Теорема виета онлайн решение: Калькулятор онлайн — Решение квадратного уравнения (с подробным решением)

2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. .

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов.

Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком).

Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

Содержание

Давайте попробуем разобраться,

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде

Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить.

Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0) ,

или парабола ветвями вниз (a

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox .
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D

Неполные квадратные уравнения

Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида

x ² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0.

Например, уравнение 4x ² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x ² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax ² + bx + c = 0

Приведенное уравнение x ² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p , c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:

последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x ² — 14x — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для приведенного квадратного уравнения с положительным справедлива следующая теорема.

Теорема Виета

Если x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0, то справедливы формулы:

x 1 + x 2 = — р

x 1 * x 2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:

Складывая эти равенства, получаем: x 1 + x 2 = —р.

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x 1 = x 2 = — р /2.

Не решая уравнения x ² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x 1 и x 2 . этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — рx — 12 = 0 равен x 1 = 4. Найти коэффициент р и второй корень x 2 этого уравнения. По теореме Виета x 1 * x 2 = — 12, x 1 + x 2 = — р.

Так как x 1 = 4, то 4x 2 = — 12, откуда x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем, второй корень x 2 = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнения x ² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x 1 и x 2 — корни уравнения. По теореме Виета x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Так как x 1 ²+ x 2 ² = (x 1 + x 2)² — 2x 1 x 2 , тогда x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x ² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения ax ² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета. Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x 1 = 3, x 2 = 4. Так как x 1 = 3, x 2 = 4 — корни квадратного уравнения x ² + px + q = 0, то по теореме Виета р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. В ответ запишем x ² — 7x + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа р , q , x 1 , x 2 таковы, что x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q , то x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Подставим в левую часть x ² + px + q вместо р выражение — (x 1 + x 2), а вместо q — произведение x 1 * x 2 . Получим: x ² + px + q = x ² — (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 = x² — x 1 x — x 2 x + x 1 x 2 = (x — x 1) (x — x 2). Таким образом, если числа р , q , x 1 и x 2 связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x ² + px + q = (x — x 1) (x — x 2), из которого следует, что x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px +

q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример, x ² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x 1 и x 2 так, чтобы x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x 1 = 2, x 2 = 3 — корни уравнения x ² — 5x + 6 = 0.

2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

получаем корни: x1 = −1; x2 = −4.

Значение теоремы Виета

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.

Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два важных предположения:

Приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен единицы (это условие легко избежать. Можно использовать неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать:))

Когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.

Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.

Общий алгоритм решения по теореме Виета

Приводим квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое, получились дробными(не десятичными), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x 2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

x 2 + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
x 2 − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
2x 2 − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x 2 равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a . Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:
3x 2 − 12x + 18 = 0;
−4x 2 + 32x + 16 = 0;
1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
2x 2 + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x 2 . Получим:

3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x 1 и x 2 . В этом случае верны следующие утверждения:
x 1 + x 2 = −b . Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x , взятому с противоположным знаком;
x 1 · x 2 = c . Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; корни: x 1 = 4; x 2 = 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = −15; корни: x 1 = 3; x 2 = −5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; корни: x 1 = −1; x 2 = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:
x 2 − 9x + 14 = 0;
x 2 − 12x + 27 = 0;
3x 2 + 33x + 30 = 0;
−7x 2 + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

x 2 − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x 2 + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
−7x 2 + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x 2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x 2 − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений ») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x 2 равен 1;
Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x 2 отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x 2 − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x 2 + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225: 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x 1 = 15; x 2 = −20.

Одним из методов решений квадратного уравнения является применение формулы ВИЕТА , которую назвали в честь ФРАНСУА ВИЕТА.

Он был известным юристом, и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время занимался астрономией и математикой. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Достоинства формулы:

1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, затем из него вычитать 4ас, находить дискриминант, подставлять его значение в формулу для нахождения корней.

2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.

3 . Решив систему из двух записей, несложно найти сами корни. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней в приведенном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.

4 . По данным корням записать квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот способ применяют при решении задач в теоретической механике.

5 . Удобно применять формулу, когда старший коэффициент равен единице.

Недостатки:

1 . Формула не универсальна.

Теорема Виета 8 класс

Формула
Если x 1 и x 2 — корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 , то:

Примеры
x 1 = -1; x 2 = 3 — корни уравнения x 2 — 2x — 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Обратная теорема

Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q связаны условиями:

То x 1 и x 2 — корни уравнения x 2 + px + q = 0 .

Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:

X 1 = 2 — ? 3 и x 2 = 2 + ? 3 .

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 — ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 — 3 = 1.

Искомое уравнение имеет вид: x 2 — 4x + 1 = 0.

теорема Виета. 600 примеров» онлайн полностью📖 — Дмитрия Юрьевича Усенкова — MyBook.

Предисловие

Теорема Виета, сформулированная французским математиком Франсуа Виетом, дает возможность в отдельных случаях (для целых и, иногда, для дробных значений корней) быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта. В школьной алгебре теорема Виета (формула Виета) играет такую же ведущую роль, как и теорема Пифагора в геометрии, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало.

Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.

При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать текст пособия в качестве готового раздаточного материала, а после выполнения работы учащимися произвести проверку по имеющимся готовым ответам.

При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.

Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.

Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.

Теорема Виета (краткие теоретические сведения)

Формулировка теоремы Виета:

Сумма корней x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Таким образом, если уравнение x² + bx + c = 0 имеет два корня: x₁ и x₂, то справедливы следующие два равенства:

Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x² равен единице.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему Виета.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):

Вычислим сумму этих корней:

Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:

Вычислим произведение корней:

Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:

Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:

Получаем:

Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.

Обратная теорема Виета

Формулировка обратной теоремы Виета:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x² + bx + c = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.

Задания для самостоятельного решения

1. x² – 28x + 171 = 0

2. x² + 8x – 180 = 0

3. x² – 10x – 75 = 0

4. x² + 22x + 72 = 0

5. x² + 0x – 289 = 0

6. x² – 6x – 160 = 0

7. x² + 1x – 30 = 0

8. x² – 2x – 120 = 0

9. x² – 14x + 40 = 0

10. x² + 7x – 18 = 0

11. x² – 6x – 160 = 0

12. x² + 3x – 10 = 0

13. x² + 6x – 7 = 0

14. x² – 20x + 19 = 0

15. x² + 5x – 50 = 0

16. x² – 8x – 9 = 0

17. x² – 17x – 38 = 0

18. x² + 7x + 6 = 0

19. x² + 17x + 30 = 0

20. x² – 28x + 160 = 0

21. x² + 30x + 221 = 0

22. x² + 0x – 16 = 0

23. x² – 2x – 120 = 0

24. x² + 4x – 77 = 0

25. x² + 14x + 45 = 0

26. x² + 19x + 18 = 0

27. x² – 23x + 102 = 0

28. x² + 9x – 90 = 0

29. x² + 9x – 220 = 0

30. x² – 5x – 126 = 0

31. x² – 25x + 136 = 0

32. x² – 20x + 19 = 0

33. x² – 1x – 132 = 0

34. x² – 17x + 60 = 0

35. x² + 6x – 7 = 0

36. x² + 15x + 36 = 0

37. x² + 1x – 240 = 0

38. x² – 12x + 27 = 0

39. x² – 6x – 135 = 0

40. x² – 19x + 70 = 0

41. x² + 9x – 22 = 0

42. x² + 3x – 10 = 0

43. x² + 20x + 84 = 0

44. x² – 9x – 10 = 0

45. x² + 17x + 52 = 0

46. x² – 13x – 114 = 0

47. x² + 3x – 88 = 0

48. x² + 33x + 260 = 0

49. x² – 12x + 36 = 0

50. x² – 17x + 0 = 0

51. x² + 25x + 136 = 0

52. x² – 18x + 81 = 0

53. x² – 9x – 90 = 0

54. x² + 23x + 60 = 0

55. x² + 25x + 136 = 0

56. x² – 15x + 50 = 0

57. x² + 14x – 120 = 0

58. x² + 5x – 126 = 0

59. x² – 7x – 120 = 0

60. x² + 12x – 45 = 0

61. x² + 26x + 160 = 0

62. x² + 27x + 162 = 0

63. x² + 1x – 30 = 0

64. x² – 6x – 135 = 0

65. x² + 8x – 105 = 0

66. x² – 4x – 45 = 0

67. x² + 15x + 14 = 0

68. x² – 4x + 3 = 0

69. x² – 20x + 100 = 0

70. x² + 10x – 39 = 0

71. x² + 24x + 140 = 0

72. x² – 22x + 112 = 0

73. x² – 27x + 162 = 0

74. x² – 1x – 6 = 0

75. x² – 15x – 16 = 0

76. x² + 34x + 285 = 0

77. x² + 3x – 238 = 0

78. x² + 9x + 18 = 0

79. x² + 10x + 24 = 0

80. x² – 15x + 44 = 0

81. x² + 12x + 11 = 0

82. x² + 18x + 32 = 0

83. x² + 27x + 170 = 0

84. x² + 13x + 40 = 0

85. x² – 2x – 99 = 0

86. x² – 4x – 96 = 0

87. x² – 11x – 26 = 0

88. x² – 3x – 10 = 0

89. x² – 21x + 90 = 0

90. x² – 22x + 112 = 0

91. x² + 25x + 126 = 0

92. x² + 16x + 55 = 0

93. x² – 8x – 33 = 0

94. x² – 12x – 160 = 0

95. x² – 18x + 0 = 0

96. x² – 8x – 33 = 0

97. x² – 2x – 195 = 0

98. x² + 20x + 75 = 0

99. x² + 11x + 10 = 0

100. x² + 2x – 224 = 0

101. x² + 1x – 240 = 0

102. x² – 19x + 88 = 0

103. x² + 11x + 30 = 0

104. x² – 24x + 128 = 0

105. x² – 28x + 160 = 0

106. x² + 12x + 35 = 0

107. x² + 0x – 256 = 0

108. x² + 38x + 361 = 0

109. x² + 13x – 140 = 0

110. x² – 14x – 15 = 0

111. x² + 4x – 32 = 0

112. x² + 36x + 320 = 0

113. x² – 3x – 180 = 0

114. x² + 4x + 4 = 0

115. x² – 13x – 30 = 0

116. x² + 7x – 98 = 0

117. x² + 17x + 70 = 0

118. x² – 12x + 32 = 0

119. x² – 2x – 3 = 0

120. x² – 4x – 77 = 0

