Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
Основные понятия
Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.
Определение 1
Нечетная функция — функция, которая меняет свое значение на противоположное при изменении знака независимой переменной:
\[f\left(-x\right)=-f(x)\]Определение 2
Четная функция — функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:
\[f\left(-x\right)=f(x)\]Определение 3
Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:
\[f\left(x\right)=f(x+T)\]T — период функции.
Четность и нечетность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):
Рисунок 1.
Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ — симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.
Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса — четной функцией, то есть:
Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то
Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то
Периодичность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).
Рисунок 2.
Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ — вектор единичной длины.
Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что
То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.
Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то
Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то
Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций
Пример 1
Доказать следующие утверждения:
а) $tg{385}^0=tg{25}^0$
б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$
в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$
Решение.
а) $tg{385}^0=tg{25}^0$
Так как тангенс — периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим
\[tg{385}^0=tg{(360}^0+{25}^0)=tg{25}^0\]б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$
Так как косинус — четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим
\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$
Так как синус — нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим
\[sin{(-721}^0)=-sin{721}^0=-{sin \left({720}^0+1^0\right)\ }=-sin1^0\]spravochnick.ru
четность, нечетность, периодичность. Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.
Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а.
Синус — функция числа x. Ее область определения — множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область значений синуса — отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.
Период синуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак синуса:
1. синус равен нулю при , где n — любое целое число;
2. синус положителен при , где n — любое целое число;
3. синус отрицателен при
, где n — любое целое число.
Синус — функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их ординаты — синусы — окажутся также противоположными. То есть для любого x.
1. Синус возрастает на отрезках , где n — любое целое число.
2. Cинус убывает на отрезке , где n — любое целое число.
при ;
при .
Косинус
Косинусом числа а называется абсцисса точки, изображающей это число на числовой окружности. Косинусом угла в а радиан называется косинус числа а.
Косинус — функция числа. Ее область определения — множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область значений косинуса — отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси абсцисс является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.
Период косинуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак косинуса:
1. косинус равен нулю при , где n
2. косинус положителен при , где n — любое целое число;
3. косинус отрицателен при , где n — любое целое число.
Косинус — функция четная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их абсциссы — косинусы — окажутся равными. То есть
для любого x.
1. Косинус возрастает на отрезках , где n — любое целое число.
2. Косинус убывает на отрезках , где n — любое целое число.
при ;
при .
Тангенс
Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к косинусу этого числа: .
Тангенсом угла в а радиан называется тангенс числа а.
Тангенс — функция числа. Ее область определения — множество всех чисел, у которых косинус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении тангенса нет. И так как косинус равен нулю при , то , где .
Область значений тангенса — множество всех действительных чисел.
Период тангенса равен . Ведь если взять любые два допустимые значенияx (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию тангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что , то есть число является периодом тангенса.
Знак тангенса: тангенс — отношение синуса к косинусу. Значит, он
1. равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при , где
2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при , где а — любое целое число.
3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при , где а — любое целое число.
Тангенс — функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, . В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна .
Вот и получилось, что .
Значит, тангенс возрастает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида , где а — любое целое число.
Котангенс
Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к синусу этого числа: . Котангенсом угла в а радиан называется котангенс числа а. Котангенс — функция числа. Ее область определения — множество всех чисел, у которых синус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении котангенса нет. И так как синус равен нулю при , то , где
Область значений котангенса — множество всех действительных чисел.
Период котангенса равен . Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию котангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что , то есть, что число является периодом котангенса.
1. равен нулю, когда косинус равен нулю, то есть при .
2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при .
3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при .
Котангенс — функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, .
В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна .
Вот и получилось, что . Котангенс убывает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида .
infopedia.su
y=(7-tgx) четная или нечетная функция? и почему
tg(x) — это всегда нечетная функция, т. к. tg(-x)=-tg(x). Для справки: у четной функции f(-x) = f(x). Например, cos(-x)=cos(x) (единственная чеиная простейшая тригонометрическая функция) Следовательно, y=(7-tgx) — также нечетная фукция.
Нечетная: график не отображается зеркально относительно оси ординат
y(x)=7-tgx y(-x)=7-tg(-x)=7+tgx; tg(-x)=-tgx, т. к. tgx — нечётная функция; y(-x) (не равно) y(x) и y(-x) (не равно) -y(x) => y(x)=7-tg — функция общего вида. Настя, единственно верный ответ y(x)=7-tg — функция общего вида, y(-x)=7+tgx; у (х) =7-tgx; -у (х) =-7+tgx; y(-x) (не равно) y(x) и y(-x) (не равно) -y(x)
Ни чётная, ни нечётная, т. к. при подстановке (-х) вместо х знак у 7 не меняется, а у tgx меняется.touch.otvet.mail.ru
Периодичность тригонометрических функций: четные и нечетные
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.
Свойства четности и периодичности
Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.
Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.
Свойства нечетности и периодичности
Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.
Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.
Периодичность тригонометрических функций
Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т !=0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Следует понимать, что если Т — период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.
Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.
Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Тригонометрические функции: свойства и их графики
Следующая тема:   Свойства тригонометрических функций: гармонические колебания
Все неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
Тема 5.Четность и нечетность тригонометрических функций
⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒Определение: Функция f(х) называется чётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:
f(-х)=f(х)
Свойство: График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Определение: Функция f(х) называется нечётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:
f(-х)=-f(х)
Свойство: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Рассмотрим рисунок
На этом рисунке
Следовательно, справедливы формулы:
откуда вытекают формулы:
Таким образом, косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции.
cos(-α)=cosα
sin(-α)=-sinα
tg(-α)=-tgα
ctg(-α)=-ctgα
Задание 1: Заполнить таблицу:
| № | функция | упростить | Ответ |
| sin(-90º) | -sin90º | -1 | |
| tg(- ) | |||
| cos(-45º) | |||
| ctg(- ) |
Задание 2: Вычислить:
· 2sin(-30º)=-2sin30º=-2∙ =-1
· 3tg(- )=-3tg =-3∙….
· 4cos(- )∙sin(- )+tg(- )=4∙ ∙ )+(-1)=- ∙ -1=…..
· 2sin(- )∙cos(- )+tg(- )+sin2(- )=…..
Задание 3: Упростить (по аналогии с решённым):
mykonspekts.ru