Площадь грани пирамиды по координатам – . , , , ..

Контрольная работа №1

16

Задание 1.1.

Даны координаты вершин пирамиды , , , .

1). длину ребра ;

2). угол между ребрами и ;

3). угол между ребром и гранью ;

4). площадь грани ;

5). объём пирамиды;

6). уравнение прямой ;

7). уравнение плоскости ;

8). уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение.

1). Используем формулу для нахождения длины ребра через координаты его конечных точек:

.

2). Запишем координаты векторов и :

;

Угол между ребрами – это угол между векторами и , поэтому используем соответствующую формулу:

.

Тогда, получим:

.

3). Угол между ребром и гранью – это угол между вектором и нормальным вектором плоскости .

Находим нормальный вектор плоскости как векторное произведение векторов и :

.

Далее, используем соответствующую формулу для вычисления искомого угла:

.

Следовательно,

.

4). Площадь грани вычисляется как половина длины векторного произведения векторов и , на которых она построена, т.е. половина длины нормального вектора плоскости . Тогда, получим:

Векторное произведение:

i(5 • 2-0 • (-3)) — j(0 • 2-(-3) • (-3)) + k(0 • 0-(-3) • 5) = 10i + 9j + 15k

.

5). Используем формулу для нахождения

объёма пирамиды через координаты векторов ; ; , на которых она построена:

.

6). Запишем симметричные уравнения прямой через координаты точки и направляющего вектора :

;

.

7). Запишем уравнение плоскости по известному нормальному вектору и точке плоскости :

;

;

;

.

8). Направляющим вектором искомой высоты есть нормальный вектор плоскости : (поскольку высота перпендикулярна к этой плоскости).

Запишем симметричные уравнения высоты через координаты точки и направляющего вектора :

;

;..

Задание 1.2.

Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки относятся как 2:1.

Решение.

Пусть – произвольная точка данной линии.

Находим расстояние от точки линии к началу координат по соответствующей формуле расстояния между двумя точками:

.

Находим расстояние от точки на линии к точке :

.

По условию, найденные расстояния относятся как 2:1. Следовательно,

; ;

.

Преобразуем полученное уравнение указанной линии:

;

;

;

;

;

.

Выделяем полные квадраты:

;

;

;

;

;

.

Следовательно, – каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

Задание 1.3.

Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить методом Гаусса.

.

Решение.

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная система уравнений являлась совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Сводим расширенную матрицу системы к трапециевидной форме, используя эквивалентные преобразования.

Поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы:

.

Разделим первую строку на 2.

.

Умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй. Полученные результаты запишем во вторую строку новой расширенной матрицы.

.

Умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей. Полученные результаты запишем в третью строку новой расширенной матрицы.

.

Прибавим вторую строку к третьей. Полученные результаты запишем в третью строку новой расширенной матрицы.

.

Требуемая форма расширенной матрицы получена. Количество ненулевых строк основной и расширенной матрицы одинаковы, поэтому ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Это означает, что система линейных уравнений

является совместной.

Из последней расширенной матрицы находим решение системы (обратный ход):

1). из третьей строки получим:

; ;

2). из второй строки получим:

; ; ;

3). из первой строки получим

; ; .

Таким образом ,,.

Выполним проверку полученного решения. Подставляя найденные значения x1,x2,x3.

Приходим к тождеству.

Задание 1.4.

Привести к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Сделать чертежи.

а). ;

б). ;

в). .

Решение.

а). .

Разделим обе части уравнения на 2:

; ; .

Следовательно, имеем каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, с фокусами на оси ординат (поскольку ), малой полуосью и большой полуосью .

б). .

Разделим обе части уравнения на 3:

; ; .

Следовательно, имеем каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, действительной полуосью и мнимой полуосью .

в). .

Выделяем полный квадрат по переменной :

; ;

.

Тогда, получим:

; ; .

Следовательно, получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , с фокусом на отрицательной полупрямой (парабола опущена ветками вниз)

studfiles.net

Тетраэдр (треугольная пирамида) в пространстве

Задача 1.

Тетраэдр в пространстве задано вершинами

Необходимо найти:

1) уравнение грани ;

2) уравнение высоты пирамиды, которая проходит через вершину ;

3) длину этой высоты;

4) угол между ребром и гранью в градусах;

5) площадь грани;

6) Объем пирамиды.

Решение.

1) Уравнение грани

Запишем уравнение плоскости в виде.

.

Поскольку все три точки принадлежат этой плоскости, то, подставляя их по очереди получим систему уравнений

Решая ее получим.

.

Подставляя в исходное уравнение получим

, Или .

2) Уравнение высоты пирамиды, проходящей через вершину

Запишем уравнение высоты пирамиды, проходящей через вершину

.

3) Высота с вершины

Найдем высоту, для этого найдем

Высоту найдем учитывая уравнение грани , по формуле

4)Угол между ребром и гранью в градусах

Найдем угол между ребром и гранью () . Запишем уравнение прямой, проходящей через точки

, или .

Найдем синус угла по формуле

.

Подставим значения

Найдем значение угла

5) Площадь грани

Площадь гранинайдем по формуле

6) Объем пирамиды

Найдем объем пирамиды пирамиды по формуле

, где

Математический калькулятор YukhymCalc решает эту задачу и немало типичных для студенческой практики математических задач. Фрагмент работы калькулятора приведены ниже.


——————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Нахождение элементов в пирамиде. Контрольные онлайн

Нахождение элементов в пирамиде

Даны вершины пирамиды
  и точка .
   Найти:
   а) длину ребра ;
   б) косинус угла между рёбрами  и ;
   в) площадь грани ABC;
   г) объём пирамиды;
   д) уравнение прямой, на которой лежит ребро;
   е) уравнение прямой, на которой лежит высота  пирамиды, опущенная из вершины ;
Выяснить, лежат ли точки  и  по одну сторону плоскости грани
или по разные?

 Решение
а) Длину  найдём по формуле расстояния между двумя точками

б) Угол  между рёбрами и  будет равен углу между векторами  и
Введём в рассмотрение векторы  и  и найдём их координаты:



в) Площадь грани ABС (площадь треугольника АВС)
Введём в рассмотрение векторы  и  и найдём их координаты:
,
Найдём
Далее  и
г) Объём пирамиды
, ,
Найдём =


д) Прямая, на которой лежит ребро , проходит через точки  и . Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки  и :

Для решаемой задачи  или
е) Прямая, на которой лежит высота пирамиды , проходит через точку  перпендикулярно плоскости BCD. Следовательно, нормальный вектор плоскости BCD будет являться направляющим вектором для прямой.
Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
Для решаемой задачи это точки , ,  и, следовательно, уравнение  


,  ,  .
Вектор  является нормальным вектором плоскости , следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости . Уравнение этой прямой
Выясним, лежат ли точки  и  по одну сторону плоскости грани  или по разные?
Найдём уравнение плоскости грани  как уравнение плоскости, проходящей через точку  и имеющей нормальный вектор :

.
Для решаемой задачи , а  найден в п. в) решаемой задачи. Следовательно, уравнение плоскости грани : или .
Для всех точек , лежащих на плоскости, будет выполняться равенство , для точек, лежащих по одну сторону плоскости, будет выполняться неравенство , для точек, лежащих по другую сторону плоскости, — неравенство .
Для точки  выполняется неравенство .
Для точки  выполняется неравенство .

   Следовательно, точки  и  лежат по одну сторону плоскости грани .

www.matem96.ru

Площадь поверхности пирамиды | Мозган калькулятор онлайн

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметр и апофему


Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:

p — периметр основания пирамиды; l — апофема пирамиды.
Боковая поверхность через высоту и сторону основания


Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a — сторона основания; h — высота пирамиды; n — число сторон в основании.
Полная поверхность через высоту и сторону основания


Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a — сторона основания; h — высота пирамиды; n — число сторон в основании.
Полная площадь тетраэдра


Формула полной площадь тетраэдра:

a — сторона основания.

www.mozgan.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *