Y 3 построить график функции: Mathway | Популярные задачи

  Для прямой y = mx + b пусть x=0. Тогда y=m*0+b=b и y = b является точкой пересечения с осью y. Поскольку m — наклон, а b — точка пересечения с осью y, мы приходим к следующему определению.

  y = mx + b называется формой наклона и пересечения для уравнения прямой; m — наклон, а b — точка пересечения с осью y.

  Найдите наклон (м) и точку пересечения по оси y b каждой из следующих линий, переписав уравнение в форме наклона и точки пересечения. Затем нарисуйте линию.

1. 2x+3y = 3

3y = -2x+3

y = (-2x+3)/3

y =-(2/3x) +1

M =-(2/3 )

    y-отрезок = 1.

  2. x-2y=6

x = 6+2y

x-6 = 2y

(x-6)/2 = Y

1/2x-3 = Y

M = 1/2 B = -3

3 . -4x+2y = 7

2y = 4x+7

y = (4x+7)/2

y = 2x+7/2

m = 2 b = 7/2

, если а линия должна иметь определенный наклон и проходить через определенную точку, уравнение, представляющее линию, можно найти, как показано на следующем рисунке.

  Предположим, что линия должна иметь наклон § и проходить через точку (1, 5). Если (x, y) представляет точку на линии, то наклон, рассчитанный с использованием (1, 5) и (x, y), должен составлять 2/3. то есть

  (y-5)/(x-1)=2/3

  В другой форме

  y-5=2/3(x-1)

фиксированная точка (x_1,y_1) может быть представлена ​​в виде строка
; m — наклон, а (x_1,y_1) — фиксированная точка.

Примеры

   1. Найдите уравнение прямой, имеющей наклон m=3/4 и проходящей через точку (4,5).

  y-y_1=m(x-x_1)

  y-5=3/4(x-4)  (уравнение в форме точка-наклон)

или y-5=3/4x-3

y=3/4x+2  (уравнение в форме наклона-отрезка)

или 4y=3x+8

  -3x+4y=8  (уравнение в стандартной форме, Ax+By=C)

  2 . Найдите уравнение прямой, проходящей через две точки (- 1, -3) и (5, -2).

  m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(-2-(-3))/(5-(-1))=(-2+3)/(5+1)=1/ 6Найдите m, используя формулу для наклона .

  Используя форму точка-наклон (любая точка (-1, -3 или (5, -2) даст тот же результат)

  y-(-2)=1/6(x-5)

  y+ 2=1/6(x-5)  (уравнение в форме точка-наклон)

или y+2=1/6x-5/6

  y=1/6x-17/6  (уравнение в наклон-пересечение)

или 6y=x-17

  17=x-6y  (уравнение в стандартной форме, Ax+By=C)

  Любая из трех основных форм уравнения прямой допустима В любом случае, если ответ дан в форме, отличной от вашей, вы должны быть в состоянии признать уравнения эквивалентными. 0034

Давайте посмотрим, как наш математический решатель создает графики прямых линий и посмотрим на различные наклоны линий. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу

8.4  Горизонтальные и вертикальные линии

  Рассмотрите уравнение y = 3. Если x = 5, чему равно y? Если х = -2, чему равно у? Если х=0, чему равно у? В каждом случае y = 3. Все точки (5, 3), (-2, 3) и (0,3) удовлетворяют условию y = 3. x может иметь любое значение, но y должен быть x. Чтобы подчеркнуть этот факт, уравнение y = 3 можно записать как 0x + y = 3 или y = 0x + 3. График уравнения y = 3 представляет собой горизонтальную линию, и каждая координата y равна 3 (см. рис. 8.12). .)

   Рисунок 8.12

  Каков наклон линии y = 3? Записав уравнение в форме y = 0x + 3, наклон равен 0. Кроме того, по формуле для наклона, используя (-2, 3) и (5, 3), наклон действительно равен 0:

  slope = m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(3-3)/(5-(2))=0/7=0

  Каковы графики уравнений y = -2 и y = 3 /2? Обе являются горизонтальными линиями с наклоном 0. На самом деле любое уравнение вида y = b (или y = 0x + b) является горизонтальной линией с наклоном 0 (см. рис. 8.13). Теперь рассмотрим уравнение x = 2. Если y = 4, чему равно x? Если у = -3, что такое х? Если у = 0, то чему равен х? В каждом случае x = 2. Все точки (2, 4), (2, -3) и (2, 0) удовлетворяют условию x = 2. y может иметь любое значение, но x должно быть равно 2. Мы можно записать x = 2 в виде 0y + x = 2 или x = 0y + 2. График уравнения x = 2 представляет собой вертикальную линию, и каждая координата x равна 2 (см. рис. 8.14).

  Каков наклон линии x = 2? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся формулой наклона и двумя точками (2, 4) и (2, -3):

  slope = m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(4-( -3))/(2-2)=7/0  undefined

  Наклон не определен, потому что 0 не может быть знаменателем. Это верно для любой вертикальной линии. Графики уравнений вида x = a представляют собой вертикальные линии без наклона (или с неопределенным наклоном). Обратите внимание на то различие, что горизонтальные линии ((y = b)) имеют нулевой наклон, а вертикальные линии (x = a)) не имеют наклона. И уравнения для горизонтальных линий ((y = b)) и уравнения для вертикальных линий (x=a)) являются частными случаями общего линейного уравнения в стандартной форме Ax + By = C, обсуждаемого в разделе 8.2.

1. 2y = 5

y = 5/2

M = 0

2. x+6 = 0

x = -6

NO Slope

3. x+y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y = y. 0

    y=-x

    m=-1

8,5  Расстояние между двумя точками

  Каково расстояние между двумя точками P_1(2, 3) и P_2(6, 3)? Каково расстояние между точками P_3 (-1, -4) и P_4 (-1, 1)? (См. рис. 8.15.)

  Это верно, так как точки P_1 и P_2 лежат на одной горизонтальной линии и имеют одинаковую координату y. Вы нашли

  расстояние (от P_3 до  P_4)=1-(-4)=5?

  
Это верно, так как точки P_3 и P_4 лежат на одной вертикальной линии и имеют одинаковую координату x.
  Для расстояния от P_1 до P_2 почему бы не взять

  расстояние (от P_1 до P_2) = 2-6=-4?

  Причина в том, что термин расстояние означает положительное число. Как можно гарантировать положительное число после вычитания координат? Ответ состоит в том, чтобы взять абсолютное значение разности координат. Расстояние между двумя точками обозначается d.

  Для P_1(x_1,y_1) и P_2(x_2,y_1) на горизонтальной линии,

для P_1 (x_1, Y_1) и P_2 (x_1, Y_2) на вертикальной линии,

Примеры

1. Найдите расстояние, D, между двумя точками (5, 7). (-3, 7). Поскольку точки лежат на горизонтальной линии (они имеют одинаковую координату y),

или 

  2. Найдите расстояние d между двумя точками (2, 8) и 2,-(1/2 ). Поскольку точки лежат на вертикальной линии (они имеют одинаковую x:координату),

или  

  Что делать, если точки не лежат на вертикальной или горизонтальной линии? Действительно, это более общий случай. Нам нужна теорема Пифагора. Сформулированная здесь теорема Пифагора будет более подробно обсуждаться в разделе 10.6.

  Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух сторон.

   Чтобы найти расстояние между двумя точками P_1(-1, 2) и P_2(5, 4), примените теорему Пифагора и вычислите длину гипотенузы, как показано на рис. 8.16. 92)

    =корень(1/16+1)

    =корень(1/16+16/16)

    =корень(17/16)

. 2, 1), B(3,4) и C(1, -4) — равнобедренный треугольник. У равнобедренного треугольника две равные стороны.

Решение:

  Длина отрезка – это расстояние между точками A и B. Обозначим это расстояние через  . Таким образом, чтобы показать, что треугольник ABC равнобедренный, нам нужно показать, что  =  или что = . Если ни одно из этих соотношений не верно, то треугольник не имеет двух равных сторон и не является равнобедренным. 92)

= корень (9+25) = корень (34)

, так как = треугольник — это изобранные 2. 2 Линейные функции и их графики

Цели обучения

1. Изобразить линию, нанеся точки.
2. Определение наклона линии.
3. Определите и начертите линейную функцию, используя наклон и y — точку пересечения.
4. Интерпретировать решения линейных уравнений и неравенств графически.

Обзор графических линий

Напомним, что набор всех решений линейного уравнения может быть представлен на прямоугольной координатной плоскости с помощью прямой линии, проходящей как минимум через две точки; эта линия называется ее графиком. Например, чтобы нарисовать линейное уравнение 8x+4y=12, мы сначала решим y .