121. x² – 29x + 180 = 0

122. x² + 13x + 42 = 0

123. x² – 15x + 26 = 0

124. x² + 14x + 0 = 0

125. x² + 9x – 10 = 0

126. x² + 33x + 272 = 0

127. x² – 4x – 117 = 0

128. x² – 11x – 60 = 0

129. x² – 3x – 180 = 0

130. x² + 18x + 56 = 0

131. x² + 2x – 120 = 0

132. x² – 15x + 44 = 0

133. x² – 30x + 225 = 0

134. x² – 5x – 36 = 0

135. x² + 9x – 36 = 0

136. x² – 23x + 90 = 0

137. x² + 10x – 96 = 0

138. x² + 2x – 80 = 0

139. x² + 10x – 200 = 0

140. x² – 16x + 48 = 0

141. x² + 4x – 192 = 0

142. x² + 9x – 52 = 0

143. x² – 27x + 182 = 0

144. x² – 8x – 153 = 0

145. x² + 19x + 18 = 0

146. x² + 30x + 216 = 0

147. x² – 1x – 72 = 0

148. x² + 18x + 0 = 0

149. x² + 2x – 48 = 0

150. x² – 10x – 56 = 0

151. x² – 4x – 285 = 0

152. x² + 2x – 120 = 0

153. x² + 31x + 228 = 0

154. x² + 6x – 187 = 0

155. x² – 12x + 27 = 0

156. x² + 1x – 272 = 0

157. x² – 26x + 144 = 0

158. x² – 23x + 126 = 0

159. x² + 31x + 228 = 0

160. x² – 12x – 160 = 0

161. x² – 25x + 126 = 0

162. x² – 25x + 126 = 0

163. x² + 14x + 13 = 0

164. x² + 11x – 152 = 0

165. x² – 15x + 36 = 0

166. x² + 3x – 238 = 0

167. x² + 8x – 105 = 0

168. x² + 5x – 24 = 0

169. x² – 6x – 216 = 0

170. x² + 17x – 18 = 0

171. x² – 28x + 171 = 0

172. x² – 2x – 255 = 0

173. x² + 23x + 120 = 0

174. x² + 18x + 77 = 0

175. x² + 21x + 108 = 0

176. x² – 24x + 144 = 0

177. x² – 10x – 119 = 0

178. x² + 35x + 306 = 0

179. x² – 10x – 24 = 0

180. x² – 4x – 320 = 0

181. x² + 22x + 112 = 0

182. x² + 0x – 36 = 0

183. x² – 32x + 255 = 0

184. x² + 29x + 180 = 0

185. x² – 5x – 66 = 0

186. x² + 5x – 176 = 0

187. x² + 15x – 54 = 0

188. x² – 39x + 380 = 0

189. x² + 23x + 112 = 0

190. x² + 20x + 19 = 0

191. x² + 14x – 72 = 0

192. x² – 28x + 192 = 0

193. x² + 8x + 15 = 0

194. x² – 15x + 44 = 0

195. x² + 23x + 132 = 0

196. x² + 23x + 76 = 0

197. x² + 8x – 65 = 0

198. x² + 7x – 170 = 0

199. x² – 30x + 209 = 0

200. x² + 27x + 152 = 0

Формула Виета — Изучите формулу Виета для многочленов

Формулы Виета, иначе называемые законами Виета, находят применение в связи коэффициентов многочленов с суммами и произведениями их корней, а также произведениями корней, взятых в группы. Его открыл Франсуа Виете. Простейшим применением формулы Виета является формула Виета в квадратиках, которая используется именно в алгебре. Давайте подробно разберем формулу Виета в следующем разделе.

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Закажите бесплатный пробный урок

Формулы Виета представляют собой набор уравнений, связывающих корни и коэффициенты многочленов. Различные формулы Виета для различных случаев задаются следующим образом: r_1, r_2\), затем 9k \frac{a_{n-k}}{a_n}\).

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров решения формулы Виета, чтобы лучше понять концепцию.

