Площадь периметра прямоугольника: Вычислите периметр и площадь прямоугольника со сторонами a и b если a=15 см b=100 см

Содержание

Как вычисляется периметр прямоугольника. Периметр и площадь прямоугольника

Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.

Основные понятия

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.

Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.

Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.

Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.

Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.

Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.

Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.

Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.

Формула периметра фигуры

Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:

$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.

Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .

Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.

Решение:

Используем формулу $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 см$

Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.

Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.

Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.

Что мы узнали?

Мы узнали, как найти периметр прямоугольника. А также ознакомились с формулой его вычисления. С этой темой можно столкнуться не только при решении математических задач, но и в реальной жизни.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.5 . Всего получено оценок: 363.

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, где периметр обозначается буквой «P». Название фигуры рекомендуется писать маленькими буквами под знаком «P», чтобы знать чей периметр ты находишь.

Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т.д.

Отличительные особенности прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник.
Все параллельные стороны равны
Все углы = 90º.
Например в повседневной жизни прямоугольник может встречаться в виде — книги, монитора, крышки от стола или двери.

Как вычислить периметр прямоугольника

Существует 2 способа его нахождения:

1 способ. Складываем все стороны. P = a + а + b + b
2 способ. Сложить ширину и длину, и умножить на 2. P = (a + b) · 2. ИЛИ Р = 2 · а + 2 · b. Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), называются длиной и шириной.

«a» — длина прямоугольника, более длинная пара его сторон.

«b» — ширина прямоугольника, более короткая пара его сторон.

Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:

Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина — 6.

Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!

Полупериметр — это сумма одной длины и одной ширины.

Полупериметр прямоугольника — когда выполняешь первое действие в скобках – (a+b) .
Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, т.е. умножить на 2.

Как найти площадь прямоугольника

Формула площади прямоугольника S= a*b

Если в условии известна длина одной стороны и длина диагонали, то площадь найти можно, используя в таких задачах, теорему Пифагора, она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника если известны длины двух других сторон.

: a 2 + b 2 = c 2 , где a и b – стороны треугольника, а с – гипотенуза, самая длинная сторона.

Помни!

Все квадраты – прямоугольники, но не все прямоугольники – квадраты. Так как:
- Прямоугольник — это четырехугольник со всеми прямыми углами.
- Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
Если ты находишь площадь, ответ всегда будет в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т.д.)

При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .

В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.

Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера — 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре — бесконечное количество.

Замечание для любознательных . В случае с прямоугольником, у которого задан периметр, максимальную площадь будет иметь квадрат.

Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга и возможно решение.

В этом уроке:

Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Периметр прямоугольника равен 32 сантиметрам, а сумма площадей квадратов, построенных на каждой из его сторон — 260 квадратных сантиметров. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.

2(x+y)=32
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, четыре) будет равна
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16×252=64
x 1 =9
x 2 =7
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=16 (см. выше) при x=9, то y=7 и наоборот, если x=7, то y=9
Ответ : Стороны прямоугольника равны 7 и 9 сантиметров

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений.

Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.

Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой — 3х.

Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?

Решение .
Площадь прямоугольника равна
S = ab

В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна

S 2 = 1,25ab

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25

Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 — 0,8) * 100% = 20%

Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.

На этом занятии мы познакомимся с новым понятием — периметр прямоугольника. Мы сформулируем определение этого понятия, выведем формулу для его вычисления. Также повторим сочетательный закон сложения и распределительный закон умножения.

На данном уроке мы познакомимся с периметром прямоугольника и его вычислением.

Рассмотрим следующую геометрическую фигуру (рис. 1):

Рис. 1. Прямоугольник

Данная фигура — прямоугольник. Вспомним, какие отличительные особенности прямоугольника мы знаем.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого четыре прямых угла и стороны попарно равны.

Что в нашей жизни может иметь прямоугольную форму? Например, книга, крышка стола или земельный участок.

Рассмотрим следующую задачу:

Задача 1 (рис. 2)

Вокруг земельного участка строителям понадобилось поставить забор. Ширина этого участка — 5 метров, длина — 10 метров. Забор какой длины получится у строителей?

