Полный дифференциал функции двух переменных: Как найти полный дифференциал функции, примеры решений

5.) Полный дифференциал функции. Функции двух переменных.

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy.     (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy. 

6.) Частные производные высших порядков. Функции двух переменных.

частные производные первого порядка мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства переменных . От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

производных от :

и так далее до ; всего получается производных где . Производная обозначается также или . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции .

Если , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается .

Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не , а вдвое меньше.

7.) Градиент функции трех переменных.

Градиентом функции трех переменных u = f ( x, y, z ) в точке A = ( x0 , y0 , z0 )

называется вектор, координаты которого равны частным производным функции

в этой точке:

 ∂u ∂u ∂u 

grad u =  ;

; .

 ∂x A ∂y A ∂z A 

В направлении градиента функция имеет наибольший рост.

8.) Производная функции по направлению.

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Дифференциал функции двух переменных

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 12Следующая ⇒

 

Частным дифференциаломфункции называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной х;

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной у.

 

Пример 1

Найти частные дифференциалы функции

Решение

, .

 

Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:

.

 

Пример 2

Найти дифференциал функции .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим

.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид

.

 

Нормальюк поверхности называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в точке касания.

Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид

.

Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение нормали имеет вид

.

Пример

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение

Найдем частные производные и вычислим их значения в точке :

.

Уравнение касательной плоскости:

или .

Уравнение нормали:

.

 

Производная по направлению и градиент

 

Пусть функция дифференцируема в точке .

Производная функции по направлению вектора находится по формуле

,

где – единичный вектор заданного направления , , – направляющие косинусы вектора, которые находятся по формулам

.

 

Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению .

Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).

 

Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и равный

,

т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции .

Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

 

Пример

Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Решение

Градиент находим по формуле , где

тогда

.

Производная по направлению: ,

где , тогда

 

Контрольная работа № 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

 

7.1. Найти общее решение уравнения .

7.2. Найти общее решение уравнения .

7.3. Найти общее решение уравнения .

7.4. Решить задачу Коши:

7.4.1. .

7.4.2. .

7.5. Решить систему уравнений: , .

 

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 7 и решение типовых задач

 

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (ДУ) вида

 

 

называется уравнением с разделяющимися переменными. В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от у.

 

Путем деления на выражение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл его запишется в виде:

.

Замечание. Деление на может привести к потере решений или , обращающих это произведение в ноль. Среди этих решений могут быть особые решения.

 

Пример

Найти общее решение уравнения .

Решение

Полагая , запишем уравнение в виде ,

разделим переменные , проинтегрируем

,

или , где — общий интеграл уравнения.

 

Размерно-однородные ДУ 1-го порядка

 

Функция называется однородной функцией k-го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

.

Пример 1

Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. данная функция – однородная функция относительно х и у, второго измерения.

 

Пример 2

Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. – однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

 

ДУ 1-го порядка

называется однородным относительно х и у, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Подстановка преобразует это уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Замечание. ДУ вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения.

 

Пример 3

Найти общее решение уравнения .

Решение

Запишем уравнение в виде .

Так как для функции , выполняется условие , то функция — однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Введем подстановку , откуда , тогда уравнение примет вид

,

или

,

откуда получаем

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно:

,

производя обратную замену , находим

,

или

— общий интеграл.

 

Линейные ДУ 1-го порядка

 

Уравнение вида

,

где и – непрерывные функции, называется линейным ДУ 1-го порядка.

Если , то уравнение называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ), если , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ).

Одним из методов решения линейных ДУ 1-го порядка является метод Бернулли, согласно которому решение уравнения ищут в виде произведения двух функций . Одну из функций выбирают произвольно, а другую находят из уравнения в зависимости от первой.

 

Пример

Найти общее решение уравнения .

Решение

Будем искать решение уравнения в виде , тогда . Подставим и в исходное уравнение, получим

.

Сгруппируем члены, содержащие U в первой степени

.

Примем за V какое-либо решение уравнения

,

разделяя в нем переменные, получим

,

проинтегрируем

,

так как достаточно выбрать любое отличное от нуля решение, то постоянную не вводим, считая .

Для нахождения U имеем уравнение

,

разделяя переменные, получим

.

Таким образом, , или — общее решение уравнения.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒


Читайте также:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 3666; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.005 с.)

производных — Какая интуиция стоит за функцией полного дифференциала с двумя переменными?

Я знаю, что этот пост устарел, но я подумал, что было бы полезно поделиться своим пониманием дифференциалов, поскольку я не математик, и, следовательно, это может быть более актуально для таких людей, как я, которые посетили этот вопрос. Я понимаю через линейные приближения. Это, вероятно, более простой способ приобрести некоторую интуицию об этом. Сначала я начну с 2D-кейса, а затем перейду к 3D-варианту.

Допустим, у нас есть функция f(x) (например, y = x 2 + 1 ) и точка P(a, b), которая является ее частью. Таким образом, уравнение для касательной к f(x) в точке P(a, b): форма наклона)

, где f'(a) является производной от f(x) , когда x = a . Следовательно, в точке P(a, b) проходит касательная L(x) = f’(a)(x — a) + b

Теперь дифференциал dy определяется как:

[2] dy = f’(x)dx

Теперь вы можете увидеть сходство между уравнением [1] и [2]. Здесь dy = y — b , что представляет собой изменение значения y при переходе от x = a к некоторому произвольному значению x ( a + Δx = a + dx ) на касательной Л(х) . Заметил, что с математической точки зрения dx и dy может иметь значение любого действительного числа. Но если dx достаточно мало, то dy ~ Δy , то есть f(a + dx) ~ f(a) + dy ; где Δy — изменение нашей функции f(x) . Дифференциалы определялись здесь в терминах изменений и линейной аппроксимации функции.

По аналогии с касательной у вас может быть касательная плоскость для трехмерного случая. Допустим, у нас есть поверхность f(x,y) (например, z = x 2 + y 2 ) и точку на ней P(a,b,c). В P(a,b,c) у вас есть две касательные линии, одна в направлении x и одна в направлении y . Следовательно, наклоны двух касательных линий будут частными производными f(x,y) : f x (x,y) и f y (x,y) при P( а, б, в) соответственно. Поскольку касательная плоскость в точке P(a,b,c) будет содержать две касательные линии, мы можем вывести уравнение касательной плоскости T(x,y) в точке P(a,b,c):0003

[3] z – c = fx(a, b)(x – a) + fy(a, b)(y – b)

или T(x, y) = f x (a, b)(x – a) + f y (a, b)(y – b) + c

Суммарный дифференциал определяется как:

[4] dz = f x (x, y)dx + f y (x,y)dy

Сравните [3] и [4], и вы увидите, что dz является изменением T(x,y) , когда мы идем от точек P(a,b,c) к P(x,y,z). Если dx и dy достаточно малы, чем dz ~ Δz : это аппроксимирует изменение нашей функции f(x,y) при движении от P(a,b,c) на dx и год.

Надеюсь, это поможет!

Майк

Полная производная — GeeksforGeeks

Полная производная функции f в точке является аппроксимацией вблизи точки функции относительно. (относительно) своих аргументов (переменных). Полная производная никогда не аппроксимирует функцию с одной переменной, если в функции присутствуют две или более переменных. Иногда полная производная совпадает с частной производной или обыкновенной производной функции.

Для составной функции:

В общем случае составная функция представляет собой не что иное, как функцию двух или более зависимых переменных, которые зависят от любой общей переменной t. Составные значения функции получаются из обеих переменных.

Если u= f(x,y) , где x и y являются зависимыми переменными при t, , то мы также можем выразить u как функцию t. Подставив значение x, y в ф(х,у) . Таким образом, мы находим обыкновенную производную, которая называется полной производной от u .

Теперь, чтобы найти без фактической подстановки значений x и y в f(x,y).

 

Аналогично, если u = f(x,y,z) , где x, y, z все функции переменной t 5

, то цепное правило: 3 9004

Вопрос:   Дано,   как функция т .  Подтвердите свой результат прямой подстановкой.

Решение: У нас есть,

=

Помещение значений x и y в вышеупомянутых уравнениях

=

Вопрос: . =t 3 +1 и y=t 4 +1. Тогда df/dt при t =1.

Решение: let f (x, y) = E x Siny

= E x Siny. (3T 2 ) + Coasy .E x . (4T 3 ) +

Как мы знаем, x = t 3 +1 и y = t 4 +1

x и y 2 (0,0349)(12) +(0,9994)(2,718) 2 (32)

                              = 238,97

Для неявной функции:

Неявная функция — это функция, переменные которой не являются полностью независимыми переменными. Пусть функция f(x,y) , где x — независимая переменная, а y — зависимая переменная x .

Если f(x, y)= c (константа) будет неявной функцией и отношение между x и y существует , которое определяется как дифференцируемая функция х .

Здесь f(x,y) = константа

Для неявной функции рассмотрим x независимую переменную, а y — функцию x .

          f(x,y) = c           …….

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *