как найти, формула, через среднюю линию
Содержание:
- Основные свойства трапеции
-
Способы нахождений периметра
- По всем сторонам
- По сторонам равнобедренной трапеции
- Через среднюю линию
- Примеры решения задач
Содержание
- Основные свойства трапеции
- По всем сторонам
- По сторонам равнобедренной трапеции
- Через среднюю линию
- Примеры решения задач
Определения
Трапеция — это четырехугольник, у которого лишь одна пара противолежащих сторон параллельна.
Периметр трапеции — это сумма длин всех его сторон.
Основные свойства трапеции
- средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна половине их суммы;
- биссектриса любого угла данного четырехугольника отсекает на его основании отрезок, равный боковой стороне;
- треугольники ABO и DCO (на картинке), образованные диагоналями фигуры и ее основаниями, подобны;
- треугольники OAB и OCD, образованные диагоналями трапеции и ее боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь;
- если сумма длин оснований четырехугольника равна сумме его боковых ребер, то в фигуру можно вписать окружность;
- точки M и N середины диагоналей лежат на одной прямой со средней линией фигуры. Также отрезок MN равен полуразность оснований четырехугольника;
- середины оснований фигуры, точка пересечения ее диагоналей, а также точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой;
Свойства равнобедренной трапеции
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- в равнобедренной трапеции углы при обоих ее основаниях одинаковы;
- диагонали равны;
- равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность или описать окружность вокруг;
- если диагонали перпендикулярны, то высота фигуры равна полусумме ее оснований.
Способы нахождений периметра
Рассмотрим способы, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон данного четырехугольника.
По всем сторонам
Формула для нахождения периметра выглядит так:
P=a+b+c+d
где a, b, c, d — стороны трапеции.
По сторонам равнобедренной трапеции
Если нам известны ребра этого четырехугольника с одинаковыми боковыми сторонами, то находить ее P можно по следующей формуле:
\(P=2\times a+b+c\)
или
\(P=2\times c+a+b\)
Через среднюю линию
Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то формулу P можно выразить так:
\(P=2\times l+AB+CD\)
где l — средняя линия фигуры.
Примеры решения задач
Давайте рассмотрим наглядные примеры решения задач на нахождение суммы длин всех ребер этой фигуры.
Задача 1
Дана трапеция с боковыми сторонами 4 см и 5 см, а ее основания равны 7 см и 10 см. Найти периметр данного многоугольника.
Решение:
Нам пригодится самая первая формула для расчета:
Подставляем значения и получаем:
P=4+7+5+10=26\;см.
Ответ: 26 см.
Задача 2
Известно, что у трапеции две боковые стороны равны 7 см, а ее основания равны 5 см и 8 см. Нужно найти P четырехугольника.
Решение:
Так как трапеция равнобедренная, удобнее всего будет использовать формулу:
\(P=2\times a+b+c\)
Таким образом, получается:
\(P=2\times 7+5+8=27\) см.
Ответ: 27 см.
Задача 3
Средняя линия l трапеции равна 6 см, а боковые стороны 5 см и 9 см. Вычислить P фигуры.
Решение:
Считать будем по формуле
\(P=2\times l+a+c\)
\(P=2\times 6+5+9=26\) см.
Ответ: 26 см.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.82 (Голосов: 11)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»Поиск по содержимому
Периметр трапеции в задачах ЕГЭ: что такое периметр трапеции
Главная » Геометрия » Периметр трапеции
Геометрия
Автор Ольга Викторовна Опубликовано
Периметр трапеции часто нужно определить в задачах по геометрии. Периметр трапеции определяется также как и периметр любой другой фигуры на плоскости:
Периметр плоской фигуры – есть сумма всех сторон фигуры.
Периметр трапеции
Периметр трапеции – есть сумма всех сторон трапеции.
Чему равен периметр равнобедренной трапеции – то же самое – сумме всех ее сторон.
Содержание
В задачах ЕГЭ вы найдете периметр трапеции. Например,
Задача 1Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60. Найдите длину ее средней линии.
Решение:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны:
АD+CD=DC+AB=PABCD /2,
Где PABCD – периметр трапеции. В самом деле PABCD =AD+CB+DC+AB=2(DC+AB), а значит, DC+AB=PABCD /2
Средняя линия трапеции – это полусумма ее оснований, то есть MN=(DC+AB)/2=(PABCD /2)/2=PABCD /4 = 60/4=15 .
Ответ: 15.
Задача 2Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 44. Найдите длину ее средней линии.
Решение. Рассуждаем аналогично и получаем MN=(DC+AB)/2=(PABCD /2)/2=PABCD /4 = 44/4=11.
Ответ: 11.
То есть мы сами с вами вывели лайфхак для решения этой задачи:
Лайфхак 1
Если в трапецию вписана окружность, и дан периметр трапеции, то для того чтобы найти среднюю линию трапеции, нужно периметр разделить на 4.
И обратный лайфхак:
Лайфхак 2
Если в трапецию можно вписать окружность, и дана средняя линия трапеции (l), то формула периметра трапеции P:
P=4l
Применим наш лайфхак 1 к решению следующей задачи?
Задача 3Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину ее средней линии.
Вычисление
Делим периметр на 4 и получаем среднюю линию трапеции: 30/4=7,5.
Ответ: 7,5.
Задача 4Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 37, найдите радиус окружности.
Решение. Периметр трапеции равен: АD+DC+CB+AB=PABCD (1)
В трапецию можно вписать окружность, если суммы длин противоположных сторон равны. То есть, имеем: AD+CB=DC+AB (2)
С учетом (2) равенство (1) можно записать в виде: 2(АD+CB)=PABCD (3)
Теперь давайте посмотрим на вот такой рисунок:
Видно, что сторона AD=2R, где R – радиус окружности.
Тогда, AD+CB=2R+37, тогда равенство (3): 2(2R+37)=100.
Решаем уравнение, относительно R:
4R+74=100
4R=100-74
4R=26
R=26/4
R= 6,5
Ответ: 6,5
Задача 5
Из сборника ЕГЭ по математике профильный уровень 2020 год вариант 19 задание 6.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину ее средней линии.
Решение: пользуясь лайфхаком, который мы вывели выше, вычисляем длину средней линии трепеции: делим периметр трапеции на 4.
Получаем 28:4=7
Ответ: 7.
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Периметр трапеции — определение, формула и примеры
Периметр трапеции представляет собой сумму длин каждой стороны трапеции. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу, а две непараллельные стороны называются соответственно основаниями и катетами. Давайте узнаем, как рассчитать периметр трапеции в этой статье.
1. | Что такое периметр трапеции? |
2. | Формула периметра трапеции |
3. | Как найти периметр трапеции? |
4. | Часто задаваемые вопросы по периметру трапеции |
Что такое периметр трапеции?
Периметр трапеции определяется как общая длина границы трапеции.
Формула периметра трапеции
Формула периметра трапеции простая, в которой добавляются длины всех 4-х сторон. Обратите внимание на приведенную ниже трапецию ABCD, в которой стороны AB и CD (основания) параллельны друг другу, а стороны AD и BC (ножки) непараллельны.
Периметр трапеции ABCD можно рассчитать по формуле Периметр (P) = AB + BC + CD + DA. Его также можно записать в виде суммы длин параллельных сторон и суммы длин непараллельных сторон, где AB и CD — параллельные стороны, а AD и BC — непараллельные стороны.
Как найти периметр трапеции?
Периметр трапеции можно найти, выполнив следующие шаги:
- Шаг 1: Напишите размеры всех сторон трапеции.
- Шаг 2: Добавьте длину всех сторон.
- Шаг 3: Как только значение периметра получено, запишите единицу измерения с полученным таким образом значением.
Пример: Найдите периметр трапеции, параллельные стороны которой равны 5 единицам и 7 единицам, а непараллельные стороны равны 3 единицам и 4 единицам.
Решение: Даны длины параллельных сторон 5 единиц и 7 единиц, а длины непараллельных сторон 3 единицы и 4 единицы.
Таким образом, периметр трапеции равен P = сумме длин всех сторон
⇒ P = (5 + 7 + 3 + 4)
Следовательно, P = 19 единиц.
∴ Периметр трапеции 19 единиц.
Периметр трапеции с отсутствующей стороной
Периметр трапеции можно вычислить, даже если отсутствует сторона. В таких случаях мы используем заданные стороны трапеции и применяем теорему Пифагора и другие свойства, чтобы найти недостающую сторону, а затем можно вычислить периметр. Давайте разберемся в этом с помощью примера.
Пример: Найдите периметр трапеции ABCD, если ее размеры заданы следующим образом: AB = 120 м, DE = 50 м, EF = 120 м, FC = 80 м, BF = 90 м.
Решение: Используя заданные размеры, мы можем найти недостающие стороны AD и BC.
- Шаг 1: Если взять треугольник BFC, то дано, что BF = 90 м и FC = 80 м. Мы видим, что треугольник BFC прямоугольный. Итак, мы можем вычислить значение BC, используя теорему Пифагора.
- Шаг 2: Согласно теореме Пифагора, BC 2 = BF 2 + FC 2 . Это означает, что БК 2 = 90 2 + 80 2 . Следовательно, БК 2 = 8100 + 6400 ⇒ БК = √14500 = 120,41 м
- Шаг 3: Поскольку BF = 90 м, AE также будет равно 90 м, поскольку AB параллельна DC. Теперь мы можем вычислить недостающую сторону AD трапеции.
- Шаг 4: Если взять прямоугольный треугольник ADE, мы знаем, что AE = 90 м, ДЭ = 50 м. Итак, после применения теоремы Пифагора мы получаем AD 2 = AE 2 + DE 2 . Это означает, что 2 = 90 2 + 50 2 . Следовательно, 90 102 2 = 8 100 + 2 500 ⇒ н.э. = √10 600 = 102,9 м.
- Шаг 5: Теперь, когда мы знаем все стороны трапеции, мы можем найти ее периметр, сложив все 4 стороны. Это означает, что периметр трапеции ABCD = AB + BC + CD + DE ⇒ 120 + 120,41 + 250 + 102,9 = 59.3,31 м. Следовательно, периметр трапеции равен 593,31 м.
☛ Статьи по теме
- Формула трапеции
- Формулы периметра
- Периметр многоугольника
- Периметр прямоугольника
- Периметр квадрата
- Периметр треугольника
- Разница между площадью и периметром
- Площадь трапеции
Примеры по периметру трапеции
Пример 1: Найдите периметр трапеции со сторонами 10 м, 6 м, 8 м и 9 м.
Решение: Размеры трапеции 10 метров, 6 метров, 8 метров и 9 метров. Таким образом, периметр трапеции можно рассчитать по формуле:
Периметр трапеции = (10 + 6 + 8 + 9) метров. Таким образом, периметр трапеции = 33 метра
∴ Периметр трапеции 33 метра.
Пример 2: Каков периметр трапеции, у которой сумма длин непараллельных сторон равна 12 единицам, а сумма параллельных сторон равна 8 единицам?
Решение: Учитывая, что сумма длин непараллельных сторон = 12 единиц, сумма параллельных сторон = 8 единиц.
Периметр трапеции = сумма длин параллельных сторон + сумма длин непараллельных сторон ⇒ P = 12 единиц + 8 единиц.
Таким образом, периметр (P) = 20 единиц
Следовательно, периметр трапеции равен 20 единицам.
Пример 3: Верно или неверно:
а.) Периметр трапеции вычисляется путем сложения длин всех ее сторон.
б.) Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу и две непараллельны.
Решение:
а.) Верно, периметр трапеции вычисляется путем сложения длин всех ее сторон.
б.) Верно, трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу и две непараллельны.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами Cuemath.
Запись на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по периметру трапеции
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по периметру трапеции
Что такое периметр трапеции?
Общая длина границы трапеции называется периметром трапеции. Периметр трапеции зависит от длины всех ее сторон и выражается в линейных единицах.
Какая формула для периметра трапеции?
Формула периметра трапеции представляет собой сумму длин всех сторон трапеции. Для любой трапеции ABCD периметр трапеции ABCD выражается как P = AB + BC + CD + AD, где AB, CD — параллельные стороны (основания), а AD, BC — непараллельные стороны (катеты). Таким образом, периметр трапеции также можно записать как P = (сумма длин параллельных сторон) + (сумма длин непараллельных сторон).
Как найти периметр трапеции?
Периметр трапеции можно найти, выполнив следующие шаги:
- Шаг 1: Найдите длины всех 4 сторон трапеции.
- Шаг 2: Сложите длины всех сторон трапеции, чтобы получить значение периметра трапеции.
- Шаг 3: Как только значение периметра трапеции получено, мы указываем единицу, которая должна быть помещена вместе с ней.
Как найти длину недостающей стороны, если известен периметр трапеции?
Мы можем найти недостающую длину стороны трапеции, если известен периметр. Давайте разберемся в этом на примере.
Пример: Если периметр трапеции равен 24 единицам, а остальные стороны равны: 5 единиц, 7 единиц, 4 единицы, найдем недостающую сторону.
- Шаг 1: Запишите данные размеры трапеции. Периметр = 24 единицы, Сторона 1 = 5 единиц, Сторона 2 = 7 единиц, Сторона 3 = 4 единицы.
- Шаг 2: Предположим, что недостающая длина стороны трапеции равна x единицам.
- Шаг 3: Сложите длины всех сторон трапеции и приравняйте полученное значение к периметру трапеции. Здесь это будет записано как 24 = 5 + 7 + 4 + x .
- Шаг 4: Как только уравнение будет сформировано, решите «x», чтобы получить значение длины недостающей стороны трапеции. После решения для значения «x» мы получаем, x = 24 — 16 = 8 единиц. Следовательно, длина недостающей стороны равна 8 единицам.
Что произойдет с периметром трапеции, если все стороны трапеции удвоить?
Если длины всех сторон трапеции удвоить, то периметр также удвоится как P = (сумма длин параллельных сторон) + (сумма длин непараллельных сторон), а значение каждой стороны будет удвоится, тем самым удвоив значение периметра.
Как найти периметр равнобедренной трапеции?
Периметр равнобедренной трапеции можно вычислить так же, как мы находим периметр обычной трапеции. Однако у равнобедренной трапеции катеты одинаковой длины, поэтому найти периметр становится проще. В этом случае периметр можно рассчитать по формуле Периметр трапеции = a + b + 2c; где «а» и «b» — параллельные стороны, а с — катет трапеции. Поскольку две ноги равны по длине, мы представляем их как c + c = 2c в формуле.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочий лист периметра
Периметр трапеции. Различные способы нахождения периметра
Периметр трапеции, где a, b, c, d — длины сторон, можно найти по формуле р = а + b + с + d. Как и любые другие двумерные фигуры, периметр — это просто сумма длин сторон.
Пример №1: Найдите периметр трапеции ниже
Периметр = 5 + 6 + 7 + 10 = 11 + 17 = 28
А теперь давайте немного поинтереснее. Как насчет рисунка ниже?
Пример #2: Можете ли вы найти периметр этой прямоугольной трапеции, где ABC — прямоугольный треугольник?
Этот пример немного сложен! Хотя даны 4 стороны, по одной из них нельзя найти периметр трапеции. Можете ли вы сказать, какой? Да, вы правильно угадали! Сторона, которую вы не можете использовать, – это AC = 10.
Можно использовать стороны AB, AD, BC и CD. Однако у нас есть другая проблема. БК отсутствует. Нам нужно найти БК.
BC — одна из сторон прямоугольного треугольника ABC. Следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти BC.
АС 2 = АВ 2 + ВС 2
10 2 = 8 2 + ВС 2 900 + БК 2
100 — 64 = БК 2
36 = BC 2
Так как 6 2 = 36, BC = 6
Периметр = AB + BC + CD + AD = 8 + 6 + 10 + 12 = 136 + 920005
Нахождение периметра трапеции по заданным высоте, длине верхнего основания и длинам непараллельных сторон.
Пример №3: Найдите периметр следующей трапеции, длина основания которой неизвестна.
Создайте прямоугольник, проведя линию от другой вершины сверху.
Теперь, когда мы найдем длину x и длину y, мы можем найти периметр.
Чтобы найти длину y, нам просто нужно использовать теорему Пифагора.
y 2 + 8 2 = 10 2
y 2 + 64 = 100
y 9 0 — 6 4 1 0 — 0 = 9 2 9010 69
y 2 = 36
С 6 2 = 36, y = 6
Таким же образом найдите x.
x 2 + 8 2 = 9 2
x 2 + 64 = 81
x 3 9018 9
x 2 = 17
x = √ 17 = 4,12
Периметр = 6 + 7 + 4,12 + 9 + 7 + 10 = 43,12
Нахождение периметра трапеции, когда известны высота, длина верхнего основания и углы нижнего основания.
Пример №4: Найдите периметр следующей трапеции, у которой длина нижнего основания и длины непараллельных сторон неизвестны.
На этот раз нам может понадобиться тригонометрия, чтобы найти периметр этой трапеции.
Чтобы найти a, b, x и y, мы можем использовать тригонометрические отношения.
sin(60 градусов) = 15/ a или a = 15/sin(60 градусов) = 15/0,866 = 17,3
tan(60 градусов) = 15/ y или6 y /tan(60 градусов) = 15/1,732 = 8,66
sin(70 градусов) = 15/ b или b = 15/sin(70 градусов) = 15/0,94 = 15,95
tan(70 градусов) = 15/ x или x = 15/tan(70 градусов) = 15/2,74 = 5,47
Периметр = 17,3 + 12 + 15,95 + 5,47 + 12 + 8,66 = 71,38
Нахождение периметра равнобедренной трапеции через х
Найдите периметр равнобедренной трапеции, если длина верхнего основания равна длине катета. Кроме того, мера одного противоположного угла в два раза больше другого противоположного угла.
Пусть x = длина верхнего основания = длина ноги.
Взгляните на рисунок ниже, чтобы немного лучше понять проблему.
Вот что мы знаем:
AB = x
AD = x
BC = x
Нам нужно найти DC
Поскольку трапеция равнобедренная, мы также знаем, что ∠D = ∠C
Кроме того, ∠A +∠D = 180 градусов, так как сумма внутренних углов на той же сторона секущей (AD в данном случае — секущей) равна 180 градусам.
∠A противоположна ∠C. Поскольку ∠A больше, чем ∠C, то это тот, который в два раза больше.
∠A = 2∠C
∠A = 2∠D (поскольку ∠D = ∠C)
Замените 2∠D на ∠A в ∠A +∠D = 180
2∠D +∠D = 180
3∠D = 180
∠D = 180/3 = 60
Изобразите высоту трапеции, показанной красным, и затем найдите косинус угла D.
(∠D) = y/x
cos(60 градусов) = y/x
0,5 = y/x
Умножьте обе части на x.
0,5x = y
y = DE = FC = 0,5x
Периметр равнобедренной трапеции = AB + BC + CF + FE + ED + DA
Периметр равнобедренной трапеции = xx + x + 0,5 х + 0,5х + х = 5х
Треугольник 30-60-90
3 апреля, 23 17:08
Что такое треугольник 30-60-90? Определение, доказательство, площадь и простые примеры из реальной жизни.
Подробнее
Расчет условной вероятности с помощью таблицы непредвиденных обстоятельств
29, 23 марта 10:19
Научитесь рассчитывать условную вероятность с помощью таблицы непредвиденных обстоятельств.