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Забор ставят по границам участка, поэтому, чтобы узнать длину забора, нужно знать длину каждой из сторон. У данного прямоугольника стороны равны: 5 метров, 10 метров, 5 метров, 10 метров. Составим выражение для подсчета длины забора: 5+10+5+10. Воспользуемся переместительным законом сложения: 5+10+5+10=5+5+10+10. В данном выражении есть суммы одинаковых слагаемых (5+5 и 10+10). Заменим суммы одинаковых слагаемых произведениями: 5+5+10+10=5·2+10·2. Теперь воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Найдем значение выражения (5+10)·2. Сначала выполняем действие в скобках: 5+10=15. А затем повторяем число 15 два раза: 15·2=30.

Ответ: 30 метров.

Периметр прямоугольника — сумма длин всех его сторон. Формула для подсчета периметра прямоугольника : , здесь a — длина прямоугольника, а b — ширина прямоугольника. Сумма длины и ширины называется полупериметром . Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, то есть умножить на 2.

Воспользуемся формулой периметра прямоугольника и найдем периметр прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см: (7+3)·2=20 (см).

Периметр любой фигуры измеряется в линейных единицах.

На данном уроке мы познакомились с периметром прямоугольника и формулой его вычисления.

Произведение числа и суммы чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых.

Если периметр — это сумма длин всех сторон фигуры, то полупериметр — сумма одной длины и одной ширины. Мы находим полупериметр, когда работаем по формуле нахождения периметра прямоугольника (когда мы выполняем первое действие в скобках — (a+b)).

Список литературы

Александрова Э.И. Математика. 2 класс. — М.: Дрофа, 2004.
Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. — М.: Астрель, 2006.
Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. — М.: Просвещение, 2012.

Festival.1september.ru ().
Nsportal.ru ().
Math-prosto.ru ().

Домашнее задание

Найти периметр прямоугольника, у которого длина 13 метров, а ширина — 7 метров.
Найти полупериметр прямоугольника, если его длина — 8 см, а ширина — 4 см.
Найти периметр прямоугольника, если его полупериметр — 21 дм.

На данном уроке мы познакомимся с периметром прямоугольника и его вычислением.

Рассмотрим следующую геометрическую фигуру (рис. 1):

Рис. 1. Прямоугольник

Данная фигура — прямоугольник. Вспомним, какие отличительные особенности прямоугольника мы знаем.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого четыре прямых угла и стороны попарно равны.

Что в нашей жизни может иметь прямоугольную форму? Например, книга, крышка стола или земельный участок.

Рассмотрим следующую задачу:

Задача 1 (рис. 2)

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Ответ: 30 метров.

Периметр любой фигуры измеряется в линейных единицах.

На данном уроке мы познакомились с периметром прямоугольника и формулой его вычисления.

Произведение числа и суммы чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых.

Список литературы

Александрова Э.И. Математика. 2 класс. — М.: Дрофа, 2004.
Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. — М.: Астрель, 2006.
Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. — М.: Просвещение, 2012.

Festival.1september.ru ().
Nsportal.ru ().
Math-prosto.ru ().

Домашнее задание

Найти периметр прямоугольника, у которого длина 13 метров, а ширина — 7 метров.
Найти полупериметр прямоугольника, если его длина — 8 см, а ширина — 4 см.
Найти периметр прямоугольника, если его полупериметр — 21 дм.

Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5

Задача 1. Периметр прямоугольника равен 28, а площадь равна 92. Найти диагональ прямоугольника.

Используйте этот чертёж ко всем следующим задачам.

Решение. Пусть нам дан прямоугольник со сторонами а и b. Нужно найти диагональ прямоугольника d. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами а и b. На основании теоремы Пифагора d²=a²+b². Следовательно, необходимо найти a²+b². По условию периметр прямоугольника равен 28. Так как формула периметра прямоугольника P=2(a+b), то a+b=14. Так как площадь прямоугольника равна S=ab, и по условию S=92, то ab=48. Рассуждаем: сумма чисел а и b равна 14, а произведение 48. Вспоминаем теорему Виета, когда мы подбирали корни квадратного уравнения

x²-14x+48=0 и находили x₁=6 и х₂=8. В нашем случае а=6 и b=8 или а=8 и b=6. Тогда основании теоремы Пифагора d²=a²+b². Получаем d²=6²+8²=36+64=100. Отсюда d=10. Ответ: 10.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Рассуждаем аналогично. Теперь по условию a+b=5, ab=4,5. Понимаем, что числа а и b не будут целыми, и подобрать их не получится. Однако найти требуется диагональ d, которая является является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами а и b. На основании теоремы Пифагора d²=a²+b². Следовательно, необходимо найти a²+b², а значения а и b находить по отдельности нет необходимости. Возведём обе части равенства a+b=5 в квадрат. Получим (a+b)²=5². Отсюда a²+2ab+b²=25, тогда a²+b²=25-2ab. Так как ab=4,5, то 2ab=9. Получаем: a²+b²=25-9=16. Значит d²=16, а d=4. Ответ: 4.

Задача 3. Периметр прямоугольника равен 3,6, а площадь равна 0,34. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Рассуждаем аналогично. По условию a+b=1,8, ab=0,34. Диагональ d будет равна квадратному корню из суммы квадратов a²+b². Возведём обе части равенства a+b=1,8 в квадрат. Получим (a+b)²=(1,8)². Отсюда a²+2ab+b²=3,24, тогда a²+b²=25-2ab. Так как ab=0,34, то 2ab=0,68. Получаем: a²+b²=3,24-0,68=2,56. Значит d²=2,56, а d=1,6. Ответ: 1,6.

Задача 4. Диагональ прямоугольника равна 5, а площадь равна 5,5. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Используем рассуждения предыдущих задач. В этой задаче d=5, а по теореме Пифагора гипотенуза d равна сумме квадратов катетов а и b прямоугольного треугольника (смотрите рисунок), значит, d²=a²+b²=25. Площадь прямоугольника S=ab, и по условию равна 5,5. Значит, ab=5,5; тогда 2ab=11. Требуется найти периметр прямоугольника. Так как по формуле периметр P=2(a+b), то достаточно найти сумму смежных сторон прямоугольника (a+b). Имея a²+b²=25 и 2ab=11, сложим эти два равенства почленно. Получаем:

a²+2ab+b²=25+11, отсюда (a+b)²=36, a+b=6. Так как сумма смежных сторон прямоугольника равна 6, то периметр будет равен 12. Ответ: 12.

Задача 5. Диагональ прямоугольника равна 7, а площадь равна 7,5. Найти периметр прямоугольника. Задача совершенно такая же, как предыдущая задача 4, только числа другие. Решите задачу 5 самостоятельно. Ответ: 16.

Задача 6. Диагональ прямоугольника равна 9, а его периметр равен 22. Найти площадь прямоугольника.

Решение. Используем рассуждения предыдущих задач. Стороны прямоугольника а и b являются катетами прямоугольного треугольника, а диагональ прямоугольника d – гипотенузой этого прямоугольного треугольника. На основании теоремы Пифагора d²=a²+b² , значит, так как d²=9²=81, то a²+b²=81. По условию периметр прямоугольника равен 22, следовательно, полупериметр a+b=11. Возведём в квадрат обе части последнего равенства и получим:

a²+2ab+b²=121, отсюда 2ab=121-(a²+b²)=121-81=40. Площадь квадрата S=ab=40:2=20. Ответ: 20.

Задача 7. Диагональ прямоугольника равна 11, а его периметр равен 24. Найти площадь прямоугольника. Задача совершенно такая же, как предыдущая задача 6, только числа другие. Решите задачу 7 самостоятельно. Ответ: 11,5.

Делаем выводы. Для того чтобы найти диагональ, периметр или площадь прямоугольника не всегда является необходимым находить стороны прямоугольника по отдельности. Чётко ставьте себе задачу, исходя из её условий, и вы найдёте рациональное решение.

Запись имеет метки: диагональ прямоугольника равна 5 а площадь 5 с половиной найти периметр, диагональ прямоугольника равна 9 а его периметр 22 найти площадь, периметр прямоугольника равен 28 а площадь 92 найти диагональ прямоугольника

Прямоугольник.

Формулы и свойства прямоугольника

Навигация по странице: Определение прямоугольника Основные свойства прямоугольника Стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) Диагональ прямоугольника Периметр прямоугольника Площадь прямоугольника Окружность описанная вокруг прямоугольника Угол между стороной и диагональю прямоугольника Угол между диагоналями прямоугольника

Определение.

Прямоугольник — это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую — шириной прямоугольника.

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.


Рис. 1		Рис.2

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB _┴ BC, BC _┴ CD, CD _┴ AD, AD _┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

AC = BD

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d² = 2a² + 2b²

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника — квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d² — b²

b = √d² — a²

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

a =	S
	b

b =	S
	a

3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:

a =	P — 2b
	2

b =	P — 2a
	2

4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:

a = d sinα

b = d cosα

5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:

a = d sin	β
	2

b = d cos	β
	2

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a² + b²

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

d =	√S² + a⁴	=	√S² + b⁴
	a		b

3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:

d =	√P² — 4Pa + 8a²	=	√P² — 4Pb + 8b²
	2		2

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D_о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

d =	a
	sin α

7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:

d =	b
	cos α

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S : sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

P =	2S + 2a²	=	2S + 2b²
	a		b

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d² — a²) = 2(b + √d² — b²)

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R² — a²) = 2(b + √4R² — b²)

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D_o² — a²) = 2(b + √D_o² — b²)

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

S =	Pa — 2a²	=	Pb — 2b²
	2		2

3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:

S = a√d² — a² = b√d² — b²

4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:

S =	d² · sin β
	2

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a√4R² — a² = b√4R² — b²

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a√D_o² — a² = b√D_o² — b²

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:

R =	√a² + b²
	2

2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:

R =	√P² — 4Pa + 8a²	=	√P² — 4Pb + 8b²
	4		4

3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:

R =	√S² + a⁴	=	√S² + b⁴
	2a		2b

4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:

R =	d
	2

5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:

R =	D_о
	2

6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

R =	a
	2sin α

7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:

R =	b
	2cos α

8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

R =	√2S : sin β
	2

Угол между стороной и диагональю прямоугольника

Формулы определения угла между стороной и диагональю

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

sin α =	a
	d

cos α =	b
	d

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

α =	β
	2

Угол между диагоналями прямоугольника

Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника

1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:

sin β =	2S
	d²

Все таблицы и формулы

Планы уроков геометрии: периметр и площадь прямоугольников и квадратов

	апид	Теория, которую нужно знать!
	обзор

Измерение – формулы для периметра и площади прямоугольников и квадратов

Четырехугольник – это многоугольник, у которого четыре стороны.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого четыре прямых угла.
Квадрат – это прямоугольник, у которого четыре равные стороны.

Периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина)
Любая из двух длинных сторон прямоугольника является его длиной.
На рисунке рядом с прямоугольником PQRS длина = PQ = RS.
Любая из двух более коротких сторон прямоугольника является его шириной.
На рисунке рядом с прямоугольником PQRS ширина = QR = PS.
На рисунке рядом с прямоугольником PQRS периметр = 2 (PQ + QR).

Пример
Найдите периметр (в см) прямоугольника, длина которого 8 см, а ширина 4 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения Периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина)
= 2 (8 + 4) = 24 см.

На рисунке рядом с прямоугольником PQRS, диагональ = QS = PR (показано пунктиром)

= .

PQ ² + QR ²

(по теореме Пифагора, примененной к ΔPQR).

Диагональ прямоугольника = Ö

Длина ² + Ширина ²

Пример
Найдите диагональ (в см) прямоугольника, длина которого 12 см, а ширина 5 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения

Диагональ прямоугольника = Ö

Длина ² + Ширина ²

= …

12 ² + 5 ²

= 13 см.

Площадь прямоугольника = длина × ширина
На рисунке рядом с прямоугольником PQRS площадь = PQ × QR.

Пример
Найдите площадь (в см ² ) прямоугольника, длина которого 10 см, а ширина 5 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения Площадь прямоугольника = Длина × Ширина
= 10 × 5 = 50 см ² .

Периметр квадрата = 4 × Сторона
На рисунке рядом с квадратом PQRS сторона = PQ = QR = RS = PS.
На рисунке рядом с квадратом PQRS периметр = 4 × PQ.

Пример
Найдите периметр (в см) квадрата со стороной 5 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения Периметр квадрата = 4 × Сторона
= 4 × 5 = 20 см.

Диагональ квадрата = Ö2 Сторона

= Ö

PQ ² + QR ²

(по теореме Пифагора)

= .

PQ ² + PQ ²

= …

2 PQ ²

= Ö2 PQ.

На рисунке рядом с квадратом PQRS, диагональ = QS = PR (показано пунктиром)

Пример
Найдите диагональ (в см) квадрата со стороной 15…2 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения Диагональ квадрата = Ö2 Сторона
= Ö2 × 15Ö2 = 30 см.

Площадь квадрата = Сторона ²
На рисунке рядом с квадратом PQRS площадь = PQ ² .

Пример
Найти площадь (в см ² ) квадрата со стороной 5 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения Площадь квадрата = Сторона ²
= 5 ² = 25 см ² .

Площадь квадрата = ½ × Диагональ ²
На рисунке рядом с квадратом PQRS площадь = PQ ² = (PR / Ö2) ² = ½ × PR ² .

Пример
Найдите площадь (в см ² ) квадрата с диагональю 6 см.
Раствор.

нажмите здесь для решения Площадь квадрата = ½ × Диагональ ²
= ½ × 6 ² = 18 см ² .

Математика — Планы уроков геометрии: Практическое упражнение по периметру и площади квадратов и прямоугольников Рабочие листы с прямоугольниками

Площадь и периметр прямоугольника. Листы

Найти площадь прямоугольника. Лист

Найти площадь прямоугольника.

Найти площадь прямоугольника Рабочий лист

Найти площадь и периметр прямоугольника в см Рабочий лист

Найти площадь и периметр прямоугольника в см Десятичный рабочий лист

Найти площадь и периметр прямоугольника в см. Десятичная таблица

Найти площадь и периметр прямоугольника в футах. Таблица

Найти площадь и периметр прямоугольника в футах. и периметр прямоугольника в футах Десятичный рабочий лист

Найдите площадь и периметр прямоугольника в миллиметрах Рабочий лист

Найдите площадь и периметр прямоугольника в миллиметрах Десятичный рабочий лист

Найдите площадь и периметр прямоугольника в миллиметрах Десятичное число

Найдите площадь и периметр прямоугольника

Найдите площадь и периметр прямоугольника Определение длины или ширины с использованием десятичных знаков в см. Таблица

Определение длины или ширины с использованием десятичных знаков в футах. Таблица

Определение длины или ширины с помощью десятичных знаков в миллиметрах. Таблица 9.0029

Найти значение x в см. Таблица десятичных дробей

Найти значение x в таблице десятичных дробей

Найти значение x в футах. Таблица десятичных дробей

Найти значение x рабочий лист

Найти значение x в см. Рабочий лист дробей

Найти значение x в дробях Рабочий лист

Найти значение x в дробях фута. Таблица Рабочий лист

Периметр прямоугольника Рабочий лист

Ширина Высота и периметр прямоугольника Рабочий лист

Найдите длину или ширину с помощью периметра прямоугольника Рабочий лист

Найдите длину или ширину с использованием периметра прямоугольного рабочего листа

Площадь ширины. Высота прямоугольника Рабочий лист

Прямолинейная площадь Рабочий лист

Прямолинейная площадь в метрах Рабочий лист

Прямолинейная площадь в футах Рабочий лист

Лист задач на определение площади и периметра

Связать с этим Площадь и периметр на странице Rectangle Worksheets скопируйте следующий код на свой сайт:

Площадь и периметр прямоугольника.

Джинн математики • Площадь и периметр

Перейти к области
Перейти к периметру

Площадь

Площадь фигуры — это пространство внутри фигуры. Площадь измеряется в квадратах.

Нахождение площади прямоугольника

Вот прямоугольник, нарисованный на сантиметровой сетке.

