Вывод формулы бернулли теория вероятности: Формула Бернулли / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Формула Бернулли / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли

Пусть производится несколько испытаний. Причем, вероятность появления события $A$ в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называются независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А, может иметь либо различные вероятности, либо одну и туже. Мы будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие $A$ имеет одну и ту же вероятность.

Под сложным событием будем понимать совмещение простых событий. Пусть производится n-испытаний. В каждом испытании событие $A$ может появиться или не появиться. Будем считать, что в каждом испытании вероятность появления события $A$ одна и та же и равна $p$. Тогда вероятность $\overline A $ { или не наступления А } равна $P( { \overline A } )=q=1-p$.

Пусть требуется вычислить вероятность того, что в n -испытаниях событие $A$ наступит k — раз и $n-k$ раз — не наступит. 2=0,115 $

Легко видеть, что при больших значениях n достаточно трудно подсчитать вероятность из-за громадных чисел. Оказывается эту вероятность можно посчитать не только с помощью формулы Бернулли.

Далее:

Гармонические поля

Векторное поле

Нахождение потенциала

Теорема Остроградского

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции

Логические операции над высказываниями

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$

Теорема о полныx системаx в Pk

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Поток жидкости через поверхность

Огравление $\Rightarrow $

27 сентября 2016, 21:36    проектирование км, кмд, кж Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] 0    10028 0

1.13. Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона

Пусть А – случайное событие, вероятности появления и непоявления

Которого для некоторого испытания известны:

; ; (6.1)

И пусть производится не одно, а N повторных испытаний (или, что одно и то же, испытание повторяется N раз). Возникает естественный вопрос: какова вероятность того, что событие А В этих N повторных испытаниях появится K раз (целое число K можно задавать любым в пределах от 0 до N)? При этом не важно, в каком порядке событие А появится K раз в N испытаниях. Важно лишь общее число K Появлений этого события. Эту вероятность обозначают символом (- вероятность того, что в N испытаниях событие А Наступит K раз). И находится она по формуле Бернулли (Яков Бернулли – швейцарский математик 17-го века):

(6.2)

Доказательство. Если в N повторных испытаниях событие А появится K Раз, то соответственно оно не появится NK раз. И тогда вероятность любой конкретной комбинации K появлений события А и NK непоявлений этого события можно найти по формуле (4.15) произведения вероятностей независимых в совокупности событий. То есть она равна . Таких конкретных комбинаций будет, очевидно, столько, сколько существует сочетаний из N элементов (номеров испытаний) по K элементов в каждом сочетании. Эти сочетания образуются из K номеров тех испытаний, в которых будет появляться событие А. Каждому такому сочетанию K номеров будет соответствовать единственное сочетание тех NK номеров испытания, в которых событие А не будет появляться.

Так как всего таких сочетаний , и каждое из них несовместно с любым другим сочетанием, то по формуле (4.10) сложения вероятностей попарно несовместных событий искомая вероятность равна величине , взятой раз. В итоге и приходим к формуле Бернулли (6.2).

Пример 1. Монету подбрасывают пять раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза?

Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=5 – число повторных испытаний. Далее, будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда

; ; N=5; K=3;

На основании формулы Бернулли получаем:

.

Формула Бернулли – точная формула. Однако при больших значениях N (большом числе испытаний) вычисления по ней становятся громоздкими из-за необходимости вычисления факториалов больших чисел и степеней с большими показателями. В процессе этих вычислений неизбежно придется производить округления, что приведет к погрешности при определении искомой вероятности .

Причем к погрешности тем большей, чем больше будет значение N (числа испытаний). В связи с этим из формулы Бернулли выведены упрощенные приближенные формулы для , которые, кстати, тем точнее, чем больше число N.

Одна из этих приближенных формул – Локальная формула Лапласа:

где (6.3)

Функция Называется функцией вероятностей (или функцией Гаусса). График функции имеет вид, изображенный на рис. 1.4.

Для значение функции Можно взять в таблице, содержащейся во многих пособиях по теории вероятностей. Приведем небольшой фрагмент этой таблицы:

X

0

1

2

3

4

5

J(x)

0,3989

0,2420

0,0540

0,0044

0,0001

» 0

Для отрицательных значений X используют четность функции : Для X<-5 и X>5 значение На практике локальную формулу Лапласа применяют, если

(6. 5)

Это условие обеспечивает приближенное нахождение вероятности с точностью до процента. Доказательство локальной формулы Лапласа опускаем.

Пример 2. Монету подбрасывают 100 раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно 40 раз?

Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=100 – число повторных испытаний. Будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда

; ; ; ; ?

Формулу Бернулли для подсчета искомой вероятности применять не будем – слишком велико число испытаний N (N=100). А так как , то вместо формулы Бернулли (6.2) применим локальную формулу Лапласа (6.3):

=│учтем, что │=0,0108

Другой приближенной формулой для подсчета вероятностей , применяемой при больших N, является Формула Пуассона (формула редких событий):

, где (6.6)

Она применяется, когда N Велико (условно N50), а Р мало (0<Р<0,1), и когда Npq<10. То есть когда не оправдано ни применение формулы Бернулли, ни применение локальной формулы Лапласа. При этих условиях приближенная формула Пуассона, как и локальная формула Лапласа, обеспечивает определение искомой вероятности С погрешностью в пределах одного процента.

Кстати, так как вероятность события

А Мала (0<Р<0,1), то при повторении испытаний событие А наступает редко. Поэтому формула Пуассона и называется формулой редких событий. Вывод этой формулы опустим.

Пример 3. Производится 50 повторных испытаний, причем вероятность появления некоторого события А В каждом из них равна 0,98. Определить вероятность того, что событие А наступит во всех 50 испытаниях.

Решение. В данной задаче

P(A)=P=0,98; P(Ā)=Q=0,02; N=50; K=50;

Если применить формулу Бернулли, то получим результат, который очевиден и без формулы Бернулли:

Попробуем избежать громоздкой процедуры возведения числа 0,98 в 50-ую степень (её, впрочем, можно и избежать, если использовать логарифмы).

То есть заменим формулу Бернулли на локальную формулу Лапласа или Пуассона.

Так как Npq=50·0,98·0,02=0,98<10, то локальную формулу Лапласа применять нельзя — мы получим слишком грубый (неточный) результат. Но и формулу Пуассона (формулу редких событий) мы тоже применить не можем, так как вероятность Р не мала, а наоборот, велика. Но зато мала вероятность Q непоявления этого события. В связи с этим переформулируем задачу: найдем вероятность того, что событие появится 0 раз (ни разу). Эта вероятность, очевидно, совпадает с искомой вероятностью Того, что событие А появится во всех 50 испытаниях. Тогда в этой постановке получаем:

P(Ā)=P=0,02; P(A)=Q=0,98; N=50; K=0; ?

Применяя формулу Пуассона (теперь ее применять можно), получим:

≈= |λ=Np=50·0,02=1| = =≈ ≈ 0,37.

Рассмотрим теперь следующую задачу: какова вероятность того, что в N повторных испытаниях число K появлений события А Окажется в заданных числовых пределах [K1; K2]?

Решение этой задачи очевидно:

= (6. 7)

Действительно, число K окажется в пределах [K1; K2], если оно будет равно или K1, или K1+1, или K1+2, … или K2. События, приводящие к таким значениям K, друг с другом (попарно) несовместимы. А тогда по формуле (4.10) сложения вероятностей попарно несовместных событий мы и приходим к формуле (6.7).

Пример 4. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет не более четырех раз?

Решение

. Будем считать испытанием однократное бросание монеты. Тогда N=5-число повторных испытаний. А событием А в каждом испытании будем считать выпадение герба. Тогда:

р(A)=P=; Р(Ā)=Q=; N=5; 0≤K≤4;

Применяя формулу (6.7), получим:

=

Для подсчета каждого из этих пяти слагаемых следует, очевидно, применить формулу Бернулли (6. 2) и полученные числа сложить.

Однако эту задачу можно решить и гораздо проще — через противоположное событие:

Если число N Испытаний велико, границы [K1; K2] широкие и если, кроме того, Npq>10, то вместо точной формулы (6.7), использование которой становится громоздким, используют Приближенную интегральную формулу Лапласа:

(6.8)

Здесь:

; ;

(6.9)

Функция — это уже известная нам функция Гаусса (её график изображен на рис. 1.4), а функция называется Интегралом вероятностей. График этой функции изображен на рисунке 1.5. В любом пособии по теории вероятностей имеются таблицы значений интеграла вероятностей , который, как и функция Гаусса, принадлежит к числу важнейших функций теории вероятностей. Эти таблицы составлены для 0≤X ≤5. Приведем небольшой фрагмент этой таблицы:

X

0

1

2

3

4

5

Ф(x)

0

0,3413

0,4772

0,49865

0,499968

0,499997

Для X>5 можно считать =0,5.

Для X<0 следует использовать нечетность функции : .

Пример 5. Монету подбрасывают 100 раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет от 40 до 60 раз?

Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=100 — число повторных испытаний. Событием А В каждом испытании будем считать выпадение герба. Тогда:

р(А)=р=; Р(Ā)=Q=; N=100; 40≤K≤60; =?

Так как Npq=25>10, то применим интегральную формулу Лапласа:

; ;

‌‌

Упражнения

1. Показать, что наиболее вероятным числом появления события А в N повторных испытаниях является число KНаив.=Np (или ближайшее к Np целое число, если Np не целое).

2. Два равносильных игрока играют в игру, ничьи в которой исключаются. Какова вероятность для первого игрока выиграть: а) одну партию из двух? б) две из четырех? в) три из шести?

Ответ: а) ; б) ; в)

3. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две — правее.

Ответ:

4.Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных мальчиков и девочек окажется поровну.

Ответ: 0,07

5. Магазин получил 500 бутылок в стеклянной таре. Вероятность того, что при перевозке любая из бутылок окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одну.

Ответ: а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95

6. Автомобильный завод выпускает 80% автомобилей без существенных дефектов. Какова вероятность того, что среди 600 автомобилей, поступивших с завода на автомобильную биржу, окажется не менее 500 автомобилей без существенных дефектов?

Ответ: 0,02

7. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная частота появлений герба отклонится от вероятности Р=0,5 появления герба при одном бросании монеты не более, чем на 0,02?

Ответ: N ≥ 2401.

< Предыдущая   Следующая >

Доктор Ванди Дин | Факультет

Факультеты/Программы

  • Кафедра математических наук
  • Математика
  • Математика [MS] — Чистая и прикладная математика Концентрация
  • Вычислительные и информационные науки, Ph.D.

Сведения о степени

  • Доктор наук, Университет Теннесси, Ноксвилл (2006 г.)
  • Магистр наук, Океанский университет Китая (2001 г.)
  • Бакалавр наук, Университет Циндао (1998)

Области специализации

Доктор Дин проводит исследования в области математической биологии, оптимального управления, вычислительной биологии, математического моделирования, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, дифференциальных уравнений, агентных/индивидуальных моделирование и гибридные системы с приложениями к динамике населения, моделированию и контролю заболеваний, управлению природными ресурсами и системной биологии. Она также интересуется глубоким обучением, квантовой биологией и улучшением образования STEM на уровне бакалавриата посредством исследовательского опыта….

Подробнее »

Д-р Дин проводит исследования в области математической биологии, оптимального управления, вычислительной биологии, математического моделирования, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, разностных уравнений, агентного/индивидуального моделирования и гибридных систем с приложениями к популяционной динамике. , моделирование и контроль заболеваний, управление природными ресурсами и системная биология. Она также интересуется глубоким обучением, квантовой биологией и улучшением образования STEM на уровне бакалавриата посредством исследовательского опыта.

Ее исследования сосредоточены на понимании пространственных и временных паттернов, возникающих в динамических биологических системах, и, когда это возможно, на поиске наилучшего способа управления системой.

Доктор Дин также сотрудничает с другими, чтобы поощрять/продвигать девочек и женщин в STEM.

 

« Показать меньше» Программа и Факультет с отличием .

  • М.С. консультант кафедры математических наук.
  • Сопрезидент Ассоциации женщин в науке (AWIS) Отделение Теннесси.
  • Содиректор для SIMIODE (Systemic In…) и наук о данных Программа PhD и Факультет с отличием .
  • М.С. консультант кафедры математических наук.
  • Сопрезидент Ассоциации женщин в науке (AWIS) Отделение Теннесси.
  • Содиректор SIMIODE (Системная инициатива по моделированию исследований и возможностей с помощью дифференциальных уравнений) EXPO, 10-12 февраля 2023 г.
  • Совет консультантов  для SIMIODE : Системная инициатива по моделированию исследований и возможностей с помощью дифференциальных уравнений, 2017 г.  – по настоящее время.
  • Организационный комитет семинара Шанкса по достижениям в области математической и теоретической биологии, 17-19 марта 2023 г.
  • Президент (2011-12), вице-президент (2009-10) и секретарь (2008-09, 2022-24) Phi Kappa Phi в МТСУ — Пусть любовь к обучению правит человечеством  9008
  • Заместитель редактора : Международный журнал компьютерной математики, 2022 г. – по настоящее время.
  • Приглашенный редактор специальных выпусков журналов математических биологических наук и инженерного моделирования и моделирования природных ресурсов.
  • Редактор : Дайджест Общества математической биологии ( SMB ), 2013–2019 гг. 
  • Редактор : American Research Journal of Mathematics, 2017 – по настоящее время.
  • Редактор : Международный журнал математики и статистики, 2014–2018 гг.
  • Профессиональное членство

    • Общество промышленной и прикладной математики ( SIAM )
    • Американская ассоциация содействия развитию науки ( AAAS )
    • Американское математическое общество (AMS )
    • Общество математической биологии ( SMB )
    • Ассоциация женщин-математиков ( AWM )
    • ◦ Ассоциация женщин в науке ( AWIS )
    • Пожизненный член Общества чести Фи Каппа Фи ( ΦκΦ )
    • Ассоциация моделирования ресурсов ( RMA )
    • Член Канадского центра моделирования заболеваний (CCDM) , глобальная сеть
    • Участник ИЗУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ АГЕНТОВ ИНФЕКЦИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ ( MIDAS )
    • Член Художественной лиги Мерфрисборо ( MAL ) и верит в совершенную гармонию математики, естественных наук и искусства в повседневной жизни каждого.

    « Показать меньше

    Publications

    Google Scholar

    ORCID

    Researchgate

    GitHub

    Awards

    Distinguished Research Award, College of Basic and Applied Science, MTSU, 2019.

    Профессиональное руководство:

    • Содиректор: SIMIODE EXPO 2023.    SIMIODE  (Системная инициатива по моделированию исследований и возможностей с помощью дифференциального уравнения…

    Подробнее »

    Награда за выдающиеся исследования, Колледж базовых и прикладных наук, Mtsu, 2019.

    Профессиональные лидеры:

    • Совместный директор: Simiode Expo 2023. SIMIODE (Системная инициатива для моделей Investigation и возможности с дифференциальными уравнениями)
    • Сопрезидент (с 2021 г. по настоящее время) Ассоциации женщин в науке ( AWIS) TN Chapter.
    • Президент (2011-12), вице-президент (2009-10) и секретарь (2008-09) Phi Kappa Phi в MTSU — Пусть любовь к обучению правит человечеством
      Доктор Дин служил в качестве Президент (2011–2012 гг.), Вице-президент (2009–10 гг.) И секретарь (2008–09, 2022–24 гг.) Почетного общества Phi Kappa Phi (PKP) в отделении MTSU. Мы получили «Главу передового опыта» 2009–10 и «Главу заслуг» 2008–09.
    • Президент , Общество промышленной и прикладной математики ( SIAM ) Студенческое отделение Университета Теннесси, Ноксвилл, 2004-06.

    « Меньше чтения

    В СМИ

    2022: 

    Преподаватели МТСУ наставляют студентов посредством исследовательского опыта, 2 августа 2022 г.

    Ванди. Моделирование малярии, задача оптимального контроля . Research Outreach, 17 мая 2022 г. Medium , 26 мая 2022 г.

    В Facebook: 2022                В Twitter: 2022

    2021 : MTSU размещает престижные Национальные научно -фонд -гранты. Foundation :

    1. NSF DMS № 2234176: Семинар Шанкса по достижениям в области математической и теоретической биологии (PI: X. Zhao, co-PI: M. Horn, W. Ding, P. Hinow and X. Huo), $27 000, 01.03.2023 — 29.02/2024.

    2. NSF DMS № 1757493: REU Site: Computational Modeling and… Biology, (PI: X. Zhao, co-PI: M. Horn, W. Ding, P. Hinow и X. Huo), 27 000 долларов, 01.03.2023 — 29.02.2024.

    2. NSF DMS № 1757493: REU Site: Computational Modeling and Simulation in Applied Sciences
        (PI: W. Ding, co-PIs: R. Leander, W. Robertson and J. Phillips), 241 470 долларов США, 2018–2023 гг.

    3. Катализатор NSF ADVANCE IT-Catalyst (NSF HRD № 1409638): Катализатор для расширения участия и продвижения женщин в академической карьере STEM в Университете штата Средний Теннесси (PI: B. Bartel, Co-PI: J. Iriarte- Гросс, В. Дин, Дж. Эллер и К. Петерсен), 195 002,00 долларов США, 2014–2018 гг. Веб-страница MTSU ADVANCE

    Гранты от MTSU:  

    • MTSU NIA: Non-Instructional Leave Grant2 , осень 2020.
    • MTSU LT&ITC факультетское учебное сообщество ( FLC ): Программа развития преподавателей среднего звена (совместно с Д. Раффо, Г. Уэббером, Р. Хендерсоном, Р. Оттером и Т. Бринтхауптом), 7 500 долларов США, 2014 г.
    • Грант MTSU Instructional Technologies Innovation Grant ( ITI ) (совместно с З. Синкалой и Р. Леандером), 5 892 долл. США, 2014 г.
    • Грант МТСУ на обучение и развитие ( IED ), 750 долларов США, 2011 г.
      Разработка и реализация пилотной программы обучения студентов биологических и математических наук.
    • Факультетская исследовательская и творческая деятельность ( FRCAC ), МТСУ, август 2009 г. — май 2010 г. , 5000 долларов США.
      Оптимальный контроль, применяемый к динамике естественно-инвазивной популяции с помощью модели PDE.
    • NSF  STEP  (Ускорение исследований бакалавриата) Summer Reseach, MTSU, июнь-июль 2009 г., 17 500 долларов США.
      Математическое моделирование и контроль популяций: применение в биологической борьбе с вредителями.
    • Исследовательская и творческая деятельность преподавателей ( FRCAC ), МТСУ, август 2008 г. – май 2009 г., 6 300 долларов США.
      Оптимальный промысел рыбных популяций с возрастной структурой.
    • Фонд выдающихся лекций МТСУ: 2009, 2010, 2011, 2012, 3250 долларов США.

    Гранты на поездки:

         1. Moffitt Cancer Center  Integrated Mathematical Oncology (IMO) Travel Awards, IMO Workshop 9: Tumor Board Evolution, 3-8 ноября, 42, 2016, математическое общество. 902. 902. ( SMB ) грант для поддержки нашей специальной сессии на Юго-восточном весеннем секционном собрании AMS (27–29 марта). , 2015), 2000 долл. США, 2014.
    3. Общество математической биологии ( SMB ) Грант на туристическую сумму, 750 долл. США, 2011.
    4. SIAM-NSF PostDOC/Ранняя карьера награда, 885 долл. США, 2010.
    5. AWM-NSF  Транспортные гранты для женщин-исследователей, 1 488 долларов США, 2009 г.

    Профессиональные услуги:

    • Заместитель редактора: International Journal of Computer Mathematics, 2022 г. – по настоящее время.
    • Редактор : Дайджест Общества математической биологии (SMB), 2013–2019 гг..
    • Приглашенные редакторы:
      1. Редакторы: Ванди Дин, Джошуа Л. Филлипс, Чжуолинь Цюй и Рассел Зарецки.
      Специальный выпуск: Машинное обучение, математическое и статистическое моделирование для системной биологии, математических биологических наук и инженерии, 2021–22.
      2. Редакторы: Дин, Ванди; Кан, Юн; Мубайи, Анудж.
      Специальный выпуск: Математическое моделирование и анализ социальных и экологических детерминант динамики инфекционных заболеваний и политики общественного здравоохранения. Мат. Бионауч. Eng.18 (2021), вып. 6, 8535–8537.
      3. Редакторы: Рэйчел Леандер, Ванди Дин и Рене Салинас.
      Специальный выпуск, посвященный Сюзанне Ленхарт, Journal of Natural Resource Modeling, 31:4, 2018 г.
    • Редактор : American Research Journal of Mathematics, 2017 – по настоящее время.
    • Редактор : Международный журнал математики и статистики, 2014–2018 гг.
    • Рецензент группы NSF: 2020, 2022.
    • Совет консультантов для SIMIODE: Системная инициатива по моделированию исследований и возможностей с помощью дифференциальных уравнений, 2017 г. – по настоящее время.
    • Член правления Центра женщин в науке, технологиях, инженерии и математике (WISTEM) 2016–2017.
    • Факультет с отличием.

    « Показать меньше

    Курсы

    Избранные, веселые, интересные и сложные курсы исчисления, векторного анализа и дифференциальных уравнений:

    • Исчисление II: Исчисление II, осень 2021 г. (прокрутите вниз, чтобы нажать Осень 2021 г.), Исчисление II, осень 2019 г.
    • Исчисление III:

    Подробнее »

    Избранные, веселые, интересные и сложные курсы по математическому анализу, векторному анализу и дифференциальным уравнениям:

    • Исчисление II: Исчисление II, осень 2021 г. (прокрутите вниз, чтобы выбрать «Осень 2021 г.»),       Исчисление II, осень 2019.
    • Исчисление III: Исчисление III, осень 2017 г.,     Исчисление III, 2022 г. (прокрутите вниз до весны 2022 г., много полезной литературы и ресурсов
    • Векторный анализ: Math 4230, осень 2015 (прокрутите вниз, чтобы выбрать осень 2015 г.).
    • Теория исчисления, осень 2021 г. (прокрутите вниз, чтобы нажать «Осень 2021 г.»).
    • Дифференциальные уравнения I, весна 2016 г.         DE I Весна 2013 (прокрутите вниз, чтобы выбрать Spring 2016 и Spring 2013).

    « Показать меньше

    Случайные величины Бернулли и среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение — Криста Кинг Математика

    Случайные величины Бернулли как особый вид биномиальной случайной величины

    Ранее мы определили биномиальную случайную величину как переменную, которая принимает дискретные значения «успех» или «неудача». Например, если нам нужен орёл при подбрасывании монеты, мы можем определить орёл как успех, а решку как неудачу. Мы могли бы смоделировать этот сценарий с помощью биномиальной случайной величины ???X??? где ???Х??? это количество раз, когда мы получаем орла, когда мы подбрасываем монету определенное количество раз.

