Полярная система координат онлайн: Построить график в полярных координатах на плоскости

Содержание

Прямоугольная и полярная система координат на плоскости

РаботаИнженерныеКонвертеры

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.
Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.
Проекции точки на плоскости на оси координат, а точнее, их числовые значения, называются прямоугольными или декартовыми прямоугольными координатами точки на плоскости.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.
Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости.

Расстояние r от точки до полюса называют полярным радиусом точки . Угол между полярной осью и радиусом называют полярным углом точки.
Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки на плоскости.

Два калькулятора ниже используются для перехода от прямоугольных координат точки на плоскости к полярным и обратно.
(В предположении, что начала координат у обоих систем совпадают, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси Х)

Переход от прямоугольной к полярной системе координат на плоскости

Координата точки по оси Х

Координата точки по оси Y

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Полярный радиус

Полярный угол (радианы)

Полярный угол (градусы)

Переход от полярной к прямоугольной системе координат на плоскости

Полярный радиус

Полярный угол (градусы)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Координата по оси X

Координата по оси Y

Ссылка скопирована в буфер обмена

Полярная система координат — презентация онлайн

Похожие презентации:

Полярная система координат

Декартова система координат в пространстве и на плоскости.

Полярная система координат на плоскости

Полярные координаты

Полярная система координат

Полярные координаты

Графики. Полярные координаты. Изолинии поля

Определенный интеграл. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Длина дуги кривой в полярных координатах. (Семинар 19)

Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

Полярная система координат

Системы координат

1. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Сибирский государственный университет путей сообщения
О. И. Хаустова
ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Лекции по дисциплине:
Математика
Новосибирск — 2010

2. Содержание:

ВВЕДЕНИЕ
Цель
Задачи
Полярная система координат на плоскости
Примеры построения точек в полярной системе координат
Взаимосвязь прямоугольной декартовой и полярной систем координат
Построение графиков функций в полярной системе координат
Некоторые линий в полярной системе координат
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Далее
© Хаустова О.

И.
2

3. ВВЕДЕНИЕ

Положение любой точки в пространстве (в частности,
на плоскости) может быть определено при помощи
той или иной системы координат.
Наиболее употребительны — декартовы прямоугольные
системы координат, изучению которых посвящены
многие разделы школьного курса математики.
Зачастую на плоскости задают полярные системы
координат, а в пространстве — цилиндрические или
сферические системы координат.
Применение полярных координат позволяет
существенно упростить решение многих
теоретических задач, а также находит широкое
практическое приложение.
Далее
© Хаустова О.И.
3

4. Цель:

изучить основные понятия полярной системы
координат, методы построения кривых в
полярной системе координат, возможности
перехода от полярной системы координат к
прямоугольной декартовой, и обратно.
Далее
© Хаустова О.И.
4

5. Задачи:

изучить основные понятия полярной системы
координат;
развить умения и навыки по построению линий
в полярной системе координат;
вывести формулы взаимосвязи полярной и
прямоугольной декартовой систем координат;
изучить способы задания некоторых линий в
полярной системе координат.

Далее
© Хаустова О.И.
5

6. Полярная система координат на плоскости

Фиксируем на плоскости точку О и назовем ее полюсом; луч [ОЕ), исходящий из
этой точки, назовем полярной осью.
.| OE | 1
Выберем масштаб для измерения длин. Пусть
Условимся считать положительными
повороты вокруг точки О,
совершаемые против часовой стрелки.
ρ
Пусть М — произвольная точка плоскости.
Этой точке поставим в соответствие
упорядоченную пару
чисел (ρ, φ),
O
где
| OM |,
причем:
.
φ
E
Полюс
Полярная ось
( ОЕ , ОМ ),
0 , 0 2 .
© Хаустова О.И.
M
Далее
6

7. Полярная система координат на плоскости Основные понятия:

Полярный радиус точки М
Полярные координаты точки М
ρ
M
Полярный угол
точки М
φ
M (ρ, φ)
O
E
Полюс
Полярная ось
| OM |
0
(ОЕ, ОМ)
0 2
Далее
© Хаустова О.И.
7
Примеры построения точек в полярной системе
координат
C(5, π/2 )
E(3,
D(4,
G(1,
C(5,
B(4,
A(6,
π)
3π/4
-π/4
π/2
π/60)
))))
F(-2,
π/6
D(4, 3π/4 )
B(4, π/6 )
E(3, π)
O
G(1, -π/4 )
F(-2, π/6 )
Это интересно!
© Хаустова О.

