Периодические функции 10 класс примеры решения: Периодические функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Периодические функции, 10 класс — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Периодические функции

Алгебра и начала анализа, 10 класс
(профильный уровень)
А.Г.Мордкович, П.Е.Семёнов
Учитель Волкова С.Е.

2. Определение 1

Говорят, что функция
y = f (x), x ∈ X имеет период Т, если для
любого х ∈ Х выполняется равенство
f (x – T) = f (x) = f (x + T).
Если функция с периодом Т определена в точке х,
то она определена и в точках
х + Т, х – Т.
Любая функция имеет период, равный нулю
при Т = 0 получим f(x – 0) = f(x) = f(x + 0).

3. Определение 2

Функцию, имеющую отличный от нуля период
Т, называют периодической.
Если функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, то
любое число, кратное Т (т.е. число вида кТ, к ∈ Z),
также является её периодом.

4. Доказательство

Пусть 2Т – период функции. Тогда
f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T),
f(x) = f(x — T) = f((x — T) -T) = f(x — 2T).
Аналогично доказывается, что
f(x) = f(x + 3T) = f(x — 3T),
f(x) = f(x + 4T) = f(x — 4T) и т.д.
Итак, f(x — кТ) = f(x ) = f(x + кT)

5. Наименьший период среди положительных периодов периодической функции называется основным периодом данной функции.

6. Особенности графика периодической функции

Если Т – основной период функции y = f(x), то
достаточно:
— построить ветвь графика на одном из
промежутков длины Т
— выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль
оси х на ±Т, ±2Т, ±3Т и т. д.
Обычно выбирают промежуток с концами в точках
Т
Т
( ;0)и ( ;0)
2
2

7. Свойства периодических функций

1.Если f(x) – периодическая функция с периодом Т,
то функция g(x) = A f(kx + b), где к>0, также
является периодической с периодом Т1= Т/к.
2.Пусть функция f1(x) и f2(x) определены на всей
числовой оси и являются периодическими с
периодами Т1 > 0 и Т2 >0. Тогда при Т1/Т2 ∈Q
функция f(x) = f(x) +f2(x) – периодическая функция
с периодом Т, равным наименьшему общему
кратному чисел Т1 и Т2.

8. Примеры

1. Периодическая функция y = f(x) определена для
всех действительных чисел. Её период равен 3
и f(0) =4. Найти значение выражения 2f(3) – f(-3).
Решение .
Т = 3,
f(3) =f(0+3) = 4,
f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4.
Подставив полученные значения в выражение
2f(3) – f(-3), получим 8 — 4 =4.
Ответ: 4.

9. Примеры

2. Периодическая функция y = f(x) определена для
всех действительных чисел. Её период равен 5,
а f(-1) = 1.Найти f(-12),если 2f(3) – 5f(9) = 9.
Решение
Т= 5
F(-1) = 1
f(9) = f(-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5
2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7
F(-12) = f(3 – 3T) = f(3) = 7
Ответ:7.

10. Используемая литература

А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала
анализа (профильный уровень), 10 класс
А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала
анализа (профильный уровень), 10 класс.
Методическое пособие для учителя

English     Русский Правила

Конспект урока по математике «Применение понятия периодической функции» 10 класс

РАЗРАБОТКА УРОКА

учителя математики МОУ гимназии № 35 г.о. Тольятти

Батаевой Галины Александровны

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 10

Тема урока: Применение понятия периодической функции

Цели урока:

Образовательная: повторить и закрепить знания учащихся о периоде функции;

сформировать умение применять теоремы о периоде функции.

Развивающая: развивать умение анализировать, умение обобщать;

формировать навыки самостоятельного учебного труда учащихся.

Воспитательная: побуждать учащихся к само- и взаимоконтролю,

воспитывать познавательную активность, самостоятельность.

Тип урока: урок формирования и закрепления знаний , умений и навыков.

Оборудование : ноутбук, проектор, индивидуальные оценочные листы.

Оформление доски: тема урока, дата, задание 1, 2.

Структура урока:

— Индивидуальная проверка домашней работы по готовым ключам (через проектор).

Самооценка.

— Выявление проблемы и постановка целей урока.

— Решение нестандартных задач, составление алгоритма.

— Рефлексия. Самооценка.

— Дифференцированное домашнее задание.

Ход урока:

1 этап

Вводно- мотивационная часть

_____________________________________________________________________________

УВМ₁ ( учебно-воспитательный момент )

_{Задачи:}

Форма организации а) установить правильность и осознанность

познавательной деятельности усвоения учащимися понятия периодической

функции;

( ФОПД ) – индивидуальная б) оценить самостоятельно домашнюю работу.

Методы обучения ( МО ) —

наглядно-репродуктивный

Проверка домашней работы ( через проектор ). Слайд 1,2.

1. Найдите период функции ; ( 3балла.)

2. Функция у= f (х) –нечетная, периодическая с периодом Т = 8. На отрезке

[0; 4 ] она задана формулой f(х) = 12х – 3х². Найдите f ( 15). ( 3 балла)

3. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой, имеет период Т = 3, f(2) = 7. Найдите значение выражения 5f( 11 ) + 2 f ( -1 ) – 6 f ( — 10 ).

( 2 балла)

4*. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

( 5 баллов )

Возьмите оценочные листы и проставьте свои баллы за домашнюю работу .

Фамилия, имя

учащегося

Оцените свою домашнюю работу (предлагается решение по проектору, слайд2).

Всего за домашнюю работу 13 баллов.

Результат УВМ_{1. Мы повторили определение периодической функции, теоремы о}

периоде функции, проверили правильность выполнения домашней

работы, самостоятельно оценили ее.

__________________________________________________________________________

УВМ₂ Задачи:

ФОПД – фронтальная а) выявить неверные представления учащихся

МО – наглядно-эвристический о периоде функции, осуществить их коррекцию;

б) выявить учебную проблему и вместе с учениками

определить цель урока.

Вопросы по выполнению домашней работы:

1. Какие наименьшие положительные периоды у функций y = sin x, y = cos x, y= tg x,

y= ctg x, y= sin ² x, y = cos ² x ?. Какая теорема помогает определять периоды сложных функций? Демонстрация слайда 3.

2. Периодическая четная функция чем отличается от периодической нечетной

функции? (График четной периодической функции симметричен относительно оси

ординат, график нечетной периодической функции симметричен относительно

начала координат)

3. Почему последняя задача оказалась трудной ? ( Мы такие задачи еще не решали. )

4. Какие типы задач мы уже умеем решать по теме? Демонстрация слайда 4.

1 тип задач ( по определению периодической функции )

Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

2 тип задач ( по теоремам )

Найдите период функции .

3 тип задач ( графически – аналитический метод )

Функция f(х) на промежутке [ 0;2) определяется выражением 8х – 4х² и является

периодической с периодом 4. Функция g(х) на промежутке [0;4) задается

выражением 4х –х² – 1 и является периодической с периодом 4. Найдите

количество решений уравнения f(х) = g(х) на отрезке [ 3; 10 ].

4 тип задач ( задача с параметром )

Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

Выявление проблемы и постановка целей урока. Внимание на слайд 5.

Цели урока: повторить и закрепить знания о периоде функции.

уметь применять знания в нестандартных ситуациях.

развивать умение анализировать, умение обобщать

уметь работать самостоятельно.

Результат УВМ₂ . Таким образом, мы обнаружили неверные представления у

некоторых учащихся о периоде функции, провели их коррекцию;

мы знаем теоремы о периоде функции, умеем их применять в двух

типах задач;

мы выявили новую учебную проблему, поставили цели урока

___________________________________________________________________

2 этап

Основная часть урока.

___________________________________________________________________________

УВМ₁ Задача:

ФОПД – индивидуальная самостоятельное выделение учениками

МО— наглядно-эвристический задач нового типа

Ученикам предлагается набор задач для обсуждения ( разложены на партах цветные листы)

1. Функция f(х) периодическая с периодом, равным 2. На промежутке [ 0;2 ) эта функция совпадает с функцией у= х² – 2. Сколько раз пересекаются графики функций у= f(х) и у = 1 на отрезке [ 1;7]?

2. Функция f(х) периодическая, ее наименьший положительный период равен 5.

Определите чему равен наименьший положительный период функции

f(х) + sin .

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

4. Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

5. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является четной и

периодической с периодом 6. На отрезке [0;3] она задана равенством

f (х) = | 2х – 1 | – 2. Найдите количество нулей этой функции на отрезке [ -2; 11] .

Предлагается выбрать нестандартные задачи. Объясните свой выбор.( Задачи 3, 5)

Почему не выбрали вторую задачу? Как она решается? ( Эта задача стандартная , решается по второй теореме о периодических функциях)

Результат УВМ_{1 .} Итак, каждый из вас поработал самостоятельно и определил для

себя нетипичные задачи по теме. Обсудив с классом свой выбор,

мы определили две нестандартные задачи — № 3 и № 5.

_____________________________________________________________________________

УВМ₂ Задача:

ФОПД – фронтальная составить алгоритм для решения нового

МО – практически-эвристический типа задач.

Решение задачи № 3 из списка, составление алгоритма.

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен . ( В.8, 2006г. )

Решение задачи ( на доске )

, 2а + 5 0, а — 2,5 .

| 2а + 5 | = 4

а₁а₂ = 2,25

Ответ: 2,25.

Первое обсуждение с учащимися алгоритма решения задачи.

Решение задачи этого же типа( на доске )

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции равен

( В.8, 2007г. )

= а, а 0 ;

, а² + 4а – 8,5 0

14 = 4 | а² + 4а – 8,5 |

7 = 2 | а² + 4а – 8,5 |

| а² + 4а – 8,5 | = 3,5

1) 2)

а² + 4а – 12 = 0 а² + 4а – 5 = 0

a₁ = — 6, a ₂ = 2 a₁ = — 5, a ₂ = 1

a = 2 a = 1

Ответ: 2.

Алгоритм: 1. Определить период функции по теоремам.

2. Приравнять периоды функций

3. Решить уравнение с параметром.

4. Ответить на вопрос задачи.

Результатом УВМ₂ является алгоритм решения нового типа задач.

______________________________________________________________________

3 этап

Заключительная часть ( рефлексивно- оценочная )

_________________________________________________________________________

УВМ₁ Задача:

ФОПД – индивидуальная организовать выявление результативности

МО — практически-эвристический деятельности учащихся ;

Рефлексия. а) Подведем итоги урока. Внимание на слайд 6.

1 тип задач ( по определению периодической функции )

Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

2 тип задач ( по теоремам )

Найдите период функции .

3 тип задач ( графически – аналитический метод )

Функция f(х) на промежутке [ 0;2) определяется выражением 8х – 4х² и является

периодической с периодом 4. Функция g(х) на промежутке [0;4) задается

выражением 4х –х² – 1 и является периодической с периодом 4. Найдите

количество решений уравнения f(х) = g(х) на отрезке [ 3; 10 ].

4 тип задач ( задача с параметром )

Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

Оцените себя по 5-ти бальной системе за каждый тип задач.

Какой тип задач мы еще не научились решать ? (3 тип задач (графически-аналитический метод)).

Этот тип задач мы рассмотрим на уроках повторения, в конце года.

Самое большое 15 баллов. Поставьте баллы в оценочные листы .

б) Определите достигли ли вы поставленной цели урока ( проектор ).

Общее количество баллов за урок – 28 баллов.

«5» — 27 – 28 б.

«4» — 22 – 26 б.

«3» — 17 – 21 б.

Проверим как работал класс и каждый из вас .

На доске появляется запись 27 – 28 б. ( кол-во чел. )

22 – 26 б. ( кол- во чел.)

17 – 21 б. ( кол-во чел. )

Результатом УВМ_{1 является эта запись, которая показывает уровень работы}

класса на данном уроке, а также уровень работы каждого

из учащегося.

____________________________________________________________________________

УВМ₂ Задача:

ФОПД — индивидуальная самостоятельно определить уровень своих

МО – стимулирование знаний, умений по теме.

учения

Дифференцированное домашнее задание.

Учащиеся выбирают домашнюю работу по количеству набранных баллов.

Разные варианты печатаются на разных цветных листах ( голубые, желтые, зеленые).

Домашняя работа. 1 вариант. ( 17 – 21 балл )

1. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с

периодом, равным 10. Известно, что f(1) = 1, f(5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ] функция

является линейной. Найдите значение функции f(24).

2. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= sin (( 5a – 13 )x ) равен .

3. Найдите наименьший положительный период функции f(х) = .

Домашняя работа. 2 вариант. ( 22 – 26 баллов )

1. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= cos (( 2a – 11 )x ) равен .

2. Найдите наименьший положительный период функции f(х) = .

3.Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с

периодом, равным 10. Известно, что f(1) = 1, f(5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ] функция

является линейной. Найдите значение функции f(24).

Домашняя работа. 3вариант. ( 27 — 28 баллов )

1. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= sin (( a² + 6a – 17 )x ) равен .

2. Найдите значение функции f(15), если известно, что функция y= f(х) – нечетная,

имеет период 8 и на отрезке [ 0;4 ] функция имеет вид у= 12х – 3х^2.

3. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является четной и периодической

с периодом 4. На отрезке [ -2;0 ] эта функция задана формулой f(х) = 2 — | 2х + 1|

Найдите количество нулей этой функции на отрезке [-8; 3 ].

Результат УВМ₂ Самостоятельно выбрано домашнее задание.

Итоги урока: основным результатом урока является алгоритм решения нового

типа задач;

результатом урока является также ваша оценка за урок, которая

показывает насколько качественно усвоен учебный материал .

этапы урока	Задания	Количество баллов	Самооценка
	1	Домашняя работа	13
	3	1 тип задач	5
		2 тип задач	5
		4 тип задач	5
«5» — 27-28 баллов «4» — 22-26 баллов «3» — 17-21 балл		Итого:	28

Периодические формулы с примерами — GeeksforGeeks

Период определяется как интервал времени между двумя моментами времени, а периодическая функция определяется как функция, которая повторяется через равные промежутки времени или периоды времени. Другими словами, периодическая функция — это функция, значения которой повторяются через определенный интервал времени. Периодическая функция представляется как f(x + p) = f(x), где «p» — период функции. Синусоидальная волна, треугольная волна, прямоугольная волна и пилообразная волна являются некоторыми примерами периодических функций. Ниже приведены графики некоторых периодических функций, и мы можем заметить, что график каждой периодической функции обладает трансляционной симметрией.

Основной период функции

Область определения периодической функции охватывает все действительные числовые значения, а ее диапазон задан для фиксированного интервала. Периодическая функция — это функция, в которой существует положительное действительное число P такое, что f (x + p) = f (x), поскольку все x — действительные числа. Фундаментальный период функции — это наименьшее значение положительного действительного числа P или период, в течение которого функция повторяется.

f(x + P) = f(x)

, где

P — период функции, а f — периодическая функция.

Как определить период функции?

1. Периодическая функция определяется как функция, которая повторяется через равные промежутки времени или периоды.
2. Представляется как f(x + p) = f(x), где «p» — период функции, p ∈ R.
3. Период означает интервал времени между двумя появлениями волны.

Периоды тригонометрических функций

Тригонометрические функции являются периодическими функциями, а периоды тригонометрических функций следующие:

• Период Sin x и Cos x равен 2π .

т. е. sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x

• Период Tan x и Cot x равен π.

т. е. tan(x + π) = tan x и cot(x + π) = cot x

• Период Sec x и Cosec x равен 2π.

т. е. sec(x + 2π) = sec x и cosec(x + 2π) = cosec x

Период функции называется расстоянием между повторениями любой функции. Период тригонометрической функции — это длина одного полного цикла. Амплитуда определяется как максимальное смещение частицы в волне от равновесия. Проще говоря, это расстояние между самой высокой или самой низкой точкой и средней точкой на графике функции. В тригонометрии есть три фундаментальные функции, а именно sin, cos и tan, периоды которых составляют 2π, 2π и π периодов соответственно. За точку отсчета графика любой тригонометрической функции принимается x = 0,9.0003

Например, если мы посмотрим на приведенный ниже график косинуса, мы увидим, что расстояние между двумя вхождениями равно 2π, т. е. период функции косинуса равен 2π. Его амплитуда равна 1.

График косинуса

Периодические формулы

• Если «p» — период периодической функции f (x), то 1/f (x) также является периодической функцией и будет иметь тот же фундаментальный период p, что и f (x).

Если f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , тогда F (x + p) = F (x).

• Если «p» — период периодической функции f(x), то f (ax + b), a>0 — тоже периодическая функция с периодом p/|a|.

• Период Sin (ax + b) и Cos (ax + b) равен 2π/|a|.
• Период Tan (ax + b) и Cot (ax + b) равен π/|a|.
• Период Sec (ax + b) и Cosec (ax + b) равен 2π/|a|.

• Если «p» — период периодической функции f(x), то af(x) + b, a>0 — также периодическая функция с периодом p.

• Период [a Sin x + b] и [a Cos x + b] равен 2π.
• Период [a Tan x + b] и [a Cot x + b] равен π.
• Период [a Sec x + b] и [a Cosec x + b] равен 2π.

Практические задачи на основе периодической функции

Задача 1. Определить период периодической функции cos(5x + 4).

Решение:

Заданная функция: cos (5x + 4)

Коэффициент при x = a = 5,

Мы знаем, что

Период cos x равен 2π.

Итак, период cos(5x + 4) равен 2π/ |a| = 2π/5.

Следовательно, период cos(5x + 4) равен 2π/5.

Задача 2: Найдите период f(x) = cot 4x + sin 3x/2.

Решение:

Дана периодическая функция: f(x) = cot 4x + sin 3x/2

Мы знаем, что

Период cot x равен π, а период sin x равен 2π.

Итак, период раскладушки 4x равен π/4.

Итак, период sin 3x/2 равен 2π/(3/2) = 4π/3.

Теперь расчет периода функции f(x) = cot 4x + sin 3x/2 is,

Период f(x) = (НОК π и 4π)/(HCF 3 и 4) = 4π/1 = 4π.

Следовательно, период cot 4x + sin 3x/2 равен 4π.

Задача 3. Нарисуйте график y = 3 sin 3x+ 5.

Решение:

Учитывая, что y = 3 sin 3x + 5

Данная волна = а грех бх + с

На приведенном выше графике мы можем написать следующее:

1. Период = 2π/|b| = 2π/3
2. Ось: y = 0 [ось X]
3. Амплитуда: 3
4. Максимальное значение = (3 × 1) + 5 = 8
5. Минимальное значение = (3 × -1) + 5 = 2
6. Домен: { x : x ∈ R }
7. Диапазон = [ 8, 2]

Задача 4. Определить период заданной периодической функции 5 sin(2x + 3).

Решение:

Заданная функция: 5 sin(2x + 3)

Коэффициент при x = a = 2.

Мы знаем, что

Период cos x равен 2π.

Итак, период 5 sin(2x + 3) равен 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Следовательно, период 5 sin(2x + 3) равен π.

Задача 5: Найдите период f (x) = tan 3x + cos 5x.

Решение:

Дана периодическая функция: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Мы знаем, что

Период tan x равен π, а период cos x равен 2π.

Итак, период тангенса 3x равен π/3.

Итак, период cos 6x равен 2π/5.

Теперь расчет периода функции f(x) = tan 3x + cos 6x равен

Период f(x) = (НОК π и 2π)/(HCF 3 и 5) = 2π /1 = 2π.

Следовательно, период f (x) = tan 3x + cos 5x равен 2π.

Периодическая функция — определение, формула, свойства, график, примеры

Периодическая функция — это функция, которая повторяется через равные промежутки времени.

Период функции — важная характеристика периодических функций, помогающая определить функцию. А периодическая функция y = f(x), имеющая период P, может быть представлена ​​в виде f(X + P) = f(X).

Давайте узнаем больше о периодической функции, свойствах периодических функций и примерах периодических функций.

1.	Что такое периодическая функция?
2.	Периоды некоторых важных периодических функций
3.	Свойства периодических функций
4.	Некоторые важные функции периода
4.	Примеры периодической функции
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о периодической функции

Что такое периодическая функция?

Функция y = f(x) называется периодической, если существует положительное действительное число P такое, что f(x + P) = f(x), для всех x принадлежит действительным числам. Наименьшее значение положительного действительного числа P называется фундаментальным периодом функции. Этот основной период функции также называют периодом функции, на котором функция повторяется.

f(x + P) = f(x)

Функция синуса является периодической функцией с периодом 2π. Sin(2π + x) = Sinx.

Ниже приведены графики некоторых периодических функций. График каждой из перечисленных ниже периодических функций имеет трансляционную симметрию.

Периоды некоторых важных периодических функций

Период функции помогает нам узнать интервал, после которого диапазон периодической функции повторяется. Область определения периодической функции f(x) включает действительные числовые значения x, диапазон периодической функции представляет собой ограниченный набор значений в пределах интервала. Длина этого повторяющегося интервала или интервал, после которого диапазон функции повторяется, называется периодом периодической функции.

Период некоторых важных периодических функций следующий.

• Период Sinx и Cosx равен 2π.
• Период Tanx и Cotx равен π.
• Период Secx и Cosecx равен 2π.

Свойства периодических функций

Следующие свойства полезны для более глубокого понимания концепции периодической функции.

• График периодической функции симметричен и повторяется вдоль горизонтальной оси.
• Область определения периодической функции включает все значения действительных чисел, а диапазон периодической функции определяется для фиксированного интервала.
• Период периодической функции, относительно которого период повторяется, равен константе во всем диапазоне функции.
• Если f(x) — периодическая функция с периодом P, то 1/f(x) также будет периодической функцией с тем же фундаментальным периодом P.
• Если f(x) периодическая функция с периодом P, то f(ax + b) также периодическая функция с периодом P/|a|.
• Если f(x) — периодическая функция с периодом P, то af(x) + b — также периодическая функция с периодом P.

Некоторые важные периодические функции

Ниже приведены некоторые расширенные периодические функции, которые можно изучить подробнее.

Формула Эйлера: Формула комплексного числа e ^ix = Coskx + iSinkx состоит из функций косинуса и синуса, которые являются периодическими функциями. Здесь эти две функции являются периодическими, а формула Эйлера представляет периодическую функцию и имеет период 2π/k.

Эллиптические функции Яккоби: График этих функций имеет эллиптическую форму, а не круг, который часто встречается у тригонометрических функций. Эти эллиптические формы возникают из-за совместного участия двух переменных, таких как амплитуда и скорость движущегося тела или температура и вязкость вещества. Эти функции обычно используются при описании движения маятника.

Ряд Фурье: Ряд Фурье представляет собой суперпозицию различных периодических рядов волновой функции, образующую сложную периодическую функцию. Обычно он состоит из функций синуса и косинуса, и суммирование этих волновых функций осуществляется путем присвоения этим рядам соответствующих весовых составляющих. Ряд Фурье имеет приложения для представления тепловых волн, анализа вибрации, квантовой механики, электротехники, обработки сигналов, обработки изображений.

Связанные темы

Следующие темы помогают лучше понять периодические функции.

• Отношения и функции
• Типы функций
• Тригонометрические функции
• Логарифмические функции
• Сигнум-функция
• Ряд Фурье Формула

Часто задаваемые вопросы о периодической функции

Что такое периодическая функция в математике?

Функция y=f(x) называется -периодической функцией , если существует положительное действительное число P такое, что f(x + P) = f(x), для всех x принадлежит действительным числам. Наименьшее значение положительного действительного числа P называется фундаментальным периодом функции. Этот основной период функции также называют периодом функции, на котором функция повторяется. f(x + P) = f(x)

Как узнать, является ли функция периодической функцией?

Функция может быть идентифицирована как периодическая функция, если диапазон функции повторяется через равные промежутки времени, и функция имеет вид f(X + P) = F(X).

Что такое формула периодической функции?

Формула периодической функции: f(X + P) = F(x). Здесь функция повторяется для разных доменов.

Каковы примеры периодической функции?

Примерами периодических функций являются тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и все функции, которые представляют периодические или круговые движения в физике.

Что такое период в периодической функции?

Период периодической функции — это интервал, после которого диапазон функции повторяется. Периодическая функция f(x + p) = f(x) имеет такое же значение диапазона для более высоких значений домена.