Признаки ⭐ равенства прямоугольных треугольников: формулировка, сколько признаков существует
Первый признак равенства (по двум катетам)
Теорема 1Прямоугольные треугольники равны тогда, когда катеты одного равны соответственно двум катетам другого.
Для доказательства теоремы будем использовать признак равенства любых произвольных треугольников. Сформулируем его: треугольники равны в том случае, если две стороны и угол между ними одного соответственно равны двум сторонам и углу другого.
Согласно определению прямоугольных треугольников в геометрии, угол между катетами всегда равен 90°. Получим, что две стороны одного треугольника (катеты) и угол (90°) равны двум сторонам и углу другого. Треугольники равны, что и требовалось доказать.
Второй признак равенства (по катету и гипотенузе)
Теорема 2Прямоугольные треугольники равны тогда, когда катет и гипотенуза одного равны соответственно катету и гипотенузе другого.
Пусть имеются △MNK и △LOP такие, что NK=OP и MK=LP.
Сделаем чертеж, на котором совместим заданные треугольники так, чтобы стороны NK и OP совпали. Предположим, что треугольники не равны. Из предположения следует, что гипотенузы на рисунке не должны совпадать.
Тогда ∠KML — внешний угол △MNK, и его величина равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Получим: ∠KML=∠MKN+∠MNK=∠MKN+90°. Угол KML является тупым.
△MKL — равнобедренный, так как MK=LP по условию. Одно из свойств такого треугольника — равенство углов при основании, т.е. ∠KML=∠KLM. Получили, что у △MKL два угла тупых, а это противоречит теореме о сумме углов треугольника (сумма всех углов треугольника равна 180°).
Следовательно, предположение о том, что при наложении треугольников MK и LP не совпадут, ошибочно. Треугольники MNK и LOP совпадают, а значит, равны, что и требовалось доказать.
Третий признак равенства (по гипотенузе и острому углу)
Теорема 3Прямоугольные треугольники равны тогда, когда гипотенуза и острый угол одного равны соответственно гипотенузе и острому углу другого.
Доказательство этой теоремы будет строиться на подобие доказательству теоремы 1.
Пусть имеются △MNK и △LOP такие, что ∠MKN=∠LPO и MK=LP. Приведем формулировку еще одного признака равенства треугольников: треугольники равны, когда сторона и прилежащие к ней углы одного равны стороне и прилежащим к ней углам другого.
Докажем, что ∠NMK=∠OLP. Зная, сколько градусов составляет сумма углов треугольника, определим: ∠NMK=180°-90°-∠MKN и ∠OLP=180°-90°-∠LPO. Но по условию ∠MKN=∠LPO, а значит ∠NMK=∠OLP.
Треугольники MNK и LOP равны по стороне и прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.
Четвертый признак равенства (по катету и острому углу)
Теорема 4Прямоугольные треугольники равны тогда, когда катет и острый угол одного равны соответственно катету и острому углу другого.
Пусть имеются △MNK и △LOP такие, что ∠NMK=∠OLP и MN=LO.
Для доказательства теоремы остановим свой выбор на уже использованном признаке равенства треугольников по стороне и двум углам.
Приведем доказательство в кратком виде: по условию у треугольников равны стороны и углы, прилегающие к ней. Так как равными сторонами являются катеты, второй прилегающий угол — прямой.
Получили, что у заданных треугольников равны стороны (катеты) и два угла (острый и прямой), △MNK=△LOP, что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
Задача 1Результатом работы мастера и его ученика стало полотно ткани длиной пять метров и шириной четыре метра. Ученик самостоятельно разделил готовое полотно на три части так, как показано на рисунке. Доказать, что △KOL — равнобедренный и найти его стороны, если известно NO=OM.
Решение
У прямоугольника противоположные стороны равны, т.е. NK=ML=5. Треугольники ONK и OML равны по двум катетам, тогда OK=OL, а △KOL — равнобедренный с основанием KL. Найдем гипотенузу и одновременно боковую сторону △KOL из теоремы Пифагора: OK=NK2+ON2=29.
Стороны △KOL составляют 29,29 и 4.
Задача 2Даны два прямоугольных треугольника MNK и FLP.
Известно, что MK=LF. Из вершин N и P проведены медианы: NO=PD. Доказать, что △OMN=△DLP.
Решение
△OMN и △DLP — прямоугольные. Так как NO и PD медианы, то MO=OK и LD=DF. Но по условию MK=LF, тогда MO=LD. Треугольники OMN и DLP равны по второму признаку.
Задача 3Имеется равнобедренный △MNK. Из вершин основания K и M провели две высоты. Доказать, что данные элементы (KL и MP) равны.
Решение
Прямоугольные треугольники KLN и MPN равны между собой по третьему признаку. Гипотенузы MN и NK равны как две стороны равнобедренного треугольника, ∠MNK — общий для двух треугольников. Если △KLN=△MPN, то их соответственные стороны также равны: KL=MP.
Задача 4Имеются две параллельные прямые d и b, их секущие MN и KL пересекаются в точке O, и ∠LON=90°. Известно, что NO=OM. Заполнить графы таблицы.
Решение
По условию у △MOK и △NOL равны стороны NO и OM, а ∠LNO=∠OMK как накрест лежащие при параллельных прямых. Получили, что △MOK=△NOL по четвертому признаку. По известным значениям сторон заполним недостающие графы таблицы.
— Попробуем решить практическую задачу. П В усть надо измерить расстояние на местности от пункта А до пункта В, между которыми расположено озеро, поэтому с мерной лентой по прямой пройти нельзя.— На практике, для решения этой задачи поступают так: Выбирают некоторую точку С так, чтобы расстояние от точки С до точек А и В можно было измерить мерной лентой. Затем, на прямой АС отмечают точку К так, чтобы отрезок АС=СК, а на прямой ВС отмечают точку М так, чтобы отрезок ВС=СМ. — Почему можно утверждать, что МК=АВ? Когда можно найти другие равные элементы в треугольниках? -Вероятно, АВС=МКС? — А каким свойством обладают равные треугольники? — Мы пока не знаем, равны наши треугольники или нет, АВС=МКС? Перечислите все равные элементы в этих треугольниках. АС=СК, ВС=СМ, АСВ=МСК — Итак, нам нужно установить равенство сторон АВ и МК, а равенство сторон следует из равенства треугольников. То есть, если мы докажем равенство треугольников, то равенство сторон будет доказано. — Используя равенства каких элементов? — Сформулируйте цель урока. — Попробуем сформулировать утверждение, почему треугольники равны, по каким элементам? — Хорошо, если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. — Данное утверждение называется теоремой. Теорема – утверждение, которое необходимо доказать, а сами рассуждения называют доказательством. Сформулированную теорему называют первым признаком равенства треугольников или признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (С этого этапа каждое обоснование сопровождается слайдом с презентации) — Запишем в тетрадях тему. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. — Запишем формулировку теоремы. Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. — Теорему можно назвать задачей, в которой есть условие, т.е. то, что дано и заключение, то, что необходимо доказать. — В теореме, начиная со слова если до слова то является условием теоремы. Прочитайте условие теоремы. — Все, что записано после слова то, называют заключением. Прочитайте заключение. — Запишем в тетрадях: Дано: — О каких фигурах идет речь? — Запишем в дано: АВС=А1В1С1 — О равенстве каких элементов говорится в условии? — Выберем эти стороны и найдем угол между этими сторонами. АВ=А1В1, АС=А1С1, ÐА=ÐА1. — Что нужно доказать? — Запишем: Доказать: АВС=А1В1С1 — Сделаем чертеж как на экране. В В1 А С А1 С1 ІІ Исполнительский этап. 1. Нахождение способа доказательства теоремы. — Каким способом будем доказывать равенство треугольников? — Запишем: Доказательство (метод наложения) — С чего начнем проводить доказательство? С наложения каких элементов? (Если учащиеся говорят про стороны, то с помощью заготовленных треугольников можно показать, что не всегда такое наложение возможно, тогда остается только один вариант, когда доказательство начинаем проводить с наложения углов) — Посмотрим на экран, каким образом происходит наложение. 2. Проведение доказательства теоремы. — Запишем: 1. Т.к. ÐА=ÐА1, то DАВС можно наложить на DА1В1С1 так, что луч АВ совместится с лучом А1В1 и луч АС совместится с лучом А1С1. — Какие элементы треугольника будем потом сравнивать? Что еще дано в условии? — Что произойдет с точками В и В1? — Посмотрим на экран, запишем: 2. Т.к. АВ=А1В1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 (точка В совместится с точкой В1). — О какой стороне еще говорится в условии? — Сделайте вывод о точках С и С1. — Посмотрим на экран, действительно ли совпадут эти точки? — Ваше утверждение верно, запишем: 3. (точка С совместится с точкой С1). — Что произошло с концами отрезков ВС и В1С1? — Что теперь можно сказать про отрезки ВС и В1С1? — Правильно, запишем: 4. Т.к. концы отрезков ВС и В1С1 совместились, то сторона ВС совместится со стороной В1С1. — Что произошло с DАВС и DА1В1С1? — Молодцы, запишем: 5. DАВС совместился с DА1В1С1, значит DАВС=DА1В1С1. ІІІ Рефлексивно – оценочный этап. — Сформулируйте доказанную теорему. — Сверим доказанную теорему с теоремой в учебнике п.15, стр. 30 (Учебник по геометрии для 7 класса, автор Атанасян). Прочитайте её, эту теорему мы только что доказали? Выделите условие и заключение теоремы. — Каким методом мы проводили доказательство? — С наложения каких элементов мы начали проводить доказательство? (Можно использовать для помощи слайд №6) — Равенство каких элементов еще использовали? — Что можно сказать про стороны ВС и В1С1? 1. Решение задач (устно). — Сколько пар соответственно равных элементов надо отыскать, чтобы доказать равенство треугольников по первому признаку? — Где должен лежать угол? 1. Докажите, что треугольники равны Учащиеся по рисунку отыскивают равные элементы и доказывают, что треугольники равны (Слайд 7, 8, 9), а потом проверяют верно они доказали или нет. 2. Дополните условия так, чтобы треугольники были равны по первому признаку. (Слайд 10, 11) 3. Докажите, что треугольники равны. (Слайд 12) — Достигли мы цели урока? — Какую теорему мы доказали? Сформулируйте её. — каким методом провели доказательство признака? 2. Домашнее задание. (Слайд 13) Домашнее задание: Глава II, §1, п. 14-15 читать, выучить записи в тетради. 3. Контроль настроения. — С помощью сигнальных карточек покажите, каким стало ваше настроение к концу урока. | — Когда треугольники равны. — В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов, лежат равные стороны. — АС=СК, ВС=СМ – по построению, АСВ=МСК как вертикальные. — Доказать равенство треугольников. — Двух сторон и угла между ними. — Доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. — Если в две стороны в одном треугольнике равны двум сторонам в другом и углы между этими сторонами в одном и в другом треугольнике равны, то такие треугольники равны. — О треугольниках. — О равенстве двух сторон и угла между этими сторонами. — Что АВС=А1В1С1 — Методом наложения. — АВ=А1В1 — Эти точки совпадут. — АС=А1С1 — Эти точки совпадут. — Концы отрезков ВС и В1С1 совпали. — ВС=В1С1 — Треугольники совпали, значит они равны. — Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. — «Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника» — это условие, то что дано. — «такие треугольники равны» — заключение, что требуется доказать. — Методом наложения. — С наложения углов. — Равенство сторон: АВ=А1В1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, точка В совместится с точкой В1; — АС=А1С1, то сторона АС совместится со стороной А1С1 точка С совместится с точкой С1. — Они совпадут, значит эти стороны равны. — Три пары, две стороны и угол. — Между сторонами. |
Тогда на местности можно измерить расстояние МК, при этом утверждают, что оно равно искомому расстоянию между пунктами А и В.
Какова же цель урока?
Т.к. АС=А1С1, то сторона АС совместится со стороной А1С1
Четырехугольник имеет две стороны 16 см и 12 см и угол между ними 90°. Две другие его руки по 25/2 см каждая. Остальные три угла четырехугольника не прямые. Чему равна площадь четырехугольника?
Вопрос
Пошаговый ответ
Видео Ответ:
Решает проверенный специалист
Четырехугольник имеет две стороны 16 см и 12 см, а угол между ними равен 90°. Две другие его руки по 25/2 см каждая. Остальные три угла четырехугольника не прямые. Чему равна площадь четырехугольника?
Рекомендованные видео
Расшифровка
Здесь было дано, что квадрант четырехугольника со сторонами 16 см и 12 см- и скажем, этот угол- 90 градусов, и далее было дано, что другие 2 стороны равны , то есть оба равны 25 на 2 или 12,5 сантиметра. Теперь давайте сделаем здесь некоторую конструкцию и соединим это теперь в треугольник. A b b d гипотенен, поэтому мы можем вычислить длину b d, равную 16 квадратам плюс 12 квадратов, что будет равно 20 сантиметрам.
Значит, длина bd равна 20 см. Теперь я также вижу здесь, что треугольник d c b — треугольник, потому что эти две стороны равны. Итак, это равнобедренный треугольник. Итак, давайте, если мы возьмем середину b b, скажем, это и если вы присоединитесь к c, то это будет 90 градусов, а это 10 сантиметров, т. е. b и o d оба равны 13. Теперь мы можем вычислить длину oc, в основном b c квадрат, равен ob квадрат плюс c квадрат для 12,5 квадрата, равно 10 квадрат плюс c квадрат, поэтому, вычислив это, мы получим oc равным 7,5 сантиметра. Значит, это 7,5 сантима. Теперь у нас очень упрощенная геометрия. Это означает, что мы можем вычислить площадь треугольника a b d, которая равна половине 16 на 12, потому что треугольник a b d является прямоугольным треугольником, прямоугольным треугольником, поэтому он будет. Площадь будет равна половине длины, половине произведения этих двух сторон, поэтому половина будет равна 16 в 12 точках, так что это даст 96-сантиметровый квадрат теперь приближается к этой части.
