Порешать примеры: Мaтeмaтика, тeсты, пpимеpы и задачи по мaтeмaтике

Как помочь ребенку с математикой?

Математическая серия тетрадей Kumon — один из лучших способов изучения математики, проверенный и любимый родителями и детьми. Именно с заданий по математике, придуманных Тору Кумоном для сына, началась легендарная методика.

Сегодня знаменитые тетради помогают освоить разные темы (от изучения цифр до сложных задач и примеров) миллионам ребят во всем мире.

Мы расскажем вам о пяти новых математических новинках. Теперь дроби, умножение и деление многозначных чисел изучать легко и просто.

Как появились тетради

Легендарная методика Kumon имеет математические корни. Она родилась 60 лет назад из простых листов с примерами, которые японский учитель математики Тору Кумон давал своему сыну Такеши. У мальчика были сложности с арифметикой, он получал двойки по предмету. Отец решил помочь.

Каждый день он рисовал для него листы с заданиями и просил сына решать их. Примеры постепенно усложнялись. Прошло совсем немного времени — мальчик стал отличником, а к шестому классу уже с легкостью решал дифференциальные уравнения. Родители одноклассников Такеши попросили Тору Кумона позаниматься и с их детьми. Так появился первый учебный центр Kumon.

Сегодня более 4 миллионов детей во всем мире учат математику и другие предметы по легендарным тетрадям.

Тору Кумон и листы с заданиями для его сына Такеши.

Весело и просто

Родители школьников не понаслышке знают, как сложно бывает объяснить ребенку дроби или деление в столбик. Часто происходит так, что ребенок не понял тему в школе, а родители уже забыли школьную программу. Что же делать? В такой ситуации отличным подспорьем станут тетради «Kumon. Математика».

Первые тетради серии уже успели полюбить дети, родители и педагоги. Каждая из них рассчитана на развитие одного математического навыка. Занимаясь всего 20 минут в день 5 раз в неделю, можно добиться просто блестящих результатов.

В линейке математических тетрадей 6 уровней сложности. Первые три уровня учат складывать, вычитать, умножать и делить простые числа. Это 7 разных тетрадей.

5 тетрадей, о которых мы рассказываем в этой рассылке, охватывают следующие три уровня сложности. Они учат:

 — умножать и делить многозначные числа в столбик;
 — работать с обыкновенными и десятичными дробями;
 — складывать, вычитать, умножать и делить разные дроби.

Почему учить математику с Kumon — здорово

 — Серия основана на уникальной методике, помогающей каждому ребенку полностью раскрыть свой потенциал.

 — Сложность заданий растет постепенно, и ребенок без проблем справляется с каждым новым заданием.

 — В отличие от аналогичных тетрадей, содержащих задания на разные темы, каждая из тетрадей «Kumon. Математика» развивает только один навык. Такая сконцентрированная работа помогает ребенку полностью его освоить.

 — В начале каждой тетради есть упражнения на повторения тем, которые необходимы для освоения нового навыка. Например, прежде чем учится умножать многозначные числа, ребенку предлагают порешать примеры на сложение и вычитание чисел и вспомнить таблицу умножения.

 — Тетради помогают обрести уверенность в математических способностях, что, в свою очередь, способствует мотивации и желанию учиться самостоятельно.

 — Чтобы освоить каждый навык, достаточно заниматься всего 20 минут в день.

 — Тетради предполагают индивидуальный подход. Их создатели уверены: каждый ребенок должен учиться в соответствии со своими способностями, а не по возрасту или классу.

Я сам!

Но это еще не все. Тетради помогают ребенку чувствовать себя самостоятельным и получать настоящее удовольствие от учебы.

У них яркий и позитивный дизайн, поэтому детям хочется по ним заниматься. На каждой странице ребенка ждут добрые персонажи, которые дают подсказки, хвалят или направляют.

Каждая тетрадь устроена так, что ребенок может сам проверять свои ответы и исправлять ошибки. Для этого в конце есть ключи с ответами.

За каждое упражнение он будет получать баллы и вписывать их в специальную графу вверху листа. Отличная мотивация!

И, конечно, в тетрадях ребенка ждет простая и понятная инструкция, как заниматься:

Разные задания

В каждой тетрадке есть разные типы заданий.

