Первый интеграл – Первый интеграл — это… Что такое Первый интеграл?

Первый интеграл — это… Что такое Первый интеграл?

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

— дифференцируемая функция , , такая, что её производная по направлению векторного поля

для всех из области . Другими словами, функция постоянна на любом решении системы, содержащемся в области .

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть — область в , — дифференцируемое векторное поле в , , . Тогда существует такая окрестность точки , что система дифференциальных уравнений

имеет в этой окрестности ровно функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения относительно функции первым интегралом является функция (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.

dic.academic.ru

Первые интегралы

6.1Уравнения в полных дифференциалах

6.1.1Напоминание: дифференциал функции нескольких переменных

Нам нужно вспомнить некоторые понятия многомерного математического анализа, возможно, посмотрев на них под новым углом.

Пусть f:Rn→R — некоторая функция от точки x=(x1,…,xn). (В этой главе мы будем обозначать полужирным шрифтом объекты из многомерных пространств, чтобы не путать их с координатами.) Если эта функция достаточно «хорошая», у неё есть частные производные ∂f∂x1,…,∂f∂xn, а если она совсем хорошая, то для любого вектора v=(v1,…,vn) справедливо равенство:

f(x+v)−f(x)=∂f(x)∂x1v1+…+∂f(x)∂xnvn+o(∥v∥),

где ∥v∥ — какая-нибудь норма вектора v (например, сумма модулей его координат). Здесь предполагается, что норма вектора v достаточно маленькая для того, чтобы левая часть равенства была определена.

Давайте посмотрим на это равенство повнимательнее. В левой части написана разность значений функции f в точках x и x+v. Если откинуть o(∥v∥), в правой части останется выражение, зависящее от точки x и вектора v, причём оно зависит от вектора v

линейно, поскольку при фиксированном x является просто линейной комбинацией координат вектора v. Иными словами, здесь сказано, что при изменении точки x на вектор v значение функции f меняется примерно как значение линейной функции от вектора v. Чем меньше норма вектора v, тем точнее равенство. Сама линейная функция зависит от точки x.

Итак, выражение в правой части является дифференциальной 1-формой. Она обычно обозначается символом df. Дадим формальное определение.

Здесь x∈Rn — точка в n-мерном пространстве и v∈Vn — вектор, также из n-мерного линейного пространства.

Итак, дифференциал на самом деле — это дифференциальная 1-форма.

Напомним, что мы ранее определяли координатные функционалы: если в пространстве Vn задан базис и вектор v имеет координаты v=(v1,…,vn), можно определить функционалы dxk(v)=vk. В этих обозначениях дифференциал запишется так:

df(x,v)=∂f(x)∂x1dx1(v)+…+∂f(x)∂xndxn(v).

Обычно зависимость от v не указывают и пишут просто:

df(x)=∂f(x)∂x1dx1+…+∂f(x)∂xndxn.

6.1.2Дифференциал и скорость

Напомним механический смысл производной в одномерном случае. Пусть f:R→R — некоторая дифференцируемая числовая функция одной переменной x. Рассмотрим следующий вопрос:Вопрос 1. С какой скоростью меняется значение f при x=x0?

Если задать этот вопрос любому человеку, знакомому с математическим анализом, он мгновенно ответит «производная же!». И будет прав, но лишь отчасти. Производная f′(x0) действительно является мгновенной скоростью изменения f, но лишь в том случае, когда x является временем. Иными словами, это ответ на такой вопрос:

Вопрос 2. С какой скоростью меняется значение f в момент времени x=x0, если x — это время?

Можно предложить другую интерпретацию вопроса 1: не отождествлять x со временем, а предположить, что x само зависит от времени t, то есть x есть функция от t. Пусть x(t0)=x0. В этом случае получится такой вопрос:

Вопрос 3. С какой скоростью меняется значение функции f в тот момент, когда x=x0, если x зависит от времени: x=x(t).

Ответ на него будет отличаться от ответа на вопрос 2, он даётся теоремой о производной сложной функции.

df(x(t))dt∣∣∣t=t0=f(x)dx∣∣∣x=x0⋅dx(t)dt∣∣∣t=t0=f′(x0)˙x(t0)(6.2)

Таким образом, чтобы ответить на вопрос 3, достаточно знать производную функции f в точке x0 и скорость, с которой x проходит точку x0: (никакая другая информация о функции x=x(t) нам не нужна. Если обозначить эту скорость через v, правая часть (6.2) запишется в виде

f′(x0)v

Для фиксированной точки x0 это линейная функция от v. Таким образом, перед нами дифференциальная 1-форма, определённая на одномерном пространстве. Эта форма называется полным дифференциалом функции f и обозначается df. Как видим, в случае функции одной переменной дифференциал задаётся просто значением производной. Однако, это разные понятия: производная — это число, а дифференциал — это линейная функция. Просто в одномерном мире каждая линейная функция имеет вид kv и задаётся одним числом, поэтому знания производной достаточно, чтобы задать дифференциал, и поэтому о дифференциалах функций одной переменной почти не говорят. Но они есть.

Понятие дифференциала функции нескольких переменных создано, чтобы отвечать на вопрос 1 для многомерного случая, однако сначала его нужно правильно задать. Рассматривая функцию одной переменной можно отождествить её аргумент со временем и рассматривать вопрос 2. Для функций нескольких переменных это невозможно, поскольку время одномерно. В то же время, переформулировка вопроса 3 вполне осмысленна. Ответ на него даётся следующей теоремой.

Теорема 1. Действительно, пусть x — точка в многомерном пространстве Rn и функция f:Rn→R определена на этом многомерном пространстве. Пусть точка x движется со временем, то есть определена вектор-функция x:R→Rn, x=x(t). Рассмотрим момент времени t=t0. Пусть x(t0)=x0 и точка x движется в этот момент со скоростью ˙x(t0)=v. Тогда скорость изменения функции f в этот момент времени равна значению дифференциала df, вычисленного в точке x0 на векторе v. Доказательство. Мы приведём «бескоординатное» доказательство, опирающееся на определение 1. В параграфе 6.2.3 приводится доказательство близкого утверждения с помощью координат.

Из определения производной вектор-функции следует, что утверждение ˙x(t0)=v можно переформулировать так:

x(t0+Δt)=x(t0)+Δt⋅v+o(Δt)=x0+Δt⋅v+o(Δt),(6.3)

где o(Δt) — это вектор, каждая из компонент которого является o(Δt). Это просто векторная форма записи аналогичных утверждений для каждой из компонент x.

Из формулы (6.1) теперь следует, чтоf(x(t0+Δt))=f(x0+Δt⋅v+o(Δt))==f(x0)+df(x0,Δt⋅v+o(Δt))+o(Δt∥v∥)==f(x0)+df(x0,v)Δt+o(Δt). Мы воспользовались здесь линейностью дифференциала (вынесли из него o(Δt)), а также тем фактом, что o(Δt∥v∥)=o(Δt) при фиксированном векторе v.

По определению производной функции одной переменной, из получившегося равенства следует, что производная функции f(x(t)) в точке t=t0 равна df(x0,v), что и требовалось.∎

6.1.3Поле направлений и линии уровня

Как мы обсуждали в параграфе 5.4.1, дифференциальные формы задают поля направлений. Возникает естественный вопрос: как устроено поле направлений, заданное уравнением

dH=0

для некоторой дифференцируемой функции H?

Прежде, чем отвечать на него в общем виде, рассмотрим пример.

Пример 1. Пусть

H(x,y)=x22+y22.

Тогда

dH(x,y)=xdx+ydy.

Поле направлений, заданное уравнением

xdx+ydy=0

выглядит следующим образом: через произвольную точку (x0,y0) проходит прямая, состоящая из векторов v=(vx,vy), для которых

x0vx+y0vy=0.

Это уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом −x0/y0 при y0≠0, или вертикальную прямую при y0=0,x0≠0.

Легко показать, что для каждой точки (x0,y0) соответствующая прямая будет перпендикулярной к радиус-вектору этой точки (угловой коэффициент радиус-вектора равен y0/x0 и если умножить его на угловой коэффициент прямой, то получится -1).

Таким образом, наше поле направлений выглядит примерно так.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5, 5))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
fs = lambda x, y: np.array([-y, x])/np.linalg.norm(np.array([x, y])) 
ob.mquiver(np.linspace(-4, 4, 15), np.linspace(-4, 4, 15),
           fs, color='Teal', pivot='mid', headlength=0, headwidth=0, 
           scale=2, minlength=0, headaxislength=0, scale_units='x')

Заметим, что линии уровня функции H — окружности и наше поле направлений касается этих окружностей.

Случайное совпадение? А вот и нет.

Утверждение 1. Пусть H:R2→R — некоторая дифференцируемая функция. Её линии уровня H=const в каждой своей точке касаются поля направлений, заданного уравнением dH=0. Доказательство. Давайте вернёмся к определению дифференциала. Значение дифференциала на некотором векторе показывает, как в первом приближении меняется значение функции при сдвиге на этот вектор. Линии уровня — это линии, на которых значение функции не меняется. Если мы хотим двигаться вдоль линии уровня, нам нужно двигаться в направлении такого вектора, на котором дифференциал равен нулю. То есть в направлении вектора, лежащего на прямой из нашего поля направлений. Значит, линия уровня касается поля направлений.

Аккуратное доказательство требует применения теоремы о неявной функции, но по существу будет повторять это рассуждение.∎

6.1.4Полные дифференциалы

Утверждение 1 даёт новый метод решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

dydx=f(x,y)g(x,y)(6.4)

и поле направлений, заданное дифференциальной 1-формой:

f(x,y)dx−g(x,y)dy=0.(6.5)

Согласно упражнению 2 из предыдущей главы, поля направлений, соответствующие уравнениям (6.4) и (6.5), совпадают. Как обсуждалось в параграфе 1.3, найти решение уравнения (6.4) — это всё равно, что найти всевозможные кривые, касающиеся в каждой своей точке соответствующего поля направления. Может так случиться, что существует функция H, дифференциал которой dH совпадает с левой частью уравнения (6.5). В этом случае, согласно утверждению 1, искомыми кривыми являются линии уровня функции H. В этом случае решение y=y(x) уравнения (6.4) будет задано как неявная функция уравнением H(x,y)=C, где константа C зависит от начального условия. Определение 2. Уравнение

F(x,y)dx+G(x,y)dy=0(6.6)

называется уравнением в полных дифференциалах, если форма, стоящая в левой части, является дифференциалом некоторой функции H:

dH(x,y)=F(x,y)dx+G(x,y)dy

Итак, интегральные кривые уравнения в полных дифференциалах совпадают с линиями уровня функции H.

6.1.5Опознание уравнений в полных дифференциалах

Предположим, что уравнение (6.6) является уравнением в полных дифференциалах. В этом случае функции F и G являются частными производными некоторой функции H:

F(x,y)=∂H(x,y)∂xG(x,y)=∂H(x,y)∂y.(6.7)

Если частные производные функции H непрерывны (а мы будем предполагать, что это так), то её смешанные производные равны:

∂2H(x,y)∂x∂y=∂2H(x,y)∂y∂x

Отсюда следует, что

∂F(x,y)∂y=∂G(x,y)∂x(6.8)

Это условие является необходимым для того, чтобы уравнение (6.6) было уравнением в полных дифференциалах. Оказывается, оно же является и достаточным. Теорема 2. Если выполняется условие (6.8), то уравнение (6.6) является уравнением в полных дифференциалах.

Если выполняется условие (6.8), функцию H можно найти следующим образом: проинтегрировать функцию F по x, полагая y фиксированным; при этом константа интегрирования будет зависеть от y, и её можно будет найти, подставив результат интегрирования в уравнение ∂H∂y=G.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

dydx=−2x+3x2yx3−3y2.(6.9)

Ему соответствует уравнение с дифференциальной 1-формой:

(2x+3x

math-info.hse.ru

Первый интеграл — Википедия. Что такое Первый интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x),x∈U{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U}

— дифференцируемая функция f:U→R{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }, U⊆Rn{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}, такая, что её производная по направлению векторного поля A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}

LAf=a1(x)∂f∂x1+⋯+an(x)∂f∂xn=0{\displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0}

для всех x{\displaystyle x} из области U{\displaystyle U}. Другими словами, функция f{\displaystyle f} постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U{\displaystyle U}.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U{\displaystyle U} — область в Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))} — дифференцируемое векторное поле в U{\displaystyle U}, x0∈U{\displaystyle x_{0}\in U}, A(x0)≠0{\displaystyle A(x_{0})\neq 0}. Тогда существует такая окрестность точки x0{\displaystyle x_{0}}, что система дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x){\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.}

имеет в этой окрестности ровно n−1{\displaystyle n-1} функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения x″+V(x)=0{\displaystyle x»+V(x)=0} относительно функции x(t){\displaystyle x(t)} первым интегралом является функция E=12x′2+∫x0xV(z)dz{\displaystyle E={\frac {1}{2}}x’^{2}+\int \limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz} (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.

wiki.sc

Первый интеграл Википедия

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x),x∈U{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U}

— дифференцируемая функция f:U→R{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }, U⊆Rn{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}, такая, что её производная по направлению векторного поля A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}

LAf=a1(x)∂f∂x1+⋯+an(x)∂f∂xn=0{\displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0}

для всех x{\displaystyle x} из области U{\displaystyle U}. Другими словами, функция f{\displaystyle f} постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U{\displaystyle U}.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U{\displaystyle U} — область в Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))} — дифференцируемое векторное поле в U{\displaystyle U}

ru-wiki.ru

Первый интеграл Википедия

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x),x∈U{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U}

— дифференцируемая функция f:U→R{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }, U⊆Rn{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}, такая, что её производная по направлению векторного поля A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}

LAf=a1(x)∂f∂x1+⋯+an(x)∂f∂xn=0{\displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0}

для всех x{\displaystyle x} из области U{\displaystyle U}. Другими словами, функция f{\displaystyle f} постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U{\displaystyle U}.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U{\displaystyle U} — область в Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))} — дифференцируемое векторное поле в U{\displaystyle U}, x0∈U{\displaystyle x_{0}\in U}, A(x0)≠0{\displaystyle A(x_{0})\neq 0}. Тогда существует такая окрестность точки x0{\displaystyle x_{0}}, что система дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x){\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.}

имеет в этой окрестности ровно n−1{\displaystyle n-1} функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения x″+V(x)=0{\displaystyle x»+V(x)=0} относительно функции x(t){\displaystyle x(t)} первым интегралом является функция E=12x′2+∫x0xV(z)dz{\displaystyle E={\frac {1}{2}}x’^{2}+\int \limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz} (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.

wikiredia.ru

Первый интеграл — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x),x∈U{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U}

— дифференцируемая функция f:U→R{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }, U⊆Rn{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}, такая, что её производная по направлению векторного поля A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}

LAf=a1(x)∂f∂x1+⋯+an(x)∂f∂xn=0{\displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0}

для всех x{\displaystyle x} из области U{\displaystyle U}. Другими словами, функция f{\displaystyle f} постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U{\displaystyle U}.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U{\displaystyle U} — область в Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, A(x)=(a1(x),…,an(x)){\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))} — дифференцируемое векторное поле в U{\displaystyle U}, x0∈U{\displaystyle x_{0}\in U}, A(x0)≠0{\displaystyle A(x_{0})\neq 0}. Тогда существует такая окрестность точки x0{\displaystyle x_{0}}, что система дифференциальных уравнений

{x1′=a1(x)…xn′=an(x){\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}’&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}’&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.}

имеет в этой окрестности ровно n−1{\displaystyle n-1} функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения x″+V(x)=0{\displaystyle x»+V(x)=0} относительно функции x(t){\displaystyle x(t)} первым интегралом является функция E=12x′2+∫x0xV(z)dz{\displaystyle E={\frac {1}{2}}x’^{2}+\int \limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz} (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.

wiki2.red

Первый интеграл

TR | UK | KK | BE | EN |
первый интеграл онлайн, первый интегрална
Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений ‘&=&a_x\\\dots &&\\’&=&a_x\end\right,\quad x\in U

— дифференцируемая функция f : U → R , U ⊆ R n ^ , такая, что её производная по направлению векторного поля A x = a 1 x , … , a n x x,\ldots ,a_x

L A f = a 1 x ∂ f ∂ x 1 + ⋯ + a n x ∂ f ∂ x n = 0 f=a_x+\dots +a_x=0

для всех x из области U Другими словами, функция f постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных

Пусть U — область в R n ^ , A x = a 1 x , … , a n x x,\ldots ,a_x — дифференцируемое векторное поле в U , x 0 ∈ U \in U , A x 0 ≠ 0 \neq 0 Тогда существует такая окрестность точки x 0 , что система дифференциальных уравнений

‘&=&a_x\\\dots &&\\’&=&a_x\end\right

имеет в этой окрестности ровно n − 1 функционально независимых первых интегралов

Примерыправить

Для уравнения x ″ + V x = 0 относительно функции x t первым интегралом является функция E = 1 2 x ′ 2 + ∫ x 0 x V z d z x’^+\int \limits _^Vzdz полная энергия в физических приложениях

Литератураправить

• В И Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения М: Наука, 1966

первый интеграл бодох, первый интеграл калькулятор, первый интеграл онлайн, первый интегрална

---

Первый интеграл Информацию О

---

---

Первый интеграл Комментарии

Первый интеграл
Первый интеграл
Первый интеграл Вы просматриваете субъект

Первый интеграл что, Первый интеграл кто, Первый интеграл описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

No related posts.