8x+4y = 12 вычитание 8x с обеих сторон.4y = −8x+12 Разделите обе стороны на 4.y = −8x+124 упростить.y = −8×4+124y = −2x+3

В этой форме мы видим, что y зависит от x ; другими словами, 92 107 x 92 108 — это независимая переменная. Переменная, определяющая значения других переменных. Обычно мы думаем о x -значение упорядоченной пары ( x , y ) как о независимой переменной. а y — зависимая переменная. Переменная, значение которой определяется значением независимой переменной. Обычно мы думаем о у -значение упорядоченной пары ( x , y ) в качестве зависимой переменной. Выберите не менее двух x -значений и найдите соответствующие y -значения. Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.

Нанесите точки и проведите линию через точки с помощью линейки. Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график расширяется до бесконечности.

Полученная линия представляет все решения уравнения 8x+4y=12, которых бесконечно много. Вышеприведенный процесс описывает метод построения графика, известный как построение точек. Способ построения графика с использованием конечного числа репрезентативных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.

Крутизна любого уклона может быть измерена как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению. Например, наклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.

В математике мы называем наклон линии наклоном. Наклон линии измеряется как отношение изменения по вертикали к изменению по горизонтали, что часто называют «подъемом относительно пробега». Обозначается буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. а горизонтальное изменение называется пробегом. Горизонтальное изменение между любыми двумя точками на линии. Имея любые две точки (x1, y1) и (x2, y2), мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.

Это приводит нас к формуле наклонаНаклон линии, проходящей через точки (x1,y1) и (x2,y2), определяется формулой m=y2−y1x2−x1.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон задан:

наклон M = Riserun = y2 -y1x2 -x1 = ΔyΔx ← Изменение y ← Изменение в x

Греческая буквенная дельта (δ) часто используется для описания x

. изменение количества. Поэтому наклон иногда описывают с помощью обозначения ΔyΔx, которое представляет собой изменение 92 107 y 92 108, деленное на изменение х .

Пример 1

Найдите наклон линии, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).

Решение:

Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислить разность y -значений, деленную на разность x -значений. Позаботьтесь о согласованности при вычитании координат: 2−(−3)=1+52+3=65

Неважно, какую точку вы считаете первой, а какую второй. Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключением точек:

 (x1, y1)      (x2, y2)(2,1)        (−3,−5)

m=y2−y1x2−x1=−5−1−3−2=−6−03=65

Ответ: m=65

Убедитесь, что наклон равен 65, нарисовав линию, описанную в предыдущем примере.

Конечно, графа необязательна; Прелесть формулы наклона в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.

Пример 2

Найдите y -значение, для которого наклон линии, проходящей через (6,−3) и (−9,y) равно −23.

Решение:

Подставьте данную информацию в формулу наклона.

наклон (x1, y1) (x2, y2) m = −23 (6, −3) (−9, y)

m = y2 -y1x2 -x1–23 = y — ( — 3) −9- 6−23=y+3 −15

После подстановки данной информации остается только одна переменная: y . Решать.

−15(−23)=−15(−y+3 15)10=y+37=y

Ответ: y = 7

Существует четыре геометрических случая для значения наклона.

Читая график слева направо, линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз имеют отрицательный наклон. Два других случая включают горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k является вещественным числом, то мы имеем

y=kHorizontal Linex=kVertical Line

Например, если изобразить y=2, мы получим горизонтальную линию, а если изобразить x=−4, то получим вертикальную линия.

Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон, используя формулу наклона.

Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения и . Следовательно, подъем равен нулю и, следовательно, наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения 92 107 x 92 108. Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному наклону. В общем,

Линейные функции

Для любого линейного уравнения в стандартной форме Любую невертикальную линию можно записать в стандартной форме formЛюбая невертикальная линия может быть записана в виде y=mx+b, где м — уклон и (0, b ) — y -пересечение, y=mx+b. Например,

3x-4y = 8 ← Стандартная форма-4y = −3x+8y = −3x+8–4y = −3x-4+8–4y = 34x-2 ← Форма с наклоном

, где x = 0, мы видим, что y=−2 и, следовательно, (0,−2) является упорядоченным парным решением. Это точка, в которой график пересекает ось y , и называется точкой пересечения y . Точка (или точки), в которой график пересекает ось y , выражается упорядоченной парой2107 y ).. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство для быстрого построения линии. Например, чтобы построить график y=34x−2, начните с точки пересечения y (0,−2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки для построения графика линии следующим образом:

Проверка вертикальной линии показывает, что этот график представляет собой функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.

В общем, линейная функция Любая функция, которую можно записать в виде f(x)=mx+b, — это функция, которую можно записать в виде f(x)=mx+bЛинейная функция где наклон m и b представляют любые действительные числа. Поскольку y=f(x), мы можем использовать y и f(x) взаимозаменяемо, а упорядоченные парные решения на графе (x,y) можно записать в виде (x,f(x)).

(x,y)       ⇔       (x,f(x))

Мы знаем, что любой y -перехват будет иметь x -значение, равное нулю. Следовательно, y -отрезок может быть выражен как упорядоченная пара (0,f(0)). Для линейных функций

f(0)=m(0)+b=b

Следовательно, y -пересечение любой линейной функции равно (0,b). Чтобы найти x -interceptТочка (или точки), где график пересекает ось x , выраженная в виде упорядоченной пары ( x , 0), точка, где функция пересекает ось x , мы находим x , где y=0 или f(x)=0.

Пример 3

Нарисуйте график линейной функции f(x)=−53x+6 и обозначьте точку пересечения x .

Решение:

Из функции мы видим, что f(0)=6 (или b=6) и, следовательно, г — перехват (0, 6). Также мы можем видеть, что уклон m=-53=-53=подъемник. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц вниз и на 3 единицы вправо. Проведите линию, проходящую через эти две точки, с помощью линейки.

Чтобы определить точку пересечения x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определите 92 107 x 92 108, где f(x)=0.

f(x)=−53x+60=−53x+653x=6(35)53x=(35)6x=185=335

Следовательно, x — точка пересечения (185,0). Общее правило заключается в том, чтобы маркировать все важные точки, которые невозможно четко прочитать на графике.

Ответ:

Пример 4

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Решение:

Начнем с чтения наклона по графику. В этом случае даны две точки, и мы можем видеть, что

m=riserun=−23

Кроме того, точка пересечения y равна (0, 3) и, следовательно, b=3. Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.

g(x)=mx+b↓↓g(x)=−23x+3

Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g(x)=0 и находим x .

g(x)=-23x+30=-23x+323x=3(32)23x=(32)3x=92=412

Ответ: g(x)=-23x+3; x -перехват: (92,0)

Далее рассмотрим горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет собой функцию, а вертикальная — нет.

Для любой горизонтальной линии проверка вертикальной линии показывает, что каждые x -значение в домене соответствует ровно одному y -значению в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест на вертикальную линию; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы домена одинаковы. Это нарушает требование, согласно которому функции должны ассоциировать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене. Подытожим следующим образом:

Горизонтальную линию часто называют постоянная функция . Для любого действительного числа c ,

f(x)=cConstant Function

Пример 5

Постройте график постоянной функции g(x)=−2 и укажите область определения и диапазон.

Решение:

Здесь нам задана постоянная функция, эквивалентная y=−2. Это определяет горизонтальную линию через (0,−2).

Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}

Попробуйте! Нарисуйте график f(x)=3x−2 и обозначьте точку пересечения x .

Ответ:

(щелкните, чтобы посмотреть видео)

Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация

Мы можем использовать идеи, изложенные в этом разделе, для развития геометрического понимания того, что значит решать уравнения вида f(x )=g(x), где f и g — линейные функции. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x+1=3 следующим образом:

12x+1=312x=2(2)12x=(2)2x=4

Решение этого уравнения x = 4. Геометрически это x -значение пересечения двух графиков f(x)=12x+1 и g(x)=3. Идея состоит в том, чтобы построить графики линейных функций по обе стороны уравнения и определить, где графики совпадают.

Пример 6

Постройте график  f(x)=12x+1 и g(x)=3 на одном наборе осей и определите, где f(x)=g(x).

Решение:

Здесь f — линейная функция с наклоном 12 и y — точкой пересечения (0,1). Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Постройте график обеих этих функций на одном наборе осей.

Из графика видно, что f(x)=g(x), где x=4. Другими словами, 12x+1=3, где x=4.

Ответ: x = 4

Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию для решения неравенств. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x+1≥3, используя алгебру, следующим образом:

12x+1≥312x≥2(2)12x≥(2)2x≥4

числа больше или равные 4. Геометрически это x -значений, для которых график f(x)=12x+1 лежит над графиком g(x)=3.

Пример 7

Постройте график f(x)=12x+1 и g(x)=3 на одном наборе осей и определите, где f(x)≥g(x).

Решение:

На графике это заштриховано.

Из графика видно, что f(x)≥g(x) или 12x+1≥3, где x≥4.

Ответ: x -значения, которые решают неравенство, в интервальных обозначениях равны [4,∞).

Ключевые выводы

• Мы можем рисовать линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие y -значения, а затем постройте результирующие упорядоченные парные решения. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
• Имея любые две точки на прямой, мы можем вычислить уклон алгебраически, используя формулу наклона m=riserun=y2−y1x2−x1=ΔyΔx.
• Используйте форму пересечения наклона y=mx+b, чтобы быстро нарисовать график линии. От точки пересечения и (0,b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
• Линейные функции имеют вид f(x)=mx+b, где наклон m и b — действительные числа. Чтобы найти точку пересечения x , если она существует, установите f(x)=0 и найдите x .
• Поскольку y=f(x), мы можем использовать y и f(x) взаимозаменяемо. Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x,f(x)).

Упражнения по теме

Часть A. Построение линий по точкам

Найдите решения для пяти упорядоченных пар и постройте график.

1. у=3x−6

2. у=2x−4

3. у=-5х+15

4. у=-3х+18

5. у=12х+8

6. у=23х+2

7. у=-35х+1

8. у=-32х+4

9. у=14х

10. г=-25x

11. у=10

12. х=-1

13. 6х+3у=18

14. 8x−2y=16

15. −2x+4y=8

16. -x+3y=18

17. 12x−15y=1

18. 16x−23y=2

19. х+у=0

20. -х+у=0

Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

21. (-2,-4) и (1,-1)

22. (−3,0) и (3,−4)

23. (−52,14) и (−12,54)

24. (-4,-3) и (-2,-3)

25. (9,−5) и (9,−6)

26. (12,−1) и (−1,−32)

Найдите значение y , для которого наклон линии, проходящей через заданные точки, имеет заданный наклон.

27. м=32; (6,10), (-4,г)

28. м=-13; (−6,4), (9,у)

29. м=-4; (−2,5), (−1,y)

30. м=3; (1,−2), (−2,y)

31. м=15; (1,у), (6,15)

32. м=-34; (−1,y), (−4,5)

По графику определить наклон.

Часть B: Линейные функции

Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.

41. 6x−3y=18

42. 8x−2y=8

43. -x+12y=6

44. −2x−6y=8

45. х-2у=5

46. -x+3y=1

47. 2х+3у=2

48. 5x−4y=2

49. 9х-4у=30

50. −8x+3y=28

51. 13x+12y=−3

52. 14x−13y=3

53. 79x−23y=143

54. 18x−16y=−32

55. −16x+29y=43

56. 215x+16y=43

57. у=-14х+12

58. у=38х-32

59. у=23х+12

60. у=45х+1

Нарисуйте график линейной функции и обозначьте точку пересечения размером x .

61. f(x)=−5x+15

62. f(x)=−2x+6

63. f(x)=−x−2

64. ф(х)=х+3

65. f(x)=13x+2

66. f(x)=52x+10

67. f(x)=53x+2

68. f(x)=25x−3

69. f(x)=−56x+2

70. f(x)=−43x+3

71. f(x)=2x

72. f(x)=3

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств

Постройте графики функций f и g на одном наборе осей и определите, где f(x)=g(x). Подтвердите свой ответ алгебраически.

81. f(x)=12x−3, g(x)=1

82. f(x)=13x+2, g(x)=−1

83. f(x)=3x−2, g(x)=−5

84. f(x)=x+2, g(x)=−3

85. f(x)=−23x+4, g(x)=2

86. f(x)=−52x+6, g(x)=1

87. f(x)=3x−2, g(x)=−2x+3

88. f(x)=−x+6, g(x)=x+2

89. f(x)=-13x, g(x)=-23x+1

90. f(x)=23x−1, g(x)=−43x−3

Начертите графики функций f и g на одном наборе осей и определите, где f(x)≥g(x). Подтвердите свой ответ алгебраически.

91. f(x)=3x+7, g(x)=1

92. f(x)=5x−3, g(x)=2

93. f(x)=23x−3, g(x)=−3

94. f(x)=34x+2, g(x)=−1

95. f(x)=−x+1, g(x)=−3

96. f(x)=−4x+4, g(x)=8

97. f(x)=x−2, g(x)=−x+4

98. f(x)=4x−5, g(x)=x+1

Постройте графики функций f и g на одной и той же оси и определите, где f(x) Подтвердите свой ответ алгебраически.

99. f(x)=x+5, g(x)=−1

100. f(x)=3x−3, g(x)=6

101. f(x)=-45x, g(x)=-8

102. f(x)=-32x+6, g(x)=-3

103. f(x)=14x+1, g(x)=0

104. f(x)=35x−6, g(x)=0

105. f(x)=13x+2, g(x)=-13x

106. f(x)=32x+3, g(x)=-32x-3

Часть D: Дискуссионная доска

107. Все ли линейные функции имеют и -пересечения? Все ли линейные функции имеют x -перехватов? Объяснять.

108. Может ли функция иметь более одного y -перехвата? Объяснять.

109. Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?

Ответы

21. 1

23. 12

25. Не определено

27. г=-5

29. г=1

31. г=-45

33. м=13

35. м=−73

37. м=43

39. м=0

73. f(x)=x+1; (−1,0)

75. f(x)=-32x; (0,0)

77. f(x)=-9; нет

79. f(x)=13x+1; (−3,0)

81. х=8

83. х=-1

85. х=3

87. х=1

89. х=3

91. [−2,∞)

93. [0,∞)

95. (-∞,4]

97. [3,∞)

99. (-∞,-6)

101. (10,∞)

103. (-∞,-4)

105. (-∞,-3)

107. Ответ может отличаться

109. Ответ может отличаться

Графики линейных функций | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• График линейной функции по точкам
• График линейной функции с использованием наклона и точки пересечения с координатой Y
• График линейной функции с использованием преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Существует три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в построении точек, а затем проведении линии через точки. Второй — с помощью г- перехват и наклон. Третий — применение преобразований к функции тождества [latex]f\left(x\right)=x[/latex].

График функции путем построения точек

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию при этих входных значениях и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем случае мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [латекс]f\left(x\right)=2x[/latex], мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Вычисление функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое изображается точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4). Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не лежат на одной линии, мы знаем, что допустили ошибку.

Как: Для линейной функции построить график по точкам.

1. Выберите не менее двух входных значений.
2. Оценить функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для идентификации пар координат.
4. Нанесите пары координат на сетку.
5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5[/латекс] по точкам.

Показать решение

Попробуйте

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x+6[/latex] по точкам.

Показать решение

Построение графика линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графика линейной функции заключается в использовании конкретных характеристик функции, а не точек на графике. Первой характеристикой является точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти у- перехват , мы можем установить [latex]x=0[/latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов. Другой способ представить наклон — это разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или пробег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с г- перехват и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1[/latex]

Наклон равен [latex]\frac{1}{2}[/latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклонен вверх слева направо. Точка пересечения y- представляет собой точку на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика, нанеся точку (0, 1). Мы знаем, что наклон увеличивается по сравнению с пробегом, [латекс] м = \ гидроразрыва {\ текст {подъем}} {\ текст {прогон}} [/латекс]. В нашем примере у нас есть [latex]m=\frac{1}{2}[/latex], что означает, что подъем равен 1, а пробег равен 2. Начиная с нашего y -intercept (0, 1), мы можем подняться на 1, а затем подняться на 2 или подняться на 2, а затем подняться на 1. Мы повторяем, пока у нас не будет несколько точек, а затем мы проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическое представление линейной функции график и указывает точку (0,

b ), в которой график пересекает ось y .

м  является наклоном линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек. Напомним формулу наклона:

[латекс] м = \ frac {\ text {изменение на выходе (рост)}} {\ text {изменение на входе (прогон)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}[/latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют и -перехваты?

Да. Все линейные функции пересекают ось y и, следовательно, имеют точки пересечения с осью y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения с осью y. Имейте в виду, что вертикальная линия — это единственная линия, которая не является функцией.)

Как сделать: Учитывая уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

и и наклон.

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y-.
2. Определите уклон.
3. Нанесите точку пересечения y-.
4. Используйте [latex]\frac{\text{rise}}{\text{run}}[/latex], чтобы определить как минимум еще две точки на линии.
5. Нарисуйте линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5[/latex] с использованием y — перехват и наклон.

Показать решение

Попробуйте

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в Примере: построение графика с использованием точки пересечения 92 107 и 92 108 и наклона, которая имеет отрицательное значение 92 107 x 92 108.

Показать решение

Построение графика линейной функции с использованием преобразований

Другим вариантом построения графика является использование преобразований функции тождества [латекс]f\left(x\right)=x[/latex]. Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функцию также можно преобразовать с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс]f\влево(х\вправо)=mx[/латекс] m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции тождества. Когда м  отрицательное значение, график также имеет вертикальное отражение. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] на 92 107 m 92 108  растягивает график f в 92 107 m 92 108 единиц, если 92 107 m  > 1, и сжимает график f  на коэффициент 92 107 м  единиц, если 0 < м < 1. Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче наклон.

Вертикальные растяжения и сжатия и отражения от функции [латекс]f\left(x\right)=x[/latex].

Вертикальный сдвиг

В [latex]f\left(x\right)=mx+b[/latex] b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линия. Обратите внимание, что добавление значения b  к уравнению [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] сдвигает график f всего на b  единиц вверх, если b положительно и | б | единицы вниз, если b отрицательное значение.

На этом графике показаны вертикальные сдвиги функции [латекс]f\влево(х\вправо)=х[/латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ взглянуть на определение различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построения графика функции такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Как сделать: Имея уравнение линейной функции, используйте преобразования для построения графика линейной функции в виде [латекс]f\влево(х\вправо)=mx+b[/латекс].

1. График [латекс]f\влево(х\вправо)=х[/латекс].
2. Растянуть или сжать график по вертикали с коэффициентом m .
3. Сдвиг графика вверх или вниз b  ед.

Пример: построение графика с использованием преобразований

Построение графика [латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3[/latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Попробуйте

График [латекс]f\влево(х\вправо)=4+2x[/латекс], используя преобразования.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графика с использованием преобразований. Можем ли мы нарисовать график, поменяв порядок преобразований на обратный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на данном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть вход будет 2.

[латекс]\begin{array}{l}f\text{(2)}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{(2)}-\text{ 3}\hfill \\ =\text{1}-\text{3}\hfill \\ =-\text{2}\hfill \end{array}[/latex]

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

y = mx + b

 

y = mx + b это форма пересечения наклона для записи уравнения прямой линии. В уравнении «y = mx + b» «b» — это точка, в которой линия пересекает «ось y», а «m» обозначает наклон линии. Наклон или градиент линии описывает, насколько крута линия. Он может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Когда стандартная форма линейного уравнения имеет форму Ax + By  = C, где «x», «y» и «C» являются переменными, а «A», «B» являются константами, форма пересечения наклона представляет собой наиболее предпочтительный способ выражения прямой линии из-за его простоты, так как очень легко найти наклон и точку пересечения по оси y из данного уравнения.

1.	Значение y = mx + b
2.	Как найти y = mx + b?
3.	Написание уравнения в форме пересечения наклона
4.	Решенные примеры на y mx b
5.	Практические вопросы по y mx b
6.	Часто задаваемые вопросы по y mx b

Значение у = mx + b

y = mx + b – форма прямой линии, пересекающая наклон. В уравнении y = mx + b для прямой линии m называется наклоном линии, а b — точкой пересечения линии по оси y. y = mx+b, где

y ⇒ насколько далеко вверх или вниз проходит линия,

x ⇒ как далеко проходит линия,

b ⇒ значение y при x = 0 и

34 м ⇒ насколько крута линия.

Определяется как m = (разница в координатах y)/ (разница в координатах x). Обратите внимание, что разница в координатах Y обозначается как подъем или спад, а разница в координатах X обозначается как пробег.

Как найти y = mx + b?

y = mx + b — это формула, используемая для нахождения уравнения прямой линии, когда мы знаем наклон (m) и точку пересечения с осью y (b) прямой. Для определения m применим формулу, основанную на расчетах. Давайте выведем эту формулу, используя уравнение для наклона линии. Давайте рассмотрим линию, наклон которой равен «m», а точка пересечения с осью y равна «b». Пусть (x,y) — любая другая случайная точка на прямой, координаты которой неизвестны. Получаем график следующим образом.

Мы знаем, что уравнение для наклона линии в форме пересечения наклона имеет вид y = mx+b

Переписывая это, мы получаем m = (y-b) / x

Таким образом, формула для нахождения m = изменение y/ изменение x

Выведем формулу для нахождения значения наклона, если две точки \((x_{1},y_{1})\) и \((x_{2 },y_{2})\) на прямой известны. Тогда мы имеем \(y_{1} = mx_{1} + b\) и \(y_{2} = mx_{2} + b\)

Мы знаем, что наклон = изменение y/ изменение x

Подставляя значения y ₁ и y ₂ , мы получаем \[\begin{align}\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}& = \dfrac{(mx_{2}+b) — (mx_{1}+b)}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=\dfrac{mx_{2}-mx_{1 }}{x_{2}-x_{1}}\\\\&= \dfrac{m(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\\\ &=m\end{align}\]

Таким образом, мы находим, что наклон (м) рассчитывается как (изменение y)/ (изменение x)

m = (разница в координатах y)/(разница в координаты x)

Чтобы найти точку пересечения с осью y или b, подставьте значение x вместо 0 в уравнение прямой линии, которое имеет вид Ax + By + C = 0. Рассмотрим уравнение прямой линии: 3x + 5y = 10. Чтобы найти точку пересечения с осью y, замените значение «x» на 0 в уравнении и найдите «y». Подставив «x = 0» в уравнение 3x + 5y = 10, мы получим 3 (0) + 5y = 10
⇒ 5y = 10 и, следовательно, y = 10/5 ⇒ y = 2 или ‘b’ = 2.

Написание уравнения в форме пересечения наклона

Если заданы наклон ‘m’ и точка пересечения с осью ‘b’, то уравнение прямой может быть записано в виде ‘y = mx +b’. Например, если наклон (m) для линии равен 2, а точка пересечения с осью y равна -1, то уравнение прямой линии записывается как y = 2x – 1. Значение наклона может быть положительным или отрицательным. . Как мы обсуждали в предыдущих разделах, в y = mx + b «m» представляет наклон уравнения. Чтобы найти наклон линии, учитывая ее уравнение, мы должны преобразовать его члены в форму пересечения наклона y = mx + b. Здесь «m» обозначает наклон, а «b» — точку пересечения уравнения по оси Y.

Рассмотрим уравнение 2x + 3y = 6. Требуется найти наклон и точку пересечения с осью y из уравнения, которое имеет вид Ax + By = C

Перепишем стандартную форму уравнения линия к форме пересечения наклона y = mx + b.

2x + 3y = 6
3у = 2х + 6
y = (-2/3) x + 2

Сравнивая окончательное уравнение с y = mx + b, мы получаем, что наклон уравнения равен m = -2/3, а пересечение y уравнения равно, b = 2 или (0,2).

Важные примечания:

• Уравнение формы наклона и точки пересечения линии, наклон которой равен m, а точка пересечения по оси y равна b или (0,b) равна y = mx + b.
• Уравнение горизонтальной линии, проходящей через (a,b), имеет форму y = b.
• Уравнение вертикальной линии, проходящей через (a,b), имеет форму x = a.
• м рассчитывается по формуле подъем над пробегом или (изменение по у)/(изменение по х)

Темы, связанные с y = mx + b 

Ознакомьтесь с некоторыми интересными статьями, связанными с y = mx + b.

• Формула линейного уравнения
• Уравнение прямой
• Линейные уравнения
• Линейные уравнения и полуплоскости
• Формула точки-наклона
• Двухточечная форма

 

1. Пример 1: Найдите уравнение прямой, график которой содержит точки (1,3) и (3,7)

   Решение:
   Требуемое уравнение прямой: y = mx + b
   Используя формулу для наклона, m = изменение y / изменение x = \(\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) 90 152 = (7-3)/(3-1) = 4/2 ⇒ m = 2
   Чтобы найти y-пересечение b, мы рассмотрим любую из координат.
   Воспользуемся (1,3) и m = 2 и подставим значения в уравнение \(y_{1} = mx_{1} + b\)
   3 = 2(1) + b ⇒ b = 3 — 2 = 1
   Применяя m = 2 и b = 1 в уравнении прямой (y = mx + b), получаем y = 2x + 1 Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = 2x + 1

2. Пример 2: Найдите форму пересечения наклона линии с наклоном -2, которая проходит через точку (-1,4).

   Решение :
   Мы знаем, что форма пересечения наклона линии есть y = mx + b.
   Дано, что наклон (m) = -2, а координаты, через которые проходит линия, равны (-1,4). Подставляя данные значения в уравнение формы пересечения наклона, мы получаем 4 = (-2) (-1) + b.
   4 = 2 + b b = 4 — 2 = 2.
   Форма пересечения наклона линии: y = — 2 x + 2,

   .

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.0034

 

Часто задаваемые вопросы по y mx b

Что такое y = mx + b?

y = mx + b является представлением уравнения прямой линии. Это называется формой пересечения наклона. «m» относится к наклону линии, а «b» относится к «y-перехвату» линии.

Как найти наклон линии?

Для двух координат (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) наклон линии представляет собой отношение разности между разницей между координатами y и разностью между координатами x, также известный как подъем над пробегом.

No related posts.