Подобие треугольников доказательство: Доказательство подобия треугольников

Содержание

Доказательство подобия треугольников

Лемма (О подобных треугольниках) и доказательство

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Доказательство. На рисунке 1 в проведена прямая . Докажем, что . Углы равны как соответствующие при параллельных прямых и и секущих и соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников равны. Покажем, что стороны и пропорциональны соответственно сторонам и .

Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что

   

откуда . Проведем . Аналогично,

   

Очевидно, что – параллелограмм. Тогда , откуда . Таким образом, было доказано, что

   

Следовательно, в треугольниках и углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому, по определению, эти треугольники подобны.

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Подобные треугольники ℹ️ признаки подобия, свойства, теоремы об отношении площадей с доказательствами, формулы и правила построения, примеры решения задач

Общие сведения

Специалисты рекомендуют начинать любое обучение с азов. Следует применять принцип, который называется «от простого к сложному». В плоскостной геометрии (Евклида) существует два понятия: аксиомы и теоремы. К первым относятся утверждения, не требующие доказательства. Они являются базовыми элементами науки и позволяют доказывать другие гипотезы или утверждения.

Кроме того, на основании доказанных гипотез можно производить операции по доказательству более сложных теорем. Иными словами, геометрия состоит из базисных элементов — аксиом, при использовании которых можно преобразовывать утверждения в неоспоримые факты, а также при комбинациях появляется возможность доказательства более сложных (составных) элементов. Примером последнего случая является гипотеза Пифагора для прямоугольного треугольника. Чтобы ее доказать, нужно знать аксиомы геометрии, а также теорему об отношении площадей подобных треугольников (S/S'). Далее необходимо разобрать основные объекты геометрии.

Объекты геометрии

Простейшим объектом геометрии является точка. С помощью нее строятся простые фигуры, благодаря которым образуются более сложные формы. К элементарным компонентам можно отнести следующие: прямая, отрезок, луч. Первая состоит из множества точек, соединенных между собой в одной плоскости и находящихся в поперечном сечении, диаметр которого эквивалентен диаметру точек. При соединении простейших объектов получается бесконечная линия без перегибов.

Лучом называется часть прямой, имеющая начальную точку, но у которой нет конечной границы. Еще существует один элемент, у которого присутствуют обе границы (левая и правая). Он называется отрезком. Следует отметить, что луч и отрезок могут лежать на одной прямой, а также последний может являться частью первого.

При комбинации двух лучей, исходящих из одной точки получается плоский угол. Он измеряется в градусах или радианах. Следует отметить, что в геометрии существует понятие «нулевого» угла. Это возможно, когда лучи совпадают. При комбинации трех углов можно получить треугольник. Существует также другое определение этой фигуры: треугольником (Δ) называется фигура, состоящая из трех точек, одна из которых не лежит на одной прямой с остальными.

Треугольники бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними. Кроме того, в зависимости от градусной меры, они делятся на такие классы: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Необходимо также отметить, что сумма углов этой геометрической фигуры эквивалентна 180 градусам.

Нужно обратить внимание на такие термины: высоту, медиану и биссектрису. Первой называется перпендикуляр, проведенный из вершины к противоположной стороне. Медиана — отрезок, проведенный из противоположной вершины к середине стороны. Биссектрисой угла является луч или отрезок, который делит его на два равнозначных по величине. В равнобедренном и равностороннем Δ эти элементы совпадают.

Основные аксиомы Евклида

Аксиомой называется утверждение, не требующее доказательств и воспринимаемое в виде факта. Существуют следующие утверждения, которые можно применять при решении задач:

  1. Если на плоскости существует некоторая прямая, то в этом случае точки классифицируются на две группы по отношению к ней: лежащие и не лежащие.
  2. Через две точки можно провести только одну прямую.
  3. При заданных прямой и точке, не лежащей на ней, через последнюю можно провести только одну прямую, которая будет параллельна (||) исходной.
  4. Когда даны три угла, один из которых эквивалентен другому, а последний — третьему, тогда можно сделать вывод об их равенстве. Аналогичное утверждение существует и для отрезков.
  5. Любая прямая содержит две точки, а также точку, лежащую между ними.
  6. Точки, находящиеся на одной плоскости, могут соединяться в любой последовательности вспомогательными отрезками.

Следует обратить внимание на последнюю аксиому. Она позволяет строить любые фигуры на плоскости и в пространстве. Математики очень часто применяют такой прием при решении задач и доказательстве некоторых тождеств при помощи создания дополнительных элементов на чертеже.

Например, в некотором упражнении по нахождению отдельных параметров треугольника в условии содержится очень мало данных. Последний можно вписать в окружность или дополнить до квадрата или прямоугольника. Далее следует разобраться в признаках подобия треугольников.

Подобие двух треугольников

Треугольники являются подобными, когда углы одного эквивалентны всем градусным мерам углов другого, а стороны одного равны сторонам другого, с учетом коэффициента гомотетии. Последний называют еще коэффициентом подобия. Он равен отношению сторон подобных треугольников. Например, дано два подобных Δ ABC и A’B’C' (больший). Коэффициент подобия треугольников обозначается литерой «k». Он больше 0 и вычисляется по такой формуле: k = A’B' / AB = B’C' / BC = A’C' / AC. Подобие фигур обозначается таким образом: ΔABC ∼ ΔA'B'C'.

Не во всех случаях бывают известны углы и стороны фигур. Для этого были сформулированы три признака (условия или критерия), по которым можно определить подобие.

Первое условие

Формулировка первого признака подобия треугольников гласит, что равенство двух углов между собой соответствует подобию двух фигур. Подробнее исходные данные записываются в таком виде: ΔABC ∼ ΔA'B'C', когда ∠ВАС = ∠B'A'C' и ∠ABC = ∠A'B'C'. Доказать утверждение довольно просто. Для этого следует рассчитать третий угол у треугольников исходя из того, что сумма трех углов составляет 180 градусов.

Далее необходимо наложить один Δ на другой, чтобы ∠ВАС совпал с ∠B'A'C'. Используя теорему Фалеса для сторон угла, которые делят на отрезки AC / A’C' = BC / B’C' вершины малого Δ на пропорциональные части. Аналогично доказывается пропорциональность для двух других сторон. Однако для этого следует наложить уже треугольники таким образом, чтобы совпали другие углы. Такие же действия проделать и для третьего угла. На основании определения о подобии треугольников утверждение доказано. Из доказательства математики получили некоторые следствия, которые

будут очень полезны при решении задач:

  1. Фигуры (Δ) подобны при параллельности 3 сторон одного Δ сторонам другого, при перпендикулярности одно стороны другой, а также отсутствия || двух сторон одного Δ сторонам другого.
  2. Фигура, полученная при помощи параллельного переноса со сторонами, которые умножаются на некоторый постоянный коэффициент, подобна исходной.

Равенство AC / A’C' = BC / B’C' эквивалентно коэффициенту подобия. Этот факт можно использовать при решении задач и доказательства других геометрических утверждений или тождеств.

Второй критерий

Математики выделяют еще один признак подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Для доказательства следует рассмотреть ΔABC и ΔA'B'C' со сторонами, связанными таким тождеством: AB / A’B' = AC / A’C'. Кроме того, углы между ними равны: ∠ВАС = ∠B'A'C'. Далее нужно достроить ΔABC до четырехугольника ABCС''. Вершина С'' должна располагаться в зеркальном отображении относительно стороны AB. Полученный ΔABC'' ∼ ΔA'B'C' по I признаку, поскольку у них два угла равны. Следовательно, тождество можно править таким образом: AB / A’B' = AC'' / A’C'.

По условию должно выполняться условие AB / A’B' = AC / A’C'. Тогда AC = AC''. На основании этого факта можно сделать вывод о равенстве ΔABC и ΔABC''. Следовательно, теорема доказана, поскольку эти треугольники (ΔABC'' и ΔA'B'C') подобны по I признаку.

Третий признак

Третий признак подобия двух треугольников формулируется таким образом: два треугольника являются подобными, когда стороны одного пропорциональны сторонам другой фигуры. Для доказательства необходимо рассмотреть ΔABC и ΔA'B'C' со сторонами: AB / A’B' = AC / A’C' = BC / B’C'.

Математики рекомендуют отметить некоторую точку C'' относительно стороны AB. Она не должна лежать на последней. Кроме того, расстояния от C и C'' до стороны AB должны быть эквивалентны. Иными словами, следует построить ΔABС'', который является «зеркальным» отображением ΔABC относительно его стороны AB. Если AB / A’B' = AC'' / A’C', то ΔABC'' ∼ ΔA'B'C' по I признаку.

Следующий шаг — доказательство равенства ΔABC и ΔABC''. Они равны по двум сторонам AC = AC'' и BC = BC''. Следовательно, ΔABC ∼ ΔA'B'C' подобные.

Теорема об отношении площадей

Для решения задач специалисты рекомендуют применять еще теорему об отношении площадей. Обязательным условием ее использования являются ΔABC ∼ ΔA'B'C' с коэффициентом подобия «k». Ее формулировка имеет такой вид: величина отношения площадей двух подобных треугольников прямо пропорциональна квадрату гомотетии.

Исходя из равенства углов ∠ВАС = ∠B'A'C' можно записать такое соотношение, в котором тригонометрическая функция не учитывается, поскольку при делении равных коэффициентов получается 1: S / S' = (AB * AC) / (A'B' * A’C'). По свойству произведения дробей верно такое преобразование: (AB / A’B') * (AC / A’C') = k * k = k 2 . Утверждение доказано полностью.

Некоторые свойства и следствия

Математики также считают, что используя некоторые свойства и следствия из теорем, можно расширить возможности по решению задач. Свойства подобных треугольников можно применять и к другим плоским или объемным фигурам. Следствия классифицируются на несколько типов:

  1. Отношение площадей плоских фигур прямо пропорционально квадрату их k.
  2. Куб коэффициента подобия прямо пропорционален объему большей фигуры и обратно пропорционален объему меньшей: V / V' = k 3 .
  3. Коэффициент «k» эквивалентен отношению периметров (P), а также биссектрис, медиан, высот и перпендикуляров, которые являются серединными.
  4. В прямоугольном Δ длина высоты, опущенной на гипотенузу, эквивалентна среднему геометрическому двух проекций на соответствующий катет. Если она опущена из прямого ∠, то значит делит фигуру на подобные Δ по I признаку.
  5. Величина катета эквивалентна средней величине в геометрической интерпретации гипотенузы и произведению проекции катета на гипотенузу.

Например, второе свойство можно применить для решения такого упражнения: дан объем большего конуса V = 125 м 3 , а необходимо найти значение V' для малого, зная коэффициент k, который равен 3. Задача решается очень просто: V' = [V]^(1/3) = [125]^(1/3) = 5 (м 3 ).

Пример решения

Существуют множество типов задач, однако наиболее часто попадаются такие, в которых необходимо доказать, что фигуры являются подобными. Стороны ΔABC равны таким значениям: 10, 12 и 25. Кроме того, существует еще ΔA'B'C' со сторонами 5, 6 и 10. Фигуры не имеют точек пересечения. Необходимо доказать их подобие.

Для решения рисунок чертить необязательно, поскольку для доказательства необходимо применение не геометрического метода, а алгебраического. Следует ввести обозначения для ΔABC: AB = 10, BC = 12 и AC = 25. Аналогичную процедуру необходимо сделать для ΔA'B'C': сторона A’B' равна числу 5, B’C' = 6 и A’C' = 10.

Далее нужно вычислить коэффициент k для каждой из сторон: k1 = AB / A’B' = 10 / 5 = 2, k2 = BC / B’C' = 12 / 6 = 2 и k3 = AC / A’C' = 25 / 10 = 2,5. Из соотношений следует, что фигуры не являются подобными, поскольку не выполняется такое равенство: k = k1 = k2 = k3. Для наглядности можно построить также таблицу со значениями коэффициентов.

Таким образом, для решения задач по нахождению параметров подобных треугольников необходимо знать признаки подобия, а также некоторые свойства, которые рекомендуют использовать специалисты-математики.


math-public:pervyj_priznak_podobiya_treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Первый способ (без использования тригонометрии).

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – два треугольника, у которых $\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1$.

Докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle C=\angle C_1$, то $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$ и $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{CA\cdot CB}{C_1A_1\cdot C_1B_1}$.

Из этих равенств следует, что $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}$.

Аналогично, используя равенство $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$, получаем, что $\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{CA}{C_1A_1}$.

Итак, стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Второй способ (через тригонометрию).

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – два треугольника, у которых $\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1$.

Докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по теореме синусов: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin{A}}{\sin{B}}=\dfrac{\sin{A_1}}{\sin{B_1}}=\dfrac{a_1}{b_1}$, следовательно $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}$.

Аналогично можно получить, что $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{c}{c_1}$.

Следовательно, $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}=\dfrac{c}{c_1}$.

math-public/pervyj_priznak_podobiya_treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/04/08 18:19 — labreslav

Первый признак подобия | Треугольники

Теорема

(Первый признак подобия треугольников — подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,

∠A=∠A1, ∠B=∠B1,

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

1) По теореме о сумме углов треугольника

∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C1=180°-(∠A1+∠B1).

Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то и ∠C=∠C1.

2) На луче A1B1 отложим отрезок A1B2, A1B2=AB.

3) Через точку B2 проведем прямую B2C2, параллельную прямой B1C1.

4) ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1).

Значит, ∠A1B2C2=∠B.

5) В треугольниках A1B2C2 и ABC:

  • ∠A1 =∠A,
  • ∠A1B2C2=∠B,
  • A1B2 =AB.

Значит, ΔA1B2C2 = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A1C2=AC.

6) По теореме о пропорциональных отрезках,

   

Так как A1B2 =AB и A1C2=AC, то

   

7) Аналогично доказывается, что

   

8) Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1:

∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1,

   

Значит, ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по определению подобных треугольников).

Что и требовалось доказать.

При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Подобные треугольники
  5. Первый признак подобия треугольников
Теорема

Для доказательства данной теоремы нам необходимо доказать, что углы данных треугольников соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

Доказательство

Дано: АВС и А1В1С1, А = А1, В = В1

Доказать: АВСА1В1С1

Доказательство:

По теореме о сумме углов треугольника А +В +С = 1800 и А1 +В1 +С1 = 1800, другими словами, С = 1800 - А -В  и С1 = 1800 - А1 -В1, и, значит,  С = С1. Таким образом,углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1.

Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Так как А = А1 и С = С1, то,

Так как А = А1 и В = В1, то

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 580, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 581, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 613, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 689, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 847, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1117, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Признаки подобия треугольников - это... Что такое Признаки подобия треугольников?


Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1.

Доказать: ∆ABC \sim ∆A1B1C1.

Доказательство

Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, ∠A=∠A1, \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}.

Доказать: ∆ABC \sim ∆A1B1C1.

Доказательство

Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, \frac{AB}{A_1B_1}

= \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}.

Доказать: ∆ABC \sim ∆A1B1C1.

Доказательство

Признаки подобия прямоугольных треугольников

  1. По острому углу — см. первый признак;
  2. По двум катетам — см. второй признак;
  3. По катету и гипотенузе — см. второй признак.

Свойства подобных треугольников

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

Связанные определения

  • Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
  • Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Литература

  • Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Признак Абеля
  • Признание: Два лица зла (фильм)

Смотреть что такое "Признаки подобия треугольников" в других словарях:

  • Признаки равенства треугольников — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия

  • Подобие треугольников — Признаки подобия треугольников геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов. Содержание 1 Признаки подобия треугольников 1.1 Первый признак …   Википедия

  • Преобразование подобия — Подобие  преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A, B и их образов A , B имеет место соотношение | A B | = k | AB | , где k  положительное число, называемое коэффициентом подобия. Содержание 1 Примеры 2 Связанны …   Википедия

  • Подобные треугольники — Подобные треугольники  треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Содержание 1 Признаки подобия треугольников 1.1 Первый признак …   Википедия

  • Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

  • Подобие — У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения). Подобие  преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где   положительное число, называемое… …   Википедия

  • Подобные фигуры — Подобие  преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A, B и их образов A , B имеет место соотношение | A B | = k | AB | , где k  положительное число, называемое коэффициентом подобия. Содержание 1 Примеры 2 Связанны …   Википедия

  • подобие — я; ср. 1. Пренебр. Нечто похожее, сходное с чем л. Жалкое п. старинного полонеза. П. человеческой фигуры. Не Гамлет, а его бесконечные подобия. Лепить по своему подобию (влияя на кого л., воспитывая кого л., делать его похожим на себя). 2. Матем …   Энциклопедический словарь

  • Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия

  • подобие — я; ср. 1) пренебр. Нечто похожее, сходное с чем л. Жалкое подо/бие старинного полонеза. Подо/бие человеческой фигуры. Не Гамлет, а его бесконечные подобия. Лепить по своему подобию (влияя на кого л., воспитывая кого л., делать его похожим на… …   Словарь многих выражений


Третий признак подобия треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Подобные треугольники
  5. Третий признак подобия треугольников
Теорема
Доказательство

Дано: АВС и А1В1С1,

Доказать: АВСА1В1С1

Доказательство:

Рассмотрим АВС и А1В1С1, у которых (1)

Для доказательства теоремы, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что  А = А1.

Рассмотрим АВС2, у которого 1 = А1, 2 = В1.

АВС2А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников, поэтому (2).

Сравнивая равенства (1) и (2), получаем: ВС = ВС2, СА =С2А. АВС =АВС2 по трем сторонам. Отсюда следует, что А = 1, а так как 1 = А1, то А = А1. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 560, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 613, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 626*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Геометрия: сравнение: доказательство подобия треугольников

Есть три простых способа доказать сходство. Этих техник много как те, которые используются для доказательства соответствия - это методы показать это все соответствующие углы совпадают, и все соответствующие стороны равны пропорционально без необходимости знать размер всех шести частей каждый треугольник.

AA (угол-угол)

Если две пары соответствующих углов в паре треугольников конгруэнтны, то треугольники похожи.Мы знаем это, потому что если две пары углов то же самое, тогда и третья пара должна быть равной. Когда три пары углов все равны, три пары сторон также должны быть пропорциональны. Картинка третья углы плавающего вокруг треугольника. Если они вершины треугольника, они не определяют размер треугольника сами по себе, потому что могут отойдите подальше или ближе друг к другу. Но когда они двигаются, треугольник их творение всегда сохраняет свою форму. Таким образом, они всегда образуют похожие треугольники.Диаграмма ниже проясняет это. Рисунок%: Три пары совпадающих углов определяют похожие треугольники На рисунке выше углы A, B и C являются вершинами треугольника. Если один угол перемещается, два других должны двигаться в соответствии с треугольником. Так при любом движении три угла движутся согласованно, образуя новый треугольник с такой же формой. Следовательно, любые треугольники с тремя парами конгруэнтных углов будет похоже. Также обратите внимание, что если три вершины абсолютно одинаковые расстояние друг от друга, то треугольник будет конгруэнтным.Другими словами, конгруэнтные треугольники - это подмножество подобных треугольников.

Другой способ доказать схожесть треугольников - это SSS, сторона-сторона. Если известны меры соответствующих сторон, то их пропорциональность может быть рассчитано. Если все три пары пропорциональны, то треугольники равны аналогичный.

Рисунок%: Если все три пары сторон соответствующих треугольников находятся в пропорции, треугольники похожи

SAS (сторона-угол-сторона)

Если две пары соответствующих сторон пропорциональны, и включенный угол каждая пара равна, тогда два треугольника, которые они образуют, похожи.В любое время два стороны треугольника и их угол между собой фиксируются, тогда все три вершины этого треугольника фиксированы. Со всеми тремя фиксированными вершинами и двумя парами пропорциональных сторон, третья пара сторон также должна быть пропорциональной.

Рисунок%: Две пары пропорциональных сторон и пара равных включенных углов определяет похожие треугольники

Вывод

Это основные методы доказательства совпадения и сходства. С этими инструменты, теперь мы можем делать две вещи.

  • Учитывая ограниченную информацию о двух геометрических фигурах, мы можем доказать их соответствие или сходство.
  • Учитывая, что цифры совпадают или похожи, мы можем вывести информацию об их соответствующих частях, о которых мы раньше не знали.
Связь между соответствующими частями треугольника и всем треугольником равна улица с двусторонним движением, и мы можем идти в любом направлении. .

Подобие треугольников

Определение похожих треугольников

Два треугольника называются подобными, если

(i) их соответствующие углы равны и

(ii) их соответствующие стороны пропорциональны.

, т.е. два треугольника ABC и DEF подобны, если

(i) ∠ A = ∠ D; ∠ B = ∠ E; ∠ C = ∠ F; и

(ii) \ [\ frac {AB} {DE} \] = \ [\ frac {BC} {EF} \] = \ [\ frac {AC} {DF} \]

Символ для отображения подобие треугольников равно «∼».Мы можем написать похожие треугольники как

△ ABC ∼ △ DEF

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Свойства похожих треугольников

Подобные треугольники имеют следующие свойства:

  • Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но не такого же размера.

  • Каждая соответствующая пара углов двух одинаковых треугольников равна.

  • Соотношение сторон любой пары одинаковых треугольников одинаково.

Теоремы о треугольнике подобия

Два треугольника называются подобными, если доказана любая из теорем о треугольнике подобия

.

  • Критерий сходства AAA: если два треугольника равноугольные, то они похожи.

  • Критерий подобия SAS: Если в двух треугольниках две пары соответствующих сторон пропорциональны, а входящие углы равны, то два треугольника подобны.

  • Критерий подобия SSS: если соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны, то они подобны

Критерий сходства AA (угол-угол)

Критерий сходства AA утверждает, что если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Это также иногда называют правилом AAA, потому что равенство двух соответствующих пар углов означало бы, что третья соответствующая пара углов также равна.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке

∠ A = ∠ D

∠ C = ∠ F

Тогда △ ABC ∼ △ DEF ……. По правилу AA

SAS Similarity (Side -Angle-Side) Критерий

Критерий подобия SAS гласит, что если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а также один прилегающий угол между сторонами равен прилежащему углу другого треугольника, то два треугольники похожи.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На рисунке выше

\ [\ frac {LM} {QR} \] = \ [\ frac {LN} {QS} \]

И угол между сторонами равны

Ie L = ∠Q

, следовательно, MLN ∼ △ RQS ……. по правилу SAS

Критерий сходства SSS (сторона-сторона-сторона)

Критерий сходства SSS утверждает, что если стороны одного треугольника равны пропорциональны сторонам другого треугольника или находятся в таком же соотношении, тогда два треугольника подобны.

(изображение будет скоро загружено)

На приведенном выше рисунке

\ [\ frac {AB} {DE} \] = \ [\ frac {BC} {EF} \] = \ [\ frac {AC } {DF} \]

, следовательно, △ ABC ∼ △ DEF ……. По правилу SSS

ПРИМЕЧАНИЕ: Следует отметить, что сходство двух треугольников также должно быть выражено символически, с использованием правильного соответствия их вершин. Например, для △ ABC и △ DEF мы не можем писать Δ ABC ∼ Δ EDF или Δ ABC ∼ Δ FED. Но мы можем записать Δ BAC ∼ Δ EDF.

Основная теорема пропорциональности (Теорема Фалеса)

Основная теорема пропорциональности была сформулирована Фалесом, греческим математиком.Следовательно, она также известна как теорема Фалеса. Сокращенно BPT.

Основная теорема о пропорциональности утверждает, что

Если прямая параллельна стороне треугольника, которая пересекает другие стороны на две отдельные точки, то прямая делит эти стороны пропорционально.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке, если мы рассматриваем DE параллельно BC, то согласно теореме

\ [\ frac {AD} {DB} \] = \ [ \ frac {AE} {EC} \]

Дано: В ΔABC DE параллельна BC

DE пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно.

Чтобы доказать: \ [\ frac {AD} {DB} \] = \ [\ frac {AE} {EC} \]

Построение: начертите EG ⟂ AB и DF⟂ AC и соедините сегменты BE и CD.

Доказательство:

Так как EG ⟂ AB. EG - это высота ADE и DBE.

Теперь у нас есть

Площадь треугольника = \ [\ frac {1} {2} \] × основание × высота

Следовательно, Площадь (ΔADE) = \ [\ frac {1} {2} \] ( AD x EG)

и Площадь (ΔDBE) = \ [\ frac {1} {2} \] (DB x EG)

Теперь принимаем пропорции

\ [\ frac {Площадь \ треугольника {ADE}} {Площадь \ треугольник {DBE}} \] = ½ (AD x EG) / ½ (DB x EG) = AD / DB …….. (1)

аналогично, мы имеем

\ [\ frac {Площадь \ треугольник {ADE}} {Площадь \ треугольника {DEC}} \] = ½ (AE x DF) / ½ (EC x DF) = AE / EC …… .. (2)

Но ΔDBE и ΔDEC находятся на одном основании DE и между одинаковыми параллелями DE и BC

Следовательно,

Площадь (ΔDBE) = Площадь (ΔDEC)

Принимая взаимно с обеих сторон

\ [\ frac {1} {Площадь \ треугольника {DBE}} \] = \ [\ frac {1} {Площадь \ треугольника {DBE}} \]

Умножение обеих сторон на площадь (ΔADE)

\ [\ frac {Площадь \ треугольник {ADE}} {Площадь \ треугольника {DBE}} \] = \ [\ frac {Площадь \ треугольника {ADE}}} {Площадь \ треугольника {DEC }} \]

Используя уравнения 1 и 2, получаем

\ [\ frac {AD} {DB} \] = \ [\ frac {AE} {EC} \]

Следовательно, доказано

Обратное к базовой пропорциональности Теорема:

Если прямая делит любые две стороны треугольника одинаково, то она параллельна третьей стороне i.e если \ [\ frac {AD} {DB} \] = \ [\ frac {AE} {EC} \], то DE параллельна BC

Мы будем использовать это доказательство теоремы о треугольнике подобия для решения примеров треугольников подобия.

Решенные примеры

Примеры треугольников сходства

Пример 1: Ниже приведены два треугольника, доказывающие, что эти два треугольника подобны.

(изображение скоро будет загружено)

.

похожих треугольников - доказательство, определение и теоремы (видео)

Подобные треугольники (определение, доказательство и теоремы)

Сходство в математике не означает того же, что сходство в повседневной жизни. Подобные треугольники - это треугольники одинаковой формы, но с разными размерами сторон.

  1. Определение похожих треугольников
  • Проверка аналогичных треугольников
  • Теоремы подобия треугольника
  • Определение похожих треугольников

    Мороженое с шоколадной крошкой и мороженое с шоколадной крошкой похожи, но не одинаковы.Это повседневное употребление слова «подобный», но не то, как мы используем его в математике.

    В геометрии две формы похожи , если они одинаковой формы, но разных размеров. У вас может получиться квадрат со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см; они были бы похожи. Равносторонний треугольник со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см не будут похожи, потому что они имеют разные формы.

    Подобные треугольники легко идентифицировать, потому что вы можете применить три теоремы, относящиеся к треугольникам.Эти три теоремы, известные как Угол - Угол (AA) , Сторона - Угол - Сторона (SAS) и Сторона - Сторона - Сторона (SSS) , являются надежными методами определения сходства в треугольниках.

    1. Угол - Угол (AA)
    2. Сторона - Угол - Сторона (SAS)
    3. Сторона - Сторона - Сторона (SSS)

    Соответствующие углы

    В геометрии соответствие означает, что конкретная часть на одном многоугольнике точно соответствует аналогичной части на другом.Даже если два треугольника ориентированы по-разному друг от друга, если вы можете повернуть их, чтобы ориентироваться одинаково и увидеть, что их углы одинаковы, вы можете сказать, что эти углы совпадают.

    Три теоремы подобия в треугольниках зависят от соответствующих частей. Вы смотрите на один угол одного треугольника и сравниваете его с таким же углом положения другого треугольника.

    Similar Triangles Corresponding Angles

    Пропорции

    Сходство связано с пропорцией. Треугольники легко оценить на предмет пропорциональных изменений, которые делают их похожими.Их сравнительные стороны пропорциональны друг другу; их соответствующие углы идентичны.

    Вы можете установить отношения для сравнения длин сторон двух треугольников. Если отношения совпадают, соответствующие стороны подобны друг другу.

    Уголок в комплекте

    Включенный угол относится к углу между двумя парами соответствующих сторон. Вы не можете сравнить две стороны двух треугольников, а затем перепрыгнуть на угол, который не находится между этими двумя сторонами.

    Проверка аналогичных треугольников

    Вот два конгруэнтных треугольника. Чтобы облегчить вам жизнь, мы сделали их оба равносторонними треугольниками.

    Proving Triangles Similar

    △ FOX сравнивается с HEN. Обратите внимание, что ∠O на △ FOX соответствует ∠E на △ HEN. Оба ∠O и ∠E составляют , включая углы между сторонами FO и OX на △ FOX и сторонами HE и EN на HEN.

    Side FO конгруэнтен боковому HE; сторона OX конгруэнтна стороне EN, а ∠O и ∠E - входящие конгруэнтные углы.

    Два равносторонних треугольника одинаковые, за исключением букв. Они одинакового размера, поэтому представляют собой одинаковых треугольников . Если бы они оба были равносторонними треугольниками, но сторона EN была бы вдвое длиннее стороны HE, это были бы треугольника, аналогичные .

    Теоремы подобия треугольника

    Triangle Similarity Theorems

    Угол-угол (AA) Теорема

    Угол-угол (AA) говорит, что два треугольника подобны, если у них есть две пары соответствующих углов, которые конгруэнтны.Два треугольника могут быть на больше, чем на аналогичных; они могли быть идентичными. Для AA все, что вам нужно сделать, это сравнить две пары соответствующих углов.

    Примерка Угол-Угол

    Вот два разносторонних треугольника △ JAM и △ OUT. Мы уже отметили два внутренних угла каждого треугольника с помощью сокращения геометрии для сравнения: маленьких косых черт. Одна косая черта для внутреннего A и такая же косая черта для внутреннего ∠U означает, что они совпадают. Обратите внимание, что ∠M совпадает с ∠T, потому что у каждого из них есть две маленькие косые черты.

    Так как ∠A конгруэнтно ∠U, a

    .

    Рабочих листов для проверки подобия треугольников

    Как доказать подобие треугольников? Подобные фигуры определяются как геометрические фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Обычно мы используем три теоремы, чтобы установить подобие треугольников. Три задействованные теоремы: боковой угол-сторона (SAS), угол-угол (AA) и сторона-сторона-сторона (SSS). Угол-угол (AA) Теорема - Угол-угол (AA) теорема гласит, что два треугольника подобны, если две пары соответствующих им углов совпадают.Эти два треугольника могут показаться идентичными. Чтобы с помощью этой теоремы установить конгруэнтность двух треугольников, вам нужно только сравнить две пары соответствующих углов. Боковой угол-сторона (SAS) Теорема - В этой теореме следует порядок стороны, включенного угла и затем стороны. Теорема SAS гласит, что два треугольника подобны, если две стороны треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам второго треугольника, а включенные углы конгруэнтны. Теорема сторона-сторона-сторона (SSS) - Последняя теорема, рассказывающая нам о конгруэнтности треугольника, гласит, что если все три стороны одного треугольника пропорциональны всем трем соответствующим сторонам второго треугольника, то эти два треугольника равны конгруэнтный.

    В геометрии треугольника мы часто пытаемся доказать, что два или более треугольника похожи. Если они похожи, они не одинаковы, но их соответствующие углы и стороны пропорциональны друг другу. Мы можем доказать сходство с помощью ряда различных методов, и все это основано на ситуации. Мы можем использовать постулат подобия угла-угла, если оба треугольника имеют две пары совпадающих углов. Если длины соответствующих сторон треугольников пропорциональны, мы можем использовать постулат подобия угла-угла.Если треугольники имеют конгруэнтный угол и соответствующие катеты этого угла равны по длине, мы можем использовать теорему подобия стороны-угла-стороны. Эти рабочие листы объясняют, как определить, есть ли треугольники и тому подобное, и как использовать сходство для решения проблем. Ваши ученики будут использовать эти листы с заданиями для определения похожих треугольников, применяя правильные доказательства, а также для расчета длины сегментов. Студенты уже должны быть знакомы с применимыми доказательствами и формулами.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *