По области вычислить двойной интеграл: Решение двойных интегралов | Онлайн калькулятор

1.2.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 1.2.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Удобное выражение для элемента площади  получим, введя прямоугольную сетку. Разобьём объём D на части прямыми, параллельными осям координат x = const и y = const (рис. 1.6). Тогда

,                                                             (1.47)

и двойной интеграл записывается ещё так:

.                                          (1.48)

Для дальнейшего предположим, что область D имеет такое устройство: она ограничена графиками функций  и  и прямыми        x = a и x = b (рис. 1.7). Каждая прямая, параллельная оси Оy (кроме прямы x = a и x = b) (рис. 1.8.) пересекает границу области D в двух точках.

Нижнюю из этих точек будем называть точкой входа, а верхнюю – точкой выхода. Если D имеет другую конструкцию, то её разбивают и сводят к конструкции области D и далее используют свойство аддитивности интеграла.

Чтобы вычислить (1.48) интерпретируем его как массу М пластинки D. Найдем массу этой же пластинки иначе.

Рассмотрим узкий вертикальный стержень между прямыми  х  и  x + dx (рис. 1.7) оси Ох. 

Выделим элемент длиной dy стержня. Его площадь есть dxdy, тогда масса его будет приближенно равна f(x, y)dxdy. Чтобы найти массу всего стержня надо «просуммировать» массы всех элементов dy, т.е. в пределе проинтегрировать по у:

    (dx – постоянно).                                    (1.49)

             

    Рис. 1.7                                                  Рис. 1.

8

Чтобы получить массу всей пластинки D надо «просуммировать» массы всех бесконечно узких вертикальных стержней, т.е. проинтегрировать выражение (1.49) по х в пределах его изменения от a до b, получим:

.                                                     (1.50)

Так как эта же масса выражается двойным интегралом (1/36), то

.                               (1.51)

Методическое руководство

Чтобы вычислить двойной интеграл, надо проинтегрировать f(x,y) по у, считая х – фиксированным, в пределах от точки входа до точки выхода, а затем полученный результат проинтегрировать по х в пределах его наибольшего изменения.

Следовательно, для вычисления двойного интеграла нужно произвести последовательное вычисление двух обычных определенных интегралов. Интеграл

,

вычисляется первым, называется внутренним, а интеграл

называется внешним.

Если область D такая, как показано на рис.

1.9, то внутренне интегрирование удобно вести по х. Получается операция, которая носит название: изменения порядка интегрирования

.            (1.52)

Формула (1.52) доказывается точно так же как и (1.51). Поскольку речь идет о массе одной и той же пластинки D, то

.      (1.53)

Методическое руководство

На практике трудность вычисления двойного интеграла обычно состоит в расстановке пределов. Следует руководствоваться следующей последовательностью действий:

1) сделать схематический рисунок области

D, записав уравнения линий;

2) выбрать вполне определенный порядок интегрирования;

3) найти пределы для внешнего интеграла и расставить их;

4) произвольно (но не на концах отрезка) взять переменную между пределами внешнего интеграла и через эту точку провести прямую MN «входа-выхода»;

5) приступить к расстановке пределов для внутреннего интеграла: точка входа всегда лежит на кривой с определенным уравнением, с момента которой изменяется переменная интегрирования для внутреннего интеграла, точка выхода – на кривой, на которой заканчивается её изменение в области D, поэтому нижним пределом будет значение функции, на которой лежит точка входа; верхним – значение функции на которой лежит точка выхода.

Пример 1

Найти , где D: .

Решение: Используя методическое руководство, выберем определенный порядок интегрирования и расставим пределы интегрирования:

Пример 2

Найти площадь, ограниченную параболами y = x²  и   (рис. 1.10).

Решение. По свойству (1.44)

.

Для расстановки пределов необходимо решить систему:

.

Отсюда: x₁ = 0;  х₂ = 1, тогда

Пример 3

Изменить порядок интегрирования:

.

Решение. Рекомендуется по заданным пределам во внешнем и внутреннем интегралах воспроизвести область интегрирования D:   x = 0  и  x = 1;  y =x²  и  y = x  (рис. 1. 11).

Поэтому

.

Пример 4

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x² + y²,  x = 0,  x = 1 ;  y = 0,  y =   (рис. 1.12).

Решение. Воспользуемся формулой (1.41):

Пример 5

Вычислить , D – треугольник с вершинами О(0,0), A(2,0) и B(2,1) (рис. 1.13).

