Котангенс четная или нечетная – Четность и нечетность тригонометрических функций

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Основные понятия

Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.

Определение 1

Нечетная функция -- функция, которая меняет свое значение на противоположное при изменении знака независимой переменной:

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]

Определение 2

Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:

\[f\left(-x\right)=f(x)\]

Определение 3

Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:

\[f\left(x\right)=f(x+T)\]

T -- период функции.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):

Рисунок 1.

Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ -- симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.

Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Периодичность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).

Рисунок 2.

Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ -- вектор единичной длины.

Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что

То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций

Пример 1

Доказать следующие утверждения:

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Решение.

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

\[tg{385}^0=tg{(360}^0+{25}^0)=tg{25}^0\]

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим

\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

\[sin{(-721}^0)=-sin{721}^0=-{sin \left({720}^0+1^0\right)\ }=-sin1^0\]

spravochnick.ru

четность, нечетность, периодичность. Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.

Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а.

Синус - функция числа x. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений синуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период синуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак синуса:

1. синус равен нулю при , где n - любое целое число;

2. синус положителен при , где n - любое целое число;

3. синус отрицателен при

, где n - любое целое число.

Синус - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их ординаты - синусы - окажутся также противоположными. То есть для любого x.

1. Синус возрастает на отрезках , где n - любое целое число.

2. Cинус убывает на отрезке , где n - любое целое число.

при ;

при .

Косинус

Косинусом числа а называется абсцисса точки, изображающей это число на числовой окружности. Косинусом угла в а радиан называется косинус числа а.

Косинус - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений косинуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси абсцисс является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период косинуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак косинуса:

1. косинус равен нулю при , где n - любое целое число;

2. косинус положителен при , где n - любое целое число;

3. косинус отрицателен при , где n - любое целое число.

Косинус - функция четная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x

, то их абсциссы - косинусы - окажутся равными. То есть

для любого x.

1. Косинус возрастает на отрезках , где n - любое целое число.

2. Косинус убывает на отрезках , где n - любое целое число.

при ;

при .

Тангенс

Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к косинусу этого числа: .

Тангенсом угла в а радиан называется тангенс числа а.

Тангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых косинус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении тангенса нет. И так как косинус равен нулю при , то , где .

Область значений тангенса - множество всех действительных чисел.

Период тангенса равен . Ведь если взять любые два допустимые значенияx (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию тангенсов в некоторой точке

t. Вот и получится, что , то есть число является периодом тангенса.

Знак тангенса: тангенс - отношение синуса к косинусу. Значит, он

1. равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при , где n - любое целое число.

2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при , где а - любое целое число.

3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при , где а - любое целое число.

Тангенс - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, . В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна .

Вот и получилось, что .

Значит, тангенс возрастает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида , где

а - любое целое число.

Котангенс

Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к синусу этого числа: . Котангенсом угла в а радиан называется котангенс числа а. Котангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых синус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении котангенса нет. И так как синус равен нулю при , то , где

Область значений котангенса - множество всех действительных чисел.

Период котангенса равен . Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию котангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что , то есть, что число является периодом котангенса.

Знак котангенса: котангенс - отношение косинуса к синусу. Значит, он

1. равен нулю, когда косинус равен нулю, то есть при .

2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при .

3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при .

Котангенс - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, .

В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна .

Вот и получилось, что . Котангенс убывает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида .



infopedia.su

y=(7-tgx) четная или нечетная функция? и почему

tg(x) - это всегда нечетная функция, т. к. tg(-x)=-tg(x). Для справки: у четной функции f(-x) = f(x). Например, cos(-x)=cos(x) (единственная чеиная простейшая тригонометрическая функция) Следовательно, y=(7-tgx) - также нечетная фукция.

Нечетная: график не отображается зеркально относительно оси ординат

y(x)=7-tgx y(-x)=7-tg(-x)=7+tgx; tg(-x)=-tgx, т. к. tgx - нечётная функция; y(-x) (не равно) y(x) и y(-x) (не равно) -y(x) => y(x)=7-tg - функция общего вида. Настя, единственно верный ответ y(x)=7-tg - функция общего вида, y(-x)=7+tgx; у (х) =7-tgx; -у (х) =-7+tgx; y(-x) (не равно) y(x) и y(-x) (не равно) -y(x)

Ни чётная, ни нечётная, т. к. при подстановке (-х) вместо х знак у 7 не меняется, а у tgx меняется.

touch.otvet.mail.ru

Периодичность тригонометрических функций: четные и нечетные

 

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Свойства четности и периодичности

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

Свойства нечетности и периодичности

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

Периодичность тригонометрических функций

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т !=0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.

Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Тригонометрические функции: свойства и их графики
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства тригонометрических функций: гармонические колебания

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Тема 5.Четность и нечетность тригонометрических функций

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Определение: Функция f(х) называется чётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=f(х)

Свойство: График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

 

Определение: Функция f(х) называется нечётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=-f(х)

Свойство: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

 

Рассмотрим рисунок

На этом рисунке

 

Следовательно, справедливы формулы:

откуда вытекают формулы:

 

Таким образом, косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции.

 

cos(-α)=cosα

sin(-α)=-sinα

tg(-α)=-tgα

ctg(-α)=-ctgα

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

функция упростить Ответ
sin(-90º) -sin90º -1
tg(- )    
cos(-45º)    
ctg(- )    

Задание 2: Вычислить:

· 2sin(-30º)=-2sin30º=-2∙ =-1

· 3tg(- )=-3tg =-3∙….

· 4cos(- )∙sin(- )+tg(- )=4∙ ∙ )+(-1)=- ∙ -1=…..

· 2sin(- )∙cos(- )+tg(- )+sin2(- )=…..

Задание 3: Упростить (по аналогии с решённым):

mykonspekts.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *