Площадь треугольника формула 3 класс: Треугольник. Площадь треугольника — урок. Математика, 5 класс.

Содержание

Урок 22. площадь прямоугольника - Математика - 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №22. Площадь прямоугольника

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  1. Как вычислить площадь прямоугольника?
  2. В каких единицах измеряется площадь?
  3. Какими способами можно сравнить геометрические фигуры?

Глоссарий по теме:

Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 60-61.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по математике:3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2016 с. 38-43.

3. Волкова Е. В. ВПР. Математика 3 класс Практикум по выполнению типовых заданий. ФГОС .М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 36-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Упоминание о первых геометрических фигурах встречается еще у древних египтян и древних шумеров. Учёными-археологами (они ищут разные исторические древности) был найден папирусный свиток (бумага древних египтян, изготавливаемая из растения папирус) с геометрическими задачами, в которых упоминались геометрические фигуры. И каждая из них называлась каким-то определенным словом. Одним определенным словом называлась фигура прямоугольник независимо от того какие стороны были у этого прямоугольника. А если у прямоугольника все стороны были одинаковые, то такой прямоугольник имел специальное название – квадрат.  Таким образом, значит, что уже в те далекие времена люди имели представление о геометрии и знали изучаемые этой наукой фигуры. Название «геометрическая фигура» придумали древние греки. И названия всем геометрическим фигурам дали тоже древнегреческие учёные.

Найдём площадь геометрической фигуры.

Чтобы найти площадь фигуры, надо узнать сколько раз в фигуре поместится квадрат со стороной 1 см. Площадь этой геометрической фигуры составляет 18 квадратов. Для удобства подсчёта количество квадратов можно воспользоваться знаниями таблицы умножения. По 6 взять 3 раза получится 18 квадратов.

Найдём площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см.

Для этого достаточно умножить длину на ширину. 6 ∙ 3 = 18 см2

Таким образом, формулируем вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.

S = a ∙ b

S – площадь

a – длина

b – ширина

Задания тренировочного модуля:

1. Заполните пропуски в таблице.

Правильный ответ:

2. Длина прямоугольника 8см, ширина 4 см. Чему равна площадь прямоугольника? Выделите правильный ответ.

12 см; 32 см; 24 см2; 32 см2; 24; 12 см2.

Правильный ответ:32см2.

Как найти площадь треугольника? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Формулы

Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1). То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $\alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \alpha$$

Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2), и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне - $h_{a}$, то имеет место формула:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$

Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины всех его трех сторон $a$, $b$ и $c$, нужно воспользоваться формулой Герона:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p=\frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нужно радиус $r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр $p$ треугольника:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=r p$$

Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса $R$, описанной около треугольника окружности:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{a b c}{4 R}$$

Примеры вычисления площади треугольника

Пример

Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^{\circ}$.{2}\right) \end{aligned}$

Ответ. $\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{15}{4}$ (см2)

Все формулы площади Калькулятор площади треугольника

Слишком сложно?

Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см2 ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$

то отсюда получаем, что искомая высота

$h_{a}=\frac{2 \mathrm{S}_{\Delta A B C}}{a}=\frac{2 \cdot 6}{2}=6$ (см)

Ответ. $h_{a}=6$ (см)

Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.

Периметр и площадь треугольника | Геометрия

Периметр

Периметр любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:

P = a + b + c,

где  P  — это периметр треугольника,  ab  и  c  — его стороны.

Периметр равнобедренного треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:

P = 2a + b,

где  P  — это периметр равнобедренного треугольника,  a  — любая из боковых сторон,  b  — основание.

Периметр равностороннего треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:

P = 3a,

где  P  — это периметр равностороннего треугольника,  a  — любая из его сторон.

Площадь

Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом. Рассмотрим треугольник  ABC:

Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для  ΔABC  площадь будет равна

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2.

Общая формула площади треугольника:

где  S  — это площадь треугольника,  a  — его основание,  ha  — высота, опущенная на основание  a.

Как вычислить площадь треугольника. Площадь треугольника

Школьная программа предусматривает обучение детей геометрии с раннего возраста. Одно из самых базовых знаний этой области - это нахождение площади различных фигур. В этой статье мы постараемся привести все возможные способы получения этой величины, от простейших до самых сложных.

Основа

Первая формула, которую изучают дети в школе, предусматривает нахождение площади треугольника через длину его высоты и основания. Высота - это отрезок, проведённый из вершины треугольника под прямым углом к противолежащей стороне, которая будет являться основанием. Как найти площадь треугольника по этим величинам?

Если V - высота, а O - основание, тогда площадь S=V*O:2.

Другой вариант получения искомой величины требует от нас знания длин двух сторон, а также величины угла между ними. Если у нас L и M - длины сторон, а Q - угол между ними, тогда вы можете получить площадь по формуле S=(L*M*sin(Q))/2.

Формула Герона

Кроме всех прочих ответов на вопрос о том, как вычислить площадь треугольника, есть формула, позволяющая получить необходимое нам значение, зная исключительно длины сторон. То есть, если нам известны длины всех сторон, то нам нет необходимости проводить высоту и вычислять её длину. Мы можем воспользоваться, так называемой формулой Герона.

Если M, N, L - это длины сторон, тогда мы можем найти площадь треугольника, следующим образом. P=(M+N+L)/2, тогда необходимая нам величина S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). В итоге, нам останется только вычислить корень.

Для прямоугольного треугольника формула Герона немного упрощается. Если M, L -это катеты, тогда S=(P-M)*(P-L).

Окружности

Другой способ, с помощью которого можно найти площадь треугольника, предусматривает использование вписанных и описанных окружностей. Чтобы получить необходимую нам величину с помощью вписанной окружности, нам потребуется узнать её радиус. Обозначим его "r". Тогда формула, по которой мы будем проводить вычисления, примет следующий вид: S=r*P, где P - это половина от суммы длин всех сторон.

В прямоугольном треугольнике эта формула немного преобразуется. Конечно, вы можете использовать и указанную выше, однако лучше взять для вычислений другое выражение. S=E*W, где E и W - это длины отрезков, на которые делится гипотенуза, точкой касания окружности.

Говоря об описанной окружности, найти площадь треугольника, также не составит труда. Введя обозначение R, как радиус описанной окружности, можно получить следующую формулу, необходимую для вычисления искомой величины: S= (M*N*L):(4*R). Где три первые величины - это стороны треугольника.

Говоря о равностороннем треугольнике, за счет ряда простейших математических преобразований можно получить немого изменённые формулы:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

Во всяком случае, любая формула, позволяющая найти площадь треугольника, может быть изменена в соответствии с данными поставленной задачи. Так что все написанные выражения не являются абсолютами. При решении задач поразмышляйте, чтобы найти наиболее подходящий способ решения.

Координаты

При изучении координатных осей задачи, стоящие перед учениками, усложняются. Однако не настолько, чтобы впадать в панику. Для того чтобы найти площадь треугольника по координатам вершин, вы можете воспользоваться всё той же, но немного изменённой формулой Герона. Для координат она приобретает следующий вид:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Впрочем, никто не запрещает, используя координаты, вычислить длины сторон треугольника и затем, по формулам, которые были написаны выше, посчитать площадь. Для преобразования координат в длину пользуйтесь следующей формулой:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

Примечания

В статье использовались стандартные обозначения величин, которые применяются в условиях большинства задач. При этом степень "1/2" означает, что вам необходимо извлечь корень из всего выражения под скобками.

При выборе формулы будьте внимательнее. Некоторые из них теряют свою актуальность в зависимости от начальных условий. Например, формула описанной окружности. Она способна высчитать вам результат в любом случае, однако может быть такая ситуация, когда треугольника с заданными параметрами может вообще не существовать.

Если вы сидите дома и делаете домашнее задание, тогда можете воспользоваться онлайн-калькулятором. Многие сайты предоставляют возможность вычисления различных величин по заданным параметрам, причем не суть важно, каким именно. Вы просто можете вписать начальные данные в поля, и компьютер (сайт) посчитает за вас результат. Таким образом, вы сможете избежать ошибок, допущенных по невнимательности.

Надеемся наша статья ответила все ваши вопросы касательно вычисления площади самых разных треугольников, и вам не придётся искать допонительную информацию в другом месте. Удачи с учебой!

Треугольник - это одна из самых распространенных геометрических фигур, с которой мы знакомимся уже в начальной школе. С вопросом, как найти площадь треугольника, сталкивается каждый школьник на уроках геометрии. Так, какие же особенности нахождения площади данной фигуры можно выделить? В данной статье мы рассмотрим основные формулы, необходимые для выполнения такого задания, а также разберем виды треугольников.

Виды треугольников

Найти площадь треугольника можно абсолютно разными способами, потому что в геометрии выделяется не один вид фигур, содержащих три угла. К таким видам относятся:

  • Тупоугольный.
  • Равносторонний (правильный).
  • Прямоугольный треугольник.
  • Равнобедренный.

Рассмотрим подробнее каждый из существующих типов треугольников.

Такая геометрическая фигура считается наиболее распространенной при решении геометрических задач. Когда возникает необходимость начертить произвольный треугольник, на помощь приходит именно этот вариант.

В остроугольном треугольнике, как понятно по названию, все углы острые и в сумме составляют 180°.

Такой треугольник также очень распространен, однако встречается несколько реже остроугольного. Например, при решении треугольников (т. е. известно несколько его сторон и углов и нужно найти оставшиеся элементы) иногда требуется определить, является угол тупым или нет. Косинус - это отрицательное число.

В величина одного из углов превышает 90°, поэтому оставшиеся два угла могут принимать маленькие значения (например, 15° или вовсе 3°).

Чтобы найти площадь треугольника данного типа, необходимо знать некоторые нюансы, о которых мы поговорим дальше.

Правильный и равнобедренный треугольники

Правильным многоугольником называется фигура, включающаяся в себя n углов, у которой все стороны и углы равны. Таким и является правильный треугольник. Так как сумма всех углов треугольника составляет 180°, то каждый из трех углов равен 60°.

Правильный треугольник, благодаря его свойству, также называют равносторонней фигурой.

Стоит также отметить, что в правильный треугольник можно вписать только одну окружность и около него можно описать только одну окружность, причем их центры расположены в одной точке.

Помимо равностороннего типа, можно также выделить равнобедренный треугольник, несильно от него отличающийся. В таком треугольнике две стороны и два угла равны между собой, а третья сторона (к которой прилегают равные углы) является основанием.

На рисунке показан равнобедренный треугольник DEF, углы D и F которого равны, а DF является основанием.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник назван так потому, что один из его углов прямой, то есть равен 90°. Другие же два угла в сумме составляют 90°.

Самая большая сторона такого треугольника, лежащая против угла в 90° является гипотенузой, остальные же две его стороны - это катеты. Для данного типа треугольников применима теорема Пифагора:

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник BAC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.

Чтобы найти площадь треугольника с прямым углом, нужно знать числовые значения его катетов.

Перейдем к формулам нахождения площади данной фигуры.

Основные формулы нахождения площади

В геометрии можно выделить две формулы, которые подходят для нахождения площади большинства видов треугольников, а именно для остроугольного, тупоугольного, правильного и равнобедренного треугольников. Разберем каждую из них.

По стороне и высоте

Данная формула является универсальной для нахождения площади, рассматриваемой нами фигуры. Для этого достаточно знать длину стороны и длину проведенной к ней высоты. Сама формула (половина произведения основания на высоту) выглядит следующим образом:

где A - сторона данного треугольника, а H - высота треугольника.

Например, чтобы найти площадь остроугольного треугольника ACB, нужно умножить его сторону AB на высоту CD и разделить получившееся значение на два.

Однако не всегда бывает легко найти площадь треугольника таким способом. Например, чтобы воспользоваться этой формулой для тупоугольного треугольника, необходимо продолжить одну из его сторон и только после этого провести к ней высоту.

На практике данная формула применяется чаще остальных.

По двум сторонам и углу

Данная формула, как и предыдущая подходит для большинства треугольников и по своему смыслу является следствием формулы нахождения площади по стороне и высоте треугольника. То есть рассматриваемую формулу можно легко вывести из предыдущей. Ее формулировка выглядит так:

S = ½*sinO*A*B,

где A и B - это стороны треугольника, а O - угол между сторонами A и B.

Напомним, что синус угла можно посмотреть в специальной таблице, названной в честь выдающегося советского математика В. М. Брадиса.

А теперь перейдем к другим формулам, подходящим только для исключительных видов треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника

Помимо универсальной формулы, включающей в себя необходимость проводить высоту в треугольнике, площадь треугольника, содержащего прямой угол, можно найти по его катетам.

Так, площадь треугольника, содержащего прямой угол, - это половина произведения его катетов, или:

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Правильный треугольник

Данный вид геометрических фигур отличается тем, что его площадь можно найти при указанной величине лишь одной его стороны (так как все стороны правильного треугольника равны). Итак, встретившись с задачей «найти площадь треугольника, когда стороны равны», нужно воспользоваться следующей формулой:

S = A 2 *√3 / 4,

где A - это сторона равностороннего треугольника.

Формула Герона

Последний вариант для нахождения площади треугольника - это формула Герона. Для того чтобы ею воспользоваться, необходимо знать длины трех сторон фигуры. Формула Герона выглядит так:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

где a, b и c - это стороны данного треугольника.

Иногда в задаче дано: «площадь правильного треугольника - найти длину его стороны». В данном случае нужно воспользоваться уже известной нам формулой нахождения площади правильного треугольника и вывести из нее значение стороны (или ее квадрата):

A 2 = 4S / √3.

Экзаменационные задачи

В задачах ГИА по математике встречаются множество формул. Помимо этого, достаточно часто необходимо найти площадь треугольника на клетчатой бумаге.

В данном случае удобнее всего провести высоту к одной из сторон фигуры, определить по клеткам ее длину и воспользоваться универсальной формулой для нахождения площади:

Итак, после изучения представленных в статье формул, у вас не возникнут проблемы при нахождении площади треугольника любого вида.

Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:

  • Прямоугольный.
  • Тупоугольный.
  • Остроугольный.
  • Разносторонний.
  • Равносторонний.
  • Равнобедренный.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.

Формула Герона

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.


Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.


Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.


Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.


Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.


Как найти площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.


Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.


Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.


Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.


Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.


Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.



Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота - то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

То с первой формулы площади следуют однотипные вторые



Внимательно посмотрите на формулы - их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника



Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

А затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок - частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего (правильного) треугольника =

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание . Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы:

  • "Формулы площади равностороннего треугольника"

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам :
a, b, c - длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r - радиус вписанной в треугольник окружности
R - радиус описанной вокруг треугольника окружности
h - высота треугольника, опущенная на сторону
p - полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α - угол, противолежащий стороне a треугольника
β - угол, противолежащий стороне b треугольника
γ - угол, противолежащий стороне c треугольника
h a , h b , h c - высота треугольника, опущенная на сторону a , b , c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

  • Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
  • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
  • Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
  • Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
  • Формула Герона (6) - это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
  • Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
  • Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
  • Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
  • Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин , которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

Примечание . Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет - пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа "квадратный корень" может применяться функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника .

Решение .

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов . Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2

Ответ : 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение .

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Ответ : 9 √3 / 4.

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение .

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьей строке рисунка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

Как найти площадь треугольника: прямоугольного, равнобедренного и тд

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

Общие формулы расчета площади треугольника

По основанию и высоте

Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.

Формула Герона

Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:

p – полупериметр треугольника:

Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:

Через длину стороны

Через высоту

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.

Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.

Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.

Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.

Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.

Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Геометрия 8 класса - это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте
Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота ha, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)
Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам
Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.

$S=\frac{1}{2}ab$

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу
Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $\beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.2\sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности
Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.

$S=\frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности
Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).

$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $\beta$ и $\gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.2}$


11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости
Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:

$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой - отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами
Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:

$\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам
Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:

$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}$,
где $\sigma$ - полусумма медиан.{2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге
Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В - количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г - количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Как найти площадь треугольника - Лайфхакер

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

Площадь трехстороннего треугольника

Мы знаем, что площадь треугольника равна ½ × Основание × Высота, где «Основание» - это любая сторона треугольника, а «Высота» - это длина высоты, проведенной к «Основанию» от его противоположной вершины. Но что, если мы не знаем высоту какой-либо стороны? Что, если нам нужно найти площадь треугольника с заданными тремя сторонами? В таких случаях используется формула Герона.

Например, чтобы найти площадь треугольника с 3 сторонами, заданными как 3, 6 и 7, мы предполагаем, что a = 3, b = 6 и c = 7.Тогда полупериметр равен s = (a + b + c) / 2 = (3 + 6 + 7) / 2 = 8. Мы найдем площадь треугольника, используя формулу Герона.

A = √ [s (s-a) (s-b) (s-c)]

= √ [8 (8-3) (8-6) (8-7)]

= √ [8 × 5 × 2 × 1]

= √ (80)

≈ 8,94

Эта формула была выведена математиком, известным как Герой Александрии. Давайте посмотрим, каковы альтернативные формулы, чтобы найти площадь треугольника с 3 сторонами, и давайте посмотрим, как все эти формулы выводятся.

Площадь трехстороннего треугольника по формуле

Мы уже видели формулу Герона для определения площади треугольника с 3 сторонами, которая гласит, что если a, b и c - три стороны треугольника, то его площадь равна

Площадь = √ [s (s-a) (s-b) (s-c)]

Здесь «s» - это полупериметр треугольника. т.е. s = (a + b + c) / 2. Но есть 3 альтернативные формулы, чтобы найти то же самое. Вы можете найти их на изображении ниже.

Давайте решим приведенный выше пример (нахождения площади треугольника с 3 сторонами 3, 6 и 7), используя одну из приведенных выше формул.2}} {4} \\ [0,2 см] и \ приблизительно 8,94 \ text {квадратные единицы} \ end {align} \)

Подтверждение площади треугольника с 3-сторонними формулами

Мы видели несколько формул для определения площади треугольника с 3 сторонами. Но как мы можем вывести эти формулы? Эти формулы связаны. Формула Герона получена из одной из трех приведенных выше формул. Итак, если мы сможем вывести одну из трех приведенных выше формул, вывести формулу Герона будет легко.

Рассмотрим вышеупомянутый треугольник.

Используя закон косинусов, cos A = (b 2 + c 2 - a 2 ) / 2bc.2]} \\ [0,2 см] & = \ dfrac {1} {4} \ sqrt {(b + c + a) (b + ca) (a + bc) (a-b + c)} \\ [ 0,2 см] \ end {align} \)

Мы знаем, что полупериметр треугольника s = (a + b + c) / 2. Отсюда

а + Ь + с = 2 с

б + с - а = 2с - 2а

a + b - c = 2s - 2c

a - b + c = 2s - 2b

Подставляя все эти значения на последнем шаге,

\ (\ begin {align} & \ text {Area} \\ [0,2 см] & = \ dfrac {1} {4} \ sqrt {2s (2s-2a) (2s-2c) (2s-2b)} \\ [0,2 см] & = \ dfrac {4} {4} \ sqrt {s (sa) (sc) (sb)} \\ [0.2 см] & = \ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} \ end {align} \)

Таким образом, мы доказали и формулу Герона.

Часто задаваемые вопросы о трехстороннем треугольнике

1. Как определить площадь трехстороннего треугольника?

Мы используем одну из формул, которые мы обсуждали на этой странице, чтобы найти площадь треугольника с 3 сторонами. Самая популярная формула - формула Герона, которая гласит, что площадь треугольника со сторонами a, b и c равна √ [s (s-a) (s-b) (s-c)].

2.Что такое неправильный треугольник?

Неправильный треугольник - это треугольник, все три стороны которого имеют разную длину. Он также известен как разносторонний треугольник (если все три стороны разные).

3. Как определить площадь неправильного треугольника?

Мы используем одну из формул, которые мы обсуждали на этой странице, чтобы найти площадь неправильного треугольника с 3 сторонами. Самая популярная формула - формула Герона, которая гласит, что площадь треугольника со сторонами a, b и c равна √ [s (s-a) (s-b) (s-c)].

4. Как определить угол трехстороннего треугольника?

Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти углы треугольника с тремя сторонами. Если a, b и c - три стороны треугольника, то по закону косинусов

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A

b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos B

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

5.Как найти длины сторон треугольника только по трем углам?

Напомним, что два одинаковых треугольника имеют одинаковые углы, но разные стороны (стороны пропорциональны). Таким образом, существует бесконечное количество треугольников с одинаковым набором любых трех заданных углов. Таким образом, невозможно найти стороны треугольника, если мы просто знаем все 3 угла, нам нужно знать хотя бы одну сторону, чтобы определить две другие стороны.

6. Для чего используется формула Герона?

Формула Герона используется для определения площади треугольника с учетом его трех сторон.Он говорит, что площадь треугольника со сторонами a, b и c равна √ [s (s-a) (s-b) (s-c)].

7. В честь кого названа формула Герона?

Формула Герона была получена математиком, известным как Герой Александрии.

Площадь треугольника (координатная геометрия)

Площадь треугольника (координатная геометрия) - Math Open Reference

Зная координаты трех вершин треугольника ABC, площадь можно увеличить по формуле, приведенной ниже.

Попробуй это Перетащите любую точку A, B, C.Площадь треугольника ABC постоянно пересчитывается по приведенной выше формуле. Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).

Учитывая координаты трех вершин любого треугольника, площадь треугольника определяется как: где A x и A y - координаты x и y точки A и т. д.

Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника, зная координаты всех трех вершины. Неважно, какие точки обозначены A, B или C, и он будет работать с любым треугольником, включая те, у которых некоторые или все координаты отрицательны.

Посмотрев на формулу выше, вы увидите, что она заключена в две вертикальные полосы следующим образом: Две вертикальные полосы означают «абсолютное значение». Это означает, что он всегда положительный, даже если формула дала отрицательный результат. У полигонов никогда не может быть отрицательной области.

"Ручка" точки B

Если вы выполните этот расчет, но пропустите последний шаг, на котором вы берете абсолютное значение, результат может быть отрицательным. Если он отрицательный, это означает, что 2-я точка (B) находится слева от отрезка AC.Здесь мы имеем в виду «левый» в том смысле, что если бы вы стояли в точке A и смотрели на C, то B был бы слева от вас.

Если область нулевая

Если площадь оказывается равной нулю, это означает, что три точки равны коллинеарен. Они лежат прямой линией и не образуют треугольника. Вы можете перетащить точки выше, чтобы создать это условие.

Вы также можете использовать Формулу Герона

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника, если вам известны длины всех трех сторон.(См. Формулу Герона). В координатной геометрии мы можем найти расстояние между любыми двумя точками если мы знаем их координаты, и поэтому мы можем найти длины трех сторон треугольника, а затем подставить их в формулу Герона найти район.

Если одна сторона вертикальная или горизонтальная

В треугольнике выше сторона AC равна вертикальный (параллельно оси y). В этом случае легко использовать традиционный метод «половина основания, умноженная на высоту». См. Площадь треугольника - традиционный метод.

Здесь AC выбран в качестве базы и имеет длину 8, найденная путем вычитания y-координат A и C. Аналогично, высота равна 11, найденная вычитанием x-координат B и A. Таким образом, площадь равна половине 8 умножить на 11 или 44.

Коробчатый метод

Вы также можете использовать метод бокса, который действительно работает для любого многоугольника. Подробнее об этом см. Площадь треугольника - прямоугольный метод (Координатная геометрия)

Что попробовать

  1. На схеме вверху страницы перетащите точки A, B или C и обратите внимание, как при вычислении площади используются координаты.Попробуйте точки с отрицательными значениями x и y. Вы можете перетащить исходную точку для перемещения осей.
  2. Нажмите «скрыть детали». Перетащите треугольник к какой-нибудь новой случайной форме. Вычислите его площадь и нажмите "показать подробности", чтобы убедиться, что вы все правильно поняли.
  3. После вышеизложенного оцените площадь, посчитав квадраты сетки внутри треугольника. (Каждый квадрат 5 на 5, поэтому имеет площадь 25).
После того, как вы сделаете вышеуказанное, вы можете нажать на «печать», и он распечатает диаграмму точно так, как вы ее установили.

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см. Учебные заметки

Другие темы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Формула площади треугольника - объяснение, решенные примеры и важные часто задаваемые вопросы

Площадь треугольника

Треугольник - это многоугольник, двухмерный объект с 3 сторонами и 3 вершинами.Площадь треугольника определяется с помощью простой формулы, которая будет использоваться при решении проблем или вопросов. Вы должны знать длину сторон, тип треугольника, высоту треугольника, чтобы найти площадь треугольника. Площадь треугольника - это размер площади, покрытой треугольником. Мы можем выразить площадь треугольника в квадратных единицах. Площадь треугольника определяется двумя формулами: основание умножается на высоту треугольника, деленную на 2, а вторая - это формула Герона для площади треугольника.Итак, давайте изучим, какова формула площади треугольника? Эта статья ответит на все ваши вопросы, связанные с площадью треугольников.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Площадь треугольника: определение и типы треугольника

Треугольник - это двухмерная форма, имеющая 3 стороны и 3 угла. Площадь треугольника - это область, заключенная внутри треугольника. Треугольник бывает 4-х типов в зависимости от длины его сторон или углов. Четыре типа треугольников:

  1. Прямоугольный треугольник (угол 90 градусов).

  2. Равнобедренный треугольник- (две стороны равны.).

  3. Равносторонний треугольник- (все три стороны равны и каждый угол составляет 60 °)

  4. Треугольник шкалы- (все три стороны не равны).

Формула площади треугольника

Формула площади треугольника задается как

Площадь треугольника = A = ½ (b × h) квадратных единиц

, где b - основание, а h - высота треугольника.

Площадь треугольника зависит от его типа.Формулы площади для всех различных типов треугольников равносторонний треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник приведены ниже. Кроме того, как найти площадь треугольника с 3 сторонами, используя теорему Цапля

Формула площади прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник - это треугольник, один из углов которого равен 90 °. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

В данном прямоугольном треугольнике перпендикулярная высота обозначена как «h», а основание - как «b». Таким образом, формула для площади прямоугольного треугольника может быть задана как :

Площадь прямоугольного треугольника = 1/2 xbxh

Площадь равнобедренного треугольника Формула

Мы знаем, что равнобедренный треугольник имеет две стороны равной длины.На приведенном ниже рисунке у нас есть равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами «a» и основанием «b». AD - это перпендикуляр, который делит основание на 2 равные части.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Следовательно, по формуле A = 1/2 xbxh, мы можем вывести формулу для площади равнобедренного треугольника по формуле, приведенной ниже:

Площадь равнобедренного треугольника = 1 / 4 xbx √4a²-b²

Площадь равностороннего треугольника

Мы знаем, что у равностороннего треугольника три стороны равной длины.И все 3 угла этого треугольника будут равны 600. На рисунке ниже показан равносторонний треугольник с равными сторонами как «а». AD - перпендикуляр, проведенный от A к D, который делит основание на 2 равные части.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Следовательно, по формуле A = 1/2 xbxh формула для площади равностороннего треугольника может быть получена как:

Площадь равностороннего треугольника = √3 / 4 x a²

Формула Герона для определения площади треугольника

Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все три стороны не равны.Чтобы найти площадь разностороннего треугольника и даже других треугольников, мы используем формулу Герона. Формула Герона для площади треугольника также известна как формула Героя.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке показан разносторонний треугольник с 3 сторонами как «a», «b» и «c». Формула Герона имеет следующий вид:

Площадь треугольника = \ [\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \]

, где a, b и c - стороны данного треугольника,

и s = полупериметр, который определяется как -

s = (a + b + c) / 2

Мы также можем определить площадь треугольника некоторыми другими методами.Некоторые из них указаны в таблице ниже.

Заданные свойства

Формула площади треугольника

Основание и высота

A = ½ bh

, где bh

высота =

Три стороны

A = \ [\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \]

Где a, b и c - длины сторон, а s = ½ (a + b + c) (половина периметра)

Две стороны и включая углы

A = ½ ab sinC

Где a, b - две стороны, а C - угол между ними

Равносторонний треугольник

A = \ [\ frac {s ^ {2} \ sqrt {3}} {4} \]

Где s = стороны

Три вершины на координатной плоскости

A = \ [\ pm \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ {3} & 1 \ end {vmatrix} \]

Где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты трех вершин

Два вектора из одной вершины

A = \ [\ frac {1} {2} \ left \ | \ overrightarrow {\ upsilon} \ times \ overrightarrow {\ omega} \ right \ | \]

Где \ [\ overrightarrow {\ upsilon} \] и \ [\ overrightarrow {\ omega} \] - векторы, которые из сторон

Решенные примеры

  1. Найдите площадь прямоугольного треугольника с основанием 8 см и высотой 8 см.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника = (½) × b × h квадратных единиц

⇒ A = (½) × (8 см) × (8 см)

⇒ A = (½ ) × (64 см2)

⇒ A = 32 см2

  1. Найдите площадь треугольника с тремя сторонами 10 см, 12 см и 14 см соответственно.

Решение. Здесь стороны треугольника a = 12 см, b = 11 см и c = 14 см.

У нас есть Периметр s = a + b + c / 2

= 10 + 12 + 14/2

= 36/2

= 18

Площадь треугольника = \ [\ sqrt {s (sa) ( sb) (sc)} \]

= \ [\ sqrt {18 (18-10) (18-12) (18-14)} \]

= \ [\ sqrt {18 \ times 8 \ times 6 \ times 4} \]

= \ [\ sqrt {3456} \]

= 58.78

Quiz Time

Пример 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 10 см и 14 см, а периметр равен 50 см.

Пример 2: Найдите площадь прямоугольного треугольника с основанием 8 см и высотой 5 см.

Калькулятор площади треугольника

Этот калькулятор площади треугольника может помочь в определении площади треугольника. В основной формуле площади треугольника должны быть указаны основание и высота, но что, если у нас их нет? Как мы можем рассчитать площадь треугольника только с 3 сторонами? Калькулятор площади треугольника здесь для вас, попробуйте! Если вы все еще не знаете, как найти площадь треугольника, ознакомьтесь с описанием ниже.

Формула площади треугольника

Треугольник - одна из самых основных геометрических фигур. Самая известная и простая формула, которую почти все помнят со школы:

  • area = 0,5 * b * h , где b - длина основания треугольника, а h - высота / высота треугольника.

Однако иногда бывает сложно найти высоту треугольника. В этих случаях можно использовать множество других уравнений, в зависимости от того, что известно о треугольнике:

  • Трехсторонний (SSS)

    Если вам известны длины всех сторон, воспользуйтесь формулой Герона:

    площадь = 0.25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c))

  • Две стороны и угол между ними (SAS)

    Вы можете легко вычислить площадь треугольника по тригонометрии:

    площадь = 0,5 * a * b * sin (γ)

  • Два уголка и граница между ними (ASA)

    Существуют разные версии формул площади треугольника - вы можете использовать, например, тригонометрию или закон синусов, чтобы получить ее:

    площадь = = a² * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (β + γ))

Если вы ищете другие формулы или калькуляторы, связанные с треугольником, ознакомьтесь с этим калькулятором прямоугольного треугольника, калькулятором теорем Пифагора и калькулятором закона косинусов.

Как найти площадь треугольника?

Предположим, что нам известны две стороны и угол между ними:

  1. Введите длину первой стороны . В нашем примере это может быть 9 дюймов
  2. Введите сторону второго треугольника . Выберем 5 дюймов
  3. Определите угол между двумя известными сторонами . Например, 30 градусов.
  4. Посмотрите, как наш калькулятор площади треугольника выполняет все вычисления за вас! Площадь для нашего случая равна 11.25 кв. Дюймов.

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника, вам нужна только сторона:

площадь = a² * √3 / 4

Хотя мы не делали отдельный калькулятор для площади равностороннего треугольника, вы можете быстро вычислить его в этом калькуляторе площади треугольника. Просто используйте подчасть для площади треугольника с 3 сторонами - как вы знаете, каждая сторона имеет одинаковую длину в равностороннем треугольнике.Можно вычислить эту площадь также в версии угол-сторона-угол или стороны-угол-сторона - возможно, вы помните, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусам (π / 3 рад).

Хотите больше?

Для определения площади различной формы обратитесь к другим классным калькуляторам:

Как найти площадь масштабного треугольника

Обновлено 3 ноября 2020 г.

Крис Дезил

В отличие от равностороннего треугольника с тремя равными сторонами и углами, равнобедренного треугольника с двумя равными сторонами или прямоугольного треугольника с равномерный треугольник с углом в 90 градусов имеет три стороны случайной длины и три случайных угла.Если вы хотите узнать его площадь, вам нужно сделать пару замеров. Если вы можете измерить длину одной стороны и перпендикулярное расстояние от этой стороны до противоположного угла, у вас будет достаточно информации для расчета площади. Также можно рассчитать площадь, если вам известны длины всех трех сторон. Определение значения одного из углов, а также длины двух сторон, образующих его, также позволяет рассчитать площадь.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Площадь разностороннего треугольника с основанием b и высотой h равна 1/2 bh.Если вам известны длины всех трех сторон, вы можете рассчитать площадь с помощью формулы Герона, не вычисляя высоту. Если вы знаете значение угла и длины двух сторон, которые его образуют, вы можете найти длину третьей стороны, используя закон косинусов, а затем использовать формулу Герона для вычисления площади.

Общая формула для поиска области

Рассмотрим случайный треугольник. Можно начертить вокруг него прямоугольник, который использует одну из сторон в качестве своей основы (не имеет значения, какой именно) и просто касается вершины третьего угла.Длина этого прямоугольника равна длине стороны треугольника, которая его формирует, которая называется основанием ( b ). Его ширина равна расстоянию по перпендикуляру от основания до вершины, которое называется высотой ( х ) треугольника.

Площадь только что начерченного прямоугольника равна b × h . Однако, если вы изучите линии треугольника, вы увидите, что они делят пару прямоугольников, образованных перпендикулярной линией от основания до вершины, ровно пополам.Таким образом, площадь внутри треугольника составляет ровно половину площади вне его, или 1/2 bh . Для любого треугольника:

\ text {Area} = \ frac {1} {2} \ text {base} × \ text {height}

Формула Герона

Математики знают, как вычислить площадь треугольника с тремя известными за тысячелетия сторонами сторонами. Они используют формулу Герона, названную в честь Герона Александрийского. Чтобы использовать эту формулу, вам сначала нужно найти полупериметр ( s ) треугольника, что вы делаете, складывая все три стороны и деля результат на два.Для треугольника со сторонами a , b и c , полупериметр

s = \ frac {1} {2} (a + b + c)

Как только вы Зная s , вы вычисляете площадь по следующей формуле:

\ text {Area} = \ sqrt {s (s - a) (s - b) (s - c)}

Используя закон косинусов

Рассмотрим треугольник с тремя углами A , B и C . Длина трех сторон: a , b и c .2 - 2ab \ cos (C)

Зная значение c , вы можете рассчитать площадь, используя формулу Герона.

Программа на Java для вычисления площади треугольника

Программа на Java для вычисления площади треугольника с заданными тремя сторонами или обычный метод . Вычислить площадь треугольника довольно просто, если вы знаете основы программирования на Java. Если вы были новичком в изучении программирования на Java, ознакомьтесь со следующим руководством, чтобы получить представление.

Следующая программа была написана тремя различными способами с использованием статического метода, базовой формулы, когда заданы три стороны, определяемого пользователем метода, с использованием конструктора с примерами выходных данных.

Что такое треугольник?

Треугольник имеет плоские стороны или выглядит как пирамида, имеет три стороны и три угла любой длины или угла, но в сумме до 180 градусов.

По какой формуле вычисляется площадь треугольника?

Формула различается для разных типов треугольников, но наиболее распространенная формула использовалась как

(высота X основание / 2)

Рассмотрим следующую программу в качестве примера метода - 1, там.Здесь было более 2 методов, перечисленных ниже, проверьте это. Более того, если у вас есть сомнения по поводу этого раздела, оставьте комментарий в конце поста, мы будем рады вам помочь.

5 различных способов найти область треугольника

Пример метода -1 # Чтобы найти или вычислить площадь треугольника #

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

18

19

импорт java.util.Scanner;

class AreaOfTriangle

{

public static void main (String args [])

{

Scanner s = new Scanner (System.in);

System.out.println («Введите ширину треугольника:»);

двойной b = s.nextDouble ();

System.out.println («Введите высоту треугольника:»);

двойной h = s.nextDouble ();

// Площадь = (ширина * высота) / 2

двойная площадь = (b * h) / 2;

Система.out.println ("Площадь треугольника равна:" + площадь);

}

}

Выход:

Введите ширину треугольника:

10

Введите высоту треугольника:

20

Площадь треугольника: 100,0

Онлайн-инструмент для выполнения и компиляции для расчета площади

Если вы новичок в программировании на Java, ознакомьтесь с приведенным ниже объяснением того, как работает указанный выше код Java.Если вы знали базовый уровень программирования, то пропустите его и перейдите ко второму методу образца с онлайн-исполнением и компилятором.

1)

import java.util.Scanner;

- Тип, передающий примитивные типы и строки.

2)

- В реальном мире вы часто встретите много отдельных объектов одного и того же типа.Могут существовать тысячи других велосипедов, все той же марки и модели.

Каждый велосипед был построен по одному и тому же набору чертежей и, следовательно, содержит одни и те же компоненты. В объектно-ориентированных терминах мы говорим, что ваш велосипед является экземпляром из класса объектов , известного как велосипеды.

Класс - это чертеж, на основе которого создаются отдельные объекты.

3)

public static void main (String args [])

- Основная функция, основная программа начнет считывать значения отсюда.Считайте, что он выполняет пусковую функцию основного блока.

4)

Сканер s = новый сканер (System.in);

- Сканер считывает значения из основного java.util.Scanner; или считайте, что он прочитал входные значения, тогда как system.in должен прочитать значения из вашей системы или устройства.

5)

Система.out.println ("Введите ширину Треугольника:");

- Отображает все, что вы написали.

6)

двойной b = s.nextDouble ();

-это тип данных.

7)

- Формула для определения площади треугольника.

8)

Система.out.println ("Площадь треугольника равна:" + площадь);

- Здесь будет отображаться результат.

Введите ширину треугольника:

12

Введите высоту треугольника:

15

Площадь треугольника: 90

2. Программа на Java вычисляет площадь треугольника с помощью конструктора

Вот и другой метод, использующий конструктор с образцом выходных данных.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

31

импорт java.util.Scanner;

класс AOT

{

длинный участок;

AOT (длинный b, длинный h)

{

площадь = (b * h) / 2;

}

}

class Xyz

{

public static void main (String args [])

{

Scanner s = new Scanner (System.in);

System.out.println («Введите ширину треугольника:»);

длинный b = s.nextLong ();

System.out.println («Введите высоту треугольника:»);

long h = s.nextLong ();

AOT A1 = новый AOT (b, h);

System.out.println («Площадь треугольника равна:» + A1.area);

}

}

вывод:

Введите ширину треугольника:

3

Введите высоту треугольника:

4

Площадь треугольника: 6

3.Использование пользовательского метода

Другой метод, использующий пользовательский метод или функцию.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

импорт java.util.Scanner;

class Xyz

{

public static void main (String args [])

{

Scanner s = new Scanner (System.in);

System.out.println («Введите ширину треугольника:»);

двойной b = s.nextDouble ();

System.out.println («Введите высоту треугольника:»);

двойной h = s.nextDouble ();

двойная площадь = AOT (b, h);

Система.out.println ("Площадь треугольника равна:" + площадь);

}

статический двойной AOT (double b, double h)

{

return ((b * h) / 2);

}

}

вывод:

Введите ширину треугольника:

5

Введите высоту треугольника:

3

Площадь треугольника: 7.5

4. Использование при задании трех сторон

В основном, чтобы вычислить площадь, вам нужно узнать высоту треугольника. Если вы не знаете высоту или, возможно, не знаете, как определить высоту треугольника, вы можете использовать приведенную ниже программу для вычисления площади треугольника.

