План исследования функции и построение графика: Общий план исследования функций и построения графиков

Полное исследование функции и построение графика, примеры решений

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения $D(y)$ и область допустимых значений $E(y)$ функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.

Замечание

Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика.

Замечание

Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Замечание

Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

{\prime \prime}=0 : x=1$ ; при $x=0$ и $x=2$ вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и $(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках $(-\infty ; 0)$ и $(1 ; 2)$ — выпукла. Так как при переходе через точку $x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

Читать первую тему — понятие производной, раздела производные.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Схема исследования функции и построения графика. Алгоритм полного исследования функции

Исследование функции (с помощью производных) — широко распространенное задание, как в курсе школьной, так и университетской математики, которое позволяет проверить знания и навыки по нескольким

разделам математики (общие сведения о функциях, преобразования функций, пределы, производная и ее приложения).

Целью исследования функции является изучение важных свойств функции и построение по результатам графика функции (поэтому иногда задание формулируют как «исследование графика функции»). Чтобы правильно построить график, нужно последовательно выполнять шаги исследования.

Ниже приведена полная схема исследования функции (или алгоритм исследования функции) по пунктам. Часть из этих шагов обычно опускается при исследовании функции, в зависимости от вида функции и требований к решению (например, для многочлена можно не проверять наличие асимптот или точек разрыва и т.п.).

Ключевые пункты (основная схема исследования) выделены черным, пункты, которые включаются в исследование опционально, выделены серым.

• Найти область определения функции.
• Найти область значений функции. Обычно этот пункт пропускают или заполняют после исследования на экстремумы.
• Исследовать непрерывность функции, выделить особые точки (точки разрыва).
• Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
• Найти точки пересечения с осями координат.
• Найти нули функции. Найти интервалы знакопостоянства функции.
• Установить, является ли функция чётной или нечётной. Сделать выводы о симметричности графика функции.
• Установить, является ли функция периодической или нет. Обычно проверяют для тригонометрических функций, для других данный пункт пропускается.
• Найти первую производную. Найти точки экстремума (локального минимума и максимума) и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
• Найти вторую производную. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
• Найти наклонные/горизонтальные асимптоты функции.
• Исследовать поведение функции на бесконечности.
• Построить график функции. Построить асимптоты.
• Отметить важные точки на графике.

Используйте этот алгоритм для решения своих заданий на исследование функций, и вы добьтесь успеха. Нужны еще примеры, чтобы разобраться «на пальцах»? На сайте вы найдете примеры исследования функций самых разных типов, которые можно скачать бесплатно для изучения.

Смотрите также:

• Примеры подробного исследования графика функций разных типов
• Готовые задачи на исследование функции
• Можно ли сделать исследование графика функции онлайн?

Math Help: Графические функции — Руководство по использованию графического калькулятора

Графические функции: Руководство по графическому калькулятору

Математика пробуждает в вас художника!

В то время как трудолюбивый студент может просто достать графический калькулятор, чтобы нарисовать графические функции, вычисление функций старомодным способом может быть довольно увлекательным. Не имея ничего, кроме карандаша и листа бумаги, разделенного на маленькие квадраты, мы можем создавать линии и заставлять их танцевать под кривую формы пересечения склона. О да, помните, что вы можете нанять онлайн-репетитора по математике в Studygate!

Мы все знали, что математика — милое маленькое число, но вот где мы это доказываем!

Возьмем простое уравнение:

y = mx + b

Это довольно простой формат для построения графика. У нас есть ось Y, которая напрямую связана с осью X. Соотношение между Y и X определяется M.

Давайте добавим несколько чисел и посмотрим, что получится:

y = 2x + 6

Это очень просто. Давайте составим график:

Начнем с простого, с x = 0.

Итак, мы знаем, что когда X равно 0, Y равно 6. «2» — это отношение между X и Y. Если X равно 1, то просто умножьте X x 2 + 6 = 8.

Мы можем построить быструю диаграмму между X и Y. Не забывайте, что мы также можем использовать отрицательные значения для X и Y!

