Площадь треугольника средняя линия: Средняя линия треугольника и площадь

Содержание

Как найти площадь через среднюю линию треугольника

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Содержание

Средняя линия треугольника [ править | править код ]

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника [1] .

Свойства [ править | править код ]

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки [ править | править код ]

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства [ править | править код ]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода – четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре
    средние линии второго рода
    выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: E F = A D + B C 2 <displaystyle EF=<frac <2>>> , где AD и BC — основания трапеции.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

Площадь треугольника ABC равна 176, DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Формулы площадей всех основных фигур


1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а - нижнее основание

b - верхнее основание

с - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

 

 

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана  окружность

R - радиус вписанной окружности

D - диаметр вписанной окружности

O - центр вписанной окружности

H - высота трапеции

α, β - углы трапеции

а - нижнее основание

b - верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

 

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:


 

 

R - радиус вписанной окружности

m - средняя линия

O - центр вписанной окружности

c - боковые стороны

а - нижнее основание

b - верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:



3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

 

 

d - диагональ трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):



 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

 

c - боковая сторона

m - средняя линия трапеции

α, β - углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):



 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

h - высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (

S ):

Как найти Среднюю Линию Треугольника? Свойства, Теорема

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Виды треугольника:

  • Прямой. Один угол прямой, два других меньше 90 градусов.
  • Острый. Градус угла больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупой. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

Как найти среднюю линию треугольника расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Запоминаем

Средняя линия параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.


Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

 

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольные фигуры.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

 
  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.

  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.

  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.

  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:


Докажем теорему:

 
  1. По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC


  2. Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

    По второму признаку подобия треугольников:


  3. Поэтому ∠1 = ∠2 , как соответственные, а по признаку параллельности прямых: MN || BC.

    Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.


  4. Еще из подобия треугольников △AMN~△ABC можно выписать и отношение их третьих сторон

    То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.

 

Теорема доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA. Найти периметр ΔMNK.


Как найти периметр треугольника:

 
  1. Сначала проверим существует ли указанный в условии треугольник ΔABC. Проверим это при помощи неравенства для его наибольшей стороны:

    7 + 5 > 8.

    Неравенство выполнено, значит, такой треугольник действительно есть.


  2. Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии. Найдем их длины по теореме о средней линии:

 

Ответ: периметр треугольника равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть три средние линии: MN, NP, MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.


Как решаем:

 
  1. В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP — это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора:


  2. Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними:

    S = 5 * 5 * 0,5 = 12,5


  3. В большом треугольнике четыре малых, а в прямоугольнике два малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

    S = 12,5 * 2 = 25

 

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 25.

Средняя ⚠️ линия треугольника: определение, признаки, теорема, формулы

​Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойства и признаки

Признак средней линии: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок называется средней линией данного треугольника.

Свойства:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  1. Равна половине длины основания и параллельна ему.
  2. Отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным треугольником.
  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Формула для расчета

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.

\(A_1C_1=\frac12AC\)

Доказательство

Дано: 

\(\triangle ABC\)

\(A_1C_1\)- средняя линия

Доказать:

\(A_1C_1\parallel AC\)

\(A_1C_1=\frac12AC\)

Рассмотрим \(\triangle BA_1C_1\) и \(\triangle BAC\):

\(\left\{\begin{array}{l}\angle B\;-\;общий\\\frac{BA_1}{BA}=\frac{BC_1}{BC}=\frac12\end{array}\right.\)

Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Следовательно, \(\angle BA_1C_1=\angle BAC\) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно \(A_1C_1\parallel AC\) по признаку параллельности.

Кроме того, из подобия следует, что \(\frac{A_1C_1}{AC}=\frac12\)

Следовательно, \(A_1C_1=\frac12AC\)

Утверждение доказано.

Примечание

Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).

Задачи на использование теоремы

Задача 1

В прямоугольном треугольнике ABC проведены средние линии: MN; NP; MP. При этом MN=NP=2. Найти площадь треугольника ABC.

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник NMP: 

\(S_{\triangle NMP}=\frac12\times MN\times NP=\frac12\times2\times2=2\)

Все маленькие треугольники равны, следовательно \(S_{\triangle ABC}=2\times4=8\)

Ответ: 8

Задача 2

Площадь треугольника ABC равна 8. MN — средняя линия. Необходимо вычислить площадь треугольника BMN.

 

\(S_{\triangle BMN}=\frac14S_{\triangle ABC}=\frac14\times8=2\)

Ответ: 2

Задача 3

В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC соответственно, MN=12, MK=10, KN=8. Необходимо узнать периметр треугольника ABC.

 

Средняя линия равна половине основания, следовательно находим:

MN = 12 ⇒ AC = 24

MK = 10 ⇒ BC = 20

KN = 8 ⇒ BA = 16

Значит, \(P_{\triangle ABC}=24+20+16=60\)

Ответ: 60

Средняя линия треугольника, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Подобие треугольников}}}\]

Определения

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

 

Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.


 

Определение

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

 

Теорема

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

 

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) со сторонами \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) соответственно (см. рисунок выше).

 

Тогда \(P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_{A_1B_1C_1}\)

 

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

Доказательство

Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, причём \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k\). Обозначим буквами \(S\) и \(S_1\) площади этих треугольников соответственно.\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), то есть углы треугольника \(ABC\) соответственно равны углам треугольника \(A_1B_1C_1\).


 

Так как \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\), то \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}\) и \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1}\).

 

Из этих равенств следует, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}\).

 

Аналогично доказывается, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}\) (используя равенства \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\)).

 

В итоге, стороны треугольника \(ABC\) пропорциональны сходственным сторонам треугольника \(A_1B_1C_1\), что и требовалось доказать.

 

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Рассмотрим два треугольника \(ABC\) и \(A'B'C'\), таких что \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}\), \(\angle BAC = \angle A'\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что \(\angle B = \angle B'\).


 

Рассмотрим треугольник \(ABC''\), у которого \(\angle 1 = \angle A'\), \(\angle 2 = \angle B'\). Треугольники \(ABC''\) и \(A'B'C'\) подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC''}{A'C'}\).

 

С другой стороны, по условию \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'}\). Из последних двух равенств следует, что \(AC = AC''\).

 

Треугольники \(ABC\) и \(ABC''\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(\angle B = \angle 2 = \angle B'\).

 

Теорема (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Пусть стороны треугольников \(ABC\) и \(A'B'C'\) пропорциональны: \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) подобны.


 

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что \(\angle BAC = \angle A'\).

 

Рассмотрим треугольник \(ABC''\), у которого \(\angle 1 = \angle A'\), \(\angle 2 = \angle B'\).

 

Треугольники \(ABC''\) и \(A'B'C'\) подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC''}{B'C'} = \dfrac{C''A}{C'A'}\).

 

Из последней цепочки равенств и условия \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}\) вытекает, что \(BC = BC''\), \(CA = C''A\).

 

Треугольники \(ABC\) и \(ABC''\) равны по трем сторонам, следовательно, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A'\).


 

\[{\Large{\text{Теорема Фалеса}}}\]

Теорема

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.

 

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) как вертикальные. Значит, по второму признаку \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

 

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\). Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Таким образом, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) как вертикальные, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

 

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka, kb, kc, kd\) соответственно, где \(k\) – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

 

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т.д.


 

\[{\Large{\text{Средняя линия треугольника}}}\]

Определение

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

 

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Доказательство

1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

 

2) Докажем, что \(MN=\dfrac12 AC\).

 

Через точку \(N\) проведем прямую параллельно \(AB\). Пусть эта прямая пересекла сторону \(AC\) в точке \(K\). Тогда \(AMNK\) — параллелограмм (\(AM\parallel NK, MN\parallel AK\) по предыдущему пункту). Значит, \(MN=AK\).

 

Т.к. \(NK\parallel AB\) и \(N\) – середина \(BC\), то по теореме Фалеса \(K\) – середина \(AC\). Следовательно, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\).

 

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом \(\frac12\).

ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные

 

 

 

 

 

 



 

содержание   ..  47  48  49  50   ..

 

 

 

 

Задание №4875

 

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 125. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

 

Решение

 

 

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

 

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

 

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93,75 Ответ: 93,75

 

 

 

Задание №1118

 

 

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 20, основание равно 24 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

 

 

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=192 Подствавим значения и найдём полупериметр P=32 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=192/32=6 Ответ: 6

 

 

 

Задание №3393

 

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 36. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

 

 

Решение

 

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

 

По найденной формуле вычисляем, что AD=30 Ответ: 30

 

 

 

Задание №1126

 

 

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 42° и 88°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

 

Решение

 

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 42 градусов равен 180-42=138 градусов угол противоположный углу 88 градусов равен 180-88=92 градусов Больший из неизвестных углов 138 градусов Ответ: 138

 

 

Задание №3121

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34 Ответ: 34

 

 

 

Задание №4296

 

 

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 83, большая боковая сторона равна 36 . Рассчитайте радиус окружности

 

Решение

 

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

R = 2,75 Ответ: 2,75

 

 

Задание №2744

 

 

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 22 и 37 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 59 / 2 = 29,5 Ответ: 29,5

 

 

Задание №1099

 

 

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 260, стророна AB= 61 . Найдите длину стороны CD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=69 Ответ: 69

 

 

Задание №2994

 

 

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 330. Вычислите диаметр описанной окружности

 

Решение

 

 

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =330 / 6 = 55 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*55=110 Ответ: 110

 

 

Задание №4379

 

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

 

Решение

 

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6

 

 

Задание №4893

 

 

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 14+7√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=7 Ответ: 7

 

 

 

Задание №1208

 

 

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

 

Решение

 

 

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=84+22=106 Ответ: 106

 

 

 

Задание №4188

 

 

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 94, AB= 110 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 408 Ответ: 408

 

 

Задание №4129

 

 

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 47, 73. Вычислите периметр данного треугольника

 

Решение

 

 

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

 

=20+47+73=140 Ответ: 140

 

 

 

Задание №4615

 

 

Дан треугольник ABC. Стороны AC=24, BC=45, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9

 

 

 

Задание №2252

 

 

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 60 и 32. Радиус описанной окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

 

Решение

 

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

 

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

 

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=30 HO=16 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 46

 

 

Задание №5512

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 146. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=109,5 Ответ: 109,5

 

 

 

Задание №5021

 

 

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 12, BC=2, CD=15. Найдите четвертую сторону четырехугольника

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=12+15-2=25 Ответ: 25

 

 

 

Задание №1346

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=70,5 Ответ: 70,5

 

 

 

Задание №1716

 

 

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66. Вычислите длину средней линии трапеции

 

Решение

 

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

 

Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5 Ответ: 16,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  47  48  49  50   ..