Когда даны три стороны, мы использовали следующую формулу: только когда даны три стороны.

с (s-a) (s-b) (s-c)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

19

20

21

22

23

24

25

26

импорт java.util.Scanner;

class AreaOfTriangle3

{

public static void main (String args [])

{

Scanner s1 = new Scanner (System.in);

System.out.println («Введите 1-ю сторону:»);

int a = s1.nextInt ();

System.out.println («Введите 2-ю сторону:»);

int b = s1.nextInt ();

Система.out.println ("Введите 3-ю сторону:");

int c = s1.nextInt ();

если ((a + b)> c && (a + c)> b && (b + c)> a)

{

int s = (a + b + c) / 2;

двойная площадь = Math.sqrt (s * (s-a) * (s-b) * (s-c));

System.out.println («Площадь треугольника равна:» + площадь);

}

else

System.out.println («Область треугольника не выходит»);

}

}

Выход:

Введите 1-ю сторону:

10

Введите 2-ю сторону:

10

Введите 3-ю сторону:

10

Площадь треугольника: 43.30

Online Execution Tool для указанного выше кода Java:

Выше показан еще один простой метод определения площади треугольника. Здесь формула:

с (s-a) (s-b) (s-c)

Где значение S равно {(a + b + c) / 2}, а метод цикла - как «if ((a + b)> c && (a + c)> b && (b + c)> a) ”

В приведенном выше примере мы использовали тип данных «Int». Все зависит от вас, вы даже можете использовать float или double.

Почему Double, а не Int?

Каждый тип данных имеет значительную емкость памяти, например, Int может хранить в памяти до 4 байтов, тогда как «Double» может хранить значения памяти до 8 байтов.

Если у вас есть какие-либо сомнения или ошибки, оставьте ответ здесь.

Площадь треугольника - Координатная геометрия | Класс 10 по математике

Координатная геометрия определяется как изучение геометрии с использованием координатных точек на плоскости с любым размером.Используя координатную геометрию, можно найти расстояние между двумя точками, разделить линии в соотношении, найти среднюю точку линии, вычислить площадь треугольника в декартовой плоскости и т. Д.

Существуют различные методы для Найдите площадь треугольника в соответствии с заданными параметрами, такими как основание и высота треугольника, координаты вершин, длина сторон и т. д. Ниже приведены 3 таких метода определения площади треугольника.

Метод 1: Использование основания и высоты треугольника

Когда заданы основание и высота треугольника, мы будем использовать этот метод, и этот метод является самым простым из всех методов.Для данного треугольника, если высота треугольника ' h ', а основание треугольника ' b ', то площадь треугольника задается как:

Вывод формулы

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.


Шаг 2: Теперь проведите горизонтальную линию из точки A и вертикальную линию из точки C. Пусть точка будет D, где обе линии пересекаются.

Шаг 3: Фигура будет выглядеть примерно как прямоугольник i.e если мы добавим 2 одинаковых треугольника, то будет создан прямоугольник.

Шаг 4: Поскольку нам нужна площадь треугольника ABC, мы можем записать ее как (площадь прямоугольника ABCD / 2).

Шаг 5: Продолжение 4-го шага:

=> Площадь ABC = (площадь прямоугольника ABCD / 2)

=> Площадь ABC = (b × h) / 2


Следовательно, доказано площадь треугольника (1/2) × b × h

Примеры задач по формуле

Пример 1: Найдите площадь треугольника, высота и основание которого 6 см и 5 см?

Решение: В вопросе четко указано, что высота и основание:

Дано, h = 6 и b = 5

Площадь треугольника задается как = (1/2) × b × h

=> (1/2) × 6 × 5

=> 3 × 5 = 15

Следовательно, площадь данного треугольника равна 15 см 2

Пример 2: Найти высота треугольника, площадь которого 12 см 2 и основание 6 см?

Решение:

Дано, площадь = 12 и b = 6

Площадь треугольника = (1/2) × b × h

=> 12 = (1/2) × 6 × h

=> h = 12/3 = 4

Следовательно, высота данного треугольника равна 4 см.

Метод 2: Использование формулы Герона

Когда не указаны ни основание, ни высота треугольника, мы можем использовать формулу Герона, если стороны треугольника заданы.

Если a, b, c - стороны треугольника, то площадь треугольника определяется как:

Вывод формулы

Шаг 1: Как известно, полупериметр s = (a + b + c) / 2

=> 2s = a + b + c


=> 2s - 2a = a + b + c - 2a [вычитая обе стороны 2a]

=> 2 (s - a) = b + c - a ————— 1

Аналогично,

=> 2 (s - b) = c + a - b ————— 2

=> 2 (s - c) = a + b - c ————— 3

Мы будем использовать эти соотношения позже при выводе.

Шаг 2: Теперь давайте возьмем разносторонний треугольник со сторонами a, b, c

Шаг 3: Поскольку у нас нет высоты или высоты треугольника, нарисуйте перпендикуляр из A на BC в D, и основание будет 'a'.

Шаг 4: Теперь, если мы ясно видим, что образовались два треугольника: ABD и ADC . И если длина BD равна d, то длина DC будет a - d.


Шаг 5: Теперь в треугольнике ABD, по теореме Пифагора

=> h 2 = c 2 - d 2 ——————– 4

Аналогично в ∆ ADC

=> h 2 = b 2 - (a - d) 2

Из уравнения 4 подставьте значение h 2

=> c 2 - d 2 = b 2 - (a - d) 2

=> c 2 - d 2 = b 2 - (a 2 + d 2 - 2ad)

После упрощения уравнение мы получим,

d = (c 2 + a 2 + b 2 ) / 2a

Теперь подставим указанное выше значение в уравнение 4

=> h 2 = c 2 - [(c 2 + a 2 + b 2 ) / 2a] 2

=> h 2 = (c - {(c 2 + a 2 + b 2 ) / 2a}) (c + {(c 2 + a 2 + b 2 ) / 2a}), поскольку [a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)]

=> h 2 = (1 / 4a 2 ) [b 2 - (a - c) 2 ] [(a + c) 2 - b 2 ]

=> h 2 = (1 / 4a 2 ) [(b - a + c) (b + a - c) (a + c - b) (a + b + c)], потому что [a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)]

Из уравнений 1, 2 и 3 заменяется в уравнение выше

=> h 2 = (1 / 4a 2 ) [2 (s - a) × 2 (s - b) × 2 (s - c) × 2s]

=> h 2 = (4 / a 2 ) [s (s - a) (s - b) (s - c)]

=> h = (2 / a) √ [s (s - a) (s - b) (s - c)] ————– 5

Шаг 6: Из метода 1 мы знаем, если заданы основание и высота треугольника, тогда площадь треугольника равна (основание × высота) / 2.Теперь подставьте высоту в эту формулу



=> площадь ABC = (1/2) × a × (2 / a) √ [s (s - a) (s - b) (s - c)]

После упрощения

=> площадь ABC = √ [s (s - a) (s - b) (s - c)]

Таким образом, формула цапли для площади треугольника доказана.

Примеры задач по формуле Герона

Пример 1: Если стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см, найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть a = 3, b = 4 и c = 5

Сначала мы должны найти полупериметр

=> s = (a + b + c) / 2

= > s = (3 + 4 + 5) / 2

=> s = 12/2 = 6

Как мы знаем, формула цапли √ [s (s - a) (s - b) (s - c)] , подставляя в него значения

=> √ [s (s - a) (s - b) (s - c)]

=> √ [6 (6 - 3) (6 - 4) (6 - 5 )]

=> √ [6 × 3 × 2 × 1]

=> √36 = 6

Площадь треугольника 6 см 2

Пример 2: Использование формулы Цапли выведите формулу, чтобы найти площадь равностороннего треугольника со стороной

Решение:

Чтобы найти полупериметр

=> s = (a + b + c) / 2

=> s = (a + a + a) / 2

=> s = 3a / 2

Теперь используя формулу цапли

=> √ [s (s - a) (s - b) (s - c)]

=> √ [( 3a / 2) ((3a / 2) - a) ((3a / 2) - a) ((3a / 2) - a)]

=> √ [(3a / 2) (a / 2) (a / 2) (a / 2)]

=> √ (3a 4 /16)

=> √3 (a 2 ) / 4

Следовательно, площадь равностороннего треугольника составляет √3 (a 2 ) / 4

Метод 3: Использование координат вершины

В предыдущих методах мы видели разные условия, в методе 3, если заданы координаты треугольника, мы увидим, как найти площадь треугольника.

Если координаты треугольника равны (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), то площадь треугольника определяется как

Вывод формулы

Шаг 1: Нарисуйте перпендикуляры от координат P, Q и R к оси X в точках A, B и C соответственно.

Шаг 2: Теперь, если мы внимательно посмотрим на рисунок, на координатной плоскости формируются три разные трапеции, такие как PQAB, PBCR и QACR.

Шаг 3: Таким образом, площадь ∆QPR рассчитывается как

Площадь ∆PQR = [Площадь трапеции PQAB + Площадь трапеции PBCR] - [Площадь трапеции QACR] —- (1 )

Шаг 4: Теперь вычисляем площади всех трех трапеций.

Т.к. Площадь трапеции = (1/2) (сумма параллельных сторон) × (расстояние между сторонами)



Определение площади трапеции PQAB

=> Площадь трапеции PQAB = (1/2) (QA + PB) × AB

=> QA = y2

=> PB = y1

=> AB = OB - OA = x1 - x2

=> Площадь трапеции PQAB = (1/2) (y1 + y2) (x1 - x2) —- (2)

Нахождение области трапеции PBCR

=> Площадь трапеции PBCR = (1/2) (PB + CR ) × BC

=> PB = y1

=> CR = y3

=> BC = OC - OB = x3 - x1

=> Площадь трапеции PBCR = (1/2) (y1 + y3) ( x3 - x1) —- (3)

Область поиска трапеции QACR

=> Площадь трапеции QACR = (1/2) (QA + CR) × AC

=> QA = y2

=> CR = y3

=> AC = OC - OA = x3 - x2

=> Площадь трапеции QACR = (1/2) ( y2 + y3) (x3 - x2) —- (4)

Шаг 5: Подставляя (2), (3) и (4) в (1),

=> Площадь ∆PQR = ( 1/2) [(y1 + y2) (x1 - x2) + (y1 + y3) (x3 - x1) - (y2 + y3) (x3 - x2)]

=> Площадь ∆PQR = (1 / 2) | [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)] |

Следовательно, это формула для определения площади треугольника, если указаны координаты.

Примечание: Обратите внимание, что есть модификация, которая указывает, что если мы получили отрицательное значение, мы должны рассматривать только числовое значение, так как площадь не может быть отрицательной.

Примеры задач по формуле

Пример 1: Какова площадь ∆ABC, вершинами которой являются A (1, 2), B (4, 2) и C (3, 5)?

Решение:

Во-первых, давайте нарисуем диаграмму для лучшего понимания.

Теперь сравниваем заданные координаты с (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3).

Пусть, (x1, y1) = (1, 2)

=> (x2, y2) = (4, 2)


=> (x3, y3) = (3, 5)

Теперь нам нужно подставить значения в (1/2) [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]

=> (1/2) [1 ( 2–5) + 4 (5–2) + 3 (2–2)]

=> (1/2) [(- 3) + 12 + 0]

=> (1/2) [9] = 4,5

Следовательно, площадь треугольника составляет 4,5 кв. Единицы

Пример 2: Каково значение x1, площадь треугольника которого равна 1 координат (x1, 1), (2, 3) , а (4, 5)?

Решение:

Во-первых, давайте нарисуем диаграмму для лучшего понимания.

В этой задаче мы должны найти значение 'x1', которое является координатой X точки A.

Дано, что площадь треугольника равна 1.

Теперь сравнивая заданные координаты с ( x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3).

Пусть, (x1, y1) = (x1, 1)

=> (x2, y2) = (2, 3)

=> (x3, y3) = (4, 5)

Сейчас мы должны подставить значения в (1/2) [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]

=> (1/2) [x1 (3 - 5) + 2 (5 - 1) + 4 (1-3)] = 1

=> (1/2) [x1 (- 2) + 8 + -8] = 1

=> -x1 = 1

=> x1 = ± 1 квадратная единица.

Следовательно, значение x1 может быть как -1 , так и 1

Внимание, читатель! Не прекращайте учиться сейчас.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *