Примеры область определения логарифмической функции примеры решения: Область определения логарифма, формула и примеры

2-я группа

1.Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log_a(1 – х) = 4

1) (62; 64)
2) (79; 81)
3) (–81; –79)
4) (–12; –10)

2. 2

Теория — Задания по математике

Определение логарифмического уравнения        Уравнение F(x) = 0 называется логарифмическим, если его левая часть F(x) образована из функций вида loga x, loga f(x) или logg(x) f(x) и констант с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения, деления).          Примеры логарифмических уравнений: 1. log2 (x – 3) = 5;   3. logx–1 9 = 2; Уравнения вида logax = b b, a > 0, a ≠ 1. Для решения уравнения применяются определение логарифма и свойства логарифмической функции y = logax. 2. lg x + lg (x + 3) = 1;   Пример. Решить уравнение log2 x = 3. Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения. Ответ: x = 8.   Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения. Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма: Применим правила действий со степенями, получим 2 х2 – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями. Ответ. х1 = –1, х2 = 2. Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе   Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно и  после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения f(x)=b1/c проверяется, принадлежат ли его корни найденной области. Пример. Решить уравнение logx–19 = 2. Решение. Данное уравнение равносильно системе Суть метода заключается в переходе от уравнения log a f(x) = log a g(x) к уравнению  f(x) =  g(x), которое обычно не равносильно исходному. На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x). Переход от уравнения logaf(x) = logag(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием. Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними. Пример. Решить уравнение log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x). Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х, х2 – х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.   Cведение уравнений к виду log af(x) = log ag(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.            Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log af(x) = log ag(x) используются следующие свойства логарифмов:   logb a + logb c = logb(ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1, logb a – logb c = logb(a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1, m logb a = logb a m,  где a > 0; b > 0, b  1; m R.            Пример 1. Решить уравнение log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3). Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств      Применяя преобразования, приходим к уравнению log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2, log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению (х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3.       Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.   Пример 2. Решить уравнение     Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство  (3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.            Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х =  –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень. Ответ. х =  –4.           Пример 3. Решить уравнение log2 (6 – x) = 2log6 x. Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х =  –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень. Ответ. х = 2.   Уравнения вида   Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.  Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:   Пример 1. Решить уравнение Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим Так как  3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.   Уравнения вида   где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа.            Пусть t = loga f(x), t  R. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0. Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.   Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lgx – 6 = 0. Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t  R.          Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3. Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3, х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0). Ответ. х = 0,01; х = 1000. Решение логарифмических неравенств Если при решении логарифмического уравнения  можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении  логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства. Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид: , где V – один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥. Если основание логарифма больше единицы (a>1 ) , то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство  равносильно системе:  Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<a<1 ), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство равносильно системе: Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств. 1. Решим  неравенство: Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе: Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля. Решим систему неравенств: Корни квадратного трехчлена: x1  = -3, x2  = 2  Отсюда:   Ответ:    №2 Найти сумму целых решений неравенства    Решение:  Основание логарифмов >1, значит подлогарифменные выражения соотносятся, как сами функции, т.е. x > 5-x,  отсюда 2x>5  и  x>2,5.  Найдем область определения. ОДЗ:     тогда           Неравенство определено на интервале  (0; 5),  решения неравенства на  (2,5; 5)  Целые решения этого неравенства: 3;  4. Сумма 7 Ответ: 7

Функции и свойства натуральных логарифмов: область определения, график

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если

, то .

Логарифм — крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что 

 означает, что:

.

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

;

;

.

Приведем основные алгебраические выражения:

;

;

;

.

[warning]Внимание!  может существовать только при x>0, x≠1, y>0.[/warning]

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

• lg x — десятичный;
• ln x — натуральный.

Используя тождество   

можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

х	у
1	0
е	1
е2≈7,34	2
	0,5
e-1≈0. 36	-1

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: 

. Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

.

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

;

;

;

;

.

Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:

;

;

;

;

;

.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

[warning]Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма 

.[/warning]

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале 

.

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.

[warning]Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к 

 (минус бесконечности). [/warning]

Предел натурального log можно записать таким образом:

Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

.

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

,

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

.

Воспользуемся свойством

 (только вместо «с» у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

.

В частности, если z=e, то тогда:

.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если

, то  , получаем:

.

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если

, то  , получаем:

.

Тогда:

.

.

Еще раз применим определение логарифма:

.

Таким образом:

.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение

.

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

.

Первый корень уравнения:

.

Второй корень уравнения:

.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

.

Используя определение логарифма: если 

, то , получаем оба корня:

.

Вспомним, что область определения:

. Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.

[warning]Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.[/warning]

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: 

, при этом s-ое простое число приблизительно будет равно  .

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

.

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится

 битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Ооф функции онлайн. Как найти область определения функции? Примеры решений. Область определения функции, в которой есть дробь

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные «сложные» функции — это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция — ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени — ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы — ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) — ограничение на аргумент.

Для тангенса:

4. Обратные тригонометрические функции.

Далее решаются следующие примеры на тему «Область определения функций».

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.

y = 2x + 3 — уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как y = 2·0 + 3 = 3 — получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10

так как y = 2·10 + 3 = 23 — функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как y = 2·(-10) + 3 = -17 — функция существует при взятом значении переменной х=-10 .

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R

Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Сделаем вывод:

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:

y = 10/(x + 5) — уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 — функция существует.

При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 — функция существует.

При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 — функция в этой точке не существует.

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.

В нашем случае:

x + 5 = 0 → x = -5 — в этой точке заданная функция не существует.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Для наглядности изобразим графически:

На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5

Формы записи ответа: D(f)=R\{-5} илиD(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x∈ R\{-5} илиx∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем — неотрицательна.

2х — 8 ≥ 0

Решим простое неравенство:

2х — 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f (x ) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения корня

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если — 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции с целым показателем степени

если a — положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если — положительное, то областью определения функции является множество 0; + ∞[ .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции — множество — ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x ) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x ) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x ) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x ) — множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x ) — так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x ) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x ) — так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4] .

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Читайте также…

• Можно ли менять свой характер, и как?
• Личность – что это такое, структура, характеристики
• Как используется принцип парето в продажах Когда используется правило 80 20
• Саморазвитие и самосовершенствование, с чего начать

Функция log, ее свойства и график.

Определение и свойства логарифмической функции

Напомним, что логарифмической называется функция вида , где , . Здесь  – независимая переменная, аргумент;  – зависимая переменная, фунция;  – основание, фиксированное число.

Рис. 1 – график логарифмической функции при  (черный) и  (красный)

Основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: , ;

2) Область значений: , ;

3) ;

4) при  функция возрастает,  при  – убывает;

Итак, под знаком логарифма может стоять только положительное число, причем любое. Сам же логарифм может принимать абсолютно любые значения. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, то есть все логарифмические кривые проходят через фиксированную точку .

Монотонность логарифмической функции

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:

Доказать, что функция  монотонно возрастает.

Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Решение простейших уравнений и неравенств

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – решить уравнение, неравенство:

а)

б)

в)

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 2 – график функции

Очевидно, что функция возрастает.

Решим уравнение:

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью; второй интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Решим аналогичную задачу.

Пример 2:

а) 

б) 

в) 

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 3 – график функции 

Очевидно, что функция убывает.

Решим уравнение: 

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью; второй интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б); в)

Оценка логарифмических констант

Важной типовой задачей является оценка логарифмических констант.

Пример 3 – оценить числа:

а) ;

а) ;

Рассмотрим логарифмическую функцию с основнаием 2:

Рис. 4 – график функции

При  функция равна нулю. Покажем некоторые степени двойки. Например,  (первая степень), при этом ;  (вторая степень), при этом ;  (третья степень), при этом

Аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между двойкой и тройкой.

Аналогично аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между единицей и двойкой.

Ответ: а) ; б)

Пример 4 – решить неравенство:

Очевидно, что решение сводится к оценке логарифмических констант.

Итак, оценим первый логарифм, второй логарифм, а затем всю скобку.

, т.к.

, т.к.

Таким образом, первый логарифм лежит в пределах от двух до трех, а второй – от трех до четырех, очевидно, что их разность  меньше либо равна нулю. Таким образом, чтобы выполнялось заданное неравенство необходимо чтобы  был отрицательным.

Ответ:

Построение графиков логарифмических функций

Пример 5 – построить график функции: 

Чтобы уверенно решать подобные задачи, нужно знать внешний вид графика логарифмической функции и знать правила преобразования графиков. В данном случае первым действием мы строим граик функции , а вторым сдвигаем его на две единицы вправо.

Рис. 5 – решение примера 5

В следующих задачах важно учитывать область определения.

Пример 6 – построить график функции:

а)

Найдем область определения. Заданный логарифм существует, когда аргумент больше нуля и не равен единице:

,

, т.к.

Получаем график функции:

Рис. 6 – решение примера 6.а

б)

Заданная функция определена, когда аргумент строго больше нуля:

, согласно основному логарифмическому тождеству.

Имеем график функции:

Рис. 7 – решение примера 6.б

Задача на область значений функции

Пример 7 – найти область значений функции: 

Изучим функцию

Это квадратичная функция,

Теперь задача сводится к нахождению области значений следующей функции:

Данная функция нам знакома, мы знаем, что логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, исходя из этого, нам достаточно найти значение функции при :

Ответ:

Итак, мы достаточно подробно изучили логарифмическую функцию, ее совйства и графики, научились решать основные типовые задачи. Далее мы перейдем к рассмотрению свойств логаримфа.

Список рекомендованной литературы.
1) Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 
3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №502,503,507;

2. Найдите область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Домен и диапазон логарифмических функций

В этом разделе вы узнаете, как найти домен и диапазон логарифмических функций.

В приведенной ниже таблице указаны домен и диапазон различных логарифмических функций.

Наименование частей логарифма

Обычно логарифм состоит из трех частей.

Давайте подойдем к названиям этих трех частей на примере.

журнал ₁₀ А = В

В вышеуказанной логарифмической функции,

10 называется как BASE

A называется Аргумент

B называется Ответ

Факт. функции

Очень важный факт, который мы должны знать о области логарифмирования по любому основанию, это,

«Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента»

Например, если логарифмическая функция равна

y  =  log ₁₀ x,

, то домен равен

x > 0     или     (0, +∞)

Домен

Y = LOG 10 (KX-A-A-A- (KX+A)

Домен уже объяснен для всех вышеуказанных логарифмических функций с основанием ’10’.

В случае, если основание не равно 10 для вышеуказанных логарифмических функций, домен останется неизменным.

Например, в логарифмической функции

y = log ₁₀ (x),

вместо базы ’10’, если есть другая база, домен останется прежним. То есть

x > 0     или     (0, +∞)

Диапазон логарифмических функций

В приведенной ниже таблице поясняется диапазон y = log ₁₀ (x).

То есть

«Все действительные числа»

Здесь мы можем подумать, что если основание не равно 10, каков может быть диапазон логарифмических функций?

Какое бы основание мы ни использовали для логарифмической функции, диапазон всегда равен

«Все действительные числа»

Для основания, отличного от «10», мы можем определить диапазон логарифмической функции так же, как описано выше для основание «10».

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Логарифмические функции — формула, домен, диапазон, график

Логарифмическая функция является важным средством математических вычислений. Логарифмы были открыты в 16 веке шотландским математиком, ученым и астрономом Джоном Нэпьером. Он имеет множество применений в астрономических и научных расчетах, связанных с огромными числами. Логарифмические функции тесно связаны с экспоненциальными функциями и рассматриваются как обратные экспоненциальной функции. Экспоненциальная функция a ^x = N преобразуется в логарифмическую функцию log _a N = х.

Логарифм любого числа N, если его интерпретировать как экспоненциальную форму, представляет собой показатель степени, до которой следует возвести основание логарифма, чтобы получить число N. Здесь мы будем стремиться узнать больше о логарифмических функциях, типах логарифмов, график логарифмической функции и свойства логарифмов.

Что такое логарифмические функции?

Основная логарифмическая функция имеет вид f(x) = log _a x (r) y = log _a x, где a > 0. Это обратная экспоненциальная функция a ^y = х. Логарифмические функции включают натуральный логарифм (ln) или десятичный логарифм (log). Вот несколько примеров логарифмических функций:

• f(x) = ln (x — 2)
• г(х) = log ₂ (х + 5) — 2
• h(x) = 2 log x и т. д.

Некоторые значения нецелого порядка можно легко вычислить с помощью логарифмических функций. Найти значение x в экспоненциальных выражениях 2 ^x = 8, 2 ^x = 16 легко, но найти значение x в 2 ^x = 10 сложно. Здесь мы можем использовать логарифмические функции для преобразования 2 ^x = 10 в логарифмическую форму как log ₂ 10 = x, а затем найти значение x. Логарифм подсчитывает количество вхождений основания в повторяющихся кратных числах. Формула преобразования экспоненциальной функции в логарифмическую выглядит следующим образом.

Показательная функция вида a ^x = N может быть преобразована в логарифмическую функцию log _a N = x. Логарифмы обычно рассчитываются по основанию 10, а логарифмическое значение любого числа можно найти с помощью таблицы логарифмов Нейпира. Логарифмы можно вычислять для положительных целых чисел, дробей, десятичных дробей, но нельзя вычислять для отрицательных значений.

Домен и диапазон функций журнала

Рассмотрим базовую (родительскую) десятичную логарифмическую функцию f(x) = log x (или y = log x). Мы знаем, что log x определяется только тогда, когда x > 0 (попробуйте найти log 0, log (-1), log (-2) и т. д. с помощью калькулятора. Вы получите ошибку). Таким образом, областью определения является множество всех положительных действительных чисел. Теперь мы рассмотрим некоторые значения y (выходные данные) функции для разных значений x (входные данные).

• Когда x = 1, y = log 1 = 0
• Когда x = 2, y = log 2 = 0,3010
• Когда x = 0,2, y = -0,6990
• Когда x = 0,01, y = -2 и т. д.

Мы видим, что y может быть как положительным, так и отрицательным действительным числом (или) также может быть равен нулю. Таким образом, y может принимать значение любого действительного числа. Следовательно, областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел. Таким образом:

• Область определения логарифмической функции y = log x равна x > 0 (или) (0, ∞).
• Диапазон любой логарифмической функции — это множество всех действительных чисел (R)

Пример: Найти область определения и область значений логарифмической функции f(x) = 2 log (2x — 4) + 5.

Решение:

0 и найти х.

2x — 4 > 0
2x > 4
x > 2

Таким образом, область определения = (2, ∞).

Как мы видели ранее, диапазон любой логарифмической функции равен R. Таким образом, диапазон f(x) равен R.

Логарифмический график

Мы уже видели, что область определения основной логарифмической функции y = log _a x — это множество положительных действительных чисел, а диапазон — множество всех действительных чисел. Мы знаем, что экспоненциальная и логарифмическая функции обратны друг другу и, следовательно, их графики симметричны относительно прямой y = x. Также обратите внимание, что y = 0, когда x = 0, поскольку y = log _a 1 = 0 для любого «a». Таким образом, все такие функции имеют x-пересечение (1, 0). Логарифмическая функция не имеет точки пересечения с осью Y, поскольку журнал _a 0 не определено. Суммируя все это, графики экспоненциальных функций и логарифмический график выглядят так, как показано ниже.

Свойства логарифмического графика

• а > 0 и а ≠ 1
• Логарифмический график увеличивается, когда a > 1, и уменьшается, когда 0 < a < 1.
• Домен получается заданием аргумента функции больше 0.
• Диапазон представляет собой набор всех действительных чисел.

Графики логарифмических функций

Прежде чем рисовать график логарифмической функции, просто подумайте, какую кривую вы получите в ответ: возрастающую или убывающую. Если основание > 1, то кривая возрастает; а если 0 < основание < 1, то кривая убывающая. Вот шаги для построения графика логарифмических функций :

• Найдите домен и диапазон.
• Найдите вертикальную асимптоту, установив аргумент равным 0. Обратите внимание, что логарифмическая функция не имеет горизонтальной асимптоты.
• Подставьте некоторое значение x, которое сделает аргумент равным 1, и используйте журнал свойств _a 1 = 0. Это дает нам точку пересечения x.
• Подставьте некоторое значение x, которое сделает аргумент равным основанию, и используйте свойство log _a a = 1. Это даст нам точку на графике.
• Соедините две точки (из последних двух шагов) и продлите кривую с обеих сторон относительно вертикальной асимптоты.

Пример: Постройте график логарифмической функции f(x) = 2 log ₃ (x + 1).

Решение:

Здесь основание равно 3 > 1. Таким образом, кривая будет возрастать.

Для домена: x + 1 > 0 ⇒ x > -1. Итак, домен = (-1, ∞).

Диапазон = R.

Вертикальная асимптота x = -1.

• При x = 0, y = 2 log ₃ (0 + 1) = 2 log ₃ 1 = 2 (0) = 0
• При x = 2, y = 2 log ₃ (2 + 1)= 2 log ₃ 3 = 2 (1) = 2

Если мы хотим большей ясности, мы можем сформировать таблицу значений с некоторыми случайными значениями x и подставить каждое из них в заданную функцию для вычисления значений y. Таким образом, мы получаем больше точек на графике, и это помогает получить идеальную форму графика.

Таким образом, (0, 0) и (2, 2) — две точки на кривой. Таким образом, график логарифмической функции выглядит следующим образом.

Свойства логарифмических функций

Свойства логарифмической функции полезны при работе со сложными функциями журнала. Все общие арифметические операции с числами преобразуются в другой набор операций с логарифмами. Произведение двух чисел, взятое внутри логарифмических функций, равно сумме логарифмических значений двух функций. Точно так же операции деления преобразуются в разность логарифмов двух чисел. Перечислим важные свойства логарифмических функций в следующих пунктах.

• журнал аб = журнал а + журнал б
• loga/b = log a — log b
• log _b a = (log _c a)/(log _c b) (изменение базового правила)
• логи ^х = х логарифм
• журнал _a 1 = 0
• журнал _а а = 1

Производная и интеграл логарифмических функций

Вывод логарифмической функции дает наклон касательной к кривой, представляющей логарифмическую функцию. Формула производной десятичной и натуральной логарифмической функций выглядит следующим образом.

• Производная от ln x равна 1/x. т. е. d/dx. ln х = 1/х.
• Производная logₐ x равна 1/(x ln a). т. е. d/dx (logₐ x) = 1/(x ln a).

Интегральные формулы логарифмических функций следующие:

• Интеграл от ln x равен ∫ ln x dx = x (ln x — 1) + C.
• Интеграл от log x равен ∫ log x dx = x (log x — 1) + C.

Связанные темы:

• Экспоненты
• Экспонентные правила
• Свойства логарифмов
• Логи в расчетах

Часто задаваемые вопросы о логарифмических функциях

Как решать логарифмические функции?

Логарифмическую функцию можно решить с помощью логарифмических формул. Произведение функций внутри логарифмов равно (log ab = log a + log b) сумме двух логарифмических функций. Деление двух логарифмических функций (loga/b = log a — log b) заменено на разность логарифмических функций. Логарифмические функции также можно решить, придав им экспоненциальную форму.

Как построить график логарифмических функций?

График логарифмической функции y = log x можно получить, найдя ее область определения, область значений, асимптоты и некоторые точки на кривой. Чтобы найти некоторые точки на кривой, мы можем использовать следующие свойства:

• log 1 = 0
• логарифм 10 = 1

Что такое асимптоты логарифмической функции?

Вот асимптоты логарифмической функции f(x) = a log (x — b) + c:

• Вертикальная асимптота x = b.
• Горизонтальная асимптота отсутствует.

Как связаны экспоненциальные и логарифмические функции?

Показательная функция вида a ^x = N может быть преобразована в логарифмическую функцию log _a N = x. Здесь экспоненциальная функция 2 ^x = 10 преобразуется в логарифмическую форму как log ₂ 10 = x, чтобы найти значение x. Логарифм подсчитывает количество вхождений основания в повторяющихся кратных числах.

В чем разница между натуральным логарифмом и десятичным логарифмом?

Логарифмические функции можно разделить на два типа в зависимости от основания логарифмов. У нас есть натуральные логарифмы и десятичные логарифмы. Натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию «е», а десятичные логарифмы — это логарифмы по основанию 10. Дальнейшие логарифмы можно вычислять по любому основанию, но часто они рассчитываются по основанию «е» или «10». Натуральные логарифмы записываются как log _e x (или) ln x, а десятичные логарифмы записываются как log ₁₀ x (или) log x. Чтобы получить значение x из натуральных логарифмов, оно равно степени, в которую нужно возвести e, чтобы получить x.

• е = 2,718
• log _e N = 2,303 × log ₁₀ N
• log ₁₀ N = 0,4343 × log _e N

Значение e = 2,718281828459, но его часто записывают кратко как e = 2,718. Также приведенные выше формулы помогают при взаимном преобразовании натуральных логарифмов и десятичных логарифмов.

Как дифференцировать логарифмические функции?

Дифференцирование логарифмической функции приводит к обратной функции. Дифференциация ln x равна 1/x. (d/dx .ln x = 1//x). Кроме того, первообразная 1/x возвращает функцию ln.

Что такое диапазон логарифмических функций?

Диапазон логарифмической функции принимает все значения, включая положительные и отрицательные действительные числа. Таким образом, диапазон логарифмической функции находится в диапазоне от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности.

Что такое область логарифмических функций?

Логарифмы можно вычислять для положительных целых чисел, дробей, десятичных дробей, но нельзя вычислять для отрицательных значений. Следовательно, областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел.

Что такое формула логарифмических функций?

Следующие формулы полезны для работы и решения логарифмических функций.

• журнал аб = журнал а + журнал б
• loga/b = log a — log b
• log _b a = (log a)/(log b)
• логи ^х = х логарифм

Для чего используются логарифмические функции?

Логарифмические функции имеют множество приложений в физике, технике, астрономии. Числовые измерения в астрономии включают в себя огромные числа с десятичными знаками и показателями степени. Огромные научные расчеты можно легко упростить и рассчитать с помощью логарифмических функций. Логарифмические функции помогают преобразовать произведение и деление чисел в сумму и разность чисел. 9{x}y=bx

для любого действительного числа x  и константы

b>0b>0b>0

,

b≠1b\ne 1b=1

, где

• Область определения y   равна

  (−∞,∞)\left(-\infty ,\infty \right)(−∞,∞)

  .
• Диапазон y  составляет

  (0,∞)\left(0,\infty \right)(0,∞)

  .

В предыдущем разделе мы узнали, что логарифмическая функция

y=logb(x)y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)y=logb​(x) 9{x}y=bx

(−∞,∞)\left(-\infty,\infty \right)(−∞,∞)

Преобразования родительской функции

y=logb(x)y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)y=logb​(x)

ведут себя аналогично другим функции. Как и в случае с другими родительскими функциями, мы можем применять к родительской функции четыре типа преобразований — сдвиги, растяжения, сжатия и отражения — без потери формы.

На графиках экспоненциальных функций мы видели, что определенные преобразования могут изменить 9{x}y=bx

. Точно так же применение преобразований к родительской функции

y=logb(x)y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)y=logb​(x)

может изменить домен . Поэтому при нахождении области определения логарифмической функции важно помнить, что область определения состоит только из положительных действительных чисел . То есть аргумент логарифмической функции должен быть больше нуля.

Например, рассмотрим

f(x)=log4(2x−3)f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(2x — 3\right)f( х)=log4​(2x−3)

. Эта функция определена для любых значений 90 772 x 90 773  таких, что аргумент, в данном случае

2x−32x — 32x−3

, больше нуля. Чтобы найти домен, мы устанавливаем неравенство и решаем для x :

{2x−3>0Показать аргумент больше нуля.2x>3Сложить 3.x>1.5Разделить на 2.\begin{cases}2x — 3>0\qquad & \text{Показать аргумент больше нуля}. \qquad \\ 2x>3\qquad & \text{Добавить 3}.\qquad \\ x>1.5\qquad & \text{Разделить на 2}.\qquad \end{cases}⎩

⎨

⎧​2x−3>02x>3x>1.5​Показать аргумент больше нуля.Сложить 3.Разделить на 2.​ 2x−3)f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(2x — 3\right)f(x)=log4​(2x−3)

равно

(1. 5,∞)\влево(1.5,\infty\вправо)(1.5,∞)

.

Как: Учитывая логарифмическую функцию, определить домен.

1. Составьте неравенство, в котором аргумент больше нуля.
2. Решить для x .
3. Запишите домен в интервальной нотации.

Пример 1. Определение домена логарифмического сдвига

Каков домен

f(x)=log2(x+3)f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{ 2}\left(x+3\right)f(x)=log2​(x+3)

?

Решение

Логарифмическая функция определяется только при положительном входном сигнале, поэтому эта функция определяется при

x+3>0x+3>0x+3>0

. Решая это неравенство,

{x+3>0Ввод должен быть положительным.x>−3Вычесть 3.\begin{cases}x+3>0\qquad & \text{Ввод должен быть положительным}.\qquad \\ x>-3 \qquad & \text{Вычесть 3}.\qquad \end{cases}{x+3>0x>−3Ввод должен быть положительным. Вычесть 3.​

Домен

f(x)=log2 (x+3)f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x+3\right)f(x)=log2​(x+3)

равно

(−3,∞)\влево(-3,\infty \вправо)(−3,∞)

.

Попробуйте 1

Какова область определения

f(x)=log5(x−2)+1f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(x — 2\справа)+1f(x)=log5​(x−2)+1

? Решение

Пример 2. Определение области логарифмического сдвига и отражения

Какова область определения

f(x)=log(5−2x)f\left(x\right)=\mathrm{log}\ влево(5 — 2x\вправо)f(x)=log(5−2x)

?

Решение

Логарифмическая функция определяется только при положительном входе, поэтому эта функция определяется при

5-2x>05 — 2x>05-2x>0

. Решая это неравенство,

{5−2x>0Ввод должен быть положительным. −2x>−5Вычесть 5.x<52Разделить на −2 и заменить неравенство.\begin{cases}5 - 2x>0\qquad & \text{Ввод должен быть положительным}.\qquad \\ -2x>-5\qquad & \text{Вычесть }5.\qquad \\ x<\frac{5}{2}\qquad & \text{Разделить на }-2\text { и поменять местами неравенство}.\qquad \end{cases}⎩

⎨

⎧​5−2x>0−2x>−5x<25​​Входные данные должны быть положительными. Вычтите 5. Разделите на −2 и переключите неравенство.​

Домен

f(x)=log(5−2x)f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(5 — 2x\right)f(x)=log(5− 2x)

равно

(−∞,52)\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right)(−∞,25​)

.

Попробуйте 2

Каков домен

f(x)=log(x−5)+2f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x — 5\right)+ 2f(x)=log(x−5)+2

? Решение

Лицензии и атрибуты

Содержимое по лицензии CC, совместное использование ранее

• Precalculus. Автор : Джей Абрамсон и др. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии.

  Домашняя страница Технологического института Онтарио

  nool

  Область определения функции — это определенный набор значений, которые может принимать независимая переменная в функции. Диапазон — это результирующие значения, которые зависимая переменная может иметь при изменении x в пределах домена.

  При определении домена удобнее определить, где функции не будет. Например, мы можем логарифмировать только значения больше 0. Однако его диапазон таков, что y ∈ R. Помните, что логарифмические функции и экспоненциальные функции являются обратными функциями, поэтому, как и ожидалось, область определения экспоненты такова, что x ∈ R, но диапазон будет больше 0,

  Пример: Найдите домен и диапазон для f (x) = in (x + 5)

  Решение:

  Домен. 5

  Пример: Найдите домен и диапазон для F (x) = 1/ (E ^x — 1)

  Решение:

  Диапазон доменов

  E ^x – 1 ≠ 0                                 y ≠ 0

         e ^x ≠ 1

   ln(e ^x ) ≠ ln(1)

          x ≠ 0

  Example 1:

  Example 2:

  Домен и диапазон логарифмических функций

  Логарифмические функции являются обратными функциями экспоненциальных функций. Это означает, что их домен и диапазон меняются местами. Область определения логарифмических функций равна всем действительным числам, большим или меньшим вертикальной асимптоты. Диапазон экспоненциальных функций всегда равен всем действительным числам, поскольку у нас нет ограничений на выходные значения.

  Здесь мы научимся определять домен и диапазон логарифмических функций. Кроме того, мы рассмотрим несколько примеров с графиками функций, чтобы проиллюстрировать эти идеи.

  АЛГЕБРА

  Актуально для …

  Изучение области и диапазона логарифмических функций.

  См. примеры

  Содержание

  АЛГЕБРА

  Актуально для …

  Изучение области определения и диапазона логарифмических функций.

  См. примеры

  Как найти область определения и область значений логарифмических функций?

  Ограничения области определения логарифмических функций связаны с невозможностью логарифмирования отрицательного числа. С другой стороны, логарифмические функции не имеют ограничений по диапазону.

  Мы можем посмотреть на график «стандартной» логарифмической функции $latex f(x)=\log(x)$:

  Мы видим, что график функции $latex f(x)= \log(x )$ имеет ключевую точку в (1, 0). С этого момента график имеет асимптоту слева, приближающуюся к $latex x=0$. Также из точки (1, 0) график постепенно поднимается вправо без верхней границы.

  Визуализируя график, мы можем легко определить домен и диапазон. Помните, что домен — это набор всех значений, которые может принимать независимая переменная. Следовательно, областью определения «стандартной» логарифмической функции являются все числа от 0 до положительной бесконечности:

  Домен $latex 0< x <+\infty$

  Помните, что диапазон — это набор всех значений, которые может принимать зависимая переменная. На графике мы видим, что в левой части функция стремится к отрицательной бесконечности.

  В правой части мы видим, что функция постепенно возрастает и стремится к положительной бесконечности. Следовательно, диапазон равен всем действительным числам от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности:

  Диапазон равен $latex – \infty

  Теперь мы можем определить диапазон и область значений других логарифмических функций, рассмотрев, как функция и график изменяются при введении различных констант. Мы можем использовать следующие константы:

  $latex y=a ~\log(x-h)+k$

  Используя эти константы, точка (1, 0) меняется на ( h, k ). h представляет горизонтальное смещение, а k представляет вертикальное смещение.

  Здесь важно то, что асимптота меняется со значением h  и это меняет домен. Однако на диапазон это не влияет, и все по-прежнему являются действительными числами.

  ---

  Примеры области определения и диапазона логарифмических функций

  ПРИМЕР 1

  Каковы область определения и диапазон функции $latex f(x)=\log(-x)$?

  Решение:  Это изменение функции приводит к отражению относительно оси Y. Из-за этого отражения ключевой точкой будет (-1, 0). Оттуда функция будет приближаться к асимптоте вниз с правой стороны и приближаться к $latex x = 0$.

  От ключевой точки функция будет постепенно увеличиваться до бесконечности с левой стороны. Следовательно, домен находится в диапазоне от отрицательной бесконечности до 0:

  Домен: $latex -\infty

  Диапазон по-прежнему состоит из всех действительных чисел:

  Диапазон: $latex -\infty

  Используя запись интервала, мы имеем:

  Домен: $latex (-\infty, 0)$

  Диапазон: $latex (-\infty, \infty)$

  Мы можем проверить это на графике функции :

  Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике

  ПРИМЕР 2

  Найдите домен и диапазон $latex f(x)=\log(x-3)$.

  Решение:  Значение ч , равное 3, приводит к тому, что «стандартная» функция и ее асимптота смещаются вправо на 3 единицы. Это изменяет домен функции. Следовательно, домен:

  Домен: $latex 3

  Диапазон функции никогда не меняется, поэтому остается:

  Диапазон: $latex -\infty

  ПРИМЕР 3

  Найдите область определения и диапазон функции $latex f(x)=3\log(x-3)+4$.

  Решение:  Цифра 3 представляет собой растяжение графика, а 4 – вертикальное смещение графика. Эти два значения не влияют ни на домен, ни на диапазон логарифмической функции, поэтому и домен, и диапазон остаются такими же, как в предыдущем примере:

  Домен: $latex 3

  Диапазон: $латекс -\infty

  ПРИМЕР 4

  Каковы область определения и диапазон функции $latex f(x)=-\log(x+2)+1$?

  Решение:  График этой функции отражается относительно оси X. Однако это не меняет ни домен, ни диапазон. Единственным значением, влияющим на домен, является -2, что приводит к смещению на 2 единицы влево как функции, так и ее асимптоты. Следовательно, домен:

  Домен: $latex -2

  ---

  См.

  также

  Хотите узнать больше о домене и наборе функций? Взгляните на эти страницы:

  • Область определения и область значений графа
  • Область определения и область значений линейных функций
  • Область определения и область значений квадратичных функций
  • Область определения и область значений рациональных функций
  • Область определения и область значений экспоненциальных функций
  • Область определения и диапазон тригонометрических функций

  Изучайте математику с помощью наших дополнительных ресурсов по различным темам

  УЗНАТЬ БОЛЬШЕ

  Характеристики графиков логарифмических функций

  Результаты обучения

  • Определение области определения и диапазона логарифмической функции.
  • Определите точку пересечения по оси x и вертикальную асимптоту логарифмической функции.
  • Определите, является ли логарифмическая функция возрастающей или убывающей, и укажите интервал. {x}[/latex]. Точно так же применение преобразований к родительской функции [latex]y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] может изменить домен . Поэтому при нахождении области определения логарифмической функции важно помнить, что область определения состоит только из положительных действительных чисел . То есть значение, к которому вы применяете логарифмическую функцию, также известное как аргумент логарифмической функции, должно быть больше нуля.

    Например, рассмотрим [латекс]f\влево(х\вправо)={\mathrm{log}}_{4}\влево(2x — 3\вправо)[/латекс]. Эта функция определена для любых значений 90 772 x  таких, что аргумент, в данном случае [latex]2x – 3[/latex], больше нуля. Чтобы найти область, мы устанавливаем неравенство и решаем для  x :

    [латекс]\begin{array}{l}2x — 3>0\hfill & \text{Показать аргумент больше нуля}.\hfill \\ 2x>3\hfill & \text{Добавить 3}.\hfill \\ x>1.5\hfill & \text{Divide by 2}.\hfill \end{array}[/latex]

    В интервальной записи домен [latex]f\left(x\ справа) = {\ mathrm {log}} _ {4} \ влево (2x — 3 \ вправо) [/ латекс] равно [латекс] \ влево (1,5, \ infty \ вправо) [/латекс].

    Как: по заданной логарифмической функции определить домен

    
    
    1. Задайте неравенство, в котором аргумент больше нуля.
    2. Решить для x .
    3. Запишите домен в интервальной нотации.

    Пример: определение домена, полученного в результате логарифмического сдвига )[/латекс]?

    Показать решение

    Попробуйте

    Какова область определения [латекс]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(x — 2\right)+1[/latex]?

    Показать решение

    Пример: определение домена, полученного в результате логарифмического сдвига и отражения

    Каков домен [латекс]f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(5 — 2x\right)[/latex ]?

    Показать решение

    Попробуйте

    Каков домен [латекс]f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x — 5\right)+2[/latex]?

    Показать решение

    Построение графика логарифмической функции с использованием таблицы значений

    Теперь, когда мы познакомились с набором значений, для которых определена логарифмическая функция, мы переходим к построению графика логарифмической функции. {x }[/латекс] и [латекс]г\влево(х\вправо)={\mathrm{log}}_{2}\влево(х\вправо)[/латекс]. 9{x}[/латекс] [латекс]\влево(-3,\фракция{1}{8}\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(-2,\фракция{1}{4}\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(-1,\фракция{1}{2}\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(0,1\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(1,2\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(2,4\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(3,8\вправо)[/латекс] [латекс] г \ влево (х \ вправо) = {\ mathrm {log}} _ {2} \ влево (х \ вправо) [/латекс] [латекс]\влево(\фракция{1}{8},-3\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(\фракция{1}{4},-2\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(\фракция{1}{2},-1\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(1,0\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(2,1\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(4,2\вправо)[/латекс] [латекс]\влево(8,3\вправо)[/латекс]

    Как и следовало ожидать, координаты x и y меняются местами для обратных функций. На рисунке ниже показаны графики f и 9{x}[/latex], [latex]\left(0,\infty \right)[/latex], совпадает с доменом [latex]g\left(x\right)={\mathrm{log }}_{2}\left(x\right)[/latex].

  A Общее примечание: характеристики графика родительской функции [латекс]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex]

  Для любого действительного числа x и константы b  > 0, [латекс]b\ne 1[/латекс], мы можем увидеть следующие характеристики на графике [латекс]f\left(x\right)={ \mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex]:

  • Функция «один к одному»
  • вертикальная асимптота: x = 0
  • домен: [латекс]\левый(0,\infty\правый)[/латекс]
  • диапазон: [латекс]\влево(-\infty ,\infty \вправо)[/латекс]
  • x- точка пересечения: [латекс]\влево(1,0\вправо)[/латекс] и ключевая точка [латекс]\влево(b,1\вправо)[/латекс]
  • y -перехват: нет
  • увеличивается, если [латекс]b>1[/латекс]
  • уменьшается, если 0 < b < 1

  Графики ниже показывают, как изменение базы b  в [латекс]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] может повлиять графики.

  No related posts.