И.
A(6, 0)
Далее
8

9. Взаимосвязь прямоугольной декартовой и полярной систем координат

Присоединим к полярной системе координат прямоугольную декартову
систему координат так, чтобы ось Ох совмещалась с осью Оу поворотом
на угол φ= 90°.
Тогда полярные координаты выражаются через декартовы формулами:
x y
2
cos
sin
2
х
M
ρ
φ
x
x2 y2
y
x2 y 2
O
у
E
Декартовы координаты точки М выражаются через ее
полярные координаты так:
x cos ,
© Хаустова О.И.
y sin .
Далее
9

10. Построение графиков функций в полярной системе координат

Постройте кривую, заданную уравнением =sin .
1) подготовим таблицу значений и :
0
/6
/4
/3
/2
2 /3
5 /6
7 /6
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
1/2
0
— √3/2
2) выберем полюс О, проведем полярный радиус горизонтально.
/2
2 /3
Это соответствует =0.
Все остальные углы
будем откладывать от него
против часовой стрелки.

/3
/4
/6
5 /6
7 /6
ρ
O
Далее
3) для каждого выбранного отложим от полюса вычисленные ;
2 /3
/2
/3
/4
/6
5 /6
O
ρ
7 /6
4) для отрицательных значений ( — √3/2) расстояние от полюса
откладывается вдоль противоположного направления ;
5) остальные отрицательные совпадут с имеющимися точками;
Далее
© Хаустова О.И.
11
6) соединяем все точки плавной линией:
2 /3
/2
/3
/4
5 /6
/6
O
7 /6
ρ
Уравнение = sin
Определим аналитически центр и радиус полученной окружности.
Далее
© Хаустова О.И.
12
Линия задана в полярной системе
координат уравнением = sin .
у
х
O
Найдем уравнение этой линии
в прямоугольной декартовой
системе координат с началом
в полюсе и осью Ох,
совпадающей с полярной
осью.
Согласно формулам перехода имеем:
Тогда:
Выделив полный квадрат,
y
получим:
2
2
x y
y
x 2 y 2 , sin
x y
2
2
,
1
1 1
x 2 y 2 — 2 y — 0,
2
4 4
x2 y2 y,
2
1
1
2
2
2
x y — y 0,
x y- .

2
4
Уравнение окружности
x y
2
2
1
1
с центром в точке 0; , радиусом .
2
2
© Хаустова О.И.
Далее
13
.
Некоторые линий в полярной системе координат
120
60
150
sin 3
2 sin( 3 )
90
Розы
90
120
150
30
180
0 0.5
1
1.5
210
2
0
30
2 sin2 sin2( 2 ) 180
0 0.5
300
60
90
150
30
5
3
0 0.5
1
210
300
270
© Хаустова О.И.
4 4
3
30
2 sin
2 sin
3
1.5
60
150
0
330
240
0
300
120
5
2
270
90
22 sinsin
3 180
1.5
330
240
270
120
1
210
330
240
60
180
0 0.5
1
210
0
1.5
330
240
300
270
Далее
14
90
90
120
120
60
150
150
30
2 2 180
0 10
20
30
40
210
60
0
30
1- cos( ) )
2(1 -2(cos
)180
0
1
2
210
330
0
3
330
Кардиоида
240
240
300
270
270
90
120
Спираль
Архимеда
60
150
30
cos ( 2 )
2 42 cos
2 180
0 0.

5
1
210
1.5
2
0
Лемниската
Бернулли
330
240
300
270
© Хаустова О.И.
300
Далее
15

16. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В лекции было дано определение и рассмотрены
основные понятия полярной системы координат,
приводились примеры построения линий в полярной
системе координат, были выведены формулы
взаимосвязи полярной и прямоугольной декартовой
систем координат, а также рассмотрены примеры
задания некоторых линий в полярной системе
координат.
Далее
© Хаустова О.И.
16

17. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ:

Гусак,
А. А. Справочник по высшей математике [Текст] / А.
А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – Мн.:
ТетраСистемс, 1999. – 640 с.
Дмитриева,
А. В. Элективный курс по геометрии
«Инверсия и ее приложения к решению задач»: учебнодидактический комплекс [Текст] / А. В. Дмитриева. –
Новосибирск: Изд. НГПУ, 2005. – 193 с.
Свободная
энциклопедия «Википедия» [Электронный
ресурс] / URL:http://ru.

wikipedia.org/wiki/
© Хаустова О.И.
17

English Русский Правила

Калькулятор полярных координат

Автор Bogna Szyk

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 10 октября 2022 г.

Содержание:

Декартовы и полярные координаты
Как преобразовать декартовы координаты в полярные?
Как преобразовать полярную систему в декартову?
Часто задаваемые вопросы

Этот калькулятор полярных координат представляет собой удобный инструмент, который позволяет вам преобразовывать декартовы координаты в полярные и наоборот. Он применим только в 2D-пространстве — для 3D-координат вы можете обратиться к нашему калькулятору цилиндрических координат. Эта статья предоставит вам краткое объяснение обоих типов координат и формул для быстрого преобразования.

Декартовы и полярные координаты

Источник: Wikimedia

Как вы, наверное, знаете, мы используем координаты для однозначного описания положения точки в пространстве. Сейчас мы ограничимся 2D-пространством. Это означает, что у нас есть только два измерения: высота и ширина (без глубины), как на листе бумаги.

Декартова система координат создается путем рисования двух перпендикулярных линий. Тогда точка, где они встречаются, называется началом системы координат. Координаты любой произвольной точки в пространстве — это расстояния между этой точкой и двумя линиями, обозначаемыми цифрой 9.0025 по оси x и по оси y . Вы можете узнать больше о расчете расстояния между двумя точками с помощью нашего калькулятора расстояний.

С другой стороны, полярная система координат не содержит перпендикулярных линий. Началом полярной системы является точка, называемая полюсом . Произвольный луч из этой точки выбран в качестве полярной оси . Чтобы найти полярные координаты данной точки, сначала нужно провести линию, соединяющую ее с полюсом. Тогда координатами точки является длина этой линии r и составляет угол θ с полярной осью.

Наш калькулятор полярных координат может конвертировать как декартовы, так и полярные координаты. Предполагается, что происхождение декартовой системы совпадает с полюсом полярной системы.

Как преобразовать декартову систему в полярную?

Если вы знаете декартовы координаты (x,y) точки и хотите выразить их в виде полярных координат (r,θ) , используйте следующие формулы:

r = √(x² + y²) и θ = arctan(y/x)

Помните, что полярные координаты подчиняются следующим ограничениям:

r должен быть больше или равен 0 ; и
θ должно лежать в диапазоне (−π, π].

Как преобразовать полярную систему в декартову?

Чтобы перейти от полярных координат (r, θ) точки к декартовым координатам (x, y) , просто используйте следующие уравнения:0003

x = r × cos θ и y = r × sin θ

Вы можете заметить, что значение y/x представляет собой наклон линии, соединяющей полюс и произвольную точку.

🙋 Вас также может заинтересовать наш калькулятор сферических координат и калькулятор уклона.

Часто задаваемые вопросы

Могут ли все декартовы координаты быть записаны как полярные координаты?

Да , каждая точка (x,y) на декартовой плоскости может быть преобразована в полярные координаты (r,θ) .

Какова полярная форма декартовой точки (0,0)?

Полярная форма (0,0) не уникальна, потому что каждая полярная точка (0,ϕ) представляет декартову точку (0,0) . Однако по соглашению мы часто выбираем (0,0) в качестве полярных координат декартовой точки (0,0) .

Что такое полярная точка (2,π) в декартовых координатах?

Для преобразования полярных координат в декартовы:

Вспомните формулы преобразования x = r × cos θ и y = r × sin θ .
Вычислить sin(π) = 0 и cos(π) = -1 .
Получаем x = 2 × (-1) и y = 2 × 0
Приходим к декартовым координатам (-2,0) .

Bogna Szyk

Декартовы (x, y) в полярные (r, θ)

Полярные (r, θ) в декартовы (x, y)

Ознакомьтесь с 38 похожими калькуляторами геометрии координат 📈

Средняя скорость измененияБилинейная интерполяцияКатенарная кривая… Еще 35

Декартово и полярное графическое представление функций

Интерактивное графическое представление функций для построения графика функций в декартовой декартовой или полярной

6 системах координат. Способный анимировать полярный график процесса наиболее подходящим образом, он показывает, как полярный график функции строится постепенно на своем домене. Можно также построить график заданной функции в декартовой системе координат

путем снятия флажка с полярной .
Добро пожаловать в самый передовой в мире декартов и полярный функциональный граф ! Графический модуль полярных функций представляет собой графический модуль функций , который рисует график функции в заданной области в полярной системе координат. Такой график называется полярной диаграммой или полярной кривой данной функции.

Процесс построения графика в полярной системе координат и его визуализация с использованием функционального графического калькулятора принципиально отличается от построения графика в декартовой системе координат . Это связано с тем, что полярный график необходимо рисовать постепенно, чтобы можно было визуализировать, как 9Полярный граф 0025

— это , построенный в своей области.
Этот функциональный граф , использующий самую сложную декартову и полярную системы координат , является единственным известным графическим инструментом, который может отображать неперпендикулярную декартову систему координат , а также помогает правильно визуализировать полярную кривую постепенно создается с помощью анимации полярной графики. Таким образом, вы можете наблюдать, как все ваши классные полярные графики рисуются поэтапно.
Вы можете использовать эту чрезвычайно полезную функцию, нажав ► в нижней части графического калькулятора функций (если он скрыт, сначала нажмите кнопку Animate
).
Запускает анимацию процесса построения полярных графиков функции в фокусе . График построен последовательно от начального значения θ₁ до конечного значения θ₂ радиальная ось . Анимированный полярный график показывает вращения угловых осей ( радиальных осей ) и радиальных расстояний .
Затем вы можете нажать ‖ до приостановить анимацию или нажать Готово до остановить ее. Это также закрывает интерфейс анимации. Чтобы отобразить его снова, нажмите кнопку Animate в верхней части полярного графа.
Вы также можете изменить скорость полярной графической анимации с помощью ползунка при условии

Этот бесплатный онлайн графический калькулятор полярной функции также рисует полярных графиков с полярной осью повернутой.
Советы: по мере ввода:
..t заменяется на θ . ( Вы также можете использовать x или t. Они внутренне заменены на θ ).
pi заменено на π .
inf ( бесконечность ) заменяется на ∞ .
Для построения графика кусочно-определенных функций введите каждую часть с соответствующим подынтервалом как одиночную функцию .
Самый быстрый способ ввести dom=(0, 2π) или dom=(-∞, ∞) — это полностью удалить домен, включая dom= .

МышьМатикс! Вы можете использовать мышь для поворота осей , перемещения и изменения масштаба
В дополнение к вводу данных — сначала нажав кнопку шестеренки — вы можете использовать мышь для выполнения некоторых функций, уникальных для этого интерактивный функциональный граф , как описано ниже.
Щелкните по оси (или рядом с ней) и переместите мышь. Это будет вращать ось . графики перерисовываются в неперпендикулярной декартовой системе координат или обобщенной полярной системе координат . Нажмите еще раз, чтобы освободить ось.
Перетащите мышь на , переместите систему координат вместе с графиками.
Дважды щелкните на холсте, чтобы переместить начало координат туда, где был сделан щелчок.

Удерживая клавишу Alt, щелкните по оси до изменить масштаб (увеличение в одном направлении) ; в точка, по которой был сделан щелчок, будет помечена как «1» (или «-1») и станет новой единицей измерения для этой оси.
Анимация вращения оси: Икс у ► ⬛
сообщение

f(x) =
?
f( ) =

⌨
4 Десятичные разряды
Graph FinenessBest (медленно)+2+1Normal-1-2Fast (низко)
Label Axes ось x: ось y: Повернуть оси Ось x°: Ось Y°:
⚙
РезультатыСкрыть 92-4)
Прочие графики
√(4sin(2x)) √(4cos(2x))

Функции — Полярный
Линии
2csc(θ) 2сек(θ) 1/(sin(θ) — cos(θ))
Круги
1 2 6sin(θ) 8cos(θ)
Спирали
θ θ/5 дом=(0, 10π) √(θ) дом=(0, 10π) 1/θ дом=(0, 10π)
Розы
4sin(3θ) 4sin(2θ) 4sin(5θ) 4sin(4θ)
Эллипсы
1/(1-. 8cos(θ)) 1/(1-0,8sin(θ)) 1/(1+.8cos(θ)) 1/(1+.8sin(θ))
Параболы
1/(1-sin(θ)) 1/(1+cos(θ)) 1/(1+sin(θ)) 1/(1-cos(θ))
Гипербола
1/(1+2cos(θ)) 4/(1+2sin(θ)) 1/(1-2cos(θ)) 4/(1-2sin(θ)) 95 дом = (0, 12π)

РАД Полярный
🔍+ 1 🔍−
время построения графика (с)
Калькулятор загружается.
Пожалуйста, подождите….
Сделайте это прозрачным
Толщина графика Угловой режим РАД градус ГРД График по мере ввода (взаимодействие) Скрыть оси Скрыть сетки Показать интерфейс анимации осей
…
Медленный Быстро
Показать угловые оси Сделанный
подпись Отключить программную клавиатуру
Чтобы скопировать или сохранить графики, щелкните правой кнопкой мыши изображение сохраненного графика ниже и выберите «Копировать изображение» или «Сохранить изображение» во всплывающем меню.
это интерактивная полярная функция Grapher была разработана для построения графиков, и, в частности, для демонстрации с помощью анимации того, как график функции создается в полярной системе координат . Полярные кривые могут быть очень сложными и содержать много петель. Все остальные полярные графы
(до этого графического калькулятора полярных функций — недавно некоторые другие графографы в партнерстве с Google и Microsoft начали следовать этому правилу)
отображают полярную диаграмму функции, не показывая, где начинается или заканчивается кривая, а также прослеживаются ли петли, если таковые имеются, и каким образом. Этот уникальный калькулятор графических функций в полярных координатах предлагает правильный способ построения графических функций в полярных системах координат . А именно, он начинает строить график с начального значения угловой координаты θ₁ и постепенно показывает процесс построения графика до конечного значения θ₂, показывая, повторяются ли петли или какая-либо часть кривой. Более того, этот графограф полярных функций позволяет изменять скорость процесса построения полярных графиков.
Легко использовать декартовых или графических функций полярных функций ; введите функцию в любое поле выражения , например, f(x) или r(θ) . График функций выводится на график при вводе (по умолчанию) в выбранной системе координат . (Не беспокойтесь о том, какую переменную вы используете, графическая функция автоматически изменяет переменные в соответствии с выбранными система координат.)
В график два или более функции на одной и той же декартовой или полярной системе координат нажмите » для отображения мультиграфика 82e 90. Панель с несколькими графиками состоит из панелей выражений , которые можно добавить или удалить по желанию, нажав + или × . на каждой панели соответственно. Установка или снятие флажка для любого выражения отображает или скрывает соответствующий график.
Для удобства графопостроитель полярных функций или графопостроитель декартовых функций добавляет подходящий интервал, dom = (0, 2π) или dom = (-∞, ∞), соответственно, к функциональным выражениям и графикам на указанных домен. При желании можно изменить конечные точки . Конечные точки должны быть конечными для построения полярного графика. Устройство графического отображения полярных функций автоматически изменяет бесконечности, если они есть, на конечные значения.
Полярные графики или декартовы графики отображаются сразу же после ввода. Вы можете анимировать процесс построения полярного графика, как описано выше.
Можно установить тонкость декартовых или полярных кривых , выбрав нужный вариант из раскрывающегося списка Graph Fineness . Как правило, чем выше точность, тем больше времени требуется графическому графическому редактору функций для построения графиков функций.
Чтобы скопировать или сохранить графики, сначала нажмите кнопку Копировать/Сохранить график . Изображение графиков появится под графиком функций . Затем вы можете использовать возможности вашего браузера, чтобы сохранить его или скопировать его в ваши документы.
Чтобы оценить функцию , введите число или числовое (постоянное) выражение в соответствующем поле; функциональный граф отображает рассчитанные значения функции с количеством знаков после запятой, которое можно указать с помощью предоставленного ползунка.
Интересные кривые : Нарисуйте любое из выражений в разделе Интересные графики , а также отобразите несколько классных полярных графиков , выбрав его. Для достижения наилучших результатов вам может потребоваться выбрать Graph Fineness как «+1» или выше.
Вы можете установить следующие параметры, нажав кнопку ⚙ (шестеренка) в правом верхнем углу графического холста.
Измените толщину графиков с помощью предоставленного ползунка.
Выберите режим угла ( радиан – по умолчанию , градусов или градусов ).
Если вы отмените выбор График при вводе параметра , вам придется нажать График выбранных выражений , который затем появится в нижней части калькулятора, чтобы обновлять графики всякий раз, когда вы вносите какие-либо изменения в выражения или координаты. плоскость (т. е. переместить начало координат, повернуть оси и т. д.).
При необходимости отобразите элементы управления в верхней части графического редактора функций , которые позволяют запускать/приостанавливать и останавливать вращение любой или всех осей.
No related posts.