Площадь трапеции все формулы: Все формулы площади трапеции — найти онлайн

определение, формула вычисления, примеры решения задач

Что такое трапеция

Трапеция — это плоская фигура, ее изучают в курсе геометрии 8 класса.

Определение 1

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, и две другие стороны не параллельны.

Определение 2

Основаниями называются параллельные стороны трапеции. Непараллельные — боковые стороны.

Частный случай трапеции — равнобедренная трапеция, боковые стороны которой равны. Трапеция с углами по 90 градусов, прилежащими к одной боковой стороне, называется прямоугольной.

Определение 3

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям.

ABCD — трапеция, EF — ее средняя линия, BC||EF||AD, BE=CF, AE=DF.

Формулы площади трапеции

Чтобы найти площадь трапеции можно использовать несколько формул. Выбор зависит от данных условия.

Площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту.

Формула 1

Рассмотрим трапецию ABCD, AD||BC, BF — высота. SABCD=AA+BC2BF. Если AD=a, BC=b, BF=h, формула для нахождения площади трапеции будет выглядеть как S=a+b2·h.

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

 Формула 2

Для данной трапеции  SABCD=MN·BF, а формула выглядит так: S=h·m, где h — высота, m — средняя линия.

Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.

Формула 3

SABCD=½AC·BD·sin∠COD или SABCD=½AC·BD·sin∠BOC, так как sin∠COD=sin∠BOC. Формула для нахождения площади трапеции через диагонали: S=½d1·d2·sinφ.

Формула 4

У трапеции, диагонали которой перпендикулярны, S=½d1·d2, так как sin 90º=1.

Площадь трапеции равна произведению половины ее периметра на радиус вписанной окружности. Если суммы противолежащих сторон трапеции равны, то в трапецию можно вписать окружность. Полупериметр трапеции равен половине суммы ее четырех сторон или сумме ее оснований. Зная основания трапеции и радиус вписанной окружности, можно посчитать ее площадь:  S=a+br, где a и b — основания, r — радиус вписанной окружности. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции h, поэтому из формулы S=a+br можно получить S=a+b2·h.

Формула площади равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно рассчитать по тем же формулам. Некоторые из них имеют упрощенный вид.

1. Если известны основания a и b и высота трапеции h, то площадь рассчитывают как и в общем случае: S=a+b2·h.
2. S=h·m, где h — высота, m — средняя линия.
3. Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения её диагоналей d1 и d2 на синус угла между ними. У равнобедренной трапеции d1=d2⇒S=½d2·sinφ (половине произведения квадрата ее диагонали на синус угла между диагоналями).

Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями

• Так как sin 90º=1, то S=½d2·sinφ=½d2.
• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: S=h3.
• Если в трапецию можно вписать окружность, то применяется общая формула S=a+br.

Формула площади криволинейной трапеции

Определение 2

Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции y=f(х), прямыми х=а, x=b и осью абсцисс.

Отрезок [a;b] называют основанием криволинейной трапеции. Отрезки, ограничивающие криволинейную трапецию слева и справа, могут вырождаться в точку. Верхняя граница криволинейной трапеции может быть задана разными формулами на разных частях отрезка.

 

Формула Ньютона-Лейбница

Нахождение площади криволинейной трапеции рассматривают в 11 классе как пример применения интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции y=f(x) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: S=∫abf(x)dx.

По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен:∫abf(x)dx=F(x)|ab=F(a)−F(b).

Пояснение на примерах

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 4 и 7 см, а высота — 4 см.

Решение:

Чтобы узнать площадь трапеции, используем формулу S=a+b2·h:S= 1/2 ·(4+7) ·4=22(см2).

Ответ: 22см2.

Задача 2

Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале: f(x)=x3+3, x∈[−1;1].

Решение:

S=∫−11(x3+3)dx=(x44+3x)|−11=14+3−(14−3)=6

Ответ: 6.

Формула площади трапеции четырем сторонам. Все варианты того, как найти площадь трапеции

Этот калькулятор рассчитал 2192 задачи на тему «Площадь трапеции»

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Выберете формулу вычисления площади трапеции, которую Вы планируете применить для решения поставленной перед Вами задачи:

Общая теория для вычисления площади трапеции.

Трапеция — это плоская фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков (сторон), соединяющих попарно эти четыре точки, у которой две противоположные стороны параллельны (лежат на параллельных прямых), а две другие не параллельны.

Точки называются вершинами трапеции и обозначаются заглавными латинскими буквами.

Отрезки называются сторонами трапеции и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые отрезки соединяют.

Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции .

Две не параллельные стороны трапеции называются

боковыми сторонами трапеции .

Рисунок №1: Трапеция ABCD

На рисунке №1 представлена трапеция ABCD с вершинами A,B ,C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC — основания трапеции ABCD.

AD, BC — боковые стороны трапеции ABCD.

Угол, образованный лучами AB и AD, называется углом при вершине A. Обозначается он как ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Угол, образованный лучами CB и CD, называется углом при вершине C. Обозначается он как ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Угол, образованный лучами AD и CD, называется углом при вершине D. Обозначается он как ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Рисунок №2: Трапеция ABCD

На рисунке №2 отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, называется

средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. То есть,.

Рисунок №3: Равнобедренная трапеция ABCD

На Рисунке №3, AD=BC.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой) , если ее боковые стороны равны.

Рисунок №4: Прямоугольная трапеция ABCD

На Рисунке №4 угол D — прямой (равен 90 о).

Трапеция называется прямоугольной, если угол при боковой стороне прямой.

Площадью S плоской фигуры, к которым относится и трапеция, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.

Площадь обладает несколькими свойствами:

1. Она не может быть отрицательной.

2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.

3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.

4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади трапеции:

1. Площадь трапеции равна полусумме ее оснований умноженной на высоту:

2. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

3. При известных длинах оснований и боковых сторон трапеции её площадь можно вычислить по формуле:

4. Возможно вычислить площадь равнобедренной трапеции при известной длине радиуса вписанной в трапецию окружности и известном значении угла при основании по следующей формуле:

Пример 1: Вычислить площадь трапеции с основаниями a=7, b=3 и высотой h=15.

Решение:

Ответ:

Пример 2: Найти сторону основания трапеции с площадью S=35 см 2 , высотой h=7см и вторым основанием b = 2 см.

Решение:

Для нахождения стороны основания трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Выразим из данной формулы сторону основания трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 3: Найти высоту трапеции с площадью S=17 см 2 и основаниями a=30 см, b = 4 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 4: Вычислить площадь трапеции с высотой h=24 и средней линией m=5.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 5: Найти высоту трапеции с площадью S = 48 см 2 и средней линией m=6 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы высоту трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 6: Найти среднюю линию трапеции с площадью S = 56 и высотой h=4.

Решение:

Для нахождения средней линии трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы среднюю линию трапеции:

Таким образом, имеем следующее.

Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:

Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:

*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:

Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:

*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы.

Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

• Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

• Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

• Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

• Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

• Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

• Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

• Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

• Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

• Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

• Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Трапеция — это особый вид четырехугольника, у которого две противолежащие стороны параллельны друг другу, а две другие — нет. Трапецеидальную форму имеют различные реальные объекты, поэтому вам может понадобиться рассчитать периметр такой геометрической фигуры для решения повседневных или школьных задач.

Геометрия трапеции

Трапеция (от греч. «трапезион» — стол) — это фигура на плоскости, ограниченная четырьмя отрезками, два из которых параллельны, а два — нет. Параллельные отрезки носят название оснований трапеции, а непараллельные — боковых сторон фигуры. Боковые стороны и их углы наклона определяют вид трапеции, которая может быть разносторонней, равнобедренной или прямоугольной. Помимо оснований и боковых сторон, трапеция имеет еще два элемента:

• высота — расстояние между параллельными основаниями фигуры;
• средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Данная геометрическая фигура широко распространена в реальной жизни.

Трапеция в реальности

В повседневной жизни трапецеидальную форму принимают многие реальные предметы. Вы легко найдете трапеции в следующих сферах человеческой деятельности:

• дизайн интерьеров и декор — диваны, столешницы, стены, ковры, подвесные потолки;
• ландшафтный дизайн — границы газонов и искусственных водоемов, формы декоративных элементов;
• мода — форма одежды, обуви и аксессуаров;
• архитектура — окна, стены, основания зданий;
• производство — различные изделия и детали.

При столь широком использовании трапеций специалистам часто приходится вычислять периметр геометрической фигуры.

Периметр трапеции

Периметр фигуры — это числовая характеристика, которая рассчитывается как сумма длин всех сторон n-угольника. Трапеция — это четырехугольник и в общем случае все его стороны имеют разную длину, поэтому периметр рассчитывается по формуле:

P = a + b + c + d,

где a и c – основания фигуры, b и d – ее боковые стороны.