Пример 1. Рассмотрим следующий квадратичный многочлен p(x): x
² −11x+22. Определить сумму и произведение корней по формуле Виета.
Решение:
Найти: Сумма и произведение корней данного многочлена
Используя формулу Виета, 92}\) = 22/1 = 22
Ответ: Сумма корней = 11; Произведение корней = 22
Пример 2.
Сумма и произведение корней квадратного многочлена p равны 9 и 20 соответственно. Кроме того, p(6) = 4. Определить многочлен p(x).
Решение:
Обратите внимание, что в этой задаче нам была дана дополнительная информация — значение многочлена в конкретном x значение.
Используя формулу Виета, подставив значения суммы и произведения, мы можем записать многочлен в виде p(x): k(x ² −9x+20).
Теперь p(6) = 4 ⇒ k(6 ² − 9(6) + 20) = 4 ⇒ k(36 − 54 + 20) = 4 ⇒ 2k = 4 ⇒ k = 2. Обратите внимание: как дополнительная информация позволила нам определить значение k . Следовательно, многочлен равен p(x): 2(x ² − 9x + 20). Отсюда следует, что p(x): 2x ² − 18x + 40,
9{3}+px+q=0$. Дискриминант кубического уравнения будем обозначать как $\Delta$.
Если $\Delta > 0$, то кубическое уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня; если $\Delta = 0$, то уравнение имеет три действительных корня, при этом по крайней мере два корня равны; если $\Delta < 0$, то уравнение имеет три различных действительных корня.
Модифицированная формула Кардано
Пусть
$$\epsilon=-\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} i$$
корень из 1 в третьей степени. Затем 9{3}-15x-4=0$?
Используя формулу Кардано, получаем:
$$x=\sqrt[3]{2+ \sqrt{-121}}+ \sqrt[3]{2- \sqrt{-121}},$ $
то, что мы можем записать как
$$x=\sqrt[3]{2+ 11i}+ \sqrt[3]{2- 11i},$$
где
$$(2+11i) \cdot (2-11i) = 5.$$
Если $z=2+11i$ и $w=2-11i$, то
$$z=\sqrt{125}(\cos\varphi + i \sin \varphi), \quad \quad w=\sqrt{125}\left[\cos(2\pi – \varphi) + i \sin (2\pi – \varphi)\right],$$
потому что $z$ и $w$ — комплексно-сопряженные числа и имеют одинаковый модуль.
Теперь у нас есть $\sqrt[3]{2+ 11i} =\{z_1, z_2, z_3\}$, то есть:
$$z_1=\sqrt[3]{\sqrt{125}} \left[ \cos \left(\frac{\varphi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi}{3}\right)\right],$$
$$z_2 =\sqrt[3]{\sqrt{125}}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right) + i \sin\left (\ frac{\varphi}{3} + \frac{2 \pi}{3}\right)\right],$$
$$z_3=\sqrt[3]{\sqrt{125}}\left [ \cos\left(\frac{\varphi}{3} + \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi}{3} + \frac{4 \pi}{3}\справа)\справа]. $$
Аналогично, $\sqrt[3]{2- 11i}=\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\}$:
$$w_1=\sqrt[3]{\sqrt {125}}\left[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\varphi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{ 3} – \frac{\varphi}{3}\right)\right],$$
$$w_2=\sqrt[3]{\sqrt{125}}\left[ \cos \left(\frac{ 4\pi}{3}-\frac{\varphi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3} — \frac{\varphi}{3}\right) \right],$$
$$w_3=\sqrt[3]{\sqrt{125}}\left[ \cos \left(2\pi-\frac{\varphi}{3}\right) + i \sin\left(2\pi – \frac{\varphi}{3}\right)\right].$$ 9{3}-15x-4=0$ — действительные числа:
$$x_{1}=z_{1}+w_{3}=2\sqrt[3]{\sqrt{125}} \cdot \cos \left(\frac{\varphi}{3}\right),$$
$$x_{2}=z_{2}+w_{2}=2\sqrt[3]{\sqrt{125}} \cdot \cos \left(\frac{\varphi}{3} + \frac{2 \pi}{3}\right),$$
$$x_{1}=z_{1}+w_{3 }=2\sqrt[3]{\sqrt{125}} \cdot \cos\left(\frac{\varphi}{3}+ \frac{4 \pi}{3}\right).$$
Угол $\varphi$ можно исключить следующим образом. Мы знаем, что
$$\varphi= \arctan (\tan \varphi),$$
и $\tan \varphi$ можно получить из коэффициентов уравнения:
$$ \tan \varphi= – \frac{2\sqrt{-\Delta}}{q},$$
где , если $\varphi<0$, то решения меняют знак.
No related posts.