Решение. Область D ограничена прямыми y = 0, ,  x  =2. Тогда

Двойной интеграл, формулы и примеры

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся.

Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области , принадлежащей плоскости , задана непрерывная функция . Разобьем эту область на элементарных областей , площади которых будем обозначать как , а наибольшее расстояние между точками соответствующей области – через (рис. 1).

В каждой элементарной области выберем произвольную точку . Значение функции в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:

   

Полученная сумма называется интегральной суммой функции в области .

Найдем предел указанной интегральной суммы при таким образом, чтобы . Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от способа выбора в них точек , то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается . Итак, двойной интеграл определяется равенством

   

Область называется областью интегрирования, и – переменные интегрирования, функция – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области ; – элементом площади.

Свойства двойного интеграла

1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:

   

где

2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

   

3. Если область интегрирования можно разбить на две области и , например, как это показано на рисунке 2, то

   

4. Если в области интегрирования функция , то и двойной интеграл .

5. Если функции и в области удовлетворяют неравенству , то справедливо и неравенство

   

6. , где – это площадь области .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой равна , то

   

где и – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области соответственно.

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой равна , то в этой области существует такая точка , что имеет место равенство:

   

Величина называется средним значением функции в област .

Пусть область интегрирования – это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и которые определяются уравнениями , ; , (рис. 3). В этом случае двойной интеграл вычисляется по одной из формул:

   

или

   

Интегралы, стоящие в правых частях этих формул, называются повторными или двукратными. В первой формуле интеграл называется внутренним. Он вычисляется в предположении, что переменная сохраняет на отрезке интегрирования постоянное фиксированное значение (то есть является константой). При таком предположении подынтегральная функция – функция одной переменной . В результате вычисления этого интеграла получаем функцию переменной .

После того, как эта функция определена, нужно выполнить внешнее интегрирование – проинтегрировать полученную функцию по переменной . В результате второго интегрирования получаем уже число.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

исчисление — Вычислить двойной интеграл по области

спросил 8 лет, 8 месяцев назад

Изменено 8 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 8к раз

$\begingroup$

Вычислите двойной интеграл от $f(x,y)$ по треугольнику, указанному на следующем рисунке: 9x$

Я пытался следовать ограничениям $x$ от 0 до 4 и y от 0 до 3, но это не сработало. Я знаю, что я должен принять пределы y как значения x, но я не знал, как это сделать

• вычисление
• интеграция

$\endgroup$

2

$\begingroup$

берем x и y один за другим, сначала фиксируем x, затем проверяем, каким будет значение y.

9х\,ди\,дх$$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Заштрихованная область не прямоугольная.

Сначала нам нужно определить $y$ границы области. Их просто находят по форме точка-наклон или наклон-пересечение, элементарный математический метод для определения уравнений линий. Затем обратите внимание, что границы интегрирования равны $\frac{x}{4} \leq y \leq \frac{3x}{4}$ и $0 \leq x \leq 4$. Тогда пишем 9{x}\,dy\,dx$$

Наконец, вычислите $y$-интеграл, а затем $x$-интеграл, поскольку оценки зависят от $x$.

Другой подход состоит в том, чтобы определить границы $x$, зафиксировав $y$. Затем постройте два двойных интеграла, поскольку границы $x$ зависят от трех функций, а именно $x = \frac{4y}{3}$, $x = 4y$ и $x = 3$. Подумайте, как вы можете получить два двойных интеграла из области.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

двойных интегралов по общим областям

двойных интегралов по общим областям

Оглавление

Примеры для вычисления и оценки двойных интегралов по общим областям представлены вместе с их подробными решениями.
Важные примечания
1) Создание графиков и диаграмм для общих непрямоугольных областей в качестве первого шага упрощает вычисление двойных интегралов с общими областями.
2) Обычно для вычисления двойного интеграла по общим областям интегрирования необходимы четыре шага:
ШАГ 1: Постройте график и/или диаграмму области интегрирования
ШАГ 2: Решите, как описать общую область с помощью вертикальных или горизонтальных полос и, следовательно, порядок интегрирования
ШАГ 3: Опишите общую область интегрирования с помощью неравенств
ШАГ 4: вычислить интеграл
3) В дальнейшем мы описываем данную область интегрирования \( R \) либо как бесконечное множество вертикальных полос, что позволяет выразить интеграл в виде \( \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \) или горизонтальные полосы, что позволяет выразить интеграл в виде \( \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dx \;dy \) \(\)\(\)\(\) 92+y) \;dy \;dx \) где область \(R\) есть треугольник на плоскости \(xy\)-плоскости, ограниченный осью \(x\), \(y\) -ось и линия \( y = — x + 2 \).
Решение примера 1
Четыре основных шага для вычисления двойных интегралов с общими областями интегрирования.
ШАГ 1 Создайте график и/или диаграмму, представляющую общую область
Сначала начнем с рисования графика или/и диаграммы области \( R \) интегрирования. В данном примере это треугольник со сторонами на осях \(x\) и \(y\), а третья сторона описывается уравнением прямой \( y = — x + 2 \). Этот треугольник также может быть определен тремя вершинами: началом координат и точками пересечения прямой \(y = — x + 2\) и \(x\) и \(y\)-оси, заданные \((2,0)\) и \(((0,2)\) соответственно, как показано на графике ниже.

Существует два способа вычисления данного интеграла по данной области.
ШАГ 2 Решите, как описать общую область с помощью полос
1) Мы используем вертикальные полосы для описания области \( R \), как показано на графике ниже.
Мы предполагаем, что область R можно рассматривать как бесконечное множество вертикальных полос, как показано на диаграмме ниже.
Любая заданная вертикальная полоса в данной точке \( x \), начинается в точке \( y = 0 \) и заканчивается в точке \( y = — x + 2 \). Поскольку мы должны включить все полосы, описывающие область \( R \), \( x \) должен принимать значения от \( x = 0 \) до \( x = 2 \). Следовательно, область \( R \) интегрирования может быть определена как: 92 — 2x + 2) \;dx = 8/3\)

Теперь ответим на тот же вопрос, но используя горизонтальные полосы. ШАГ 1 такой же, как указано выше
ШАГ 2 Решите, как описать общую область с помощью полос
2) Мы используем горизонтальные полосы для описания области \( R \), как показано на графике ниже.
Мы предполагаем, что область R можно рассматривать как бесконечное множество горизонтальных полос, как показано на диаграмме ниже.
Любая заданная вертикальная полоса в данной точке \( y \), начинается в точке \( x = 0 \) и заканчивается в точке \( x = — y + 2 \). Поскольку мы должны включить все полосы, чтобы описывать область \( R \), \( y \) должен принимать значения от \( y = 0 \) до \( y = 2 \). Следовательно, область \( R \) интегрирования может быть определена как: 92+2} (x+y) \;dy \;dx = \dfrac{803}{420}\)

2) С использованием горизонтальных планок
Данная горизонтальная полоса начинается на оси \(y\) \( x = 0 \) и заканчивается либо на кривой \( x = \sqrt[3]y \), либо на кривой \( x = \sqrt{ — у+ 2} \). Из-за двух разных кривых область \( R \) может быть разделена на две области \( R_1 \) и \( R_2 \).
Для региона \( R_1 \), \( y \) должен принимать все значения от \( y = 0 \) до \( y = 1 \), а для региона \( R_2 \), \( y \) имеет взять все значения от \(y = 1\) до \(y = 2\). 9{\ sqrt {-y + 2}} (x + y) \; dx \; dy = \ dfrac {803} {420} \)

Примеры, когда выбор порядка интегрирования зависит от поставленной задачи

В примерах 3, 4 и 5 мы показываем, что иногда у нас нет двух вариантов выбора порядка интегрирования, которые мы обычно имеем в двойных интегралах.
Целями примеров 3, 4 и 5 является использование графиков и диаграмм для определения порядка интегрирования, что приводит к аналитическому вычислению двойного интеграла.

Пример 3 92}) dx \) нельзя сделать аналитически.
В соответствии с указанными пределами интегрирования область \( R \) интегрирования интеграла \( V \) может быть записана как
\( R \) : \( y \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le 1 \)
с графиком, показанным ниже, в виде набора горизонтальных полос.

Теперь воспользуемся вертикальными полосами для описания области \( R \), как показано на графике ниже.

\ Нарисуйте область \( R \) интегрирования, чтобы увидеть, можем ли мы, изменив порядок интегрирования, двигаться дальше. 92+4}{32} \)

Дополнительные рекомендации и ссылки

1. Вычисления двойных интегралов
   
2. Ховард Антон, Irl С. Бивенс, Стивен Дэвис; Исчисление: ранние трансцендентальные; Уилли, 2012 год.
   
3. Гилберт Странг; Массачусетский технологический институт, Исчисление, Wellesley-Cambridge Press, 1 991
   
4. Джоэл Хасс, Калифорнийский университет, Дэвис; Военно-морская аспирантура Мориса Д.

   No related posts.