Х	Д
-4	-2
-3	0
-2	2
-1	4
0	6
1	8
2	10
3	12
4	14
5	16
6	18
7	20

Затем нанесите точки и соедините их, чтобы сформировать линию!

Симпатично, да?

****БЫСТРЫЙ СОВЕТ: вернитесь к уравнению

Мы можем разбить M, чтобы представить изменение над Y над изменением над X. Если бы это была дробь, это выглядело бы как это : изменение над Y ÷ изменение над X

Поскольку 2 в основном равно 2÷1, мы можем просто сказать, что при каждом изменении X мы перемещаем Y на 2 позиции вверх! Посмотрите на график и посчитайте. Увидеть как это работает?

Что М было дробь? Это все еще работает:

Это означает, что для каждого значения X, которое у нас есть, Y увеличивается на . Диаграмма будет выглядеть так:

X	Д
-4	-1
-3	-.25
-2	.5
-1	1,25
0	2
1	2,75
2	3,5
3	4,25
4	5
5	5,75
6	6,5
7	7,25

Графики с дробью M выглядят менее крутыми, чем графики с целым числом M.

  Но что это дает нам с графическими функциями?

Это очень просто: это практически одно и то же!

ƒ(x) = x ² + 2

В этом случае Y = F(x). Поскольку уравнение возведено в квадрат, при изменении точки пересечения Y с положительной на отрицательную будут некоторые кривые. Но процедура такая же.

Итак, давайте добавим несколько значений X и посмотрим, что у нас получится! Вы также можете связаться с онлайн-репетитором по математике, чтобы выполнить этот шаг.

Х	Д
-5	23
-4	18
-3	11
-2	6
-1	3
0	2
1	3
2	6
3	11
4	18
5	23

Как видите, у нас кривая!

Представьте себе возможности: цифрами можно нарисовать что угодно!

Для получения дополнительных математических советов поможет наше руководство по решению квадратной формулы.

Дизайн урока – Рисование и программирование на Python

Требуется помощь

Выполняем упражнения ниже чтобы сделать план урока более конкретным. Вклады (как в виде пулреквестов с заполненными упражнениями, комментарии по конкретным упражнениям, порядку и времени выполнения) приветствуются.

Используемый процесс

Совет Майкла Поллана, если он преподавал программирование на R или Python:

1. Напишите код.
2. Не слишком много.
3. В основном сюжеты.

— Майкл Кунц

Этот урок был разработан с использованием упрощенного варианта процесса «Понимание посредством дизайна». Основные разделы:

1. Предположения об аудитории, времени и т. д. (Нынешний проект также включает некоторые выводы и решения в этом раздел — который должен быть реорганизован.)

2. Желаемые результаты: общие цели, итоговые оценки с точностью до полдня, что учащиеся смогут сделать то, что учащиеся будут знать.

3. План обучения: у каждого эпизода есть заголовок, который обобщает то, что будет освещено, затем оценивает время, которое будет потрачено на обучение и на упражнения, в то время как упражнения даны в виде пунктов.

Этап 1: предположения

• Аудитория
  • Аспиранты математических дисциплин от космологии до археологии
  • Кто манипулировал данными в электронных таблицах и с помощью интерактивных инструментов, таких как SAS
  • Но запрограммировать , а не за пределами CPD (копировать-вставить-отчаяние)
• Ограничения
  • Один полный день 09:00-16:30
    • 06:15 время занятий
    • 0:45 обед
    • 0:30 всего за два перерыва на кофе
  • Учащиеся используют собственные установки на своих компьютерах
    • Может использовать виртуальные машины или облачные ресурсы по усмотрению инструктора
    • Но необходимо сохранить собственную локальную установку в качестве опции
  • Нет зависимости от других столярных модулей
    • В частности, не требует знания оболочки или контроля версий
  • Использование ноутбука Jupyter
    • Аутентичный инструмент, используемый многими инструкторами
    • На самом деле нет альтернативы
    • И это означает, что даже те, кто немного знаком с Python, вероятно, чему-то научится
• Мотивирующий пример
  • Создание 2D-графиков, пригодных для включения в документы
  • Привлекает почти всех
  • Делает урок доступным для обеих столярных мастерских.
    • И это означает, что даже те, кто немного знаком с Python, вероятно, чему-то научусь
• Данные
  • Используйте данные о пропусках во всем
  • Но разбивать на несколько файлов по континентам
    • Чтобы сделать вывод из примеров более аккуратным (например, используйте Австралию/Новую Зеландию, где всего две строки)
    • И разрешить примеры, демонстрирующие использование нескольких наборов данных
• Сосредоточьтесь на Pandas вместо NumPy
  • Делает урок пригодным как для Data Carpentry, так и для Software Carpentry
  • Настоящие новички, скорее всего, захотят анализировать данные
  • И люди с некоторым опытом:
    • примет анализ данных как подлинную задачу,
    • и вряд ли сталкивались с пандами, так что из урока они еще что-нибудь полезное вынесут
• Проблемы будут в основном , а не , как «написать этот код с нуля».
  • Хотите много коротких упражнений, которые можно надежно выполнить за отведенное время
  • Так что используйте MCQ, заполните пробелы, задачи Парсонса, «настройте этот код» и т. д.

Этап 2: Желаемые результаты

Вопросы

Как мне…

• …читать табличные данные?
• … построить один вектор значений?
• …создать график временных рядов?
• …создать по одному графику для каждого из нескольких наборов данных?
• …получить дополнительные данные из одного набора данных для построения графика?
• …написать программы, которые я смогу прочитать и использовать в будущем?

Навыки

Я могу…

• … писать короткие сценарии с использованием циклов и условий.
• …написать функции с фиксированным числом параметров, которые возвращают один результат.
• … импортировать библиотеки, используя псевдонимы, и ссылаться на содержимое этих библиотек.
• … делать простое извлечение данных и форматирование с помощью Pandas.

Концепции

Я знаю…

• …программа — это часть лабораторного оборудования, которая выполняет анализ
  • Требуется проверка/калибровка перед/во время использования
  • Делает анализ воспроизводимым, рецензируемым и доступным
• …программы пишутся для людей, а не для компьютеров
  • Значимые имена переменных
  • Модульность для удобства чтения и повторного использования
  • Без дублирования
  • Назначение и использование документа
• …что волшебства нет: программы, которые они используют, ничем не отличаются в принципе из тех что строят
• …как присваивать значения переменным
• … какие целые числа, числа с плавающей запятой, строки, массивы NumPy и кадры данных Pandas
• … как отследить выполнение цикла для
• … как отследить выполнение if / else операторов
• … как создавать и индексировать списки
• … как создавать и индексировать массивы NumPy
• … как создавать и индексировать кадры данных Pandas
• … как создавать графики временных рядов
• … разница между определением и вызовом функции
• …где найти документацию по стандартным библиотекам
• …как узнать, что еще предлагает научный Python

Этап 3: План обучения

Суммарное оценивание

• Средняя точка: создание графика временных рядов для каждого файла в каталоге.
• Final: извлечь данные из фрейма данных Pandas и создайте сравнительный многострочный график временных рядов.

Интерактивный запуск и выход (9:00)

• Обучение: 15 мин (из-за проблем с настройкой)
  • Запустите Блокнот Jupyter, создайте новые блокноты и выйдите из Блокнота.
  • Создание ячеек Markdown в записной книжке.
  • Создайте и запустите ячейки Python в записной книжке.
• Задачи: 0 мин (учитывается во время обучения — нет отдельного упражнения)
  • Создание списков в Markdown
  • Что отображается, когда несколько выражений помещаются в одну ячейку?
  • Изменить существующую ячейку с кода на Markdown
  • Рендеринг уравнений в стиле LaTeX

Переменные и присвоение (9:15)

• Преподавание: 10 мин.
  • Напишите программы, которые присваивают скалярные значения переменным и выполняют вычисления с этими значениями.
  • Правильно отслеживать изменения значений в программах, использующих скалярное присваивание.
• Вызовы: 10 мин.
  • Отследить выполнение кода, меняющего местами два значения с использованием промежуточной переменной.
  • Предсказать окончательные значения переменных после нескольких присваиваний.
  • Что произойдет, если вы попытаетесь проиндексировать число?
  • Какое имя переменной лучше: м , мин или мин ?
  • Что производят следующие выражения среза?

Типы данных и преобразование типов (09:35)

• Преподавание: 10 мин.
  • Объясните основные различия между целыми числами и числами с плавающей запятой.
  • Объясните основные различия между числами и символьными строками.
  • Используйте встроенные функции для преобразования целых чисел, чисел с плавающей запятой и строк.
• Вызовы: 10 мин.
  • Какой тип значения 3,4?
  • Какой тип значения 3,25 + 4?
  • Какой тип значения вы бы использовали для представления:
    • Количество дней с начала года.
    • Прошло время с начала года.
    • и т. д.
  • Как можно использовать // (целочисленное деление) и % (по модулю)?
  • Что делает int("3.4") ?
  • Учитывая эти значения float, int и string, какие выражения будут печатать конкретный результат?
  • Что, по вашему мнению, даст 1+2j + 3 ?

Встроенные функции и справка (09:55)

• Преподавание: 15 мин.
  • Объясните назначение функций.
  • Правильно вызывать встроенные функции Python.
  • Правильно вкладывать вызовы встроенных функций.
  • Используйте справку для просмотра документации по встроенным функциям.
  • Правильно опишите ситуации, в которых возникают SyntaxError и NameError.
• Вызовы: 10 мин.
  • Объясните порядок операций в следующем сложном выражении.
  • Какой будет каждая вложенная комбинация из мин и макс звонки производят?
  • Почему max и min не возвращают None при отсутствии аргументов?
  • Учитывая то, что мы видели до сих пор, какое выражение индекса получит последний символ в строке?

Кофе: 15 мин (10:20)

Библиотеки (10:35)

• Преподавание: 10 мин.
  • Объясните, что такое программные библиотеки и почему программисты их создают и используют.
  • Напишите программы, которые импортируют и используют библиотеки из стандартной библиотеки Python.
  • Найдите и прочитайте документацию по стандартным библиотекам в интерактивном режиме (в интерпретаторе) и в Интернете.
• Вызовы: 10 мин.
  • Какую функцию из стандартной математической библиотеки можно использовать для вычисления квадратного корня?
  • Какую библиотеку вы бы использовали для выбора случайного значения из данных?
  • Если help(math) выдает ошибку, что вы забыли сделать?
  • Заполните пробелы в приведенном ниже коде, чтобы оператор импорта и программа выполнялись.

Чтение табличных данных (10:55)

• Преподавание: 10 мин.
  • Импортируйте библиотеку Pandas.
  • Используйте Pandas для загрузки простого набора данных CSV.
  • Получите некоторую базовую информацию о Pandas DataFrame.
• Вызовы: 10 мин.
  • Считайте данные по Северной и Южной Америке и отобразите сводную статистику.
  • Что делают .head и .tail ?
  • Какие строки следует передать read_csv для чтения файлов из других каталогов?
  • Как вы можете записать данные CSV?

Кадры данных (11:15)

• Преподавание: 15 мин.
  • Выберите отдельные значения из кадра данных Pandas.
  • Выберите целые строки или целые столбцы из фрейма данных.
  • : Выберите подмножество строк и столбцов из кадра данных за одну операцию.
  • Выберите подмножество фрейма данных по одному логическому критерию.
• Вызовы: 15 мин.
  • Напишите выражение для определения ВВП на душу населения в Сербии в 2007 г.
  • Какое правило определяет, что включено (или не включено) в числовые и именованные срезы в Pandas?
  • Что делает каждая строка в следующей короткой программе?
  • Что делают idxmin и idxmax ?
  • Напишите выражения, чтобы получить ВВП на душу населения для всех стран в 1982 г., для всех стран после 1985 г., и т.д.
  • Учитывая, как изменились его границы с 1900 года, что бы вы сделали, если бы вас попросили составить таблицу ВВП на душу населения для Польши для ХХ века?

Рисование (11:45)

• Преподавание: 15 мин.
  • Создайте график временных рядов, показывающий один набор данных.
  • Создайте точечную диаграмму, показывающую взаимосвязь между двумя наборами данных.
• Упражнение: 15 мин.
  • Заполните пустые поля, чтобы построить график минимального ВВП на душу населения во времени для европейских стран.
  • Измените пример, чтобы создать точечную диаграмму ВВП на душу населения в азиатских странах.
  • Объясните, что делает каждый аргумент функции для построения графика в следующем примере.

Обед (12:15): 45 мин

Списки (13:00)

• Преподавание: 10 мин.
  • Объясните, зачем программам нужны наборы значений.
  • Напишите программы, которые создают плоские списки, индексируют их, разбивают на части и изменяют их с помощью присваивания и вызовов методов.
• Вызовы: 10 мин.
  • Заполните пробелы, чтобы программа выдала показанный результат.
  • Насколько велики следующие фрагменты?
  • Что выводят выражения отрицательного индекса?
  • Что делает «шаг» в срезе?
  • Как срезы обрабатывают границы, выходящие за пределы допустимого диапазона?
  • В чем разница между сортировкой этими двумя способами?
  • В чем разница между новый = старый и новый = старый[:] ?

Циклы (13:20)

• Преподавание: 10 мин.
  • Объясните, для чего обычно используются циклы for.
  • Отследить выполнение простого (невложенного) цикла и правильно указать значения переменных на каждой итерации.
  • Циклы for, использующие шаблон Accumulator для агрегирования значений.
• Вызовы: 15 мин.
  • Является ли ошибка отступа синтаксической ошибкой или ошибкой времени выполнения?
  • Проследить, какие строки этой программы выполняются в каком порядке.
  • Заполните пробелы в этой программе, чтобы она перевернула строку.
  • Заполните пропуски в этой серии примеров, чтобы попрактиковаться в накоплении значений.
  • Измените порядок и отступ этих строк, чтобы вычислить совокупную сумму значений списка.

Зацикливание наборов данных (13:45)

• Преподавание: 5 мин.
  • Уметь читать и писать подстановочные выражения, соответствующие наборам файлов.
  • Используйте glob для создания списков файлов.
  • Запись циклов for для выполнения операций над файлами с именами, указанными в списке.
• Вызовы: 10 мин.
  • Какие имена файлов , а не соответствуют этому общему выражению?
  • Измените эту программу, чтобы она печатала количество записей в самом коротком файле.
  • Напишите программу, которая считывает и отображает все региональные наборы данных.

Функции записи (14:00)

• Преподавание: 10 мин.
  • Объясните и определите разницу между определением функции и вызовом функции.
  • Напишите функцию, которая принимает небольшое фиксированное число аргументов и возвращает один результат.
• Вызовы: 15 мин.
  • Этот код определяет и вызывает функцию — что она выводит при запуске?
  • Объясните, почему эта короткая программа печатает данные именно в том порядке, в котором она это делает.
  • Заполните пробелы, чтобы создать функцию, которая находит минимальное значение в файле данных.
  • Заполните пробелы, чтобы создать функцию, которая находит первое отрицательное значение в списке. Что делает ваша функция, если список пуст?
  • Почему иногда полезно передавать аргументы, называя соответствующие параметры?
  • Заполните пробелы и превратите этот короткий фрагмент кода в функцию.

Переменная область (14:25)

• Преподавание: 10 мин.
  • Определение локальных и глобальных переменных.
  • Идентифицировать параметры как локальные переменные.
  • Прочитайте трассировку и определите файл, функцию и номер строки, в которой произошла ошибка.
• Вызовы: 10 мин.
  • Проследить изменения значений в этой программе, стараясь отличать локальные значения от глобальных.

Кофе (14:45): 15 мин

Условные выражения (15:00)

• Преподавание: 10 мин.
  • Правильно писать программы, использующие операторы if и else и простые логические выражения (без логических операторов).
  • Отследить выполнение невложенных условных выражений и условных выражений внутри циклов.
• Вызовы: 15 мин.
  • Проследите выполнение этого условного оператора.
  • Заполните пробелы, чтобы эта функция заменяла отрицательные значения нулями.

    No related posts.