Книги / Теория и прикладные задачи тепломассопереноса. Часть 1. Цирельман Н.М. 2002 г. / Теория и прикладные задачи тепломассопереноса. Часть 1. Цирельман Н.М. 2002 г / Posobie5_6
цилиндра или полого шара соответственно; A – площадь поверхности пластины (A = F), площадь цилиндрической поверхности () и шаровой поверхности () единичного радиуса.
Интегрирование степенной функции в правой части (1.97) при , и дает при граничных условиях первого рода
и . (1.98)
В формулах (1.98) и — координаты ограничивающих поверхностей платины, полых цилиндра и шара, на которых известны температуры и .
Для полого цилиндра () в знаменателе (1.98) имеем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя дает .
Однако можно
пользоваться формулой (1.98) для полого
цилиндра и непосредственно без указанного
выше преобразования, если вместо положить
,
где – малое число, которое мы рекомендуем
принять равным
.
Для многослойных конструкций расчет стационарного теплового потока в общем случае следует проводить по формуле
. (1.99)
В (1.99) величины и — это площади поверхностей, ограничивающих многослойную конструкцию изнутри и снаружи соответственно; — количество слоев материала (см. (1.58), (1.60), (1.66), (1.68)).
Для граничных условий первого рода (ГУ-I) в числителе (1.99) надо положить , а в знаменателе отбросить первое и последнее слагаемые. Для граничных условий третьего рода (ГУ-III) имеем при сохранении всех слагаемых в знаменателе.
1.9.4. Тепловая изоляция конструкций
Тепловая изоляция
конструкций различного назначения и,
прежде всего, трубопроводов, а также
цилиндрических и сферических сосудов
имеет целью уменьшение проходящего
через них теплового потока. Этого можно
достичь в том случае, если в результате
нанесения на поверхность тела
теплоизолирующего материала величина
термического сопротивления конструкции
возрастает.
а б
Рис.1.21
Рассмотрим фрагмент конструкции до нанесения тепловой изоляции (рис. 1.21, а) и после ее нанесения (рис. 1.21, б).
В этом случае согласно формуле (1.99) термическое сопротивление неизолированной конструкции равно
, (1.100)
а после нанесения слоя изоляции на ее наружную поверхность имеем
, (1.101)
где из – коэффициент теплопроводности теплоизолирующего материала.
Изменение термического сопротивления изолированной конструкции равно
(1.102)
или
Функция согласно (1.102′) равна сумме двух слагаемых,
имеющих разные знаки. С ростом первое из этих слагаемых возрастает, а
второе – уменьшается.
Физический смысл
такого их поведения состоит в том, что
первое слагаемое в (1.102′), равное
,
представляет собой термическое сопротивление переносу тепла теплопроводностью через тепловую изоляцию, возрастающее с увеличением , т.е. с увеличением толщины изоляции. Второе же слагаемое в (1.102′) представляет собой изменение термического сопротивления переносу тепла конвекцией со стороны окружающей конструкцию наружной среды, вызванное увеличением площади наружной поверхности (для цилиндра и шара, когда ) вследствие нанесения тепловой изоляции, убывающее с увеличением , так как имеет место неравенство
Очевидно, что нанесение тепловой изоляции должно приводить к тому, чтобы изменение термического сопротивления конструкции было положительной величиной , так как именно это и дает уменьшение теплового потока через теплоизолированную конструкцию. В итоге при известных приходим к необходимости выполнения неравенства
.
(1.103)
С учетом рекомендаций п.1.9.3 по выбору для цилиндрической трубы величины s = 2 получаем на основании (1.103) следующее ограничение на коэффициент теплопроводности теплоизоляционного материала:
. (1.104)
Анализ формулы (1.104) показывает, что для неограниченной пластины () имеем , т.е. нанесение на пластину любого материала с конечной теплопроводностью приводит к уменьшению теплового потока через нее.
Для полого цилиндра () в правой части (1.104) получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя дает
, (1.105)
и, наконец, для полого шара () получаем
. (1.106)
Выясним влияние
координаты наружной поверхности тела (а, точнее
говоря, кривизны этой поверхности 1/x2)
на эффективность нанесения тепловой
изоляции с наперед заданным коэффициентом
теплопроводности изоляционного материала.
С этой целью
проведем анализ на наличие экстремума
функции по аргументу
.
Первая производная от по дает
или
. (1.107)
Так как , то получаем так называемое критическое значение координаты x2 равным
, (1.108)
откуда для цилиндра (s = 2) следует
. (1.109)Так как x2 представляет собой радиус цилиндра, то вместо (1.109) имеем хорошо известный в теплотехнике результат:
. (1.110)
Покажем, что в точке x2кр функция действительно достигает экстремума и этим экстремумом является минимум. Используя левую часть (1.107), имеем
(1.111)
Подстановка в (1.111) вместо его критического значения (1.108) дает
.
Тем самым доказано,
что функция действительно имеет экстремум, которым
является минимум.
Практическим приложением полученного результата является то, что нанесение тепловой изоляции на поверхность цилиндрической трубы приводит к увеличению термического сопротивления , а следовательно, к уменьшению теплового потока Q через нее лишь в том случае, когда наружный диаметр трубы . В противном случае, нанесение тепловой изоляции на наружную поверхность трубы приведет к противоположному эффекту.
Рис. 1.22
Графическая иллюстрация проведенного выше анализа дана на рис. 1.22, на котором линии а и в соответствуют непрерывному уменьшению тепловых потерь через конструкцию (росту ее суммарного термического сопротивления ) при , а линия б соответствует противоположному случаю , когда нанесение тепловой изоляции до порогового значения не приводит к полезному эффекту. Величина dиз.п равна 2х3,п и находится из формулы (1.102) при .
Из (1.
108) следует,
что для полого шара (s = 3) критический диаметр наружной
поверхности оказывается вдвое больше
критического диаметра наружной
поверхности цилиндра.
Все приведенные здесь результаты получены в предположении того, что одинаковы значения коэффициента теплоотдачи со стороны среды, омывающей наружную поверхность как неизолированного, так и теплоизолированного тела.
1.9.5. Нелинейная стационарная теплопроводностьВыше была рассмотрена стационарная теплопроводность при = const. Реальные материалы характеризуются зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассмотрим в качестве примера нелинейную стационарную теплопроводность в неограниченной пластине при ГУ-I (рис. 1.23) для трех видов материала: а) = const; б) растет с ростом температуры; в) убывает с ростом температуры.
Рис. 1.23
Для этих случаев зависимость (1.2) для расчета плотности теплового потока дает
(1.
Указанная величина q положительна (q > 0) и, пересекая изотермические поверхности пластины, везде одинакова.
Тогда имеем также из (1.112)
(1.113)
В диаграмме T—x (рис. 1.23) производная dT/dx численно равна тангенсу угла наклона касательной к любой линии, проходящей в ней.
При = const имеем на основании (1.113)
т.е. получаем линейное распределение температуры по толщине пластины (линия a).
При росте с увеличением температуры в тех местах пластины, где температура выше, будет соответственно меньше модуль производной dT/dx (линия б).
И, наконец, при уменьшении с ростом температуры распределение температуры будет соответствовать линии в.
Таким образом, в
пластине, изготовленной из реального
материала, распределение температуры
по координате x является нелинейным.
Зависимость влияет не только на вид стационарного температурного поля: она приводит и к необходимости учета этой зависимости для подсчета количества тепла Q, проходящего через тело.
Для рассмотренной выше неограниченной пластины при простейшей, линейной зависимости от температуры
(1.114)
вместо (1.52) имеем уже уравнение
(1.115)
Учитывая, что в стационарном тепловом режиме и для одномерного распространения тепла в пластине , приходим вместо (1.115) к уравнению
или . (1.116)
Полагая известными температуры и , получаем
и . (1.117)
Левая часть (1.117) приводится к следующему виду:
.
Нетрудно видеть,
что в соответствии с формулой (1.
114) второй
сомножитель в правой части последнего
равенства представляет собой коэффициент
теплопроводности материала
,
вычисленные по среднеарифметическому
значению температуры
.
Тогда вместо (1.117) получаем следующую
формулу для расчета количества тепла Q, проходящего за
единицу времени через пластину:
.
53
Температура внутренней поверхности цилиндра
Процесс передачи тепла от газов к охлаждающей жидкости в цилиндре двигателя разбивается на три этапа: теплоотдача от газов к стенке цилиндра; теплопередача через стенки цилиндра и теплоотдача от наружной поверхности стенок цилиндра к охлаждающей среде.
Теплоотдача от газов к стенке цилиндра происходит главным образом путем соприкосновения. Радиационная составляющая теплообмена принимается равной около 5% . Однако некоторые исследования последних лет показывают, что лучистый теплообмен в цилиндре дизеля достигает 15% от всего передаваемого тепла.
При установившемся тепловом потоке, и если принять стенку цилиндра плоской, согласно закону Ньютона, количество теплоты, переданное от газов к 1 м2 поверхности стенки в течение часа, будет равно
где ?г — коэффициент теплоотдачи от газов к стенке путем соприкосновения в ккал1м2 град·ч;
ТГ — температура газов в цилиндре;
Т1 — температура внутренней поверхности стенки цилиндра (рис. 106).
Количество теплоты, передаваемое лучеиспусканием от газов к стенке, согласно закону Стефана-Больцмана, будет равно
Здесь Тп — температура во фронте пламени, которая, по опытным данным, выше температуры газов примерно на 25% .
Суммарное количество теплоты, передаваемое от газов к стенке,
Обычно, ввиду малого значения, величиной qл пренебрегают, а потому
Количество теплоты, передаваемое через стенку цилиндра, согласно закону Фубье,
исключим температуру наружной поверхности стенки цилиндра Т2, определим тепловую нагрузку цилиндра в зависимости от температуры внутренней поверхности стенки цилиндра Т1 и температуры охлаждающей воды Тв:
Последнее уравнение показывает, что чем больше тепловая нагрузка цилиндра, чем выше температура охлаждающей воды Tв, и чем больше толщина стенки цилиндра s’, тем выше будет температура внутренней поверхности стенки цилиндра.
Температурный перепад по толщине стенки цилиндра равен
Возникающие тепловые напряжения в стенках цилиндра пропорциональны температурному перепаду и их толщине.
Отсюда следует, что с увеличением тепловой нагрузки и толщины стенок цилиндра тепловые напряжения в стенках его возрастают.
Подставляя в формулу (173) значение допустимой температуры внутренней поверхности стенок цилиндра t1°С, получим значение максимально допустимой тепловой нагрузки цилиндра (при данных значениях tв, ?в, s’ и ?0):
Обозначим термическое сопротивление теплопередачи от внутренней поверхности стенок цилиндра к охлаждающей воде через
тогда уравнение тепловой нагрузки можно написать так:
Отсюда находится мгновенное значение температуры внутренней поверхности стенки цилиндра
Вследствие пульсирующего теплового потока в цилиндре двигателя температура внутренней поверхности стенок его колеблется.
Опытные данные показывают, что эти колебания незначительны и ими можно пренебречь. Температура значительно изменяется вдоль поверхности цилиндра и поршня. На рис. 107 показаны типичные температурные кривые поршня без жидкостного охлаждения, а на рис. 108 — типичная кривая изменения температуры внутренней поверхности стенок цилиндра.
На рисунках также показаны значения температур поршня из алюминиевого сплава и втулки цилиндра на глубине 0,38 мм быстроходного двигателя п = 2 000 об/мин. (D = 121 мм, S = 140 мм) при температуре охлаждающей воды 70° С и скорости ее потока в зарубашечном пространстве 0,152 м/сек. Рассмотрение температурных кривых показывает, что средняя температура направляющей .части поршня мало отличается от температуры внутренней поверхности стенки цилиндра, а следовательно, теплопередача от поршня через направляющую часть его является незначительной. Наибольшая разница температур имеет место между боковой поверхностью головки поршня (в районе верхних двух колец) и поверхностью втулки цилиндра, а отсюда можно сделать вывод, что наибольшее количество теплоты отводится от поршня через верхние поршневые кольца.
Как следует из формулы (161), тепловая нагрузка цилиндра возрастает пропорционально увеличению его диаметра:
В связи с этим конструкция головки поршня (особенно при больших диаметрах цилиндров) должна обеспечить наиболее равномерный отвод тепла и тем самым не допускать большого перепада температур в донышке поршня.
Увеличение тепловой нагрузки донышка поршня при наддуве мощных дизелей послужило причиной замены масляного охлаждения головки поршня водяным. Масляное охлаждение, вследствие малой теплоемкости масла, не всегда достигает требуемого снижения температуры поршня и поршневых колец.
На рис. 109 показано распределение температур в поршне с масляным охлаждением и верхней части рабочей втулки опытного цилиндра двухтактного дизеля фирмы «Зульцер» с диаметром цилиндра 760 мм и ре = 7 кГ/см2 (цилиндровая мощность 1500 л. с.). Донышко поршня имеет одинаковую толщину, оно плоское с уклоном по периферии.
Верхняя часть втулки цилиндра защищена от непосредственного воздействия пламени вставным кольцом, изготовленным из жаропрочной стали и, благодаря наличию ребер, имеет интенсивное охлаждение.
Как видно из рис. 109, температурный перепад для чугунной втулки цилиндра допустим, но все же довольно высок. Особенно высоким является перепад температур в донышке поршня.
На рис. 110 показано распределение температур в поршне и во втулке цилиндра этого же дизеля (РД-76) с водяным охлаждением при ре=10 кГ/см2. Наличие ребер внутри головки поршня позволило уменьшить толщину днища поршня. Уменьшение толщины днища поршня и применение водяного охлаждения позволили снизить температурный перепад в поршне, несмотря на повышенное значение среднего эффективного давления (ре = 10 кГ(см2).
Среднее значение температуры внутренней поверхности стенки цилиндра (T1)ср в соответствии с формулой (177) будет равно
где значения (?гТг)ср и (?г)ср определяются путем планиметрирования площади под кривыми ?г = f (?) и ?гТг = f(?) (? — угол поворота вала двигателя).
Мгновенное значение температуры газов Тг определяется из уравнения состояния
где значения р и V в зависимости от угла ? определяются по индикаторной диаграмме двигателя;
G — вес свежего заряда цилиндра с учетом остаточных газов.
Средняя результирующая температура газов по теплопередаче определяется из условия равенства передачи тепла стенке при пульсирующем потоке тепла за один цикл и в предположении стационарного потока:
Коэффициент теплопередачи от наружной поверхности втулки рабочего цилиндра к охлаждающей воде
Средняя температура стенки втулки цилиндра
Количество теплоты, выделяющееся в цилиндре в течение одного часа,
Доля тепла от выделяемого в цилиндре и передаваемая охлаждающей воде,
Площадь поверхности цилиндра
, написанный
Malcolm McKinsey
Проверка по фактам
Paul Mazzola
Цилиндер определение
A Cylind .
изогнутая стена встречается с конечными кругами, а изогнутая поверхность простирается между двумя круглыми концами.
Вы сталкиваетесь с цилиндрами в повседневной деятельности, например, когда едите банку газировки, открываете металлическую банку с едой или шлепаете своих друзей цилиндрической лапшой для бассейна. Цилиндр математически представляет собой трехмерный объект, пару конгруэнтных окружностей, разделенных изогнутой поверхностью.
A cylinder is a three-dimensional solid, having height ( h ) , width ( w ) or diameter ( D ) и длина ( l ) . Поскольку он трехмерный, он имеет площади поверхности , а не просто площадь (площадь обычно ассоциируется только с двумерными формами, такими как круг или прямоугольник).
Цилиндры обычно имеют стороны, перпендикулярные их концам, что делает их правильными цилиндрами .
Цилиндры тоже могут быть наклонными. Два их круглых конца могут не совпадать, поэтому стена или изогнутая поверхность наклоняются, как наклонный цилиндр известной Пизанской башни.
Площадь поверхности цилиндра
Когда мы говорим о площади поверхности цилиндра, мы имеем в виду две площади поверхности: площадь боковой поверхности и общая площадь поверхности . Общая площадь поверхности обычно упоминается как площадь поверхности.
Если вас просят найти площадь поверхности цилиндра, то вы хотите найти площади двух концов и криволинейной поверхности.
Убедитесь, что вы понимаете связь между радиусом, диаметром и ππ, поскольку все они играют роль в определении площади поверхности правильного цилиндра.
Диаметр и радиус цилиндра получаются из двух окружностей, которые обычно считаются основания , или верх и низ цилиндра, хотя нет математической причины, по которой цилиндр мог бы стоять. Подумайте о цистернах в поезде; они представляют собой цилиндры «по бокам», их основания с обоих концов.
{2}2πr2). Если вы видите фразу «площадь основания цилиндра», автор имеет в виду верхний и нижний концы, а не изогнутую поверхность между ними.
Площадь всегда будет выражаться в квадратных единицах вытекающих из линейных единиц в задаче, поскольку любые две линейные меры, умноженные друг на друга, дают квадратные единицы.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Как упоминалось выше, существует также площадь боковой поверхности объекта. Боковая поверхность объекта определяется как площадь всех сторон объекта, исключая площадь его основания и вершины. Для цилиндра площадь боковой поверхности — это изогнутая поверхность, соединяющая основание и вершину.
Формула площади боковой поверхности
Формула для расчета площади боковой поверхности аналогична приведенной выше формуле площади поверхности, но поскольку мы не учитываем верх или основание, мы должны удалить эту часть формулы. Формула площади боковой поверхности:
Как найти площадь поверхности цилиндра
Возьмите картонный цилиндр из сердцевины рулона бумажных полотенец.
Представьте, что это 1,7 дюйма в диаметре, 11 дюймов в длину.
Зная, что картонная трубка 1,7 дюймов в ширину и 11 дюймов в длину, если бы мы закрыли концы, какова была бы площадь его поверхности?
Здесь у нас не было радиуса, r ; Нам сказали диаметр, но, вспоминая взаимосвязь между частями кругов, мы помним:
, положив значения R и H в формулу, используя 3,14 для π :
для π :
для π :
для . В трубке для бумажных полотенец используется чуть больше 0,4 квадратных футов картона!
Сколько алюминия, по вашим оценкам, требуется для изготовления обычной банки из-под газировки?
Правда, газировка может немного помять с обоих концов, но нам нужна только оценка. Во-первых, нам нужен радиус, поэтому мы берем половину диаметра банки:
Давайте вспомним нашу формулу и подставим то, что мы знаем:
Это чуть больше трети квадратного фута переработанного алюминия в каждой банке.
Теперь вы понимаете, почему важна переработка алюминия — всего три банки расходуют квадратный фут металла!
Определение, типы, примеры, площадь поверхности и объем
ВведениеВ нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с несколькими твердыми телами, такими как банки, газовые баллоны и т. д. Вы замечали, что такие тела имеют изогнутые поверхности с конгруэнтными круглыми концами? Такие твердые тела называются цилиндрами. Такие объекты, как круглая колонна, круглая труба, пробирка, круглый резервуар для хранения, мерная банка, газовый баллон, круглая банка для порошка и т. д., имеют форму цилиндра. Давайте узнаем больше о цилиндрах.
Определение Цилиндр — это одна из основных трехмерных фигур в геометрии, которая имеет два параллельных круглых основания на расстоянии. Другими словами, цилиндр — это трехмерная твердая форма, состоящая из двух одинаковых и параллельных оснований, соединенных криволинейной поверхностью.
Напомним, что трехмерные формы или трехмерные формы — это формы, которые имеют все три измерения, то есть длину, ширину и высоту. Прямой круговой цилиндр, имеющий форму 3, имеет два плоских конца. Каждый плоский конец имеет круглую форму, а два плоских конца параллельны; т. е. лежат в параллельных плоскостях. Каждый из концов плоскости называется основанием цилиндра. Каждый конец плоскости называется основанием цилиндра. Ниже у нас есть общая схема Цилиндр —
Давайте теперь узнаем о некоторых основных терминах, которые являются неотъемлемой частью понимания цилиндра –
Основание – Каждый из круглых концов, на которые опирается цилиндр, называется его основанием.
Ось – Отрезок, соединяющий центры двух круглых оснований, называется осью цилиндра.
Радиус – Радиус круглых оснований называется радиусом цилиндра.
Высота – Длина оси цилиндра называется высотой цилиндра.
Боковая поверхность – изогнутая поверхность, соединяющая два основания прямого кругового цилиндра, называется его боковой поверхностью.
Поверхности – Цилиндр имеет одну изогнутую поверхность и две плоские поверхности. Другими словами, цилиндр имеет две плоские грани, а именно верхнюю и нижнюю, и одну изогнутую грань.
Кромки – Цилиндр имеет две изогнутые кромки.
Vertx – Цилиндр не имеет угла или вершины.
Типы цилиндровСуществует четыре различных типа цилиндров в зависимости от оси и основания. Это –
- Прямой круглый цилиндр
- Косой цилиндр
- Эллиптический цилиндр
- Правый круглый полый цилиндр
Давайте узнаем о них по порядку.
Прямой круговой цилиндрЦилиндр, ось которого перпендикулярна основаниям, называется прямым круговым цилиндром .
Наклонный цилиндр Цилиндр, ось которого не перпендикулярна основаниям, называется наклонным цилиндром .
Цилиндр, основание которого имеет форму эллипса, называется эллиптическим цилиндром .
Правый круговой полый цилиндрПравый круговой полый цилиндр состоит из двух правильных круговых цилиндров, заключенных один внутри другого. Этот цилиндр имеет общую точку оси и перпендикулярен центральному основанию. Быть полым означает, что он полый изнутри, он отличается от правильного круглого цилиндра.
Площадь поверхности прямого круглого цилиндраРассмотрим прямой круглый цилиндр радиуса r и высоты h. Площадь боковой поверхности цилиндра определяется как –
Площадь боковой поверхности цилиндра
= Площадь прямоугольной полоски бумаги
= Площадь прямоугольника длиной 2 π r и шириной h
= 2 π r x h квадратных единиц
= 2 π r h квадратных единиц
Таким образом, для цилиндра радиуса r и высоты h мы имеем,
Латеральная (изогнутая) площадь поверхности = 2 π r H квадратные единицы
Каждая площадь базовой поверхности = π r 2 квадратных единиц
9000 77.
r 2 ) квадратных единиц = 2 π r ( h + r ) квадратных единиц. Давайте разберемся на примере.
Пример
Найдите площадь криволинейной поверхности и общую площадь поверхности прямого круглого цилиндра, высота которого 15 см, а радиус основания 7 см. (Возьмем π = 22/7)
Решение
Нам дано, что
Радиус основания цилиндра = r = 7 см
Высота цилиндра = h = 15 см
Теперь мы знаем, что
Боковой (изогнутый) площадь поверхности цилиндра = 2 π r h квадратных единиц ………. ( 1 )
Подставляя значения π, r и h в приведенное выше уравнение, мы получаем
Боковая (искривленная) площадь поверхности цилиндра = ( 2 x $\frac{22}{7}$ x 7 x 15 ) кв. см
⇒ Площадь боковой (изогнутой) поверхности цилиндра = (2 x 22 x 7 x 15) кв. см
⇒ Площадь боковой (изогнутой) поверхности цилиндра = 660 кв. см
Далее нам нужно найти общую площадь поверхности данного цилиндра. Мы знаем, что
Общая площадь поверхности цилиндра = 2 π r ( h + r ) квадратных единиц.
Подставив значения π, r и h в приведенное выше уравнение, мы получим
Общая площадь поверхности цилиндра = 2 x $\frac{22}{7}$ x 7 x ( 15 + 7 ) кв. см
⇒ Общая площадь поверхности цилиндра = 2 x 22 x 15 кв. см
⇒ Общая площадь поверхности цилиндра = 968 кв.см.
Площадь поверхности полого цилиндраТвердые тела, такие как железные трубы, резиновые трубы и т. д., представляют собой полые цилиндры. Таким образом, мы можем сказать, что твердое тело, ограниченное двумя коаксиальными цилиндрами одинаковой высоты и разных радиусов, называется полым цилиндром. Какова будет площадь поверхности полого цилиндра? Давайте узнаем.
Пусть R и r — внешний и внутренний радиусы полого цилиндра соответственно, а h — высота полого цилиндра.
Площадь поверхности каждого основания полого цилиндра = π ( R 2 – r 2 2 ) кв. ед. площади полого цилиндра 3 (Площадь внешней поверхности) + (площадь внутренней поверхности) ⇒ Изогнутая (боковая) Площадь поверхности полого цилиндра = 2 π Rh + 2 π rh ⇒ Изогнутая (боковая) Площадь поверхности полого цилиндра = 2 π h ( R + r ) кв. единиц Аналогично, Общая площадь поверхности полого цилиндра = 2 π R h + 2 π r h + 2 π ( R 2 – r 2 ) ⇒ Общая 90 7 площадь поверхности полого цилиндра
⇒ Общая площадь поверхности полого цилиндра = 2 π (R + r) (h + R – r) кв. , единиц
Давайте разберемся на примере.
Пример
Площадь боковой поверхности полого цилиндра 424 кв.
см. Его разрезали по высоте и образовали прямоугольный лист шириной 32 см. Найдите периметр прямоугольного листа.
Решение
Нам известно, что площадь боковой поверхности полого цилиндра равна 424 кв.см. Его разрезали по высоте и образовали прямоугольный лист шириной 32 см. требуется найти периметр прямоугольного листа. Давайте сначала обобщим полученную информацию.
Важно понимать, что высота цилиндра от листа будет равна ширине прямоугольного листа. Следовательно, имеем
Высота цилиндра = h = Ширина листа = 32 см
Теперь пусть r будет радиусом основания полого цилиндра.
Нам известно, что площадь боковой поверхности полого цилиндра = 424 кв. см …… ( 1 )
Также мы узнали, что
Площадь боковой (изогнутой) поверхности = 2 π r h квадратных единиц
Теперь , h = 32 см, π = $\frac{22}{7}$
Подставив значения h и π в приведенное выше уравнение, мы получим
Площадь боковой (изогнутой) поверхности = 2 x $\frac{ 22}{7}$ x r 32 ……… ( 2 )
Из (1) и (2) имеем
2 x $\frac{22}{7}$ x r 32 = = 424
⇒ r = $\frac{424 x 7}{32 x 2 x 22}$
⇒ r = = 21 см
Теперь, когда мы получили значение радиуса основания, найдем периметр листа.
Мы знаем, что периметр круглого листа равен 2 π r. Следовательно, имеем
Периметр листа = 2 π r = 2 x $\frac{22}{7}$ x 21
⇒ Периметр листа = 2 x 22 x 3 = 132 см
Отсюда периметр листа будет 132 см
Объем цилиндраВозьмем прямоугольный цилиндр радиуса r и высоты h. мы знаем, что объем прямого кругового цилиндра равен мере пространства, занимаемого цилиндром.
Следовательно, мы имеем,
Объем правильного круглого цилиндра = мера пространства, занимаемого цилиндром
⇒ Объем правильного круглого цилиндра = Площадь каждого круглого листа x Высота
⇒ Объем прямого кругового цилиндра = π r 2 h
Разберем это на примере.
Пример
Площадь основания прямоугольного цилиндра 154 кв. см, высота 15 см. Найдите объем цилиндра.
Решение
Нам известно, что площадь основания прямоугольного цилиндра равна 154 кв.
см, а его высота равна 15 см. Нам нужно найти объем цилиндра. Давайте сначала обобщим полученную информацию. У нас есть,
Площадь основания правильного круглого цилиндра = 154 кв. см
Высота правильного круглого цилиндра = 15 см
Теперь мы знаем, что
Объем правильного круглого цилиндра = ( Площадь основания ) x Высота …… ( 1 )
Подставляя доступные нам значения в приведенное выше уравнение, получаем,
Объем правильного круглого цилиндра = 154 x 15 см 3
⇒ Объем правильного круглого цилиндра = 2310 см 3
Отсюда объем цилиндра высотой 15 см и площадью основания 154 кв. см будет равен = 2310 см 3
так как железные трубы, резиновые трубы и т. д. представляют собой полые цилиндры. Таким образом, мы можем сказать, что твердое тело, ограниченное двумя коаксиальными цилиндрами одинаковой высоты и разных радиусов, называется полым цилиндром.
Каков будет объем полого цилиндра? Давайте узнаем.Пусть R и r — внешний и внутренний радиусы полого цилиндра соответственно, а h — высота полого цилиндра.
Объем полого цилиндра будет равен разнице между внешним и внутренним объемами. Это означает, что –
Объем полого цилиндра = (Объем внешней части) – (Объем внутренней части)
Теперь мы знаем, что –
Объем внешней части = π R 2 ч и
Объем внутренняя часть = π r 2 h
Therefore,
Volume of hollow cylinder = π R 2 h – π r 2 h
⇒ Volume of hollow cylinder = π h (R 2 – r 2 )
Давайте разберемся на примере.
Пример
Толщина металлической трубки 1 см, внутренний диаметр трубки 12 см. Найдите массу трубы длиной 1 м, если плотность металла 7,8 г/см³.
Решение
Нам известно, что толщина металлической трубы равна 1 см, а внутренний диаметр трубы равен 12 см. также плотность металла 7,8 г/см³. Нам нужно найти вес трубы длиной 1 м. Давайте сначала обобщим полученную информацию. Имеем,
Внутренний диаметр трубки = 12 см
Это означает, что внутренний радиус трубки = r = 6 см ……… ( 1 )
Также
Толщина трубки = 1 см
Следовательно, внешний радиус трубы = R = ( 6 + 1 ) см = 7 см ………. ( 2 )
Длина ( Высота ) трубы = h = 1 м = 100 см …… ( 3 )
Теперь мы узнали, что Объем полого цилиндра = π h (R 2 – r 2 ) …… ( 4 )
Подставляя значения r, R и h, которые мы получили, в уравнения (1), (2) и (3) в приведенном выше уравнении, мы имеем,
Объем металла в трубка = π h (R 2 – r 2 )
⇒ Объем металла в трубке = $\frac{22}{7}$ x 100 ( 7 2 – 6 2 ) см 3
⇒ Объем металла в трубке = $\frac{22}{7}$ x 100 x 13 см 3 ……….
( 5 )
Кроме того, нам дано, что плотность металла составляет 7,8 г / см³
Следовательно,
Вес трубки = Объем x Плотность
⇒ Вес трубки = $\frac{22} {7}$ x 100 x 13 x 7,8
⇒ Вес трубки = 31868,57 г = $\frac{31868,57}{1000}$ кг = 31,86857 кг = 31,869кг
Следовательно, вес трубы = 31,869 кг.