 

 

 

 

Средняя линия треугольника ABC: определение, свойства, признак, длина

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

  • KL – средняя линия треугольника ABC
  • K – середина стороны AB: AK = KB
  • L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

  • KL параллельна AC
  • KL = 1/2 ⋅ AC

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

  • △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
  • Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
    AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL
    .
  • S△ABC = 4 ⋅ S△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

  • KL || AC, KL = 1/2 ⋅ AC
  • KM || BC, KM = 1/2 ⋅ BC
  • ML || AB, ML = 1/2 ⋅ AB

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

S1 = S2 = S3 = S4

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Решение

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1/2 ⋅ BC = 1/2 ⋅ 10 = 5.

Середина треугольника (теорема, формула и видео) // Tutors.com

Geometry, несмотря на то, что она требует длинных доказательств, невероятно эффективна. Где еще можно сделать на бумаге одну-единственную пометку и получить не один, не два, а пять результатов? Так обстоит дело с серединами треугольника.

Содержание

  1. Что такое середина треугольника?
  2. Теорема о срединном сегменте треугольника
  3. Как найти середину треугольника
  4. Теорема о срединном сегменте треугольника
  5. Треугольник Серпинского

Что такое средний сегмент треугольника?

Средний сегмент треугольника - это линия, построенная путем соединения середин любых двух сторон треугольника.Не имеет значения, есть ли у вас прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник или равносторонний треугольник, все три стороны треугольника можно разделить пополам (разрезать пополам), причем точка, равноудаленная от любой вершины, является средней точкой этой стороны.

In △ ASH, внизу стороны AS и AH равны 24 см и 36 см соответственно. Поскольку нам известны длины сторон, мы знаем, что точка C, середина стороны AS, находится ровно в 12 см от обоих концов. Точка R на AH находится ровно в 18 см от обоих концов.

Соединение середин сторон, точек C и R на ASH делает кое-что помимо того, что заставляет всю нашу фигуру РАЗБИРАТЬСЯ.Он создает промежуточный сегмент CR, обладающий пятью удивительными особенностями.

Пять свойств среднего сегмента

Поскольку у треугольников три стороны, они могут иметь три средних сегмента. Вы можете присоединиться к любым двум сторонам в их середине. Один средний сегмент составляет половину длины основания (третья сторона не участвует в создании среднего сегмента). Это только одна интересная особенность. Это также:

  • Всегда параллельна третьей стороне треугольника; база
  • Образует меньший треугольник, похожий на исходный треугольник
  • .
  • Аналогичный треугольник меньшего размера составляет одну четвертую площади исходного треугольника
  • Аналогичный треугольник меньшего размера имеет половину периметра исходного треугольника

Поскольку меньший треугольник, созданный средним сегментом, подобен исходному треугольнику, соответствующие углы двух треугольников идентичны; соответствующие внутренние углы каждого треугольника имеют одинаковые размеры.

Из пяти атрибутов промежуточного сегмента два наиболее важных заключены в теореме о промежуточном сегменте, утверждении, которое было математически доказано (так что вам не нужно доказывать его снова; вы можете извлечь из этого пользу, чтобы сэкономить время и силы. ).

Теорема о срединном сегменте треугольника

Теорема о срединном сегменте треугольника говорит нам, что средний сегмент составляет половину длины третьей стороны (основания), и он также параллелен основанию.

Вам не нужно доказывать теорему о среднем сегменте, но вы можете доказать ее, используя вспомогательную линию, совпадающие треугольники и свойства параллелограмма.

Формула среднего сегмента

Средний сегмент = 12 оснований треугольников

Средний сегмент ∥ Основание треугольников

Это мощная штука; за счет простых затрат на рисование одного линейного сегмента вы можете создать аналогичный треугольник с площадью в четыре раза меньше, чем оригинал, с периметром в два раза меньше, чем оригинал, и с основанием, гарантированно параллельным оригиналу и только вдвое короче.

Как найти середину треугольника

Нарисуйте любой треугольник, назовите его треугольником ABC.Используя циркуль, карандаш и линейку, найдите середины любых двух сторон вашего треугольника. Вы делаете это в четыре этапа:

  1. Отрегулируйте циркуль для рисования так, чтобы он повернул дугу, превышающую половину длины любой одной стороны треугольника
  2. Поместив стрелку циркуля в каждую вершину, проведите дугу через сторону треугольника с обоих концов, образуя две противоположные, пересекающиеся дуги
  3. Соедините точки пересечения обеих дуг с помощью линейки
  4. Точка, в которой линейка пересекает сторону треугольника, является средней точкой этой стороны)

Соедините любые две середины сторон, и вы получите середину треугольника.Независимо от того, какой средний сегмент вы создали, он будет составлять половину длины основания треугольника (стороны, которую вы не использовали), а средний сегмент и основание будут параллельными линиями!

Примеры теорем о срединном сегменте треугольника

Вот правая △ СОБАКА, с боковым DO 46 дюймов и боковым DG 38,6 дюйма. Боковой ОГ (который будет базовым) - 25 дюймов. Площадь треугольника 482,5 кв. Дюйма.

Какие точки вы соедините, чтобы создать средний сегмент?

Только соединив точки V и Y, вы можете создать средний сегмент треугольника.Это сделает боковую OG базой.

Вы сможете ответить на все эти вопросы:

  1. Каков периметр оригинальной △ СОБАКИ?
  2. Какова длина среднего сегмента VY?
  3. Какова длина бокового ДВ?
  4. Какова длина стороны DY?
  5. Каков периметр вновь созданного, подобного △ DVY?
  6. На какой территории находится вновь созданный △ DVY?

Вот наши ответы:

Добавьте длины: 46 "+ 38.6 "+ 25" = 109,6 "

Средний сегмент VY = 12,5 дюйма

Сторона DV = 23 "

Сторона DY = 19,3 дюйма

Периметр △ DVY = 54,8 "

Площадь △ DVY = 120,625 дюйма2

Треугольник Серпинского

Используя теорему о срединном сегменте , вы можете построить фигуру, используемую во фрактальной геометрии, - треугольник Серпинского. Шаги просты, а результаты визуально приятны:

  1. Нарисуйте три средних сегмента любого треугольника, хотя равносторонние треугольники работают очень хорошо
  2. Либо игнорируйте, либо закрасьте большой центральный треугольник и сосредоточьтесь на трех оставшихся треугольниках одинакового размера.
  3. Для каждого углового треугольника соедините три новых средних сегмента.
  4. Снова игнорируйте (или закрасьте) каждый из их центральных треугольников и сосредоточьтесь на угловых треугольниках
  5. Для каждого из этих угловых треугольников соедините три новых средних сегмента.

Эта непрерывная регрессия даст визуально мощную фрактальную фигуру:

Следующий урок:

Биссектриса сегмента

Свойства среднего сегмента треугольника - Концепция

Средний отрезок - это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника.Поскольку у треугольника три стороны, каждый треугольник имеет три средних сегмента. Средний сегмент треугольника параллелен третьей стороне треугольника и составляет половину длины третьей стороны. Еще один важный набор свойств среднего сегмента многоугольника, с которым необходимо ознакомиться, - это свойства среднего сегмента трапеции.

Когда мы говорим о среднем сегменте треугольника, следует помнить о двух ключевых моментах. Первый - что такое средний сегмент? Хорошо, если бы я нашел середину одной стороны треугольника, если бы я нашел середину другой стороны треугольника, и если бы я соединил их с линейным сегментом, который является определением среднего сегмента, что-то, что соединяет 2 средние точки треугольника.Итак, первое, что важно в этом сегменте, это то, что он будет параллелен третьей стороне.
Ну как мне узнать, какая третья сторона? Это будет сторона, которая не задействована в конечных точках нашего среднего сегмента, поэтому на этой стороне прямо здесь нет конечной точки этого среднего сегмента. Итак, я собираюсь сказать, что эти две линии должны быть параллельны, второй ключевой момент в этом среднем сегменте - это то, что он будет составлять половину длины третьей стороны. Итак, если бы я сказал, что этот средний сегмент был 10 дюймов, тогда длина этой третьей стороны была бы вдвое больше 20 дюймов.Но здесь не только один средний сегмент треугольника, их будет три, и мы найдем два других, найдя середину этой третьей стороны. Итак, если бы я соединил эти две средние точки, я бы получил средний сегмент, параллельный этой третьей стороне. Итак, я собираюсь использовать две стрелки, чтобы показать, что эти две параллельны. Этот средний сегмент будет составлять половину длины этой третьей стороны. И третий средний сегмент, который я мог бы нарисовать, - это средний сегмент прямо здесь, который будет параллелен этой третьей стороне, поэтому я собираюсь использовать другое количество стрелок, чтобы показать, что они параллельны.Итак, я собираюсь использовать 3 стрелки, которые я собираюсь подойти сюда 1, 2, 3. Итак, у нас есть 3 пары параллельных сторон со средними сегментами, и другой ключевой момент заключается в том, что средний сегмент составляет половину длины третьей стороны. .

Промежуточный сегмент: теорема и формула - видео и стенограмма урока

Свойства теоремы о срединном и срединном сегментах

Срединный сегмент треугольника имеет несколько полезных свойств:

  • Срединный сегмент составляет половину длины основания
Средний сегмент составляет половину длины основания.
  • Промежуточный сегмент параллелен основанию
  • Треугольник, образованный средним сегментом и двумя половинными сторонами, имеет те же углы, что и исходный треугольник
  • Периметр треугольника, образованного средним сегментом и двумя половинными сторонами, равен половине периметра исходного треугольника
  • Площадь треугольника, образованного серединным сегментом и двумя половинными сторонами, равна одной четвертой площади исходного треугольника

Тот факт, что средний сегмент составляет половину длины основания, часто называют теоремой о среднем сегменте .Вы можете вспомнить, что теорема - это просто математическое утверждение, которое формально доказано. Давайте посмотрим на быстрый пример, который использует теорему о среднем сегменте.

На рисунке ниже сегмент DE является средним сегментом треугольника ABC. Если DE параллелен AC и AC имеет длину 10 футов, какова длина DE ?

DE - средний сегмент, параллельный AC.

Мы знаем из теоремы о промежуточном сегменте, что DE составляет половину длины AC. Следовательно, DE должен составлять половину 10 футов или 5 футов.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Примеры использования среднего сегмента

На рисунке ниже мы видим, что Б-стрит, Смит-роуд и Пауэлл-стрит образуют треугольник. Джонс Уэй образует середину этого треугольника. Если бы вы знали, что Пауэлл-стрит имеет длину 1000 метров, вы могли бы найти длину Джонс-Уэй. Поскольку Jones Way представляет собой средний сегмент, он должен составлять половину длины основания, Powell St.

Джонс-Уэй - это середина треугольника, образованного Б., Смит-роуд и Пауэлл-стрит.

Половина 1000 метров составляет 500 метров, следовательно, длина Jones Way 500 метров.

Попробуем еще один пример.

В треугольнике ABC ниже DE - это средний сегмент треугольника. Если величина угла BAC составляет 55 градусов, какова величина угла BDE ?

На этом рисунке сравните размеры углов левой стороны, BAC и BDE.

Третье свойство среднего сегмента говорит нам, что средний сегмент образует второй, меньший треугольник, который имеет те же размеры углов, что и исходный треугольник. Это означает, что если угол BAC имеет размер 55 градусов, угол BDE также должен иметь размер 55 градусов.

Соотношение площадей часто наблюдается в треугольнике Серпинского . Этот особый дизайн создается путем рисования треугольника с последующим рисованием трех средних сегментов.Созданный новый центральный треугольник (показан красным в левом треугольнике ниже) имеет площадь, равную одной четвертой площади исходного треугольника. Процесс рисования средних сегментов незатененных треугольников и закрашивание нового центрального треугольника можно повторить для создания дизайна, как показано в правом треугольнике ниже.

Треугольник Серпинского формируется путем рисования средних сегментов исходного треугольника, затемнения центрального треугольника и последующего повторения процесса.

Резюме урока

Средний сегмент треугольника определяется как сегмент, образованный соединением средних точек любых двух сторон треугольника.Он имеет следующие свойства:

1) Это половина длины основания треугольника.

2) Параллельно базе.

3) Он образует меньший треугольник с теми же углами, что и исходный треугольник.

4) Он образует меньший треугольник с периметром, равным половине периметра исходного треугольника.

5) Он образует меньший треугольник с площадью, равной одной четвертой площади исходного треугольника.

Свойства середины треугольника

Линия DE - это середина треугольника ABC.
  • Он соединяет две середины двух сторон треугольника.
  • Равен половине длины основания.
  • Параллельно базе.
  • Он образует меньший треугольник со всеми теми же углами, половину периметра и одну четвертую площади исходного треугольника.

Результаты обучения

Изучение этой информации о среднем сегменте может позволить вам сделать следующее:

  • Обратите внимание на определение и назначение среднего сегмента треугольника
  • Укажите свойства среднего сегмента треугольника
  • Используйте теорему о срединном сегменте

Трапеция, средняя линия и средний сегмент трапеции и треугольника

Четырехугольник с двумя противоположными параллельными сторонами называется трапецией (трапеция) .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями (AB и CD), а те, которые не параллельны, называются ногами (AD и BC).
Если ноги равны по длине, трапеция называется , равнобедренная, .
DE и CF - высота .

Средняя линия трапеции

Линия, соединяющая середины сторон, которые не параллельны, называется средней линией (или средним сегментом) трапеции.

Линия MN является средней линией ABCD. А сегмент MN - это средний сегмент ABCD.

AM = MD
BN = NC

Средняя линия трапеции параллельна ее сторонам.
В нашем случае - MN || AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.

Теорема 1:

Если линия, проходящая через середину отрезка трапеции, параллельна ее основаниям, затем линия проходит через середину другой ноги.

Теорема 2:

Средний отрезок трапеции составляет половину длины двух параллельных сторон.

Другими словами:
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB} + \ overline {DC}} {2} $

Середина треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средним сегментом треугольника.

Он параллелен третьей стороне, а его длина вдвое меньше длины третьей стороны.

Теорема : Если отрезок прямой пересекает середину одной стороны треугольника и параллелен другой стороне того же треугольника, то этот отрезок делит третью сторону пополам.

$ \ overline {AM} = \ overline {MC} $ и $ \ overline {BN} = \ overline {NC} $ =>

$ MN || AB $
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB}} {2} $

Применение свойств средних сегментов

Разделите отрезок на равные отрезки без измерения.

Задание: Разделите данный сегмент $ \ overline {AB} $ на 5 равных сегментов без измерения.

Решение:

Пусть p - произвольный луч с началом A, не лежащий на AB.На п. Рисуем последовательно пять равных отрезков.
$ \ overline {AA_1} = \ overline {A_1A_2} = \ overline {A_2A_3} = \ overline {A_3A_4} = \ overline {A_4A_5} $
Соединяем A 5 с B и проводим линии через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B.

Они пересекают AB в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 соответственно. Эти точки делят отрезок $ \ overline {AB} $ на пять равных отрезков.

Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что $ \ overline {BB_4} = \ overline {B_4B_3} $. Таким же образом из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 , получаем $ \ overline {B_4B_3} = \ overline {B_3B_2} $

При этом от трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 ,
$ \ overline {B_3B_2} = \ overline {B_2B_1} $.
Тогда из B 2 AA 2 следует, что $ \ overline {B_2B_1} = \ overline {B_1A} $.В итоге получаем:
$ \ overline {AB_1} = \ overline {B_1B_2} = \ overline {B_2B_3} = \ overline {B_3B_4} = \ overline {B_4B} $

Понятно, что если AB нужно разделить на другое количество равных отрезков, мы должны спроецировать такое же количество равных отрезков на p. Далее поступаем так же.

Середина треугольника - Cuemath

Замкнутая фигура, состоящая из трех отрезков, формирует форму треугольника.

Давайте исследуем мир треугольника

Треугольник состоит из множества частей.Например, углы, стороны, медиана, середина, середина сегмента и т. Д. Вот упражнение для вас. Теперь вы можете визуализировать различные типы треугольников в математике на основе их сторон и углов. Попробуйте изменить положение вершин, чтобы понять взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.

В более поздней части этой главы мы обсудим середину и середину треугольника.

Для любых двух точек, скажем, \ (A \) и \ (C \), середина - это точка \ (B \), которая расположена на полпути между точками \ (A \) и \ (B \).

Обратите внимание, что точка \ (B \) равноудалена от \ (A \) и \ (C \).

Средняя точка существует только для линейного сегмента.

Линия, соединяющая среднюю точку, называется мидсегментом.

В этом мини-уроке мы исследуем мир среднего сегмента треугольника, найдя ответы на такие вопросы, как средний сегмент треугольника, теорема о среднем сегменте треугольника и доказательство с помощью интерактивных вопросов.

Итак, приступим!

План урока

Что такое средний сегмент треугольника ?

Середина треугольника Определение

Середина треугольника - это отрезок прямой, соединяющий средние точки или центр двух противоположных или смежных сторон треугольника

На приведенном выше рисунке D - это середина AB, а E - середина AC.

Здесь DE - середина треугольника ABC.


Теорема о промежуточном сегменте треугольника

Теорема о среднем сегменте гласит, что отрезок прямой, соединяющий середины любых двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и составляет его половину.

В треугольнике ABC имеем

\ (AD = DB \) и \ (AE = EC \)

Тогда согласно теореме среднего сегмента

\ (DE∥BC \) и \ (DE = \ dfrac {1} {2} \ BC \)

Аналогично

\ (AD = DB \) и \ (BF = FC \)

Тогда согласно теореме среднего сегмента

\ (DF∥AC \) и \ (DF = \ dfrac {1} {2} \ AC \)

Аналогично

\ (AE = EC \) и \ (BF = FC \)

Тогда согласно теореме среднего сегмента

\ (EF∥AB \) и \ (EF = \ dfrac {1} {2} \ AB \)

Проба для середины треугольника

В предыдущем разделе мы видели треугольник \ (ABC \) с тремя серединами в виде \ (D, \) \ (E, \) и \ (F \).

Нам нужно доказать две вещи, чтобы оправдать доказательство теоремы о середине треугольника:

  • \ (DE∥BC \)
  • \ (DE = \ dfrac {1} {2} \ BC \)

Дано: D и E - средние точки AB и AC

.

Чтобы доказать, что \ (DE∥BC \) и \ (DE = \ dfrac {1} {2} \ BC \) нам нужно провести линию, параллельную AB, пересекающую E, полученную в F.

В \ (\ bigtriangleup {ADE} \) и \ (\ bigtriangleup {CFE} \)

\ (\ begin {align} AE & = EC \ text {(E - средняя точка AC)} \\\ \ angle {1} & = \ angle {2} \ text {(Вертикально противоположные углы)} \\ \ \ angle {3} & = \ angle {4} \ text {(Альтернативные углы)} \ end {align} \)

По AAS конгруэнтности треугольника имеем,

\ (\ bigtriangleup {ADE} \ cong \ bigtriangleup {CFE} \)

По CPCT у нас,

\ (DE = FE \)

\ (AD = CF \)

D - это середина AB

.

\ (AD = BD \)

\ (BD = CF \)

DBCF - параллелограмм,

\ (DF || BC \) и \ (DF = BC \)

\ (DE || BC \) и \ (DF = BC \)

\ (DE = \ dfrac {1} {2} DF \)

с, DF = BC

\ (DE = \ dfrac {1} {2} BC \)

Следовательно доказано

Середина треугольника формулы
Средний сегмент \ (= \) \ (\ dfrac {1} {2} \ times \) Основание треугольника

Что такое обратная теорема о срединном сегменте треугольника?

Теорема, обратная теореме о среднем сегменте, определяется как: Когда сегмент линии соединяет две средние точки двух противоположных сторон треугольника и параллелен третьей стороне треугольника и составляет половину его, тогда это средний сегмент треугольника.

В треугольнике ABC имеем

\ (DE∥BC \) и \ (DE = \ dfrac {1} {2} \ BC \)

Тогда согласно обратной теореме треугольника о среднем сегменте

\ (AD = DB \) и \ (AE = EC \)
\ (DE \) - середина треугольника \ (ABC \)

Доказательство обратного теоремы о срединном сегменте треугольника

В предыдущем разделе мы видели \ (\ bigtriangleup {ABC} \) с \ (D, \) \ (E, \) и \ (F \) в качестве трех средних точек.