1) Простые примеры

2) Задачки

3) Задания «впиши недостающие значения (числа)»

4) Задания с подсказками

Все они помогут ребенку осваивать математику легко и без проблем. А теперь о каждой тетради подробнее.

Умножение. Уровень 4

Эта яркая тетрадка научит ребенка умножать многозначные числа в столбик.

Шаг за шагом он будет осваивать этот навык, его ждут примеры, которые будут постепенно усложняться, полезные подсказки и, конечно, ключи с ответами в конце тетради для самоконтроля.

Деление. Уровень 4

Поможет научить ребенка делить многозначные числа в столбик с остатком и без него.

Многим родителям довольно сложно объяснить ребенку эту тему. Упражнения из этой тетради помогут. Примеры, собранные в ней, нужно решать ежедневно. И тогда ребенок в совершенстве освоит деление и сможет двигаться дальше в освоении математики.

Дроби. Уровень 4

Часто детям тема «Дроби» дается нелегко, но с этой тетрадью проблем в ее освоении не возникнет. Ребенок довольно быстро научится складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями и десятичные дроби с двумя знаками после запятой.

Занимаясь каждый день по 20 минут, он освоит дроби примерно за месяц. Но что еще важнее — каждое занятие будет приносить ему радость.

Дроби. Уровень 5

Эта тетрадь поможет освоить такие непростые действия, как умножение и деление десятичных дробей в столбик, а также научит складывать и вычитать неправильные дроби. Продвигаясь вперед небольшими последовательными шажками, ребенок обретет не только математические знания, но и уверенность в своих силах.

Решая разные примеры день за днем и получая за каждый определенное количество баллов, он с легкостью и удовольствием освоит школьную программу и обгонит сверстников.

Обыкновенные дроби. Уровень 6

Тетрадь научит быстро и ловко складывать, вычитать, умножать и делить обыкновенные дроби c разными знаменателями. Шаг за шагом ребенок будет осваивать эти действия.

Сначала он научится работать с обыкновенными дробями, решать примеры в одно действие, а к концу тетради сможет складывать, вычитать, делить и умножать дроби с разными знаменателями и решать примеры в три-четыре действия.

Говорят: «Практика — путь к совершенству». И это особенно верно, когда речь идет об изучении математики. С помощью этих тетрадей ваш ребенок без труда освоит этот предмет, станет увереннее в себе и самостоятельнее.

Примеры по математике в 1 классе

1. Форум
2. Архив
3. Детская психология и развитие

Сыну в 1 классе сказали на каникулах подтянуть математику — порешать примеры. У него получается, но только с помощью линейки или на пальцах. Ни первое, ни второе в школе не приветствуется, а как научить считать в уме, не знаю. Может, кто-нибудь знает, подскажите, пожалуйста.

Мое мнение: пусть считает пока на пальцах и линейке, нарабатывайте обьем. Когда будет свободно ориентироваться в пределах первой сотни, линейка станет не нужна.

спасибо

шлите их в сад — дети 3-й месяц только учатся а им уже и в уме считай и диктанты пиши. школа нафига вообще? имхо считать в уме сейчас рано ТРЕБОВАТЬ. кому-то дано, кому то нет. Одни читают бегло уже, другие по слогам еле-еле. первый класс должен всех сровнять по итогу.

я тоже думаю, что учитель должен научить — я не обладаю таким даром, иначе преподавала бы. И сказки на дом задавать читать тоже рано, по моему мнению, но, к сожалению, оно никого не интересует(((

Скачайте программу Отличник.Там от самых простых примеров.Мой дошкольник справляется.

спасибо,сейчас посмотрю

Вам надо хорошо выучить состав числа до 10, чтобы от зубов отскакивало. Берите счетные палочки, раскладывайте наглядно, пока не запомнит хорошо. Потом в уме начнет считать.

программу скачала,там примеры,но не пойму,как с ее помощью в уме научиться считать

Состав числа должен отложиться в башке наизусть. А эти примеры именно для автоматизации навыка.

Я покупала сыну тетрадь «тренажер по математике — 1000 примеров» . супер-вещь. после третьей сотни на пальцах лень будет

мой первоклашка уже линейку проходит точка нуль, отрезок, понятие луча, вектора.. мдя… как раз седни сказали начать учиться отмечать по линейке и примечать опять же по линейке разницу в отрезках, типа на сколько 6 см меньше 4? покажи схематично..

не, читать не рано ИМХО, читать надо и пора уже. ну пусть не сказки. вы с ребенком сходите в магазин, в библиотеку, в ларек с журналами и пусть купит (выберет) то. что ему лично нравится, на условии и подготовки с вашей стороны (готовьте его заранее, что читать и обладать знаниями — это легко и круто). пусть купит хоть какой журнал, хоть с тачками, хоть с бакуганами, хоть о жуках.. но будет его читать, а не листать, вотпрямсразу чтоб читать стал. может, его заинтересует Мурзилка и он станет выписывать?
вспомните нашенского Мурзилку и Пионерскую Правду))))

вектор..это серьезно?

Состав числа…состав числа…) Это НАДО выучить и отработать.

да, вполне. инфу вывешивает для родителей типа к размышлению родителям, мол, страница учебника такая-то, мы проходили в классе то-то, дома рекомендую почитать еще в Азбуке это, читать ежедневно небольшие тексты….
и с абзаца: и хорошо бы уже рассказать про вектор, угол, про точку.. мдя.. ну кагбэ неофицьяльно, а то я мож я коряво написала, нет, не в учебнике.
ну вот переносы слова тоже вроде б не проходят пока программой, но у нашей вовсю уже: ага, не входит слово — подумай, можно ли его на другую строчку? а как? ну-ка, петя-вася-маня, кто знает. .. и ты пы..
плюс, минус, равно, больше, меньше уже пишут, сравнивают. Школа России,
*начинаю волноваться* обычнейшая школа

Загляните ко мне в паспорт, папка «Пазлы, лото, мозаики и проч.»: http://eva.ru/albumpage/109015/562548.htm В ней несколько самодельных пособий, с помощью которых мы довольно легко научились считать

Разве повод для волнений есть? В перспективке угол-точку-дугу-отрезок-ломаную-прямую-луч-многоугольник уже прошли. Стрелочками пользовались, те же вектора направления движения. Разбиение на слоги прошли, а там и переносы рядом. Ударения были. Знаки препинания начали. Написание предложений поняли. Больше-меньше-равно было. Сложение и вычитание чуть-чуть позже будет. Мягкие-твердые согласные прошли, йотированные буквы поняли.
Я, наоборот, в полном восхищении от программы. Потому что при, на мой взгляд, рядовых прописях и простейших темах в учебнике, дети знают уже довольно много. И это при практически полном отсутствии домашних заданий, все на уроке проходят и усваивают. Все знания по возрасту.

По нашему опыту по Школе России было больше традиционного обучения: много-много пишем, решаем примеры-задачи. А в Перспективке начинают с понятий основных, а наработка навыка идет по ходу пьесы.

У Вас — домики, а мы всякие вкусности по корзинам раскладывали

К домикам первое время прилагались стеклянные радужные шарики двух цветов, чтобы у ребёнка выработалась стойкая ассоциация между количеством предметов и его символьныи обозначением, т.е. цифрой.

Уточки *давлюсь чаем*, Вы мну не поняли: мы НАСТОЯЩИЕ хрюкты-овощи отгружали, в настоящие корзинКи))

Поняла (улыбочка как раз знак того, что поняла). Дальше развернула скорее для автора, чем для Вас

Это мальчег у меня, старшОй.

ЖжОт. Визуал до мозга костей. Он до сих пор, когда раскладывает счет, оптимизируя решение сложных примеров, вспоминает, как оно там было — если 9 апельсинов, то это 4+5, а вот 8 — это уже было огурцы, и их было 4+4. Ужас

Ничего не ужОс. Абстрактные знания эффективно усваиваются тогда, когда на ними стоит эмоциональная окраска, ИМХО… от словосочетания «состав числа…» даже меня в сон клонит, что уж о детях говорить

у нас тоже самое, уже прошли все эти ломаные, многоугольники векторы и отрезки, на сколько см нужно увеличить отрезок 8 см, чтобы получился 9 см, напиши примером и начерти. Читать задают от 5 до 8 страниц, пишем слова на слух и переписываем предложения из «азбуки», переносы тоже начали, может они как-то программу корректируют массово?…

все вышеперечисленное мой первоклашка прошел со школой России, сложение — вычитание прошли уже давно, просто закрепляют навык 5-1 6+4 — поставить нужный знак между этими примерами, сегодня проходили ноль.

.. почему-то

У нас сильно отличаются тетради у старшей и младшей. Старшая уже задачи писала в это время в 1 классе. Младшая э… в игрушечки играет, в сравнении. Прикольно так.

Согласна, я по всем предметам покупала книжки издательства «Экзамен» — супер книжки! Очень реккомендую

У меня вообще дома его учить получается значительно эффективнее, ну…на три порядка, я даже заикнулась было о переходе на домашнее обучение, но сын загрустил, т.к. у него в школе товарищи, которых он тоже жаждет «иметь» дозированно, но все равно — тоскует. Там и прыгаем: переделываем ненавистный состав числа в «живую науку», а члены предложения и правила переноса оттачиваем на книге про Бен 10 В этом тексте он их находит с полоборота, тогда как в учебнике и плавал…и плавал…и плавал.

очень прикольно, спасибо за идею)

+ 1. Пока не выучит, так и будет.

Просто выучите — прямо вызубрите! — состав чисел. И дело с решением примеров пойдет гораздо проще и лучше.

выучить состав числа до 10,до 15-до скольки там надо-наизусть-чтобы не думал и от зубов отскакивало.

+1 Сначала состав числа и лучше наглядно (на конфетах, например). Потом ещё примеры Узоровой/Нефёдовой на автоматизацию

Мы там выше с Утками делились опытом

наших в школе заставляют считать в уме. кому очень трудно — дают в руки бусы. там 10 красных и десять белых бусин.
Чтоб считать в уме, надо понимать как правильно это делать. К примеру как, вы ему объясняете как сложить 37 и 8?

Все просто — надо округлять. Сколько от 37 до 40? Три от восьми взяли осталось 5. 40 и 5. Ну как-то так. Тогда быстрее получается. Всегда округлять до десятков.

Просто здорово! C календарём идея тоже понравилась.

да, с Мурзилкой связаны теплые воспоминания)))

Не уверена, что предложенный Вами способ является оптимальным. Это ж надо три действия выполнить:
1. определить, сколько не хватает до 40;
2. определить, сколько остается от 8 после прибавления 3 к 37;
3. прибавить 5 к 40.

Моя сразу прибавляет 8 к 7. После этого остается прибавить 15 к 30.

В школе такой способ дают. Но точно не помню, возможно, не как единственно правильный, а как один из вариантов. Там целая тема на этот счет есть. Только, конечно, не в начале 2-й четверти 1-го класса. По-позже малость. Тоже удивилась, когда такой вариант детям предложен был для «удобства» — это ж надо понять и запомнить — чего на сколько уменьшить, чего куда потом прибавить — моя все время какую-нибудь итерацию теряла в процессе подсчета.

случайно зашла в топ, и тут такое богатство! спасибо за Ваш паспорт! многое взяла на заметку, завтра карточки лото буду вырезать

+1000000
СОСТАВ числа. Без него примеры решать не начнете. Покупайте тетрадки Узоровой.

А мы научились в уме по числовой прямой -Школа Ломоносова -очень удобно и быстро

Открыть тему в окнах

Знаменитости в тренде

Мюзикл «Лукоморье»: вдохновляющая новогодняя сказка о принцессах и богатырях

Елизавета Арзамасова рассказала о семейной жизни с Ильей Авербухом

Анна Хилькевич похвасталась секретом, помогающим реализовывать задуманное

Обучение с помощью пошаговых решений решенных проблем

Когда неспециалисты изучают новые концепции, для них более эффективно изучать пошаговые решения решенных проблем (рабочие примеры), чем пытаться решать проблемы. Проработанные примеры эффективны только тогда, когда учащиеся сами объясняют решения и когда предоставляется несколько разнообразных проработанных примеров одной и той же концепции. Проработанные примеры наиболее эффективны для неспециалистов (то есть для большинства наших студентов большую часть времени). Эксперты получают больше пользы от попыток решить проблемы, чем от изучения рабочих примеров.

