Подобие прямоугольников: Признаки подобия прямоугольных треугольников (тема математики, 5 класс)

Содержание

Признаки подобия прямоугольных треугольников (тема математики, 5 класс)

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 126.

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 126.

Подобие – это следующее понятие после равенства: как в математике после сложения идет умножение, так в геометрии после равенства треугольников изучают подобие. В реальной жизни подобие помогает, за счет вычислений по тени, определять реальные размеры зданий или высоких сооружений. В задачах на эту тему, благодаря подобию, можно найти значение сторон, воспользовавшись знакомым отношением.

Определения

Подобными называются треугольники, отношение сторон которых соответственно равны. Предположим треугольник АВС равен треугольнику DРН. Это значит, что:

$${АВ\over{DP}}={BC\over{PH}}={AC\over{DH}}=k$$

k это коэффициент подобия.

Для обычного треугольника существует три признака подобия. Именно через них доказываются признаки подобия прямоугольных треугольников.

Первый признак подобия:

по двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рис. 1. Первый признак подобия.

Второй признак: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рис. 2. Второй признак подобия.

Третий признак: по двум сторонам и углу. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Рис. 3. Третий признак подобия.

Эти определения необходимо знать, чтобы без проблем разобраться с подобием прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Первый признак по острому углу: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Доказать этот признак очень просто. Достаточно вспомнить, что прямоугольным треугольником называется треугольник, который содержит в себе прямой угол. Значит, у двух прямоугольных треугольников, один из углов всегда равен другому. А один из острых углов так же равен соответственному углу в другом треугольнике. Значит, в таких треугольниках есть два равных между собой угла, и треугольники подобны по первому признаку подобия.

Второй признак: по двум катетам. Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. Между двумя катетами всегда заключен прямой угол. Значит, у нас имеется две пропорциональные стороны и равные углы между ними. Тогда треугольники подобны по третьему признаку подобия.
Третий признак: по катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. Для доказательства признака нужно вспомнить понятие косинуса. Косинус угла это отношения прилежащего катета к гипотенузе.

$$cos(ACB)={BC\over{AC}}$$

$$cos(DHP)={PH\over{DH}}$$

При этом по условию: $${AC\over{DH}}={BC\over{PH}}$$. Из условия выразим ВС и подставим в значение косинуса.

$$ВС=РН*{АC\over{DН}}$$

$$cos(ACB)={BC\over{AC}}={PH*{AC\over{DH}}\over AC}={PH\over{AC}}$$ – то есть косинусы углов равны, оба угла острые, значит и углы равны. Тогда треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Что мы узнали?

Мы разобрали понятие подобия, выделили все определения и теоремы, необходимые для доказательства трех признаков подобия прямоугольных треугольников. Мы показали, что эти признаки лишь следствие основных, т.е. эти свойства созданы чтобы упростить и сделать быстрее решение. А это значит, что если вдруг вы забыли признаки для прямоугольного треугольника, то всегда можно воспользоваться общими.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 126.

А какая ваша оценка?

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Рис.1

Обозначим

a₁ , b₁ , c₁

длины сторон треугольника KLM, расположенные в порядке возрастания.

Обозначим

a₂, b₂, c₂

длины сторон треугольника TRP, расположенные в порядке возрастания.

Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.

Рис.2

На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A₁B₁C₁, а треугольник TRP обозначается как треугольник A₂B₂C₂.

Определение 1. В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, изображённых на рисунке 2,

вершины A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ называют сходственными вершинами,
стороны A₁B₁ и A₂B₂, A₁C₁ и A₂C₂, B₁C₁ и B₂C₂ называют сходственными сторонами,
углы A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ называют сходственными углами

Определение 2. Треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Другими словами, треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны, если, во-первых,

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a₁ = k a₂, b₁ = k b₂ , c₁ = k c₂.

(1)

Определение 3. В случае, когда треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ .

Признаки подобия треугольников

Название признака	Рисунок	Формулировка признака
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними		Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по двум углам		Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по трём сторонам		Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признака	Рисунок	Формулировка признака
Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам		Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу		Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету		Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Рис.3

Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Рис.4

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.