Нам нужно доказать любое из перечисленных ниже вещей, чтобы оправдать доказательство обратной теоремы о середине треугольника:

  • \ (DE \) - средний сегмент \ (\ bigtriangleup {ABC} \)
  • \ (AD = DB \) и \ (AE = EC \)

У нас есть D как середина AB, тогда \ (AD = DB \) и \ (DE || BC \)

\ (AB \) \ (= \) \ (AD + DB \) \ (= \) \ (DB + DB \) \ (= \) \ (2DB \)

DBCF - параллелограмм.

\ (DE || BC \) и \ (BD || CF \)

Противоположные стороны параллелограмма равны.

\ (BD = CF \)

\ (DA = CF \)

В \ (\ bigtriangleup {ADE} \) и \ (\ bigtriangleup {CFE} \)

\ (\ begin {align} \ angle {1} & = \ angle {2} \ text {(Вертикально противоположные углы)} \\\ \ angle {3} & = \ angle {4} \ text {(Альтернативные углы )} \\\ DA & = CF \ end {align} \)

По AAS конгруэнтности треугольника имеем,

\ (\ bigtriangleup {ADE} \ cong \ bigtriangleup {CFE} \)

По CPCT у нас

\ (AE = EC \)

E - средняя точка AC и DF.

Следовательно, DE является средней частью \ (\ bigtriangleup {ABC} \).

Важные примечания

a) Отрезок, проходящий через среднюю точку, всегда параллелен одной стороне треугольника.
б) Средний отрезок \ (= \) \ (\ dfrac {1} {2} \) длина третьей стороны треугольника.
в) Треугольник может иметь не более трех средних сегментов.
г) Средняя часть теоремы о треугольнике также известна как теорема о средней точке.

Решенные примеры

Чтобы лучше понять средний сегмент треугольника, давайте рассмотрим несколько решенных примеров.

На данном рисунке H и M - середины треугольника EFG. Помогите Джейми доказать \ (HM || FG \) для следующих двух случаев.

а) EH = 6, FH = 9, EM = 2 и GM = 3
б) EH = 16, FH = 12, EM = 4 и GM = 3

Решение

а) У нас EH = 6, FH = 9, EM = 2 и GM = 3

\ (\ dfrac {EH} {FH} = \ dfrac {6} {9} = \ dfrac {2} {3} \)

\ (\ dfrac {EM} {GM} = \ dfrac {EH} {FH} = \ dfrac {2} {3} \)

б) У нас EH = 16, FH = 12, EM = 4 и GM = 3

\ (\ dfrac {EH} {FH} = \ dfrac {16} {12} = \ dfrac {4} {3} \)

\ (\ dfrac {EM} {GM} = \ dfrac {EH} {FH} = \ dfrac {4} {3} \)

HM делит EF и EG треугольника EFG в равных пропорциях.

Следовательно, HM - это середина треугольника EFG.

\ (\ следовательно \) \ (HM || FG \)

Помогите Рону найти значение x и значение отрезка AB, учитывая, что A и B являются серединами треугольника PQR.

Решение

У нас есть две средние точки A и B.

Согласно теореме о треугольнике среднего сегмента

\ (\ begin {align} QR & = 2AB \\\
36 & = 2 (9х) \
х & = 2 \\\
AB & = 18 \ end {align} \)

\ (\ следовательно \) Значение x равно 2
Стоимость AB составляет 18

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас.Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Сложные вопросы

a) Рассмотрим треугольник ABC, и пусть D - любая точка на BC. Пусть X и Y - середины отрезков AB и AC. Покажите, что XY делит пополам AD.

б) Рассмотрим параллелограмм ABCD. E и F - середины AB и CD соответственно. Покажите, что отрезки AF и EC пересекают диагональ BD.

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции средней части треугольника. Математическое путешествие по средней части треугольника начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое средний сегмент треугольника?

Середина треугольника - это отрезок прямой, соединяющий средние точки или центр двух противоположных или смежных сторон треугольника

В треугольнике может быть 3 средних сегмента.

На приведенном выше рисунке D - это середина AB, E - середина AC, а F - середина BC.

Здесь DE, DF и EF - 3 средних сегмента треугольника ABC.

2. Как найти середину треугольника?

Мы можем найти средний сегмент треугольника, используя средний сегмент формулы треугольника,

Средний сегмент \ (= \) \ (\ dfrac {1} {2} \ times \) Основание треугольника.

3. Что такое теорема о средней точке?

Теорема о средней точке утверждает, что отрезок прямой, соединяющий середины любых двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине третьей стороны.Рассмотрим произвольный треугольник \ (\ bigtriangleup {ABC} \). Пусть D и E - середины отрезков AB и AC. Предположим, вы присоединяетесь к D и E:

Теорема о средней точке гласит, что DE будет параллельно BC и равно ровно половине BC.

Площадь трапеции с медианой

В дополнение к стандартной формуле для площади трапеции с использованием ее оснований, мы также можем вычислить площадь трапеции с ее серединой и ее высотой. Медиана - это линия, соединяющая две средние точки ног трапеции - непараллельные стороны трапеции.Медиана также называется срединным сегментом или средней линией.

Задача

BCD - трапеция, AB || CD . EF - это линия, соединяющая середины ног AD, и BC , AE = ED и BF = FC . h - высота трапеции. Найдите формулу для его площади, используя h и | EF |

Стратегия

Давайте посмотрим, как мы можем связать то, что мы знаем о медиане трапеции, с формулой, которая у нас уже есть для площади трапеции.Площадь трапеции составляет (короткое основание + длинное основание) · высота / 2, или A = ½ ( AB + DC ) · час.

В этой задаче у нас есть высота и средний или средний сегмент. Из теоремы о срединном сегменте трапеции мы получаем связь между средним сегментом и основаниями: | EF | = ½ ( AB + DC ). Глядя на две формулы, мы видим, что можем просто заменить EF на ½ ( AB + DC ) в формуле для площади и получить A = | EF | · h

Решение

(1) A = ½ ( AB + DC ) · h // Площадь трапеции
(2) AE = ED , BF = FC // задано
(3) EF - средний сегмент // (2), Определение среднего сегмента
(4) | EF | = ½ ( AB + DC ) // (3), теорема о среднем сегменте трапеции
(5) A = | EF | · H // (1), (4), подстановка

Другой способ решения этой проблемы

В предыдущем разделе мы полагались на признание того, что формула для площади трапеции - A = ½ ( AB + DC ) · h очень похожа на формулу длины мидсегмента - | EF | = ½ ( AB + DC ), и произведена замена, которая привела к очень компактному и элегантному решению.

Но что, если мы не сразу узнаем, что формулы похожи, или не вспомним, что средний сегмент равен половине суммы оснований? Давайте посмотрим на другой способ решить эту проблему, не полагаясь на это.

Поскольку EF - это линия, соединяющая середины сторон, мы могли бы использовать теорему о треугольнике середины отрезка, но для этого нам понадобится треугольник. Итак, давайте нарисуем один, используя диагональ AC:

Решение, используя теорему о среднем сегменте треугольника

В треугольнике ΔACD, | EG | - это линия, параллельная основанию CD, которая начинается от середины стороны AD, поэтому согласно обратной теореме о среднем сегменте треугольника, это средний сегмент, равный половине основания.Положим | EG | = x. Если x равен половине базы, то CD базы должен быть равен 2x.

Теперь посмотрим на другой треугольник ΔACB. Используя те же рассуждения, что и выше, | GF | начинается от середины стороны BC и параллельна AB - так что, согласно обратной теореме о среднем сегменте треугольника, это средний сегмент, равный половине основания. Длина | GF | равно | EF | -x, поэтому основание AB равно 2 · (| EF | -x) или 2 · | EF | -2x.

Теперь давайте подставим эти значения в формулу для площади трапеции:

(1) A = ½ ( AB + CD ) · h
(2) AB = 2 · | EF | - 2x
(3) CD = 2x
(4) A = ½ (2 · | EF | -2x + 2x) · h = ½ (2 · | EF |) · h = | EF | · h

% PDF-1.4 % 550 0 объект > эндобдж xref 550 97 0000000016 00000 н. 0000003148 00000 п. 0000003233 00000 н. 0000003471 00000 н. 0000004015 00000 н. 0000004091 00000 н. 0000004168 00000 п. 0000004243 00000 н. 0000004321 00000 п. 0000004610 00000 н. 0000008084 00000 н. 0000008496 00000 н. 0000008907 00000 н. 0000009240 00000 п. 0000009495 00000 н. 0000009831 00000 н. 0000010215 00000 п. 0000016821 00000 п. 0000017332 00000 п. 0000017755 00000 п. 0000018113 00000 п. 0000018288 00000 п. 0000019099 00000 н. 0000019411 00000 п. 0000019760 00000 п. 0000020118 00000 п. 0000020391 00000 п. 0000020833 00000 п. 0000021556 00000 п. 0000021976 00000 п. 0000022471 00000 п. 0000023205 00000 п. 0000023633 00000 п. 0000023866 00000 п. 0000024285 00000 п. 0000024332 00000 п. 0000024380 00000 п. 0000024417 00000 п. 0000024470 00000 п. 0000024518 00000 п. 0000025256 00000 п. 0000025334 00000 п. 0000026741 00000 п. 0000027069 00000 п. 0000027255 00000 п. 0000027770 00000 п. 0000029076 00000 п. 0000029989 00000 н. 0000031455 00000 п. 0000031755 00000 п. 0000032180 00000 п. 0000032873 00000 п. 0000032924 00000 п. 0000034255 00000 п. 0000034628 00000 п. 0000034890 00000 н. 0000035620 00000 п. 0000036148 00000 п. 0000039117 00000 п. 0000040222 00000 п. 0000044895 00000 п. 0000047882 00000 п. 0000051027 00000 п. 0000056557 00000 п. 0000059249 00000 п. 0000069750 00000 п. 0000070705 00000 п. 0000082112 00000 п. 0000082267 00000 п. 0000082861 00000 п. 0000083440 00000 п. 0000083500 00000 п. 0000084126 00000 п. 0000084345 00000 п. 0000084634 00000 п.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *