8 класс. Геометрия. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. — Площадь квадрата. Площадь прямоугольника.
Комментарии преподавателяПлощадь квадрата. Площадь прямоугольника
1. Теорема про площадь прямоугольника и её доказательствоНа данном уроке мы докажем формулу для площади прямоугольника и решим несколько задач на её применение.
Теорема
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (см. Рис. 1).
Если записать краткую формулировку этой теоремы, то она будет выглядеть так: .
Рис. 1
Доказательство:
Для доказательства данной теоремы достроим данный прямоугольник до квадрата со стороной – см. Рис. 2.
Рис. 2
Площадь этого квадрата (по 4 свойству площадей) равна . Этот квадрат состоит из двух квадратов со сторонами и и двух прямоугольников со сторонами и , площадь каждого из которых мы приняли за .
Воспользовавшись свойством площадей, составим следующее равенство:
.
Раскроем скобки в левой части:
Из этого равенства следует, что: .
Доказано.
2. Решение задач на применение формулы площади прямоугольникаТеперь решим несколько задач, используя данную теорему.
Задача 1
Смежные стороны прямоугольника равны см и . Найдите площадь этого прямоугольника (см. Рис. 3).
Решение
Рис. 3
Воспользуемся теоремой, которую мы только что доказали. В данном случае: , . Получаем: .
Ответ:.
3. Задача на применение свойства площадейЗадача 2
Как изменится площадь прямоугольника, если:
а) одну пару противоположных сторон увеличить в 3 раза;
б) одну пару противоположных сторон увеличить в 3 раза, а другую пару – уменьшить в 3 раза?
Решение:
а) На Рис. 4 изображена пара соответствующих прямоугольников.
Рис. 4
Воспользуемся формулой для площади прямоугольника: , . Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 3 раза.
б) На Рис. 5 изображена пара соответствующих прямоугольников.
Рис. 5
Воспользуемся формулой для площади прямоугольника: , . Таким образом, площадь прямоугольника не изменится.
Ответ: а) площадь прямоугольника увеличится в 3 раза; б) площадь прямоугольника не изменится.
Решим более сложную задачу, которая потребует от нас знания предыдущего материала.
Задача 3
Дан прямоугольник . – середина , точка – точка пересечения прямых и . Найти площадь треугольника , если площадь прямоугольника : .
Решение:
Рис. 6
Рассмотрим треугольники: и . Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (равенство сторон и двух углов). Действительно:
.
Из равенства треугольников следует равенство их площадей, то есть: .
Кроме того, треугольник состоит из треугольника и четырёхугольника . Значит: .
Доказано.
ИСТОЧНИК
http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ploschad-kvadrata-ploschad-pryamougolnika
http://www.youtube.com/watch?v=Jj9Xs2daB2k
http://www.youtube.com/watch?v=f4FYkfcvRho
http://fs00.infourok.ru/images/doc/302/301153/img16.jpg
http://frannersmicop.science/pic-www.uchportal.ru/_ld/224/86666795.jpg
http://static.zoobrilka.com/files/gdz/15693/291017.jpg
Урок математики «Площадь прямоугольника, квадрата» (3-й класс)
Цели:
- Знать: признаки прямоугольника и квадрата.
- Уметь: находить периметр фигур, измерять площадь произвольными мерками; «открыть» формулу нахождения площади прямоугольника и квадрата.
Оборудование: видеофильм «Работа НИИ»,
таблицы «Площадь», «Периметр», раздаточный
материал, палетки.
Ход урока
1. Организация класса.
Учащиеся рассаживаются в группы по 6 человек.
2. Постановка учебной задачи.
— Класс на 40 минут «превращается» в НИИ «Умка». В нём работают 4 лаборатории. В каждой лаборатории работают младшие научные сотрудники, среди них зав. лабораторией: Удянский В., Ушаков Н., Кузнецова М., Прокопова О. Посмотрите видеофрагмент о работе НИИ.(фильм)
— Нам предстоит в отведённое время «открыть» формулу нахождения площади прямоугольника и квадрата.
3. Проверка уровня готовности учащихся к уроку.
Игра «Да-нет»
— Через точку можно провести только одну прямую (нет).
— Прямоугольник — это замкнутая ломаная линия (да).
— Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все стороны равны (нет).
— Треугольник, у которого две стороны имеют
равную длину, называется равнобедренным (да).
— Треугольник, у которого один угол острый, называется тупоугольным (нет).
— Площадь — это сумма длин сторон прямоугольника (нет).
4. Актуализация знаний.
— Что такое периметр фигуры? (это сумма длин сторон)
— Как найти периметр многоугольников? (сложить длины всех сторон, у разных многоугольников разными способами)
— Можно найти периметр данной фигуры? Как?
— А площадь? (наложением, зрительно, при помощи палетки)
Вычислить площадь фигур (Карточка №1)
Найти лишнюю фигуру (Карточка№2)
Логическая задача (Карточка № 3)
Длина стороны квадрата равна 5см. Этот квадрат разрезали на квадратики со стороной 1см. Из маленьких квадратиков сложили полоску. Какой длины получилась полоска? (25см)
-Можно ли сказать, что площадь квадрата и площадь полоски равны? (да)
5. «Открытие» детьми нового знания.
— Не каждую фигуру можно «разбить» на равные квадраты. Данные фигуры удалось «разбить» (прямоугольники, квадраты)
— Вычислите площади данных фигур (Карточка №4)
— Как это сделать быстрее? (умножить длину на ширину)
Вывод: Sпр. = a x b
Sкв. = a x a
6. Первичная проверка понимания.
Задание получает каждая лаборатория ( на доске)
а) Дано:а=120см б)Дано:а=80см в) Дано:а=210см г)Дано: а=60см
в=4см в=60см в=3см S — ?
S-? S -? S — ?
(Ответы: а) S =480см, б) S =4800см, в) S =630см, г) S =3600см)
7. Творческое применение добытых знаний.
— Даны прямоугольники, они имеют одну и ту же площадь, равную 24см, а стороны прямоугольников разные. Нужно найти стороны прямоугольников.
— Как вам это удалось сделать? (24см и 1см, 12см и 2см, 8см и 3см, 6см и 4см)
8. Обобщение изученного. Стр. 114, №5(б)
Площадь прямоугольника 64см, его длина 16см. Найти периметр.
Дано: S = 64см
а = 16см
Найти: в, Р
Решение: S =а*в
64=16*в
в = 64:16
в = 4
Р = (а+в) * 2
Р = (16 + 4) * 2= 20см
Ответ: периметр прямоугольника равен 20см
9. Домашнее задание: с.106, № 2
10. Итог урока.
— Что на уроке было самым важным?
Что такое Формула площади прямоугольника? Определение, примеры, факты
Прямоугольник — это двумерная форма/многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя прямыми углами. Две противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу. Площадь прямоугольника – это пространство, занимаемое фигурой. Альтернативно, пространство внутри периметра прямоугольника является площадью прямоугольника.
Некоторыми примерами прямоугольных фигур являются сельскохозяйственные поля, парки, плитка, предметы повседневной жизни, такие как кастрюли, стакан, стол, сервировочный поднос и т. д.
Холст для рисования и дорожка с прямоугольными плитками (id= 1391133983, 443476687) В следующем разделе обсуждаются методы, позволяющие понять, почему площадь прямоугольника является произведением двух его сторон, а также единицы измерения.
Чтобы получить площадь прямоугольника, мы используем единичные квадраты. Разделите прямоугольник ABCD на единичные квадраты, как показано на рисунке. Площадь прямоугольника ABCD равна количеству содержащихся в нем единичных квадратов.
Кроме того, используя этот подход, мы находим, что площадь прямоугольника всегда является произведением двух его сторон. Здесь длина АВ равна 8 дюймам, а длина ВС — 6 дюймам. Площадь ABCD равна произведению 6 и 8, что равно 48.
Единицей измерения будет «квадратные дюймы», так как длины перемножаются вместе, как и единицы измерения.
В качестве альтернативы, формула для вычисления площади прямоугольника получается путем деления фигуры на два прямоугольных треугольника одинакового размера. Например, в данном прямоугольнике ABCD диагональ от вершины А проведена к С.
Применение Ранние записи вавилонской культуры означают использование геометрических фигур с длинами, углами и площадями для строительства и астрономии. Знание основных форм резки камня, таких как треугольники, квадраты и прямоугольники, а также принципов, касающихся площади и периметра, помогло египтянам строить гигантские сооружения, такие как пирамиды. В современной математике эти понятия используются при составлении карт, топографической съемке, моделировании объектов и т. д.
1 Площадь прямоугольника 35 квадратных см. Чему равна длина прямоугольника, если длина прямоугольника на 2 см больше его ширины?5 см 7 см 28 см 30 см Правильный ответ: 7 см 2 Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Чему равна площадь прямоугольника, если ширина прямоугольника равна 4 единицам?8 квадратных единиц 16 квадратных единиц 24 квадратных единиц 32 квадратных единиц Правильный ответ: 32 квадратных единицы 3 Площадь прямоугольника 24 квадратных единицы. Чему равна длина прямоугольника, если ширина прямоугольника равна 4 единицам?6 шт. 8 шт. 20 единиц 28 единиц Правильный ответ: 6 единиц 4 Какова площадь прямоугольника длиной 8 см и шириной 5 см? 13 кв. 26 кв. см 40 кв. см 80 кв. см Правильный ответ: 40 кв. см. |
По какой формуле найти площадь прямоугольника?
Площадь прямоугольника = длина × ширина
Если длину прямоугольника удвоить, как изменится его площадь?
Если длину прямоугольника удвоить, то его площадь также удвоится.
Как найти недостающую длину прямоугольника, если известны его ширина и площадь?
Недостающую длину можно найти, разделив площадь на ширину прямоугольника. Длина прямоугольника = площадь ÷ ширина
В каких единицах измеряется площадь прямоугольника?
Единицей площади прямоугольника являются квадратные единицы. Например, если длина и ширина прямоугольника равны 2 см и 5 см соответственно, то его площадь равна 10 кв. см.
Прямоугольник: Примеры, Свойства, Формулы и Площадь
Когда смотришь на объект, в голову приходят вопросы, и тут же на некоторые из них даешь быстрые ответы. Одним из таких вопросов, на который дается ответ, является форма объекта.
В этой статье мы рассмотрим определение прямоугольника, его свойства, формулы периметра и площади прямоугольника и примеры их применения.
Определение прямоугольника
Прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, все внутренние углы которого прямые (90 градусов).
Прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Другими словами, то, что превращает параллелограмм в прямоугольник, имеет его стороны перпендикулярны друг другу. Это можно проиллюстрировать на изображении ниже.
Прямоугольник — StudySmarter Original
Мы можем заметить, что противоположные стороны AB и CD равны по размеру и параллельны, то же самое для BC и AD. Кроме того, четыре стороны перпендикулярны друг другу, таким образом, четырехугольник является прямоугольником.
Свойства прямоугольников
Прямоугольник, являющийся параллелограммом, обладает всеми свойствами параллелограмма, но, будучи его частным случаем, обладает своими уникальными свойствами, которые делают его геометрической формой.
Чтобы лучше понять свойства прямоугольника, давайте рассмотрим следующий прямоугольник ABCD на изображении ниже.
Прямоугольник ABCD — StudySmarter Original
Свойство | Пример |
1. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны. | AB = CD, а AB параллельна CD. Аналогично, AD = BC, а AD параллелен BC. |
2. Все четыре угла прямоугольника прямые. | ∠A=∠B=∠C=∠D=90° |
3. Сумма всех внутренних углов прямоугольника равна 360º. | ∠A+∠B+∠C+∠D=360° |
4. Диагонали прямоугольника равны по длине и делят друг друга пополам – они пересекаются в своей середине. | AC и BD — диагонали прямоугольника ABCD. AC = BD AC делит пополам BD и BD делит пополам AC. |
Построение прямоугольника
Для построения прямоугольника выполните следующие действия.
Шаг 1 : Нарисуйте прямую линию (R), затем поместите на ней 2 точки A и B.
Шаг 2: Нарисуйте 2 перпендикулярные линии (S) и (T), проходящие через две точки A и B.
Шаг 3: Найдите две точки C и D соответственно на двух линиях (S) и (Т). Однако C и D должны быть на одном уровне.
Три шага, упомянутые ранее, можно проиллюстрировать на рисунке ниже:
Изображение, полученное в результате шагов 1, 2 и 3 — StudySmarter Original
Шаг 4: Проведите прямую линию, соединяющую две точки C и D, как показано на рисунке. на изображении ниже:
Изображение, полученное в результате шага 4 — StudySmarter Original
Достигнув шага 4, вы заметите, что 4 точки A, B, C и D образуют прямоугольную форму.
Формула площади прямоугольника
Область плоской формы или поверхность объекта может быть определена в геометрии как занимаемое ею пространство.
Площадь фигуры обычно измеряется с учетом количества единичных квадратов, покрывающих поверхность фигуры. Квадратные сантиметры, квадратные футы, квадратные дюймы и другие подобные единицы используются для измерения площади.
Дан прямоугольник с высотой h и основанием b, его площадь будет равна:
A=b×h.
Найдите площадь прямоугольной формы на изображении ниже. Рассмотрим квадрат, состоящий из 25 меньших квадратов, квадрат со стороной 1 единица.
Мы можем заметить, что высота прямоугольника равна 2 единицам квадратов, поэтому его длина равна 2 единицам. Аналогично, основание прямоугольника равно 5 единицам. Таким образом, площадь этого прямоугольника можно вычислить, умножив высоту на основание:
A= 2 единицы × 5 единиц = 10 единиц 2
Формула для периметра прямоугольника
периметр формы — это расстояние вокруг ее внешней стороны.
Следовательно, периметр фигуры вычисляется путем суммирования длин всех ее сторон. Та же концепция применима и к прямоугольной форме. Таким образом, общая длина всех сторон прямоугольника называется периметром.
Противоположные стороны прямоугольника равны друг другу (одно из его свойств). Таким образом, периметр прямоугольника со сторонами длины a, b, a, b равен P = a + b + a + b, или P = 2a + 2b, или даже P = 2 (a + b).
Итак, нам нужно вычислить длины двух сторон, чтобы найти периметр прямоугольника, так как противоположные стороны прямоугольника всегда равны.
Найдите периметр и площадь фигуры, показанной на рисунке ниже:
Шаг 1 : Попробуйте идентифицировать фигуры прямоугольника. Мы можем заметить, что в фигуре выше присутствуют 2 прямоугольника. Идентифицированные прямоугольники показаны на изображении ниже:
Следующие свойства проверяются, чтобы убедиться, что идентифицированные фигуры являются прямоугольниками:
- Противоположные стороны равны и параллельны. Например, у первого идентифицированного прямоугольника противоположные стороны параллельны и равны 8, а две другие противоположные стороны также параллельны и равны 3.
- Все углы прямые, или, другими словами, все стороны перпендикулярны друг другу. другие.
Периметр первого прямоугольника P A можно рассчитать следующим образом:
PA=(4+4+3+3)cm=14cm
Периметр второго прямоугольника P B можно рассчитать следующим образом:
PB=(10+10+5+5)см=30см
Периметр общей формы P AB :
PAB=PA+PB=(14+30 )см=44см
Площадь первого прямоугольника A A можно рассчитать следующим образом:
AA=высота×основание=4см×3см=12см2
Площадь второго прямоугольника A B можно рассчитать следующим образом:
AB=высота×основание=5см×10см=50см2
Площадь общей формы:
AAB=AA+AB=12см2+50см2=62см2
Квадрат и прямоугольник
На рисунке ниже видно, что квадрат и прямоугольник являются четырехугольниками с четырьмя сторонами.
Прямоугольник и квадрат — StudySmarter Original
A Право и прямоугольник обладают аналогичными свойствами, как показано в таблице ниже:
| Свойства | Прямоугольник | квадрат |
| . | X | ✔ |
| Opposite sides are equal | ✔ | ✔ |
| Opposite sides are parallel | ✔ | ✔ |
| Diagonals bisect | ✔ | ✔ |
| Диагонали перпендикулярны друг другу | X | 03 90 |
| All angles are equal | ✔ | ✔ |
| Opposite angles are equal | ✔ | ✔ |
| Sum of two adjacent angles is 180 degrees | ✔ | ✔ |
Что характеризует квадрат как уникальный прямоугольник?
Как показано в таблице выше, квадрат является особым типом прямоугольника по следующим причинам:
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.
Единственные два различия между квадратом и прямоугольником состоят в том, что диагональ квадрата перпендикулярна друг другу, и все его стороны равны.