Несмотря на то, что при вычислении периметра трапеции нам нет нужды узнавать высоту, программный код калькулятора требует ввода этой переменной. Так как высота никак не влияет на вычисления, при использовании нашего онлайн-калькулятора вы можете ввести любое значение высоты, которое больше нуля. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Платок

Допустим, у вас есть платок в форме трапеции, и вы хотите отделать его бахромой. Вам понадобится узнать периметр платка, чтобы не купить лишнего материала или не ходить в магазин два раза. Пусть ваш равнобедренный платок имеет следующие параметры: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см. Вбиваем эти данные в онлайн-форму и получаем ответ в виде:

Таким образом, периметр платка составляет 340 см, и именно такой длины должна быть тесьма бахромы для его отделки.

Откосы

К примеру, вы решили сделать откосы для нестандартных металлопластиковых окон, которые имеют трапецеидальную форму. Такие окна широко используются при дизайне зданий, создавая композицию из нескольких створок. Чаще всего такие окна выполняются в виде прямоугольной трапеции. Давайте выясним, сколько материала потребуется для выполнения откосов такого окна. Стандартное окно имеет следующие параметры a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см. Используем эти данные и получим результат в виде

Следовательно, периметр трапециевидного окна составляет 390 см, и именно столько вам понадобится купить пластиковых панелей для формирования откосов.

Заключение

Трапеция — популярная в повседневности фигура, определение параметров которой может понадобиться в самых неожиданных ситуациях. Расчет периметров трапецией необходим многим профессионалам: от инженеров и архитекторов до дизайнеров и механиков. Наш каталог онлайн-калькуляторов позволит вам выполнить расчеты для любых геометрических фигур и тел.

Математическое выражение: площадь трапеции

00:00:03.150
В этом уроке мы узнаем о площади трапеции.

00:00:08.030
Сначала рассмотрим трапецию с высотой h и двумя параллельными сторонами a и b соответственно.

00:00:17.140
Теперь, чтобы найти площадь трапеции A, сначала мы сложим ‘a’ и ‘b’ и разделим сложенные числа на 2.

00:00:27.010
Это дает ( а+б)/2. Затем мы умножаем (a+b)/2 на высоту трапеции «h».

00:00:38.070
Следовательно, теперь у нас есть формула площади трапеции, A = ((a+b)/2)h.

00:00:47.240
Обратите внимание на то, что очень важно включить устройство. Поскольку это формула площади, ее единица измерения будет в виде квадратной единицы.

00:00:57.020
Мы увидим больше пояснений по этому поводу в следующем примере.

00:01:02.040
Теперь давайте рассмотрим несколько примеров использования этой формулы.

00:01:07.030
Найдите площадь этой трапеции, если ее высота 4 см, параллельные стороны 5 см и 9см соответственно.

00:01:17.080
Сначала начнем с формулы площади трапеции A = ((a+b)/2)h.

00:01:26.080
Поскольку более короткая параллельная сторона равна 5 см, мы можем заменить «а» на 5. ‘b’ с 9.

00:01:41.230
Далее мы можем упростить, добавив 5 к 9. Это даст 14.

00:01:48.110
14 разделить на 2, даст 7.

00:01:52.200
Теперь, поскольку высота равна 4 см, мы можем заменить «h» на 4.

00:01:59.120
Умножение 7 на 4 дает 28.
Обратите внимание, что это число не имеет значения, если мы не включим для него единицу измерения.

00:02:08.160
Поскольку стороны трапеции выражены в сантиметрах, единицей измерения площади будет

сантиметра в квадрате. 00:02:15.160
Следовательно, площадь этой трапеции равна 28 квадратных сантиметров.

00:02:23.050
Следующий пример, учитывая, что площадь этой трапеции составляет 9 квадратных футов, а ее параллельные стороны равны 2 футам и 4 футам соответственно. Найдите его высоту.

00:02:34.200
Снова начнем с формулы площади трапеции A = ((a+b)/2)h.

00:02:44.040
Теперь, когда площадь и две параллельные стороны известны, мы можем найти высоту, решив это уравнение относительно h. Вот как.

00:02:53.240
Поскольку площадь равна 9 квадратных футов, мы можем заменить «А» на 9,

00:03:00.100
Аналогично, поскольку более короткая параллельная сторона равна 2 см, мы можем заменить «а» на 2. мы можем заменить ‘b’ на 4.

00:03:16,150
Мы можем упростить это уравнение, добавив 2 к 4. Это дает 6. 6, деленное на 2, дает 3.

00:03:27,130
( 3)h такое же, как 3h.

00:03:32.010
Теперь у нас 3h равно 9.

00:03:36.140
Давайте перепишем это уравнение, чтобы оно выглядело аккуратнее.

