сумму умножаем на два.

Если представить, что ваш огород прямоугольной формы и вам необходимо участок обложить забором, то наверное перед вами возникнет вопрос, а какой длины будет забор, чтобы правильно рассчитать расход стройматериалов. Вы сложите длины сторон забора и найдете ПЕРИМЕТР. Если зададитесь вопросом, какое количество земли нужно перекопать на этом участке, то придется искать ПЛОЩАДЬ, а для этого нужно будет перемножить длину на ширину участка, ведь как известно у прямоугольника противоположные стороны попарно равны. Не стоит забывать, что квадрат тоже прямоугольник, чтобы найти периметр квадрата, нужно длину умножить на 4, а площадь — длину стороны умножить на себя.

Вспомним школьный курс математики. Так периметр прямоугольника находится по формуле суммы двух его сторон умноженных на 2. То есть Р=2*(а+b), где а и b это стороны прямоугольника. Площадь, соответственно находится с помощью формулы S=a*b, где a и b также являются его сторонами.

Если не вдаваться в глубокие подробности, то найти площадь и периметр геометрической фигуры прямоугольник очень просто. Обозначим стороны такого прямоугольника латинскими буквами: a, b, c и d. Пусть a = c — это длина прямоугольника, а b и d — это ширина прямоугольника.

Площадь прямоугольника:

Периметр прямоугольника:

S = a + b + c + d

Периметр прямоугольника — это длины всех его сторон. Исходя из того, что у этой фигуры четыре стороны, или две пары, при этом противолежащие стороны равны друг другу, можно прийти к выводу, что уместно сложить значения двух разновеликих сторон и умножить полученное значение на два.

Площадь находится также просто: мы просто перемножаем разновеликие стороны.

Площадь вычисляется при умножении длинной стороны прямоугольника с короткой. А периметр-это (длин. сторона+ кор. сторона)*2

Можно пойти самым простым путем нахождения площади прямоугольника. А именно, умножить длину прямоугольника (как правило, это quot;aquot;) на ширину прямоугольника (как правило, это quot;Bquot;). А вот периметр ищем при помощи сложения всех сторон, или, проще говоря: 2a+2b

Прямоугольник это геометрическая фигура, а именно четырехугольник, у которого все углы прямые. Получается, что противоположные стороны равны друг другу.

Периметр прямоугольника это сумма длин всех сторон прямоугольника, либо сумма длины и ширины, умноженная на 2.

Периметр это длина всех сторон прямоугольника, то он измеряется в единицах длины: см, мм, м, дм, км.

P=AB+CD+AD+BC или P=2*(AB+AD).

Площадь измеряется квадратными единицами длины: м2, см2, дм2 и обозначается латинской буквой S.

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.

Площадь прямоугольника рассчитывается путем умножения его длины на ширину полученное произведение и будет площадь.

Периметр прямоугольника находится путем суммирования длины и ширины, полученную сумму нужно еще умножить на два, это и будет искомый периметр.

Если у прямоугольника заданы две противолежащие стороны, то все просто перемножаем их и получаем площадь, складываем и удваиваем и получаем периметр. Однако чаще в учебниках задают самый разнобой — сторону и периметр, сторону и площадь, сторону и диагональ. Как поступать в этих случаях.

Вот это идеальная задача.

Могут быть заданы сторона и диагональ. В этом случае находим вторую сторону по теореме Пифагора — как второй катет в треугольнике где гипотенуза диагональ прямоугольника.

В итоге мы имеем вот какие формулы для нахождения периметра прямоугольника:

А если по простому преобразовать эти же формулы, то получаются формулы для нахождения площади во всех вариантах задач:

Определение.

Прямоугольник — это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую — шириной прямоугольника .

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника — квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d 2 — b 2

b = √d 2 — a 2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

b = d cos	β
	2

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a 2 + b 2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S: sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b )

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

P =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d 2 — a 2 ) = 2(b + √d 2 — b 2 )

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R 2 — a 2 ) = 2(b + √4R 2 — b 2 )

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D o 2 — a 2 ) = 2(b + √D o 2 — b 2 )

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a √4R 2 — a 2 = b √4R 2 — b 2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a √D o 2 — a 2 = b √D o 2 — b 2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:

Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.

Основные понятия

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.

Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.

Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.

Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.

Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.

Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.

Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.

Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.

Формула периметра фигуры

Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:

$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.

Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .

Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.

Решение:

Используем формулу $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 см$

Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.

Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.

Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.

Урок и презентация на тему: «Периметр и площадь прямоугольника»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 3 класса
Тренажер для 3 класса «Правила и упражнения по математике»
Электронное учебное пособие для 3 класса «Математика за 10 минут»

Что такое прямоугольник и квадрат

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Значит, противоположные стороны равны друг другу.

Квадрат – это прямоугольник, у которого равны и стороны, и углы. Его называют правильным четырёхугольником.

Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D …

Пример.

Читается так: четырёхугольник ABCD; квадрат EFGH.

Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2.

Периметр обозначается латинской буквой P . Так как периметр — это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.

Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как P ABCD , где А, В, С, D — это вершины прямоугольника.

Запишем формулу периметра четырехугольника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Пример.
Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см.
Определим P ABCD .

Решение:
1. Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.
2. Напишем формулу для расчета периметра данного прямоугольника:

P ABCD = 2 * (AB + BС)

P ABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Ответ: P ABCD = 16 см.

Формула расчета периметра квадрата

У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.

P ABCD = 2 * (AB + BC)

Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:

P ABCD = 4 * AB

Пример.
Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата.

Решение.
1. Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.

2. Вспомним формулу расчета периметра квадрата:

P ABCD = 4 * AB

3. Подставим в формулу наши данные:

P ABCD = 4 * 6 см = 24 см

Ответ: P ABCD = 24 см.

Задачи на нахождение периметра прямоугольника

1. Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.

2. Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника.

3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.

Где используется расчет периметра прямоугольника?

1. Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?

В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора.

2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев.
Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.

Что такое площадь прямоугольника?

Площадь – это числовая характеристика фигуры. Площадь измеряется квадратными единицами длины: см 2 , м 2 , дм 2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.)
В вычислениях обозначается латинской буквой S .

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины АК на ширину КМ. Запишем это в виде формулы.

S AKMO = AK * KM

Пример.
Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?

S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Ответ: 14 см 2 .

Формула вычисления площади квадрата

Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя.

Пример.
В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.

S AВСО = AB * BC = AB * AB

Пример.
Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.

S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Ответ: 64 см 2 .

Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата

1.Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.

2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.

Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера — 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре — бесконечное количество.

В этом уроке:

Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.

Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Решение .
Площадь прямоугольника равна
S = ab

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25

Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 — 0,8) * 100% = 20%

Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.

Карточки с правилами периметра и территории

Пожалуйста, войдите, чтобы добавить в папки.

Войти

Вы создали 2 папки. Пожалуйста, обновитесь до Cram Premium, чтобы создавать сотни папок!

Обновление

Перемешать
Включить
Выключить
В алфавитном порядке
Включить
Выключить
Передний Первый
Включить
Выключить
Обе стороны
Включить
Выключить
Читать
Включить
Выключить

Чтение. ..

Фронт

через

Кнопка воспроизведения

Прогресс

1/12

Нажмите, чтобы перевернуть

Используйте клавиши со стрелками ВЛЕВО и ВПРАВО для перемещения между карточками;

Используйте клавиши со стрелками ВВЕРХ и ВНИЗ, чтобы перевернуть карту;

H показать подсказку;

A читает текст в речь;

Делиться
Распечатать
Экспорт
Клон

12 карт в этом наборе

Передняя часть
Спина

	Периметр любого правильного многоугольника	Р = нс
	Периметр квадрата	Р = 4с
	Периметр прямоугольника	П = 2л + 2в
	Периметр треугольника	Р = с1 + с2 + с3
	Периметр параллелограмма	П = 2л + 2Вт
	Длина окружности	C = pi x d или C = 2pi x r
	Площадь квадрата	А = с х с
	Площадь прямоугольника	А = LW
	Площадь параллелограмма	А = ВН
	Площадь треугольника	А = 1/2(ВН)
	Площадь круга	A = pi r в квадрате
	Площадь трапеции	А = 1/2(b1 + b2)ч

Площадь и периметр четырехугольников: правила

Допустим, у вас есть пустой участок в саду в форме квадрата. Вы хотите посадить клумбу из цветов Иксора на этом участке и обнести его белым частоколом. Однако вы понимаете, что вам необходимо знать две величины: площадь, ограниченную этим квадратным пятном, и площадь его граничного края. Как вы думаете, как бы вы это измерили?

Пример 1, StudySmarter Originals

На самом деле, мы можем использовать общую формулу для периметра и площади квадрата, чтобы вычислить эти измерения. Напомним, что квадрат — это тип четырехугольника, который представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами. В ходе этого обсуждения мы рассмотрим формулы периметра и площади шести типов четырехугольников, упомянутых в нашей предыдущей теме: Четырехугольники.

Резюме: Четырехугольники

Прежде чем мы начнем, давайте кратко повторим четырехугольники.

Четырехугольник представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами.

Также известен как четырехугольник или четырехугольник. Четырехугольники имеют две диагонали и сумма всех их внутренних углов равна 360 ^o . Есть шесть типов четырехугольников, с которыми нам следует ознакомиться, а именно: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб и воздушный змей. Для более подробного обсуждения характеристик этих упомянутых четырехугольников вы можете обратиться к статье: Особые четырехугольники.

Периметр четырехугольников

Мы начнем нашу тему с формулы периметра для четырехугольников. Периметр четырехугольника определяется как общая длина его границы. Другими словами, это сумма всех его сторон. Таким образом, если бы у нас был четырехугольник ABCD

Периметр четырехугольника, StudySmarter Originals

со сторонами AB, BC, CD и DA, периметр P равен

или

2

Давайте рассмотрим некоторые рабочие примеры, связанные с этим выводом.

Найдите периметр параллелограмма ниже.

Пример 2, StudySmarter Originals

Решение

Напомним, что у параллелограмма противоположные стороны одинаковой длины. Это означает, что PQ = SR и PS = QR. Таким образом, SR = 16 см и QR = 10 см.

Чтобы найти периметр данной формы, мы просто добавляем общую длину каждой стороны, как указано выше.

Таким образом, периметр этого параллелограмма равен 52 см.

Найдите длину недостающих сторон воздушного змея, если периметр равен 98 см.

Пример 3, StudySmarter Originals

Решение

Во-первых, обратите внимание, что воздушный змей имеет две пары равных смежных сторон. Это означает, что WZ = WX (и YZ = YX = 32 см).

По формуле периметра четырехугольника получаем

Теперь переставляя это, мы находим, что

Дальнейшее упрощение,

Таким образом, длина WX и WZ составляет 17 см.

Вычисление периметра четырехугольника на плоскости

Допустим, вам дан набор из четырех точек (x, y) на декартовой плоскости. Соединяя эти точки вместе с четырьмя (отдельными) отрезками, мы находим, что она образует форму некоторого четырехугольника. Затем вам предлагается найти периметр этой фигуры, используя эти координаты. Есть ли метод, который мы могли бы использовать для достижения этой цели?

Чтобы решить такую задачу, воспользуемся формулой расстояния. Это представлено ниже.

Формула расстояний

Даны две точки A(x ₁ , y ₁ ) и B(x ₂ , y ₂ ), расстояние между находится по приведенной ниже формуле.

При этом мы можем найти периметр этого четырехугольника, вычислив расстояние между этими четырьмя отрезками (образованными парой соответствующих им точек) и сложив их все вместе.

Примечание : Учитывая набор из четырех точек, вам может быть полезно начертить контур этого четырехугольника, чтобы мы могли примерно оценить тип четырехугольника, с которым мы имеем дело. Поступая таким образом, мы могли бы заметить его отличительные свойства и, таким образом, гораздо эффективнее вычислить его периметр.

Чтобы лучше понять это, давайте посмотрим на примеры ниже.

Найдите периметр прямоугольника с вершинами в точках A (1, 6), B (1, 2), C (4, 2) и D (4, 6).

Решение

Начнем с рисования этого четырехугольника на декартовой плоскости.

Пример 4, StudySmarter Originals

Поскольку у нас есть прямоугольник, AB = DC и AD = BC. Таким образом, мы можем использовать формулу расстояния для длин AB и AD.

Расстояние AB , A (1, 6) и B (1, 2)

Расстояние AD , A (1, 6) и D (4, 6)

6 AB 0 CD

Вычислите периметр четырехугольника с вершинами в точках A (–2, 8), B (0, 8), C (1, 4) и D (–1, 6).

Решение

Начнем с рисования этого четырехугольника на декартовой плоскости.

Пример 5, StudySmarter Originals

Глядя на рисунок выше, нам нужно найти расстояние AB, BC, CD и AD, чтобы вычислить периметр ABCD.

Расстояние AB , A (–2, 8) и B (0, 8)

Расстояние BC , B (0, 8) и C (1, 4)

Расстояние CD , C (1, 4) и D (-1, 6)

Расстояние AD , A (-2, 8) и D (-1, 6)

Периметр ABCD

Площадь четырехугольника

В этом сегменте нашего обсуждения мы перейдем к площади формула четырехугольников. Площадь четырехугольника описывается пространством, ограниченным его границей. Каждый из шести типов четырехугольников, о которых мы упоминали ранее, имеет свою собственную формулу площади.

Quadrilateral	Area
Square Area of a square, StudySmarter Originals
Rectangle Area of a rectangle, StudySmarter Originals
Параллелограмм Площадь параллелограмма, StudySmarter Originals
Trapezium Area of a trapezium, StudySmarter Originals
Rhombus Area of a rhombus, StudySmarter Originals
Воздушный змей Площадь воздушного змея, StudySmarter Originals

Вот несколько примеров, которые показывают, как мы можем применять эти формулы.

Рассчитайте площадь расположенного ниже ромба, учитывая, что PO = 7 см и SO = 4 см. Точка О — это точка, в которой две диагонали PR и SQ перпендикулярно делят друг друга пополам.

Пример 6, StudySmarter Originals

Решение

Помните: Нам нужны меры диагоналей PR и SQ ромба, чтобы вычислить его площадь. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам, мы получаем, что PO = OR и SO = OQ и, таким образом,

Решив это, получим

Таким образом, вертикальная диагональ PR равна 14 см, а горизонтальная диагональ SQ равна 8 см. По формуле площади ромба

Таким образом, площадь этого ромба равна 56 см ² .

Какова высота трапеции ниже, если площадь 330 см ² ?

Пример 7, StudySmarter Originals

Решение

Поскольку AB параллельна DC, основания этой трапеции равны AB = 13 см и DC = 31 см. Высота указана AD. По формуле площади трапеции получаем

Преобразовав это и упростив наше выражение, мы получим

Таким образом, высота этой трапеции AD равна 15 см.

Вычисление площади четырехугольника на плоскости

Чтобы найти площадь четырехугольника, представленного набором точек в декартовой системе координат, мы просто воспользуемся той же техникой, что и в случае периметра. Да, формула расстояния применима и здесь! Однако здесь нам нужно быть осторожными, поскольку есть некоторые формулы площади, которые включают не стороны данного четырехугольника, а скорее их высоту по диагонали или перпендикуляру; такие как параллелограмм, трапеция, ромб и воздушный змей.

Приведенные ниже примеры дадут более четкое представление об этой процедуре.

Найдите площадь воздушного змея с вершинами в A (0, 4), B (1, 2), C (0, –4) и D (–1, 2).

Решение

Начнем с рисования этого четырехугольника на декартовой плоскости.