    A Бернуллиевская случайная величина  является особой категорией биномиальных случайных величин. В частности, со случайной величиной Бернулли у нас есть только одно испытание (биномиальные случайные величины могут иметь несколько испытаний), и мы определяем «успех» как ???1??? и «неудача» как ???0???.

    Привет! Я Криста.

    Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

    Распределения Бернулли

    Допустим, я хочу знать, сколько учеников в моей школе любят арахисовое масло. Я не могу опросить всю школу, поэтому я опрашиваю только учеников своего класса, используя их в качестве выборки. Я спрашиваю их, нравится ли им арахисовое масло, и определяю «нравится арахисовое масло» как успех со значением ???1??? и «неприязнь к арахисовому маслу» как провал со значением ???0???. Я нахожу, что ???75\%??? студентов в моем классе, как арахисовое масло.

    Так как все в нашем опросе были вынуждены выбрать тот или иной вариант, ???100\%??? нашего населения представлено в этих двух категориях, а это означает, что вероятность обоих вариантов всегда будет составлять в сумме ???1,0??? или ???100\%???. Следовательно, поскольку ???75\%??? студентов в моем классе любят арахисовое масло, это означает ???100\%-75\%=25\%??? студентов не любят арахисовое масло.

    Я мог бы представить это в распределении Бернулли как

    Работа со случайными величинами Бернулли

    Пройти курс

    Хотите узнать больше о вероятности и статистике? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

    Узнать больше

    Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение для случайных величин Бернулли

    Среднее значение

    Нахождение среднего значения случайной величины Бернулли несколько нелогично. Кажется, что у нас есть дискретные категории «не нравится арахисовое масло» и «нравится арахисовое масло», и нет особого смысла пытаться найти среднее значение и получить «число», которое находится где-то «посередине» и означает « немного любит арахисовое масло? Просто все это немного странно.

    Как это обойти? Ну, мы упоминали об этом ранее, но мы присваиваем значение ???0??? к категории отказа «неприязнь к арахисовому маслу» и значению ???1??? к категории успеха «как арахисовое масло». Затем мы можем взять взвешенную по вероятности сумму значений в нашем распределении Бернулли.

    ???\mu=(\text{процент неудач})(0)+(\text{процент успехов})(1)???

    ???\mu=(0,25)(0)+(0,75)(1)???

    ???\мю=0+0,75???

    ???\мю=0,75???

    Это среднее значение распределения Бернулли. Обратите внимание, что значение, которое мы нашли для среднего, равно проценту «успехов». Мы сказали, что «пристрастие к арахисовому маслу» было «успехом», а затем обнаружили, что ???75\%??? из нашего класса любили арахисовое масло, поэтому среднее значение распределения должно было быть ???\mu=0,75???.

    Если мы хотим создать общую формулу для нахождения среднего значения случайной величины Бернулли, мы могли бы назвать вероятность успеха ???p???, а затем назвать вероятность неудачи ???1-p?? ? (поскольку общая вероятность всегда составляет ???1??? и ???p+(1-p)=p+1-p=1???). Затем с ошибкой, представленной ???0??? и успех, представленный ???1???, среднее (также называемое ожидаемым значением) всегда будет

    ???\mu=(1-p)(0)+(p)(1)???

    ???\mu=0+p???

    ???\му=р???

    И мы снова видим, что среднее значение равно вероятности успеха, ???p???. Поймите также, что, хотя мы нашли среднее значение ???\mu=0,75???, распределение по-прежнему дискретно. Никто в популяции не примет значение ???\mu=0,75???; каждый будет либо точно ???0??? или точно ???1???.

    со случайной величиной Бернулли, у нас есть только одно испытание (биномиальные случайные величины могут иметь несколько испытаний), и мы определяем «успех» как 1, а «неудача» как 0,9.2}=\sqrt{p(1-p)}???

    ???\sigma=\sqrt{p(1-p)}???

    Получить доступ к полному курсу «Вероятность и статистика»

    Начать

    Изучение математикиКриста Кинг

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *