Пользуясь определением предела последовательности доказать : Анализ-I
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| rodo_by |
| ||
24/10/13 |
| ||
| |||
10.2013, 23:11 
| provincialka |
| |||
18/01/13 |
| |||
| ||||
Оцените левую часть сверху каким-нибудь более простым выражением.| raenkaa |
| ||
24/10/13 |
| ||
| |||
| provincialka |
| |||
18/01/13 |
| |||
| ||||
к. они существуют и не равны нулю,а потом по теореме о сумме пределов,т.к. они существуют и конечные.| rodo_by |
| ||
24/10/13 |
| ||
| |||
Оцените левую часть сверху каким-нибудь более простым выражением.| gefest_md |
| ||
01/12/06 |
| ||
| |||
Но где-то там будет нестрогое неравенство, , и | rodo_by |
| ||
6 |
| ||
| |||
| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
10.2013, 08:19 | iifat |
| |||
16/02/13 |
| |||
| ||||
10.2013, 08:20 | provincialka |
| |||
18/01/13 |
| |||
| ||||
10.2013, 08:30 | ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
10.2013, 08:31 
| Someone |
| |||
23/07/05 |
| |||
| ||||
| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
Этим же и закончить.| rodo_by |
| ||
24/10/13 |
| ||
| |||
Этим же и закончить.| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 14 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
5 Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .
Указать для числа .№ | № | ||||
5.1 | 1 | 5.11 | 3 | ||
5.2 | 2 | 5.12 | 3 | ||
5.3 | 1 | 5.13 | 1 | ||
5. | 2 | 5.14 | 2 | ||
5.5 | 5.15 | ||||
5.6 | 0 | 5.16 | 1 | ||
5.7 | 1 | 5.17 | 2 | ||
5. | 2 | 5.18 | 2 | ||
5.9 | 5.19 | 1 | |||
5.10 | 1 | 5.20 | 1 |
4
86 Пользуясь отрицанием определения предела последовательности, доказать, что .
№ | № | ||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
6. | 1 | 6.11 | 3 | ||
6.2 | 2 | 6.12 | 3 | ||
6.3 | 1 | 6.13 | 1 | ||
6.4 | 2 | 6.14 | 2 | ||
6.5 | 6. |
1
151 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
6.6 | 0 | 6.16 | 1 | ||
6.7 | 1 | 6.17 | 2 | ||
6.8 | 2 | 6. | 2 | ||
6.9 | 6.19 | 1 | |||
6.10 | 1 | 6.20 |
187 Вычислить пределы :
№ | |||
А | Б | В | |
1 | 2 | 3 | 4 |
7. | |||
7.2 | |||
7.3 | |||
7.4 | |||
7.5 | |||
7.6 | |||
7. | |||
7.8 | |||
1
71 | 2 | 3 | 4 |
7.9 | |||
7.10 | |||
7.11 | |||
7. | |||
7.13 | |||
7.14 | |||
7.15 | |||
7.16 | |||
7.17 | |||
7. | |||
7.19 | |||
7.20 |
12
188 Формулируя определение предела последовательности, студент вместо
8.1 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Доказать, что при таком определении число 5 является пределом последовательности 1, 1, …, 1… .
8.2 «Найдется такое , что при выполняется неравенство » сказал: «Найдется такое , что выполняется неравенство ». Приведите пример не сходящейся последовательности, которая имеет предел при таком определении?
8.
3 «Найдется такое »
сказал: «При всех ».
Какие последовательности будут иметь
предел при таком определении?
8.4 «Для любого » сказал: «Хотя бы для одного ». Доказать, что при таком определении последовательность 2, 2, 2, … имеет предел 7.
8.5 «Для любого » сказал: «Для любого ». Существуют ли последовательности, обладающие пределом при таком определении?
8.6 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Доказать, что при таком определении число 6 является пределом последовательности 3, 3, …, 3… .
8.7 «Для любого » сказал: «Для любого ». Какие последовательности будут иметь предел при таком определении?
8.8 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Существуют ли последовательности, обладающие пределом при таком определении? Если возможно, привести пример.
8.
9 «Для любого
»
сказал: «Хотя бы для одного
».
Доказать, что при таком определении
последовательность имеет предел 0.
8.10 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Какие последовательности будут иметь предел при таком определении?
8.11 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Доказать, что при таком определении число 7 является пределом последовательности 4, 4, …, 4… .
8.12 «Для любого » сказал: «Хотя бы для одного ». Доказать, что при таком определении последовательность 4, 4, 4, … имеет предел 10.
8.13 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Доказать, что при таком определении число 7 является пределом последовательности .
8.14 «Для любого » сказал: «Для любого ». Какие последовательности будут иметь предел при таком определении?
8.
15 «Для любого
»
сказал: «Хотя бы для одного
».
Доказать, что при таком определении
последовательность имеет предел 0.
8.16 «Для любого » сказал: «Для любого ». Какие последовательности не будут иметь предел при таком определении? Привести пример.
8.17 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Доказать, что при таком определении число 8 является пределом последовательности 5, 5, …, 5….
8.18 «Для любого » сказал: «Хотя бы для одного ». Доказать, что при таком определении последовательность имеет предел 0.
8.19 «Выполняется неравенство » сказал: «Выполняется неравенство ». Доказать, что при таком определении число 10 является пределом последовательности 7, 7, …, 7….
8.20 «Для любого » сказал: «Хотя бы для одного ». Доказать, что при таком определении последовательность имеет предел 0.
Исчисление— Как доказать предел последовательности, используя «$\epsilon-N$»
спросил
Изменено 5 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 29 тысяч раз
$\begingroup$
Я думаю, что хорошо понимаю общую процедуру, но мне трудно манипулировать своим неравенством, чтобы я мог изолировать $n$ сам по себе. и затем работать с этим. Но моя идея использовать $f=\lvert n+1\rvert$, кажется, тоже немного застряла. $\endgroup$ 5 $\begingroup$ Так как данная последовательность положительна для всех $n\geq 1$, мы можем опустить знаки модуля. 92+1}|<\эпсилон.$ $\endgroup$ $\begingroup$ Определение $\epsilon-N$ для $\lim_{n\to \infty}a_n=L$
$$
\большой(
\forall \epsilon>0
\большой)
\большой(
\существует N_{\epsilon}\in \mathbb{N}
\большой)
\большой[
(
\forall n\in \mathbb{N}
)
(
п> N _ {\ эпсилон}
)
\ подразумевает
(
|a_n-L|<\эпсилон
)
\большой]
$$
То есть при произвольном, но фиксированном $\epsilon>0$ мы должны найти кандидата в $N_\epsilon\in\mathbb{N}$ со свойством, что
$$
(\forall n\in \mathbb{N}
)
(
п> N _ {\ эпсилон}
)
\ подразумевает
(
|a_n-L|<\эпсилон
)
$$
Число $N_\epsilon$ также зависит от предела $L$ и самой последовательности. $\endgroup$ Здесь мы обсудим аспекты, которые вам необходимо знать для понимания концепции сходимости последовательности. Мы предоставим вам пошаговую презентацию всех концепций. Во-первых, что такое последовательность? Последовательность представляет собой функцию \(f : \mathbb N \rightarrow \mathbb R\), определяемую как \(f(n) = x_n\), и обычно обозначается \(x_1,x_2,. Теперь, когда мы знакомы с последовательностями, попробуем понять, что представляет собой предел последовательности. Проще говоря, предел — это математически точный способ говорить о приближении к значению, не оценивая его напрямую. Вещественное число \(L\) является пределом последовательности \(x_n\), если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к \(L\), а не к какому-либо другому числу. В общем смысле пределом последовательности является значение, к которому она приближается с произвольной точностью. Например, если \(x_n = c\) для некоторой константы \(c,\), то \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n \to c,\) и если \(x_n = \frac 1n,\), затем \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n \to 0\). Когда предел последовательности как \(n \to \infty\) приближается к единственному значению, мы говорим, что последовательность сходится. Мы говорим, что последовательность \(x_n\) сходится , если существует \(x_0 \in \mathbb R\) такое, что для каждого \(\epsilon> 0\) существует натуральное число \(N\) такое что \(x_n \in (x_0 − \epsilon,x_0 +\epsilon)\) или \( |x_n −x_0| < \epsilon\) для всех \(n \geq N\). Легко проверить, что если такое число \(x_0\) существует, то оно уникально. В этом случае мы говорим, что последовательность \(x_n\) сходится к \(x_0\), и мы называем \(x_0\) пределом последовательности \(x_n\). Если \(x_0\) является пределом \(x_n\), мы пишем \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = x_0\). Примечание: Сходимость каждой последовательности, приведенной в приведенных выше примерах, проверяется непосредственно из определения. В общем, проверка сходимости непосредственно из определения — трудная задача. Мы увидим некоторые методы нахождения пределов определенных последовательностей и некоторые достаточные условия сходимости последовательности. Теперь, когда мы получили понятие сходимости в теоретических терминах, пришло время разработать несколько примеров и построить прочную основу сходимости последовательностей. Поехали:: Сходится ли следующая последовательность: \[ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots , \frac{1}{n}, \ldots \,?\] Кажется, что последовательность приближается к 0. Чем больше становится \(n\), тем меньше и меньше член становится ближе к 0. Таким образом, последовательность сходится. \(_\квадрат\) Доказательство: Сходится ли следующая последовательность, порожденная функцией \(f(n)=1+\frac{1}{10^n}\): \[1. \[\журнал 2\]
\[\пер 2\]
\[1\]
\[2\] Пусть \(g(n) = n — \big \lfloor \frac{n}{2} \big \rfloor+ \big \lfloor \frac{n}{3} \big \rfloor — \big \lfloor \frac{n}{4} \big \rfloor + \cdots.\) 9n\) колеблются между двумя разными точками −1 и 1, что означает, что элементы последовательности приближаются к −1 и 1 «часто» по мере увеличения \(n\). \(_\квадрат\) Мы говорим, что функция расходится к бесконечности , если она стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Например, \(f(n)=n\) и \(f(n)=\ln n\) являются такими функциями. Сходится ли следующая последовательность: \[ 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots \, ?\] 9\text{nd}\) пример\(\big),\) то такая последовательность расходится. Ниже будет показано, что если последовательность сходится, то предел разницы между последовательными членами равен 0. Примечание 2 : Верно, что если положительная последовательность неубывающая, то предел существует. Тем не менее, мы не можем легко определить предел. Графическая интерпретация последовательностей является простым инструментом для определения сходимости: Найдите предел \[ \lim_{n \to \infty} \cos n\pi.\] Давайте оценим первые несколько членов этой последовательности. Поскольку члены последовательности колеблются между -1 и 1, мы можем заключить, что последовательность расходится или не сходится к одному значению. \(_\квадрат\) Найдите предел последовательности \[ \frac{1}{ \sqrt{1} } , \frac{1}{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 } { \sqrt{3} }, \ldots , \frac{1} {\sqrt{n}}, \ldots.\] Если мы выпишем первые несколько членов, мы получим \( 1, 0,707\ldots, 0,577 \ldots,\) \( 0,5, 0,445\ldots, 0,408, \ldots, \) и так далее. Не сразу видно, каков предел. Давайте подумаем, что происходит, когда \(n\) действительно велико. Таким образом, предел последовательности равен 0. \(_\квадрат\) Вы должны быть знакомы со следующими свойствами пределов. Если пределы \( \lim a_n \) и \(\lim b_n \) существуют и конечны, то \[ \begin{array} { l r l }
1. & \lim_{n \to \infty}\left( a_n \pm b_n \right) &= \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty} b_n \\
2. & \lim_{n \to \infty} (c\cdot a_n) &= c \cdot \lim_{n \to \infty} a_n \\
3. & \lim_{n \to \infty} \left( a_n b_n \right) &= \Big( \lim_{n \to \infty} a_n \Big) \Big(\lim_{n \to \infty} б_н \Большой)\\
4. & \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} &=\frac{\displaystyle \lim_{n \to\infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n \to\infty} b_n} \text{, если } \lim_{n \to \infty} b_n \neq 0.
\конец{массив} \] Каков предел последовательности \[ \frac{1}{2} , \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots , \frac{n}{n+1}, \ldots \, ?\] Для начала перечислим термины. Мы видим, что сроки увеличиваются и, кажется, приближаются к 1. Обратите внимание, что другой способ записи последовательности — это \( 1 — \frac{1}{n+1} \). Мы знаем, что предел константы 1 равен всего 1, а предел \( \frac{1}{n+1} \) равен 0, поэтому мы можем применить первое правило, чтобы сделать вывод, что \[ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty } 1 — \frac{1}{n+1} = \lim_{n \ стрелка вправо \infty } 1 — \lim_{n \стрелка вправо \infty } \frac{1}{n+1} = 1 — 0 = 1 . \ _\квадрат\]
9{ 1/n },\] тогда что такое \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ f\left( n \right) }? \) Дополнительные вопросы, связанные с KVPY: Основная статья: Определение предела эпсилон-дельта Точнее говоря, эпсилон-дельта определение предела есть \( \displaystyle \lim_{n \to \infty } \left\{ a_n \right\}=L \), если для каждого \( \epsilon > 0 \) существует натуральное число \( M \) такое, что \[\text{если } n > M \text{, то } \left| a_n — Л \право| < \эпсилон .
К сожалению, мне не дали много примеров, чтобы смоделировать мой ответ. 92+1}\right|
2+1}\right|< \epsilon.
\end{выравнивание} 92+1} \lt \varepsilon$, и доказательство сходимости было продемонстрировано. Пределы последовательностей | Brilliant Math & Science Wiki
Содержание
\text{th}\) членом последовательности или значением последовательности в \(n.\) Для например, 93}{3+1}, \ldots\).
Определим сходимость последовательности формально:
Для произвольного \(\epsilon > 0\) неравенство \(|x_n| = \frac 1n < \epsilon\) верно для всех \(n > \frac{1}{\epsilon} \) и, таким образом, для всех \(n > N\), где \(N\) — любое натуральное число такое, что \( N > \frac{1}{\epsilon}\). Таким образом, для любого \(\epsilon > 0\) существует натуральное число \(N\), такое что \(|x_n| <\epsilon\) для каждого \(n \geq N\). \(_\квадрат\)
n}{n}\): 9n}{n}\) колеблются, они «в конце концов приближаются» к единственной точке 0. Общим признаком этих последовательностей является то, что члены каждой последовательности «скапливаются» только в одной точке. \(_\квадрат\)
