Площади четырехугольников формулы все: параллелограмма, трапеции, ромба, прямоугольника, квадрата.

Площадь четырехугольника формула. Формула площади четырехугольника по диагоналям. Площадь произвольного четырехугольника.

• Альфашкола
• Статьи
• Площадь произвольного четырехугольника

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Предметы

• Математика
• Репетитор по физике
• Репетитор по химии
• Репетитор по русскому языку
• Репетитор по английскому языку
• Репетитор по обществознанию
• Репетитор по истории России
• Репетитор по биологии
• Репетитор по географии
• Репетитор по информатике

Специализации

• Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
• Репетитор по геометрии
• Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
• Подготовка к олимпиадам по физике
• Репетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
• Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
• Подготовка к олимпиадам по английскому языку
• Репетитор по английскому для взрослых
• Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
• Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ

Площадь произвольного четырехугольника можно найти перемножив диагонали данного четырехугольника, полученный результат разделить на \(2\)  и умножить результат на синус угла.

 

 

\(S=\frac{1}{2} AC⋅BD \ sin\ φ\)

 

Первая диагональ четырехугольника:

 

Вторая диагональ четырехугольника:

 

Угол между диагоналями:

 

---

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Ольга Олеговна Деева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Туркменский государственный университет им. Махтумкули

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Татьяна Сергеевна Вахнина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Орский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Евгения Александровна Бескровная

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Талдыкурганский педагогический институт им. Джансугурова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Похожие статьи

• Первообразная
• Как построить график гиперболы?
• Логарифмические неравенства
• Безопасное лето: 9 способов защитить ребенка от паразитов
• Подборка логических задач для школьников 3-4 класса
• Новогодние блюда, которые подойдут детям и тем, кто на диете
• Ребенок левша: особенности обучения письму
• Почему не стоит пользоваться маминой косметикой

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Расчёт и формулы площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами, помощь рисунка в вычислениях

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

Содержание:

• Определения и соглашения
• Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами
• Заключение
• Видео

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

1. Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b). 2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

   Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

   Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

   Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

   S = ((a + b+ c + d)/2)*r

   Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

   S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

   Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

   S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. 2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d);

9. S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра​.

Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

Видео

Разобраться в этой теме вам поможет видео.

Формулы площади четырехугольника — Что такое формулы площади четырехугольника? Примеры

Формулы площади четырехугольника используются для вычисления площади замкнутой фигуры, имеющей четыре стороны, называемой четырехугольником. Существуют различные типы четырехугольников в зависимости от свойств различных параметров. Мы изучим формулы площади квадрата в следующих разделах.

Что такое формулы площади четырехугольника?

Различные формулы площади четырехугольника используются для различных четырехугольников в зависимости от их типов. К этим различным типам четырехугольников относятся квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, воздушный змей, трапеция и многие другие. Здесь мы увидим формулы для площадей параллелограмма, квадрата, трапеции, прямоугольника и воздушного змея.

Площадь четырехугольника, разделенного на отдельные треугольники, как показано на рисунке ниже:

На приведенном выше рисунке у нас есть два треугольника BCD и ABD

При расчете площадей треугольников по отдельности,

Площадь треугольника BCD = (1/2) × d × \(h_1\)

Площадь треугольника ABD = (1/2) × d × \(h_2\)

Площадь четырехугольника ABCD = Sum площадей ΔBCD и ΔABD.

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD = (1/2) × d × \(h_1\) + (1/2) × d × \(h_2\) = (1/2) × d × (\( h_2\) + \(h_2\)).

Таким образом, площадь формулы четырехугольника, если известны одна из его диагоналей и высоты треугольников (образованных данной диагональю), равна, Площадь = (1/2) × Диагональ × (Сумма высот)

Список формул площади четырехугольника

Давайте посмотрим, что таблица состоит из списка формул площади для различных типов четырехугольников.

Примечание: обратите внимание, что все ромбы можно считать воздушными змеями, но не все воздушные змеи ромбами .

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Закажите бесплатный пробный урок

Примеры формул площади четырехугольника

Давайте рассмотрим несколько иллюстраций, основанных на формулах площади четырехугольника, в этом разделе решенных примеров.

Пример 1: Ной измерил стороны квадрата как 9 м, какова будет площадь квадрата?

Решение:

Найти: Площадь квадрата.
Дано:
Сторона квадрата = 9 м
Используя формулы площади четырехугольника,

Формула площади квадрата = (сторона) ²
Площадь квадрата = (9) ²
Площадь = 81 м ²

Следовательно, площадь квадрата равна 81 м ² .

Пример 2: Если вы гуляете по трапециевидному парку, одно основание которого имеет длину 200 м, а длина другого основания составляет 100 м, а высота трапеции составляет 50 м, какова площадь этого трапециевидного парка?

Решение: Найти: Площадь трапециевидного парка.

Одно основание парка = 200 м
Вторая база парка = 100 м
Высота парка = 50 м
Используя формулы площади четырехугольника,
Площадь трапеции = 1/2 × (сумма длин параллельных сторон) × высота
= 1/2 × 300 × 50
= 150 × 50
= 7500 м ²

Следовательно, площадь трапециевидного парка равна 7500 м ² .

Пример 3: Длина основания параллелограмма 7 единиц, а высота 9 единиц. Используя формулу площади четырехугольника параллелограмма, найдите его площадь.

Решение:

Чтобы найти площадь четырехугольника
Дано:
Основание = 7 шт. , высота = 9 шт.
Используя формулу площади четырехугольника параллелограмма
Формула площади параллелограмма = основание × высота
Площадь = 7 × 9
Площадь = 63 единицы ²

Следовательно, площадь четырехугольника равна 63 квадратных единиц.

Часто задаваемые вопросы о формулах площади четырехугольника

Что такое формула площади четырехугольника для параллелограмма?

Площадь параллелограмма определяется как пространство, занимаемое параллелограммом в двумерной плоскости. Параллелограмм – это особый вид четырехугольника. Это четырехсторонний четырехугольник, формула площади которого выражается как произведение его основания и высоты, т. Е. A = основание × квадратные единицы высоты.

Какая формула площади четырехугольника для прямоугольника?

Площадь прямоугольника — это количество единичных квадратов, покрываемых границами прямоугольника. Прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя сторонами, у которого противоположные стороны равны. Формула его площади выражается как произведение его длины и ширины, т. Е. A = длина × ширина в квадратных единицах.

Что такое формула площади четырехугольника для квадрата?

Площадь квадрата – это мера занимаемой им площади или поверхности. Это четырехугольник со всеми равными сторонами, формула площади которого равна произведению длины двух его сторон, т. е. A = (сторона) ² кв.

Какая формула площади четырехугольника для ромба?

Ромб – это четырехугольник с четырьмя сторонами, формула площади которого равна половине произведения длин диагоналей. Формула для вычисления площади ромба, когда даны диагонали, выражается как
. Площадь ромба = (1 ⁄ 2) × произведение диагоналей на квадратные единицы.

Площадь четырехугольника – формула, определение и примеры

Площадь четырехугольника – это площадь области внутри него. Вспомним, что такое четырехугольник. Четырехугольник — это замкнутая фигура, ограниченная четырьмя отрезками. Четырехугольник может быть правильным и неправильным. Правильный четырехугольник – это четырехугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Четырехугольник, который не является правильным, называется неправильным четырехугольником. Существует 6 видов четырехугольников.

• квадратный
• прямоугольник
• параллелограмм
• трапеция
• ромб
• воздушный змей

На этой странице мы увидим, как найти площадь четырехугольника, разделив его на два треугольника, и как найти площадь четырехугольника, используя его 4 стороны. Кроме того, мы изучим формулы для нахождения площади каждого из этих различных типов четырехугольников.

1.	Что такое площадь четырехугольника?
2.	Формула площади четырехугольника путем деления на два треугольника
3.	Формула площади четырехугольника с использованием сторон
4.	Формулы площади четырехугольников различных типов
5.	Площадь четырехугольника по формуле Герона
6.	Площадь четырехугольника с использованием координат
7.	Часто задаваемые вопросы о площади четырехугольника

Какова площадь четырехугольника?

Площадь четырехугольника есть не что иное, как область, ограниченная сторонами четырехугольника. Она измеряется в квадратных единицах, таких как м ² , ² см , ² см и т. Д. Процесс нахождения площади четырехугольника зависит от его типа и информации, доступной о четырехугольнике. Если четырехугольник не принадлежит ни к одному из упомянутых выше типов, то его площадь можно найти либо разбив его на два треугольника, либо воспользовавшись формулой (которая называется формулой Бретшнейдера) нахождения площади четырехугольника используя четыре стороны. Здесь вы можете увидеть формулы для нахождения площади четырехугольника, который не принадлежит ни к одному из стандартных типов.

Давайте узнаем больше об этих формулах в следующих разделах.

Формула площади четырехугольника путем деления на два треугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, длина диагонали BD которого известна как «d». ABCD можно разделить на два треугольника диагональю BD. Чтобы найти его площадь, нужно знать высоты треугольников ABD и BCD. Предположим, что высоты треугольников BCD и ABD равны \(h_1\) и \(h_2\) соответственно. Найдем площадь четырехугольника ABCD, сложив площади треугольников BCD и ABD.

Здесь площадь треугольника BCD = (1/2) × d × \(h_1\).

Площадь треугольника ABD = (1/2) × d × \(h_2\).

На приведенном выше рисунке площадь четырехугольника ABCD = площадь ΔBCD + площадь ΔABD.

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD = (1/2) × d × \(h_1\) + (1/2) × d × \(h_2\) = (1/2) × d × (\( h_1+h_2\)). {2} \frac{\theta}{2}}\), где

• s = полупериметр четырехугольника = (a + b + c + d)/2
• θ = θ\(_1\) + θ\(_2\)

Площадь четырехугольника по формуле Герона

По формуле Герона площадь треугольника с тремя сторонами a, b и c равна \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где ‘s’ — полупериметр треугольника. треугольник, т. е. s = (a + b + c)/2. Чтобы найти площадь четырехугольника по формуле Герона,

• Разделите его на два треугольника с помощью диагонали (используйте диагональ, длина которой известна).
• Примените формулу Герона к каждому треугольнику, чтобы найти его площадь.
• Сложите площади двух треугольников, чтобы получить площадь четырехугольника.

Формулы площади различных типов четырехугольников

Мы уже узнали, что существует 6 типов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб и воздушный змей. У нас есть специальная формула для нахождения площади каждого из этих четырехугольников. Давайте посмотрим на них.

Площадь четырехугольника с использованием координат

Площадь четырехугольника можно вычислить, если известны координаты его вершин. Рассмотрим четырехугольник в координатной плоскости, как показано ниже:

. (_2\)), C(x\(_3\), y\(_3\)) и D(x\(_4\), y\(_4\)) — вершины.

Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, возьмем вершины A(x\(_1\), y\(_1\)), B(x\(_2\), y\(_2\)), C( x\(_3\), y\(_3\)) и D(x\(_4\), y\(_4\)) четырехугольника ABCD и запишите их, как показано ниже,

Сложите диагональные произведения x\(_1\)y\(_2\), x\(_2\)y\(_3\), x\(_3\)y\(_4\) и x\( _4\)y\(_1\) _{, которые показаны синими стрелками на изображении выше.}

(х\(_1\)у\(_2\) + х\(_2\)у\(_3\) _{+ х\(_3\)у\(_4\) + х\(_4\)у \(_1\)) → (1)}

Складываем диагональные произведения x\(_2\)y\(_1\), x\(_3\)y\(_2\), x\(_4\)y\ (_3\) и x\(_1\)y\(_4\), которые показаны оранжевыми стрелками.

(х\(_2\)у\(_1\) _{+ х\(_3\)у\(_2\) + х\(_4\)у\(_3\) + х\(_1\) у\(_4\)) → (2)}

Вычтите (2) из ​​(1) и умножьте разницу на 1/2, чтобы получить площадь четырехугольника ABCD.

Итак, площадь четырехугольника ABCD определяется как

A = (1/2) ⋅ {(x\(_1\)y\(_2\) + x\(_2\)y\(_3\) _{+ х\(_3\)у\(_4\) + х\(_4\)у\(_1\)) — (х\(_2\)у\(_1\) + х\(_3\) y\(_2\) + x\(_4\)y\(_3\) + x\(_1\)y\(_4\))}}

Примечание: Мы также можем вычислить площадь четырехугольника используя координаты вершин, разделив его на два треугольника и добавив их соответствующие площади. Давайте разберемся с этой техникой на примере, приведенном ниже,

Пример: Рассмотрим следующие четыре точки: A(−3, 1), B(−1, 4), C(3, 2), D(1, −2). Эти четыре точки являются вершинами четырехугольника:

Здесь мы разделим четырехугольник на два треугольника (используя любую из диагоналей), вычислим (положительное значение) площади каждого треугольника и добавим эти значения к получить общую площадь. На следующем рисунке четырехугольник ABCD разделен на ΔABD и ΔADC.

Теперь вычислим площади двух треугольников по отдельности.

Площадь треугольника ABC:

= (1/2) |−3 × (4 − 2) + (−1) × (2 − 1) + 3 × (1 − 4)| = (1/2) |−6−1−9| = (1/2) × 16 = 8 квадратных единиц

Площадь треугольника ACD:

= (1/2) |−3 × (−2 − 2) + 1 × (2 − 1) + 3 × (1 −(−2))|

= (1/2)|12 + 1 + 9| = (1/2) × 22 = 11 квадратных единиц

Площадь четырехугольника ABCD:

Площадь (ABCD) = площадь (ΔABC) + площадь (ΔADC) = 8 + 11 = 19 квадратных единиц

Ниже перечислены некоторые темы, связанные с площадью четырехугольников.

• Типы четырехугольников
• Периметр четырехугольника
• 2D-фигуры
• 3D-фигуры

 

Площадь четырехугольника Примеры

1. Пример 1: Найдите площадь прямоугольника, длина которого 10 дюймов, а ширина 15 дюймов.

   Решение:

   Длина прямоугольника l = 10 дюймов. = 15 дюймов.

   Используя формулы площади четырехугольника, площадь (A) данного прямоугольника равна,

   А = l × b = 10 × 15 = 150 в ² .

   Ответ: Площадь данного прямоугольника = 150 в ² .

2. Пример 2: Найдите площадь воздушного змея, диагонали которого составляют 18 единиц и 15 единиц.

   Решение:

   Диагонали данного воздушного змея равны, d\(_1\) = 18 единиц и d\(_2\) = 15 единиц.

   Используя формулы площади четырехугольника, площадь (A) данного воздушного змея составляет,

   A = (1/2) × d\(_1\) × d\(_2\) = (1/2) × 18 × 15 = 135 квадратных единиц.

   Ответ: Площадь данного воздушного змея = 135 квадратных единиц.

3. Пример 3: Найдите площадь следующего четырехугольника. Округлите ответ до двух знаков после запятой.

   Решение:

   Стороны данного четырехугольника равны,

   а = 15; б = 12; с = 8; и d = 10,

   Его полупериметр равен s = (a + b + c + d)/2 = (15 + 12 + 8 + 10)/2 = 22,5. 9{2} \frac{180}{2}}\) ≈ 119,47

   Ответ: Площадь данного четырехугольника = 119,47 квадратных единиц.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

Запись на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по площади четырехугольника

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о площади четырехугольника

Какова площадь четырехугольника в математике?

Площадь четырехугольника – это площадь, заключенная в нем. Он измеряется в квадратных единицах, таких как ² , см ² , м ² и т. д.

Что такое формула площади четырехугольника?

Площадь четырехугольника можно найти, разделив его на два треугольника диагональю. Когда длина диагонали и высоты двух треугольников известны, площадь (A) четырехугольника равна A = (1/2) × Диагональ × (Сумма высот). 9{2} \frac{\theta}{2}}\), где s – полупериметр четырехугольника. т. е. s = (a + b + c + d)/2.

Как найти площадь четырехугольника по формуле Герона?

Мы знаем, что площадь четырехугольника можно найти, разделив его диагональю на два треугольника. Кроме того, мы знаем, что площадь треугольника с тремя сторонами можно найти по формуле Герона. По формуле Герона площадь треугольника со сторонами a, b и c определяется выражением \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где s – полупериметр треугольника. треугольник. т. е. s = (a + b + c)/2. Используя эту формулу, мы можем найти площади двух треугольников (которые образованы четырехугольником) и сложить их, чтобы получить площадь четырехугольника.

Какие существуют формулы для нахождения площадей четырехугольников различных типов?

Для нахождения площадей различных типов четырехугольников используются разные формулы. Вот они:

• Площадь квадрата со стороной x равна x ² .
• Площадь прямоугольника с размерами ‘l’ и ‘b’ равна l × b.

  No related posts.