Если мы подсчитаем это, скажем, что площадь треугольников o c b или допустим, мы также можем сказать, что площадь треугольника — извините d, c, b — равна удвоенной площади oc b, потому что оба эти треугольника равны. Здесь также 90 градусов. Длины 7,510 сантиметра, 12,5 в треугольнике d, c b, а также 12,510 сантиметра, 7,5 сантиметра, плюс этот угол 90 градусов, так что мы можем писать. Площадь dc в 2 раза больше площади oc b. Итак, здесь, 2 в настоящее время, площадь o c b равна половине в, так как это также прямоугольный треугольник: мы можем записать половину в произведение длины этих двух сторон, то есть 7 точек, половину в 7,5 в 10 сантиметрах, таким образом вычисляя это. Получим площадь d c b: угол d, c, b, равен 75 квадратным сантиметрам, теперь площадь четырехугольника равна площади треугольника: a b d плюс площадь треугольника, d, c, b, поэтому площадь треугольника, a b d, 96 квадратных сантиметров плюс площадь треугольника, d c b- равна 75 квадратных сантиметров, поэтому здесь будет 171 квадратный сантиметр.
Итак, это ответ, который является четырехугольником.
Площадь треугольника — веб-формулы
Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами, который можно разделить на следующие типы:
· Равносторонний треугольник имеет равные стороны и равные углы.
· У равнобедренного треугольника две равные стороны и два равных угла.
· Разносторонний треугольник имеет три неравные стороны и три неравных угла.
· Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол (90°).
· В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°.
· В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°.
Периметр треугольника = сумма трех сторон
На рисунке рядом с ΔABC периметр представляет собой сумму AB + BC + AC.
Площадь треугольника определяется по формуле:
A = ½ × Основание × Высота
Любая сторона треугольника может считаться его основанием.
Тогда длина перпендикулярной линии из противоположной вершины принимается за соответствующую высоту или высоту.
На приведенном выше рисунке площадь представлена как: ½ × AC × BD .
Дополнительные формулы для определения площади треугольника:
Площадь треугольника = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) по формуле Герона (или формуле Герона), где a , b и c длины треугольника, а s = ½ ( a + b + c ) — полупериметр треугольника.
Площадь равностороннего треугольника
A= √(3) · ¼ · сторона, где сторона = a = b = c
Площадь равнобедренного треугольника
А = ¼ ·b · √(4a 2 – b 2 )
Площадь прямоугольного треугольника
A= ½ × Произведение сторон, содержащих прямой угол.
Если известны две стороны и угол между ними, то площадь треугольника можно определить по следующей формуле:
Площадь = ½ · a · b · sinC = ½ · b · c · sinA = ½ · a · c · sin B
Пример 1: Найдите площадь треугольника, основание которого равно 14 см, а высота 10 см.
Решение :
б = 14 см
В = 10 см
A = ½ · 14 · 10 = 70 см 2
Пример 2: Найдите площадь треугольника, стороны которого и угол между ними равны:
а = 5 см и b = 7 см
C = 45
Решение:
Площадь треугольника = ½
Площадь = ½ × 5 ×7 × 0,707 (так как sin 45° = 0,707)
Площадь = ½ × 24,745 = 12,3725 м 2
Пример 3: Найдите площадь (в м 2 ) равнобедренного треугольника со стороной 10 м и основанием 12 м.
Решение:
Площадь равнобедренного треугольника определяется:
А = ¼ ·b · √(4a 2 – b 2 )
А = ¼ · 12 · √(4(10) 2 – (12) 2 )
А = 48 м 2
Пример 4: Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 8, 9 и 11 соответственно. Все единицы измеряются в метрах (м).
Решение :
Дано: стороны a = 8, b = 9 и c = 11
Согласно Формула Герона площадь треугольника можно определить по следующей формуле:
А = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
Прежде всего, нам нужно определить s, который является полупериметром треугольника:
с = ½ ( a + b + c ) = ½ ( 8 + 9 + 113) = 1/2
Теперь, подставив значение полупериметра в формулу Герона, мы можем определить площадь треугольника:
A = √ ( S · ( S-A ) · ( S-B ) · ( S-C ))
А = √ ( 14 · ( 14-8 ) · ( 14-9 ) · 9 ( 1 ))
А = √ ( 1260 ) = 35,50 м 2
Пример 5: Фермер Муннабхай владеет треугольным участком земли.