На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Как выглядит формула, отражающая смысл теоремы Пифагора?
Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной, равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:
a² + b² = c².
О чем гласит теорема Пифагора?
В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.
При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих в образовании прямого угла.
Треугольник имеет прямой угол. Как доказать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного труегольника равна длине его гипотенузы, которая возведена в квадрат?
Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным 90º (∠ACB =∠CHA).
В обоих треугольниках есть один общий угол — ∠A.
Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН.
Основанием их
подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют
общий угол, которым является ∠B.
Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно утверждать, что:
a/с = HB/a, b/с = AH/b.
Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:
a2 = c * HB, b2 = c * AH.
На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:
a2 + b2 = c * HB + c * AH
Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:
a2 + b2 = c * (HB + AH)
Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:
a2 + b2 = c * AB
В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет переписать равенство следующим образом:
a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2
Таким образом, теорема Пифагора доказана.
2
Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:
x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2
Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен 5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.
Применима ли теорема Пифагора к любому треугольнику?
Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного треугольника.
Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, взятых в квадрат.
Дан прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 7 см, а одного катета – 6 см. Как вычислить длину второго катета, используя теорему Пифагора?
В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного
треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его
гипотенузы.
В случае с треугольником, некоторые параметры которого
приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:
х² = 7²-6² = 49-36 = 13.
Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа 13:
х =√13.
Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню квадратному из 13.
Длина одного из стоящих рядом домов равна 24 м, высота второго из них составляет 16 м. Как вычислить расстояние между крышами обоих домов, зная, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов?
Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора, которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом, возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во вторую степень:
a² + b² = c².
Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что
образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным
треугольником.
Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном
треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно
вычислить длину неизвестного катета:
24 м – 16 м = 8 м.
Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это, можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:
(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.
Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать длину расстояния между крышами двух домов.
Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.
Длина гипотенузы треугольника с прямым углом равна 13 см. Один из его катетов равен 12 см. Как найти длину его второго катета по теореме Пифагора?
Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:
х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25
Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь квадратный корень из числа 25:
х = √25 = 5
Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.
Дан треугольник с прямым углом, к гипотенузе которого проведена медиана длиной 6,5 м. Длина одного из катетов данного треугольника составляет 5 см. Как вычислить длину второго катета треугольника по теореме Пифагора?
Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:
с = 2*m = 2*6,5 = 13 см.
Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:
a²+b²=c²
В нашем случае:
5²+b²=13²
Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:
b²=13²-5²= 144
Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:
b = √144 = 12 см.
Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.
Как можно вычислить треугольник, для которого по теореме Пифагора, соблюдается равенство f2=a2+ b2?
Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом, как гласит теорема Пифагора.
Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой, которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника, расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и имеет гипотенузу f и катеты a и b:
∆АDF c ∠F= 90°
Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.
Существует ли теорема, которая обратна теореме Пифагора, и что она гласит?
Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно
этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина
его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин
двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.
Имеется равнобедренный треугольник, длина двух сторон которого равна 48 см, а третьей – 51 см. Как можно высчитать площадь данного треугольника по теореме Пифагора?
Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с равнобедренным треугольником является медианой.
Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет равна:
h = √((48 см)² — (25,5 см)²) = 10,5√15 см.
Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:
S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².
Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².
Каким образом можно вычислить высоту равностороннего треугольника со стороной а по теореме Пифагора?
В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию,
является также его биссектрисой и медианой.
Она делит равносторонний
треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым
углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный
вопрос следует применить теорему Пифагора:
h²=a²-(a/2)²=a²-(a²/4)=3a²/4
h=a√3/2.
Дан треугольник с прямым углом, длина одного из катетов которого вдвое меньше длины его второго катета. Гипотенуза данного треугольника равна корню квадратному из 15. Как по теореме Пифагора вычислить длину меньшего из катетов треугольника?
Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:
(2х)²+(x)²=√15
После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:
4х²+x²=15
Складываем слагаемые в первой части и получаем:
5x²=15
Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:
x²=3
Это значит, что:
x=√3
Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.
Известно, что длина одного из катетов прямоугольного треугольника составляет 60 см, а длина его гипотенузы и второго катета в сумме дают 180 см. Можно ли по теореме Пифагора высчитать длину гипотенузы данного треугольника?
Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для данного треугольника:
x²+60²=(180-x)² = x²+3600=32400-360x+x²
После сокращений получается следующее равенство:
360х=32400-3600=28800
Теперь можно найти значение х:
х=28800/360=80
Длина второго катета равна 80 см.
Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180 см, можно вычислить длину гипотенузы:
180-80=100 см.
Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.
Дана прямоугольная трапеция ABCD. Ее углы А и В равны по 90°. Длины боковых
сторон данной трапеции составляют 9 см и 18 см. Диагональ АС составляет 15
см.
Как можно вычислить длину основания трапеции по теореме Пифагора?
АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см. Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:
√15²-9²=√144=12 см.
Произведем перенос высоты:
СС1=АВ=9 см.
Тогда получаем, что:
C1D=√18²-9²=9√3
BC=AC1=12
AD=12+9√3 см.
Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.
формула, доказательство, задачи по геометрии для 8 класса
О важности теоремы Пифагора высказался Иоганн Кеплер: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теоремой Пифагора и делением отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем»
Наталия Юмагулова
Учитель математики
Теорема Пифагора актуальна в заданиях как базового, так и профильного ЕГЭ по математике.
За верное решение задач базового уровня дается 1 балл, за задания повышенного уровня начисляется 3 балла. В статье мы рассмотрим доказательство теоремы и решим пару задач по теме. Благодаря качественному изучению этого материала экзаменуемый справится с рядом заданий и получит за них наивысший балл.
Что такое теорема Пифагора
Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Изображение: Наталия Юмагулова.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Важно!
Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. Гипотенуза больше любого из катетов («Геометрия. 8 класс. Учебник», А. Г. Мерзляк).
c² = a² + b²
Из этой формулы выводятся следующие:
с = √a² + b²
a = √c² — b²
b = √c² — a²
В литературе есть около 400 доказательств
теоремы Пифагора.
Изображение:
wikipedia.org
Дано:
△АВС — прямоугольный;
＜АСВ = 90⁰.
Доказать:
АВ² = АС² + ВС².
Доказательство:
Проведем высоту СН.
АН, НВ — проекции катетов АС и ВС на гипотенузу. По теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Значит,
АС² = АВ × АН; ВС² = АВ × НВ.
Сложим почленно эти равенства:
АС² + ВС² = АВ × АН + АВ × НВ = АВ × (АН + НВ) = АВ ×АВ = АВ².
Что и требовалось доказать.
В ТЕМУ
Задачи на теорему Пифагора
Переходим к решению задач с помощью теоремы Пифагора.
Задача №1. Чертеж: Наталия Юмагулова.
Задача №1
Центр окружности, описанной около треугольника КРH, лежит на стороне КН.
Радиус окружности равен 10. Найдите КР, если РН равен 12
Дано:
Описанная окружность с центром в точке О.
О ∈ КН;
R = 10;
РН = 12.
Найти: КР.
Решение:
Так как окружность описанная, то все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, угол ＜КРН — вписанный.
По условию задачи центр окружности О ∈ КН, значит, хорда КН является диаметром.
КН = 2R = 2 ✕ 10 = 20.
Вписанный угол ＜КРН, опирающийся на диаметр, — прямой, значит, треугольник КРН — прямоугольный.
По теореме Пифагора:
КР = √КН² — РН²,
КР = √400-144 = √256 = 16
Ответ: КР = 16
В ТЕМУ
Задача №2. Чертеж: Наталия Юмагулова.
Задача №2 Дано:
Пирамида МАВС с высотой МА. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом С.
Найти:
1) Угол между ребрами МС и ВС. Ответ дайте в градусах.
2) МВ, если МС = 12, ВС = 5.
Решение:
1) Так как по условию задачи МА — высота пирамиды, то МА ⟂ (АВС). АС — проекция наклонной МС на плоскость АВС. Так как АС ⟂ ВС, то, по теореме о трех перпендикулярах, МС ⟂ ВС, следовательно, угол между МС и ВС равен 90° (градусов).
Ответ: 90°.
2) Так как из пункта 1 МС ⟂ ВС ⇒ треугольник МСВ — прямоугольный ⇒ по теореме Пифагора: МВ = √МС² + ВС² ⇒ МВ = √144 + 25 = √169 = 13.
Ответ: МВ = 13.
Популярные вопросы и ответы
Почему теорему Пифагора изучают на геометрии в 8 классе?
Потому что это необходимый теоретический материал для решения задач с помощью данной теоремы: квадратные уравнения, арифметический квадратный корень, подобие треугольников и другие.
Эти темы изучаются именно в 8 классе.
Где и когда возникла теорема Пифагора?
Согласно сирийскому историку Ямвлиху, Пифагора познакомили с учителем математики Фалесом Милетским и его учеником Анаксимандром. После известно, что Пифагор отправился в Египет для продолжения своих исследований, был захвачен во время вторжения Камбиса II из Персии в 525 году до н. э. и доставлен в Вавилон. Пифагор вскоре поселился в Кротоне (ныне Кротон, Италия) и основал школу или, говоря современным языком, монастырь, где все члены дали строгий обет хранить тайну, а все новые математические результаты на протяжении нескольких столетий приписывались его имени. Таким образом, до конца неизвестно первое доказательство теоремы, а также есть некоторые сомнения в том, что сам Пифагор действительно ее доказал. Она была одной из первых теорем, пришедших из древних цивилизаций.
Теорема Пифагора — самый известный математический вклад ученого.
Согласно одной из легенд, он был так счастлив, когда решил доказательство, что принес в жертву 100 быков.
Также при изучении вавилонских клинописных табличек и древнекитайских рукописей было установлено, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него. Так, немецкий математик Кантор выяснил, что равенство 32 + 42 = 52 было известно египтянам около 2300 лет до н. э., еще во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6 619 Берлинского музея). Такой треугольник со сторонами 3, 4, 5 получил название «египетский треугольник». Одни предполагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие считают по-другому. Например, доказательство в «Началах Евклида» (Предложение 47), по утверждению Прокла, принадлежит самому Евклиду, а не Пифагору.
Где в жизни можно применить теорему Пифагора?
Широкое применение имеет теорема при решении геометрических задач: нахождении длин, расстояний в прямоугольном треугольнике.
Большой спектр применения есть у этой великой теоремы в физике, астрономии, строительстве, архитектуре, литературе.
Как звучит обратная теорема Пифагора?
Если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
Фото на обложке: Liza Summer, pixals.com
Комментарии для сайта Cackle
Теорема Пифагора с примерами
Теорема Пифагора — это способ связи длин катетов прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, которая является стороной, противоположной прямому углу. Несмотря на то, что он написан в этих терминах, его можно использовать для нахождения любой стороны, если вы знаете длины двух других сторон. В этом уроке мы рассмотрим несколько различных типов примеров применения этой теоремы.
Содержание
- Примеры использования теоремы Пифагора
- Решение прикладных задач (текстовые задачи)
- Решение алгебраических задач
- Резюме
реклама
Применение теоремы Пифагора (примеры)
В приведенных ниже примерах мы увидим, как применить это правило для нахождения любой стороны прямоугольного треугольника.
Как и в приведенной ниже формуле, пусть a и b будут длинами катетов, а c будет длиной гипотенузы. Помните, однако, что вы можете использовать любые переменные для представления этих длин.
В каждом примере внимательно следите за предоставленной информацией и тем, что мы пытаемся найти. Это поможет вам определить правильные значения для использования в различных частях формулы.
Пример
Найдите значение \(х\).
Решение
Сторона, противоположная прямому углу, обозначена как \(x\). Это гипотенуза. При применении теоремы Пифагора этот квадрат равен сумме двух других квадратов сторон. Математически это означает: 92\)
Следовательно, мы можем написать:
\(\begin{align}x &= \sqrt{100}\\ &= \bbox[border: 1px сплошной черный; padding: 2px]{10}\end{align}\)
Возможно, вы помните, что в таком уравнении \(x\) также может быть –10, поскольку –10 в квадрате также равно 100. Но длина любой стороны треугольника никогда не может быть отрицательной, поэтому мы рассматриваем только положительный квадратный корень.
В других ситуациях вы будете пытаться найти длину одной из сторон прямоугольного треугольника. Вы все еще можете использовать теорему Пифагора в задачах такого типа, но вам нужно быть осторожным с порядком, в котором вы используете значения в формуле. 92 = 80\)
Следовательно:
\(\begin{align}y &= \sqrt{80} \\ &= \sqrt{16 \times 5} \\ &= \bbox[border: 1px сплошной черный; padding: 2px]{4\sqrt{5 }}\конец{выравнивание}\)
В этом последнем примере мы оставили ответ в точной форме вместо того, чтобы найти десятичную аппроксимацию. Это обычное дело, если только вы не работаете над прикладной проблемой.
Приложения (словные задачи) с помощью теоремы Пифагора
Существует множество различных задач из реальной жизни, которые можно решить с помощью теоремы Пифагора. Самый простой способ убедиться в том, что вы должны применять эту теорему, — это нарисовать любую описываемую ситуацию.
Пример
Два туриста выходят из хижины одновременно, один направляется на юг, а другой — на запад.
Через час путешественник, идущий на юг, преодолел 2,8 мили, а турист, идущий на запад, преодолел 3,1 мили. Каково в этот момент кратчайшее расстояние между двумя туристами?
Решение
Сначала нарисуйте полученную информацию. Пометьте любое неизвестное значение именем переменной, например x.
На юг и на запад образуют прямой угол, а кратчайшее расстояние между любыми двумя точками — прямая линия. Следовательно, мы можем применить теорему Пифагора и написать: 92\)
Теперь используйте свой калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень. Скорее всего, вам придется округлить ответ.
\(\begin{align}x &= \sqrt{17,45} \\ &\приблизительно 4,18 \text{мили}\end{align}\)
Как видите, вам предстоит определить, является ли прямой угол частью ситуации, данной в словесной задаче. Если это не так, то вы не можете использовать теорему Пифагора.
Задачи в стиле алгебры с теоремой Пифагора
Существует еще один тип задач, с которым вы можете столкнуться, когда используете теорему Пифагора для записи некоторого типа алгебраического выражения.
2\)
92}\)
Наконец, это упрощает, чтобы дать нам выражение, которое мы ищем:
\(y = \bbox[border: 1px сплошной черный; padding: 2px]{x\sqrt{3x}}\)
реклама
Сводка
Теорема Пифагора позволяет найти длину любой из трех сторон прямоугольного треугольника. Это одна из тех вещей, которые вы должны запомнить, поскольку она встречается во всех областях математики и, следовательно, во многих различных математических курсах, которые вы, вероятно, будете изучать. Помните, чтобы избежать распространенной ошибки, когда вы путаете катеты в формуле с гипотенузой, и всегда рисуйте рисунок, если его нет.
Подпишитесь на нашу рассылку!
Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем дополнительные учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.
Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), сообщающие о новинках!
Использование теоремы Пифагора для решения задач
Результаты обучения
- Использование теоремы Пифагора для нахождения неизвестной длины стороны прямоугольного треугольника
Теорема Пифагора — это особое свойство прямоугольных треугольников, которое использовалось с древних времен.
Он назван в честь греческого философа и математика Пифагора, который жил около [латекс]500[/латекс] до н.э. 9{2}=25[/латекс].
Мы будем использовать это определение квадратных корней, чтобы найти длину стороны прямоугольного треугольника.
пример
Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.
Решение
| Шаг 1. Прочтите проблему. | |
| Шаг 2. Определите , что вы ищете. | длина гипотенузы треугольника |
| Шаг 3. 9{2}}[/латекс] [латекс]9+16\stackrel{?}{=}25[/латекс] [латекс]25+25\галочка[/латекс] | |
| Шаг 7. Ответьте на вопрос. | Длина гипотенузы равна [латекс]5[/латекс]. |
попробуйте
пример
Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину более длинной ноги.
Показать раствор
попробовать
example
Кельвин строит беседку и хочет укрепить каждый угол, поместив [латекс]\текст{10-дюймовый}[/латекс] деревянный кронштейн по диагонали, как показано на рисунке.