Чтобы найти площадь прямоугольника, умножьте длину на ширину.
(Можно было бы и квадраты посчитать, но от более сложных вопросов так не получится)

В этом примере у нас есть длина 6 см и ширина 3 см.

Площадь = длина × ширина
Площадь = 6 × 3
Площадь = 18 см ²

Единицы измерения: см ² : один см ² – квадрат размером 1 см на 1 см.

Пример 1: Прямоугольник нарисован на сантиметровой сетке
Вычисление площади прямоугольника

Площадь = длина × ширина
Площадь = 5 × 4
Площадь = 20 см ²

Попробуйте это:

Прямоугольник нарисован на сантиметровой сетке.
Вычислите площадь прямоугольника.

Нахождение площади треугольника

Мы можем думать о треугольнике как о половине прямоугольника

Чтобы вычислить площадь треугольника, мы можем вычислить половину площади треугольника

Площадь треугольника = 1 ⁄2 × основание × высота

Пример 2: Вот треугольник, нарисованный на сантиметровой сетке.
Вычислите площадь треугольника.

Площадь = 1⁄2 × основание × высота
Площадь = 1⁄2 × 4 × 6
Площадь = 2 × 6
Площадь = 12 см ²

Пример 3: Вычислите площадь треугольника.

Для расчета площади мы используем высоту перпендикуляра (она должна быть направлена вверх, а не по диагонали).
Высота этого треугольника 12 метров.

Площадь = 1⁄2 × основание × высота
Площадь = 1/2 × 8 × 12
Площадь = 4 × 12
Площадь = 48 м ²

Попробуйте это:

На сантиметровой сетке нарисован треугольник.
Вычислите площадь треугольника.

Вычислите площадь треугольника.

Нахождение площади параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник с двумя наборами параллельных сторон.

Параллелограмм можно превратить в прямоугольник, отрезав и переместив треугольник:

Площадь параллелограмма = основание × высота

Пример 4: Вот параллелограмм, нарисованный на сантиметровой сетке.
Вычислите площадь параллелограмма.

Площадь = основание × высота
Площадь = 4 × 3
Площадь = 12 см ²

Пример 5: Вычислите площадь параллелограмма.

Для расчета площади мы используем высоту перпендикуляра (она должна быть направлена вверх, а не по диагонали).
Высота этого параллелограмма 11 метров.

Площадь = основание × высота
Площадь = 8 × 11
Площадь = 88 м ²

Попробуйте это:

Параллелограмм нарисован на сантиметровой сетке.
Вычислите площадь параллелограмма.

Вычислите площадь параллелограмма.

Нахождение площади трапеции

На изображении ниже показана трапеция, трапеция (трапеция в американском английском) представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами.

Площадь трапеции = 1/2(a + b) × высота
Где a и b — длины двух параллельных сторон

Эту формулу можно получить, разделив трапецию на прямоугольник и треугольник (вам не обязательно знать, откуда берется формула, достаточно знать формулу).

Пример 6. Найдите площадь трапеции

0037 Площадь = 8 × 7
Площадь = 56 см ²

Попробуйте эти:

Трапеция нарисована на сантиметровой сетке.

Как вычисляется периметр прямоугольника. Периметр и площадь прямоугольника

Основные понятия

Формула периметра фигуры

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:

Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!

Как найти площадь прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5

Навигация

Прямоугольник.

Основные свойства прямоугольника

Стороны прямоугольника

Формулы определения длин сторон прямоугольника

Диагональ прямоугольника

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

Периметр прямоугольника

Формулы определения длины периметру прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы определения площади прямоугольника

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

Угол между стороной и диагональю прямоугольника

Формулы определения угла между стороной и диагональю

Угол между диагоналями прямоугольника

Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника

Планы уроков геометрии: периметр и площадь прямоугольников и квадратов

Площадь и периметр прямоугольника. Листы

Джинн математики • Площадь и периметр

Площадь

Нахождение площади прямоугольника

Нахождение площади треугольника

Нахождение площади параллелограмма

Нахождение площади трапеции

Добавить комментарий Отменить ответ