Первообразная f x 3x: f(x) = 3x найти первообразную

Электронный учебник по математическому анализу

7.2 Таблица основных первообразных

Если мы имеем какую-то операцию, то естественно поставить и обсудить вопрос о ее обращении.

Дифференцирование функций можно рассматривать как операцию D, которая из заданной функции “изготавливает” новую функцию, ее производную:

Рассмотрим задачу обращения этой операции: для заданной функции g(x) найти такую функцию G(x), что выполняется равенство:

\begin{equation} \frac{dG(x)}{dx}=g(x). (15) \label{int1} \end{equation}

Определение. Функция $G(x)$ удовлетворяющая соотношению (15), называется первообразной функции $g(x)$ (или: неопределенным интегралом от функции $g(x)$).

Обозначение. Функция $G(x)$ удовлетворяющая соотношению (15), обозначают

\[ G(x)=\int g(x)dx. \]

Пример.

Известно, что $(\sin x)’=\cos x$. Поэтому функция $\sin x$ является первообразной функции $\cos x$.

Из свойств операции дифференцирования следует, что если $G(x)$ — первообразная функции $g(x)$, то для любой константы $C$ функция $G(x)+C$ также является первообразной функции $g(x)$. Это следует из простого вычисления: $$\frac{d}{dx}(G(x)+C)=\frac{d}{dx}G(x)+\frac{d}{dx}C=g(x)+0.$$ Вопрос: сколько первообразных может быть у функции?

Теорема.Пусть $G(x)$ — первообразная непрерывной функции $g(x)$. Тогда любая первообразная этой функции лишь на константу отличается от $G(x)$.

Доказательство.

Пусть $F(x)$ — еще одна первообразная функции $g(x)$, положим $H(x)=F(x)-G(x)$. Тогда $dH(x)/dx=0$ при всех $x$. Применим теорему Лагранжа к функции $H(x)$. Для любых точек $x_1$ и $x_2$ имеем: $H(x_1)-H(x_2)=0\cdot (x_1-x_2)=0$. Следовательно, значение $H(x)$ не зависит от $x$.

Свойства первообразной тесно связаны со свойствами, которыми обладает операция дифференцирования.

1. Первообразная от суммы функций равна сумме первообразных,

\[ \int \left(f(x)+g(x)\right )dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx. \]

2. Константу можно вынести за знак интеграла: если $C=const$, то

\[ \int C\cdot f(x)dx=C\cdot \int f(x)dx. \]

3. При дифференцирование первообразной получается исходная функция,

\[ \left (\int f(x)dx\right )’=f(x). \]

4. Пусть $\int f(x)dx=F(x)$, $a,b=const$. Тогда

\[ \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b). \]

Все эти сотношения легко проверяются с помощью дифференцирования.

Пример.

Рассмотрим пример на последнее свойство. Вычислим интеграл

\[ \int \frac{1}{3x+5} dx. \]

В данном случае $a=3,b=5, f(x)=1/x$, так что $F(x)=lnx$. В итоге получаем:

\[ \int \frac{1}{3x+5} dx=\frac{1}{3}ln(3x+5)+C. \]

7. 2 Таблица основных первообразных

Первообразная — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Определение первообразной
2. Основное свойство первообразной

3. Три правила нахождения первообразных
Функция F называется первообразной для функции f
на заданном промежутке, если для всех x из этого
промежутка
F (x) = f(x)
F(x) = x3/3 есть первообразная для функции f(x)=x2 на
интервале (- ; ), так как
F (x) = (x3/3) = 1/3(x3) = 1/3*3×2 = x2 = f(x)
для всех x (- ; ).
Любая первообразная для функции f на промежутке I
может быть записана в виде
F(x) + C,
Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на
промежутке I, а С – произвольная постоянная.
Признак постоянства функции
Если F (x) = 0 на некотором промежутке I, то
функция F – постоянная на этом промежутке.
1. Какое бы число не подставить в формулу С получим
первообразную для функции f на промежутке I.
2. Какую бы первообразную F для f на промежутке I не
взять, можно подобрать такое чисто С, что для всех
значений x из промежутка I выполнится равенство
F (x) = F(x) + C
График двух любых первообразных для функции
получается путем параллельного переноса вдоль оси OY.
Функция
f
k
(постоян
ная)
xn
(n Z,
n 1)
1
√x
sin x
cos x
1
cos2 x
1
sin2 x
Общий
вид
первооб
разных
kx + C
xn + 1
n+1 +C
2√x + C
-cos x + C
sin x + C
tg x + C
-ctg x + C
Пример 1
f(x) = -x3, найти F(x)
F (x) = -x4/4, так как (-x4/4) = -x3
Пример 2
f(x) = 1/x2, найти F0(x) на
(0; ), F(1) = 1
F(x) = -1/x + C
-1/1 + C = 1
-1 + C = 1
C=2
F0(x) = -1/x + 2
Общий вид первообразной:
F(x) = -x4/4 + C
Правило 1
Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g,
то F + G есть первообразная для f + g:
(F + G) = F + G = f + g
Пример
f(x) = x3 + 1/x2, найти F(x)
(x3) = x4/4
(1/x2) = -1/x, =>
F(x) = x4/4 — 1/x + C
Правило 2
Если F есть первообразная для f, а k — постоянная, то функция
kF – первообразная для kf:
(kF) = kF = kf
Пример
f(x) = 5cosx, найти F(x)
(cosx) = sinx, =>
F(x) = 5sinx + C
Правило 3
Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные,
причем k 0, то 1/k*F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b):
(1/k*F(kx + b) ) = 1/k*F (kx + b) * k = f(kx + b)
Пример
f(x) = 1/(7 — 3x)5, найти F(x)
(1/x5) = -1/4×4
F(x) = -1/3 * (-1)/4(7 — 3x)4 = 1/12(7 — 3x)4
F(x) = 1/12(7 — 3x)4 + C

English     Русский Правила

Интеграл

В исчислении интеграл — это математический объект, который соответствует суммированию бесконечно малых данных, которые могут описывать такие понятия, как перемещение, площадь и объем. Процесс вычисления интеграла называется интегрированием и является операцией, обратной дифференцированию.

Для заданной функции f(x), непрерывной на интервале [a, b], интеграл функции по интервалу представляет площадь под графиком f(x) и обозначается следующим образом:

Буквы a и b на символе интеграла обозначают границы интегрирования; f(x) называется подынтегральной функцией; dx — переменная интегрирования. Вышеприведенное можно прочитать как «интеграл от a до b от f (x)», где x — переменная интегрирования.

Интегралы описываются как определенные или неопределенные интегралы. Интеграл выше является определенным интегралом, потому что пределы интегрирования определены. С другой стороны, неопределенный интеграл не имеет таких границ. Скорее, неопределенный интеграл — это антипроизводная или функция, производная которой является функцией. Неопределенный интеграл обозначается почти так же, как и определенный интеграл, за исключением того, что нет ограничений на символ интеграла:

Результатом неопределенного интеграла является антипроизводная F(x) функции f(x) плюс некоторая константа C:

Член C необходим, так как производная константы равна 0, поэтому существует любое количество антипроизводных, которые могут удовлетворять приведенному выше уравнению. Например, учитывая, что f(x) = 3x ² , одна антипроизводная для f(x) равна x ³ , поскольку, используя правило степени, производная x ³ равна 3x ² . Однако производная от x ³ + 1, x ³ — 4, x ³ + ⅓, или x ³ + C, все также 3x ² . Таким образом, нахождение неопределенного интеграла функции означает нахождение множества ее антипроизводных. Это отличается от определенного интеграла, в котором результатом интегрирования является некоторое число.

Существует множество четко определенных правил интеграции часто используемых функций. В приведенной ниже таблице показаны некоторые из наиболее распространенных, но не включены некоторые из более сложных правил, таких как интеграция путем замены или интеграция по частям.

Интегральные правила
Ноль
Константа
Умножение на константу
Степенное правило (n ≠ -1)
Правило сумм
Правило разности
Тригонометрические интегралы
Экспоненциальные интегралы

Ниже приведены несколько примеров использования интегральных правил для нахождения неопределенного интеграла заданной функции.

Примеры

Оцените следующие выражения.

1. :

Квадратный корень можно переписать в виде степени, чтобы можно было использовать правило степени, что позволяет интегрировать выражение следующим образом:

2. :

Во-первых, упростим подынтегральное выражение :

Затем выражение можно проинтегрировать с помощью степенного правила:

Основная теорема исчисления

Если f является производной F , то мы называем F первообразной от f .

Мы уже знаем, как находить первообразные — мы просто не сказали вам, как они называются. Это похоже на то, когда вы понимаете, что означают все тонкие знаки в фильме М. Найта Шьямалана. Серьезно, как эй. Всякий раз, когда нам дают производную, и мы «думаем назад», чтобы найти возможную исходную функцию, мы находим первообразную.

Пример задачи

Пусть f ( x ) = 3 x ² . Найдите первообразную f .

Ответ

Думаем в обратном направлении: от чего можно взять производную, чтобы получить 3 x ² ? Эта производная выглядит так, как будто она получена из правила степени, поэтому исходная функция должна включать

x ³ . Поскольку производная от x ³ равна 3 x ² , функция

F ( x ) = x ³

— это антидервика F ( x ) = 3 x ( x ) = 3 x

6 2

6.

Любая другая производная от 3 x ² будет иметь вид x ³ + C , где C — константа. Обычно мы берем C = 0. Для FTC не имеет значения, какую первообразную мы используем, поэтому мы можем использовать самую простую.

Эти упражнения должны быть в основном обзорными и помочь вам вспомнить, как работает обратное мышление. Возможно, вы захотите сначала просмотреть правила использования деривативов.

Чтобы проверить ответ на задачу такого рода, возьмите производную от вашего ответа. Если вы возьмете производную от вашего ответа F и получите f , данное в задаче, то F является первообразной f и вы правильно решили задачу. Золотые звезды вокруг.

Теперь, когда мы знаем, что такое первообразные, мы можем использовать их вместе с FTC для вычисления некоторых интегралов, которые раньше не умели вычислять. FTC говорит, что если f непрерывно на [ a , b ] и является производной от F , тогда

Это означает, что если мы хотим знать , мы

5 5 6
5 F
5
5 f ,

2) вычислить F в пределах интегрирования и

3) вычесть, чтобы найти F ( b ) – F ( a ).

При вычислении определенных интегралов для практики вы можете использовать калькулятор для проверки ответов. Если вы не знаете, как использовать свой калькулятор для нахождения интегралов, вы можете посмотреть в руководстве, поискать в Интернете, попросить друга или своего учителя. Но практиковаться в выполнении интегралов вручную до тех пор, пока они не станут настолько простыми, что вы больше не будете возражать.

Вот несколько причин попрактиковаться в вычислении интегралов вручную.

1) В какой-то момент вам, вероятно, потребуется пройти тест на интеграцию, не имея калькулятора. Среднесрочные, кто-нибудь?

2) Даже если вам разрешено пользоваться калькулятором, ваш учитель, вероятно, захочет увидеть шаги, которые вы предприняли, чтобы получить ответ.

3) Если вас попросят интегрировать что-то, что использует буквы вместо цифр, калькулятор не сильно поможет (некоторые из более сложных калькуляторов помогут, но смотрите первые два пункта).

4) Позже в исчислении вы начнете сталкиваться с задачами, требующими от вас сначала найти интеграл, а затем делать с ним другие действия.