00:03:40.190
Чтобы найти «h», нам нужно удалить 3. Мы можем сделать это, разделив обе части уравнения на 3. ‘ равно 9 больше 3.

00:03:54.170
9 делится на 3, дает 3.

00:03:58.190
Теперь это число бессмысленно, если мы не включим для него единицу измерения.

00:04:03.110
Поскольку параллельные стороны даны в футах, высота трапеции будет в футах.

00:04:09.120
Следовательно, высота этой трапеции равна 3 футам.

00:04:15.010
На этом уроке все. Попробуйте задать практический вопрос, чтобы углубить свое понимание.

По какой формуле найти площадь трапеции?

Трапеция, также известная как трапеция, представляет собой замкнутый четырехугольник, у которого есть пара параллельных сторон, тогда как другая пара сторон не параллельна. Длина сторон может быть разной, а может и не быть. Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции. Высота трапеции также известна как высота. Непараллельные стороны трапеции называются ногами.

Сумма внутренних углов трапеции равна 360°. У него 4 стороны и 4 вершины.

Свойства трапеции

Трапеция характеризуется набором следующих свойств: 

• Основания трапеции параллельны друг другу.
• Обе диагонали равны друг другу.
• Сумма всех внутренних углов равна 360 ^o

Площадь трапеции

Площадь любой замкнутой фигуры — это пространство, заключенное внутри этого объекта. В случае трапеции площадь определяется как

Площадь = 1/2 × Сумма параллельных сторон × Расстояние между ними.

Предположим, что a и b — параллельные стороны трапеции, а h — расстояние между ними. Обозначим площадь трапеции через A.

Имеем

A = 1/2 × (a + b) × d

Упрощая уравнение, имеем

A =

Площадь трапеции трапеция обозначается в квадратных единицах.

Периметр трапеции

Периметр трапеции находится путем сложения всех сторон. Следовательно, формула периметра трапеции задается как

Периметр трапеции, P = a + b+ c + d единиц

Где,

«a, b, c, d» — стороны трапеции.

Эта формула, используемая для вычисления площади трапеции, известна как формула трапеции.

Примеры вопросов

Вопрос 1. Найдите площадь трапеция, у которой параллельные стороны 20 м и 25 м, а ее высота 20 м?

Решение:

Здесь.

Чтобы найти площадь трапеции

Поскольку мы знаем, что

Площадь трапеции = 1/2 × (Сумма параллельных сторон) × Высота

Площадь трапеции = 1/2 × (a + b) × Высота

Где ‘a’ и ‘b’ — параллельные стороны

Дано:

a = 20 м

b = 25 м

Высота = 20 м

Теперь

Площадь трапеции = 1/2 × (20 + 25) × 20

Площадь трапеции = 1/2 × (45) × 20

Площадь трапеции = 450 м ²

Следовательно ,

Площадь трапеции 450 м ² .

Вопрос 2. Найдите сумму параллельных сторон трапеции, если ее площадь 1600 см ² а высота 40 см?

Решение:

Здесь нам нужно найти сумму параллельных сторон трапеции.

Поскольку мы знаем, что

Площадь трапеции = 1/2 × (Сумма параллельных сторон) × Высота

Дано:

Площадь трапеции = 1600 см ²

Высота = 40 см

24 = 1/2 × (Сумма параллельных сторон) × Высота

1600 = 1/2 × (Сумма параллельных сторон) × 40

Сумма параллельных сторон = (1600 × 2)/40

Сумма параллельных сторон = 80 см

Следовательно,

Сумма параллельных сторон трапеции равна 80 см.

Вопрос 3. Вычислите недостающую сторону трапеции, если ее периметр равен 110 м, а стороны 20 м, 25 м и 30 м?

Решение:

Здесь,

Нам нужно найти недостающую сторону трапеции.

Поскольку мы знаем, что

Периметр трапеции = сумма всех сторон

Предположим, что стороны равны a, b, c, а недостающая сторона равна d

Дано:

a = 20 м м

c = 30 м

Периметр трапеции = a + b + c + d

110 = 20 + 25 + 30 + d

d = 110 – (20 + 25 + 30)

– d = ( 75)

d = 35 м

Следовательно,

Недостающая сторона трапеции равна 35 м.

Вопрос 4. Найдите недостающую сторону и площадь равнобедренной трапеции, если периметр трапеции равен 250 см, а стороны равны 40 см, см 60 см, и 40 см? Высота трапеции 50 см.

Решение:

Здесь,

Нам нужно найти недостающую сторону трапеции.

No related posts.