Последствия

• Предоставьте учащимся полностью проработанные примеры и попросите их самостоятельно объяснить решения, задавая учащимся дополнительные вопросы (например: «Почему была использована эта стратегия?», «Какой принцип применяется и почему?») , комментируя решения, определяя ошибку в решении или предлагая учащимся сравнить решения двух противоположных примеров.
  • Рассмотрите возможность использования Lightboard для работы с примерами задач и загрузки видео в Panotpo, где затем можно вставлять контрольные вопросы, которые еще больше вовлекают учащихся в процесс решения. Инструмент цифровой доски, такой как «Объяснить все», также позволит прорабатывать, комментировать и объяснять этапы проблемы в визуальной форме.

• По мере того, как учащиеся становятся более опытными в понимании концепции, ослабляйте поддержку, прося их решать все больше и больше шагов в рамках задачи.
  • Подумайте об использовании Gradescope, который упрощает создание и обновление рубрик для задач, где вы можете изменять элементы, по которым вы оцениваете учащихся, по мере того, как исчезает поддержка для определенных типов задач. В случаях, когда учащиеся работают над вопросами или проблемами на Piazza, преподаватель, желающий избавиться от поддержки, может по-прежнему быстро давать обратную связь учащимся, одобряя публикацию учащегося (т. е. помечая ее как «хорошо»).

Примеры

18.02 Многомерное исчисление | Дени Ору:

22.01 Ядерные науки и техника | Майкл Шорт:

Профессор Майкл Шорт использовал Lightboard для синхронного обучения через Zoom, что дало ему возможность прорабатывать и объяснять проблемы, стоя перед виртуальной аудиторией. Узнайте больше об использовании Lightboard профессором Шортом здесь.

Ссылки

Ключевой ресурс:

• Ренкл, А. (2014). Обучение на рабочих примерах: как подготовить учащихся к осмысленному решению проблем. В VA Benassi, CE Overson и CM Hakala (Eds.). Применение науки обучения в образовании: внедрение психологии в учебную программу.  HTTP (доступен загруженный PDF-файл)

Дополнительно:

• Чи, М., Бассок, М., Льюис, М.В., Райманн, П., и Глейзер, Р. (1989). Самообъяснения: как учащиеся изучают и используют примеры при обучении решению проблем. Когнитивная наука , 13 (2), 145–182. DOI
• Купер, Г., и Свеллер, Дж. (1987). Влияние получения схемы и автоматизации правил на перенос решения математических задач. Журнал педагогической психологии , 79 (4), 347–362. DOI
• Калюга, С., Чендлер, П., Туовинен, Дж., и Свеллер, Дж. (2001). Когда решение проблем важнее изучения рабочих примеров. Журнал педагогической психологии , 93 (3), 579–588. DOI
• Калюга, С., и Ренкл, А. (2010). Эффект обращения опыта и его учебные последствия: Введение в специальный выпуск. Педагогическая наука , 38 (3), 209–215. ДОИ
• Паас, Ф., и Ван Мерриенбур, Дж. (1994). Вариативность рабочих примеров и передача навыков решения геометрических задач: подход когнитивной нагрузки. Журнал педагогической психологии , 86 (1), 122–133. DOI
• Ренкл, А. (2014). К учебно-ориентированной теории обучения на основе примеров. Когнитивные науки , 38 (1), 1–37. DOI
• Salden, RJCM, Aleven, VAWMM, Renkl, A., & Schwonke, R. (2009). Отработанные примеры и обучение решению проблем: избыточные или синергетические формы поддержки? Темы когнитивных наук , 1 (1), 203–213. DOI
• Шворм, С., и Ренкл, А. (2007). Обучение навыкам аргументации с помощью подсказок на самоочевидных примерах. Журнал педагогической психологии , 99 (2), 285–296. DOI
• Salden, RJCM, Koedinger, KR, Renkl, A., Aleven, V., & McLaren, B.M. (2010). Учет положительного влияния проработанных примеров при решении проблем с помощью наставника. Обзор психологии образования , 22 (4), 379–392. DOI
• Швонке, Р., Ренкл, А., Криг, К., Виттвер, Дж., Алевен, В., и Салден, Р. (2009). Эффект рабочего примера: не артефакт паршивых условий контроля. Компьютеры в человеческом поведении , 25 (2), 258–266. DOI
• Шворм, С., и Ренкл, А. (2007). Обучение навыкам аргументации с помощью подсказок на самоочевидных примерах. Журнал педагогической психологии , 99 (2), 285–296. DOI
• Свеллер, Дж., и Купер, Г.А. (1985). Использование проработанных примеров вместо решения задач при изучении алгебры. Познание и обучение , 2(1), 59–89. DOI

Назад к результатам обучения на основе исследований

Введение в решение проблем

Введение в решение проблем

Решение проблем

Введение

Каждый хоть раз в жизни чувствовал, как прекрасно было бы, если бы мы могли решить насущную проблему предпочтительно без особого труда или даже с некоторыми трудностями. К сожалению, решение проблем на данный момент является искусством и не существует универсальных подходов к решению проблем. В основном нужно исследовать возможные пути решения один за другим пока не встретишь правильный путь к решению. Таким образом, вообще говоря, есть угадывание и, следовательно, элемент удачи, связанный с решением проблем. Однако в целом по мере получения опыт решения проблем, вырабатывает собственные приемы и стратегии, хотя они часто неосязаемы. Таким образом, догадка не произвольная, а обоснованная.
В этой главе мы собираемся изучить основу для решения проблем и получить представление о стратегиях, которые часто используются экспертами. Они основаны на произведении Поля. Для дальнейшего изучения его книга и другие, такие как Ларсон рекомендуется (но не обязательно).

Схема решения проблем

В процессе решения проблем можно выделить следующие четыре этапа:

(1) Понимание проблемы (см. ниже)
(2) Составление плана решения (см. ниже)
(3) Выполнение плана
(4) Оглядываясь назад, т.е. проверяя

Каждая из первых двух фаз будет объяснена ниже немного подробнее. Этапы (3) и (4) не требуют пояснений.

1. Понимание проблемы

Излишне говорить, что если вы не понимаете проблему, вы никогда не сможете ее решить. Также часто верно, что если вы действительно понимаете проблему, вы можете увидеть решение.
Ниже приведены некоторые вещи, которые могут помочь нам понять проблему.

(1) Извлечь основные части задачи.
Основными частями являются:
Для задач типа «найти», таких как «найти основную сумму и доход для данной инвестиции», НЕИЗВЕСТНО, ДАННЫЕ и УСЛОВИЯ и
для задач типа «доказательство» ГИПОТЕЗА и ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Примеры, иллюстрирующие это, см. Пример 1, и Пример 3, соответственно.

Будьте осторожны со скрытыми предположениями, данными и условиями.

(2) См. определения незнакомых (часто даже знакомых) терминов.

(3) Придумайте один или два простых примера, иллюстрирующих суть задачи.

2. Разработка плана решения

С чего начать?

Начните с рассмотрения основных частей: неизвестных, данных и условий. для «нахождения» проблем и гипотезы и заключения для «доказательства» проблем.

Чтобы увидеть примеры, иллюстрирующие эти кликните сюда.

Что я могу сделать?

Как только вы определите основные части и поймете их, следующее, что вы можете сделать, это рассмотреть проблему с разных сторон и искать контакты с ранее приобретенные знания. Первое, что вы должны сделать, это попытаться найти факты, которые связаны к решаемой проблеме. Соответствующий факты обычно включают слова, которые совпадают или похожи на слова в данной задаче. Также неплохо попытаться вспомнить ранее решаемые подобные задачи. Видеть «Некоторые полезные советы» ниже для получения дополнительной информации.

Для просмотра примеров, иллюстрирующих эти кликните сюда.

Что мне искать?

Ищите полезную идею, которая укажет вам путь до конца. Даже незавершенная идея должна считать. Перейдите вместе с ним в новую ситуацию и повторите этот процесс.

Несколько полезных советов

Не существует единого метода, который работает для всех проблем. Однако есть богатство эвристики, которые мы можем попробовать. Ниже приведены некоторые из часто используемых эвристик.
По мере накопления опыта добавляйте собственные эвристики.

(1) Видел ли я его раньше ?
То есть знаю ли я похожие или родственные проблемы? Похожие/связанные проблемы то же самое или подобное неизвестное или неизвестное может быть другим, но настройки одинаковы или похожи. См. Пример 2 Например.

(2) Провести небольшой анализ отношений между данными, условиями и неизвестными, или между гипотезой и заключением.

(3) Какие факты мне известны связан с проблемой на руках?
Это факты по фигурирующим в задаче предметам. Они часто включают одинаковые или похожие слова. Пример можно найти ниже.
Очень важно знать правила вывода.

(4) Определения: Убедитесь, что вы знаете значение технических терминов. Это, очевидно, имеет решающее значение для решения проблем любого уровня. Но особенно на этом уровне, если вы знаете их значение и понимаете понятия, вы можете увидеть решение к большинству задач без особого труда. См. например Пример 1, и Пример 2 ниже.

(5) Составьте список желаний из промежуточных целей и попытайтесь их достичь.

(6) Вы использовали все условия/гипотезы ? : Когда ищешь пути к решению или пытаетесь проверить свое решение, часто бывает полезно проверить использовали ли вы все данные/гипотезы. Если нет, то что-то есть часто неладно. Видеть Пример 4 например.

(7) Разделить на случаи: Иногда, если вы разделите свою проблему на несколько отдельные случаи на основе свойства объектов, фигурирующих в задаче, это упрощает проблему и очистить свой разум. Например, если проблема касается целых чисел, то вы можете разделить его на два случая: один для четных чисел, а другой для нечетных чисел, как, например, вы можете видеть в Пример 3 ниже.

(8) Доказательство от противного: Если вы делаете предположение, и это предположение производит утверждение, которое не имеет смысла, то вы должны сделать вывод, что ваше предположение неверно. Например, предположим, что ваша машина не заводится. Некоторые вещи могут быть неправильными. Предположим для простоты, что либо разрядился аккумулятор или неисправен стартер. Итак, вы сначала предполагаете, что батарея мертва и попробуй завести. Если не запускается, у вас ситуация, которая не имеет смысл при вашем предположении о мертвой батарее. То есть хороший аккумулятор должен заводить машину, но не заводит. Таким образом, вы делаете вывод, что ваше предположение неверно. То есть батарея не причина. Доказательство от противного следует этой логике.

В этом методе сначала предполагается, что доказываемое утверждение неверно. и попытайтесь нарисовать противоречие, то есть то, что всегда ложно. Если мы производим противоречие, то наше предположение неверно и, следовательно, утверждение, которое мы пытаемся доказать, что это правда. Пример 3 ниже используется этот метод.

Когда вы застряли, пытаясь обосновать какое-то утверждение, доказательство от противного всегда хорошая вещь, чтобы попробовать.
(9) Преобразуйте/переформулируйте проблему, затем попробуйте (1) — (3) выше.

(10) Работа в обратном направлении: В этом подходе мы начинаем с того, что требуется, например, вывод или окончательный (желаемый) вид уравнения и т. д., и считать, что искомое найдено. Тогда мы спрашиваем, от чего предшествующий желаемый результат может быть получен. Если антецедент найден, то мы спрашиваем, из какого антецедента этот антецедент мог быть получен. … Повторяем это процесс до тех пор, пока не будут получены данные/гипотезы или какая-либо легко решаемая проблема достигается. Пример 4 и Пример 5 ниже приведены простые примеры этого подхода.

(11) Упростите проблему, если это возможно. Воспользуйтесь симметриями, которые часто существуют.

Имейте в виду, что первая попытка может не сработать. Но не отчаивайтесь. Если один подход не работает, попробуйте другой. Вы должны продолжать пробовать разные подходы, разные идеи. По мере приобретения опыта ваши навыки решения проблем улучшаются, и вы склонны быстрее найти правильный подход.

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих темы, обсуждавшиеся выше.

Далее — Решение проблем — Пример 1

Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению

Пример 1
Это пример, в котором вы можете найти решение после того, как проанализируете и поймете неизвестные и данные.

Проблема: Опрос телезрителей показывает следующие результаты:
На вопрос «Смотрите ли вы комедии?» 352 человека ответили «Да».,
На вопрос «Смотрите ли вы спорт?» 277 человек ответили «Да», а
На вопрос «Вы смотрите и комедии, и спорт?» 129 человек ответили «Да».

Учитывая эти данные, найти среди людей, которые смотрят хотя бы одну из комедий и спорт, процент людей, которые смотрят хотя бы одну из комедий а спорт смотреть только комедии, только спорт и и комедии и спорт.

Попробуем решить эту задачу, следуя каркас представлен выше.

Понимание проблемы: Это задача типа «найти». Итак, мы пытаемся определить неизвестные, данные и условия.
неизвестных — процент людей, которые смотрят только комедии, процент людей, которые смотрят только спорт, и процент людей, которые смотрят и комедии, и спорт.
Данные — это три числа: 352, 277 и 129, представляющие число людей кто смотрит комедии, спорт, и комедии и спорт соответственно. Обратите внимание, что в число 352 входят люди, которые смотрят оба комедии и спорт, а также люди, которые смотрят только комедии. Аналогично для 277.
условия явно не указаны в условии задачи. Но видно, что проценты должны составлять в сумме 100, и они должны быть неотрицательными.

Разработка плана решения: Здесь мы сначала рассмотрим основные части в деталь.
Сначала рассмотрим неизвестные подробнее. Чтобы рассчитать процент людей, которые смотрят только комедии, например, нам нужно количество людей кто смотрит хотя бы одну комедию или спорт, и количество людей, которые смотрят только комедии. Таким образом, на самом деле в каждом из требуемых процентов участвуют два неизвестных, а настоящие неизвестные — это количество людей в каждой из категорий, и количество людей кто смотрит хоть одну комедию и спорт.

Теперь посмотрим на данные. Во-первых, число 352 — это количество людей, которые смотрят комедии. Но это не обязательно относится к людям, которые смотрят только комедии. Сюда входит и количество людей, которые смотрят как комедии, так и спортивные передачи. Аналогично для второго числа 277.

Давайте использовать символы для представления каждого из неизвестных: Пусть C представляет число людей, которые смотрят только комедии, S — людей, которые смотрят только спорт, и T что из людей, которые смотрят по крайней мере одну из этих программ.
Тогда мы имеем следующие соотношения между неизвестными:
С + 129 = 352
С + 129 = 277
С + С + 129 = Т

Из этих уравнений легко получить C = 223 , S = 148 и T = 500 .
Таким образом, искомые проценты равны 44,6 %, 29,6 %, и 25,8 % соответственно.

Все, что нам нужно было сделать, чтобы решить эту проблему, это проанализировать отношения между данными и неизвестными, то есть ничего особенного, кроме «понимания проблемы».

Далее — Решение проблем — Пример 2

Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению

Пример 2
Это задача, которую можно решить, используя аналогичные известные результаты.

Задача: Найти (длину) диагонали прямоугольного параллелепипеда учитывая его длину, ширину и высоту.

Попробуем еще раз решить эту задачу, следуя каркас представлен выше.

Понимание проблемы: Это задача типа «найти». Итак, мы пытаемся определить неизвестные, данные и условия.
Неизвестное — это диагональ прямоугольного параллелепипеда, а данные — это его длина, ширина и высота. Опять же, нет четко сформулированных условий. Но неизвестное и данные все должно быть положительным числом.

Прежде чем перейти к следующему этапу, убедитесь, что мы поняли терминологии.
Первый прямоугольный параллелепипед представляет собой коробку с прямоугольными гранями наподобие куба. разве что лица нет обязательно квадрат, но прямоугольник, как показано ниже.

Следующая диагональ прямоугольного параллелепипеда – линия, соединяющая две его вершины (угловые точки), которые не лежат в одной плоскости. Это показано на рисунке ниже.

Разработка плана решения: Здесь мы сначала пытаемся найти соответствующие факты. Соответствующие факты часто включают одни и те же или похожие слова или понятия. Поскольку неизвестное диагональ, мы ищем факты, касающиеся диагонали. Обратите внимание, что рисование фигур вот это весьма полезно.
Одним из фактов, который сразу приходит на ум в этой задаче, является Теорема Пифагора. Это связано с прямоугольными треугольниками и показано ниже.

Попробуем посмотреть, поможет ли эта теорема. Чтобы использовать эту теорему, нам нужен прямоугольный треугольник, включающий диагональ параллелепипеда. Как мы можем видеть ниже есть прямоугольный треугольник с диагональю x в качестве гипотенузы.

Однако здесь треугольник включает два неизвестных: x и и . Поскольку x — это то, что мы ищем, нам нужно найдите значение y . Чтобы найти и , отмечаем другой прямоугольный треугольник, показанный ниже.

Снова применив теорему Пифагора, мы можем получить значение   y .
Таким образом   y ² = а ² + б ²
получается из второго треугольника, а
x ² = с ² + у ²
получается из первого треугольника.
Из этих двух уравнений мы можем найти, что x равно положительный квадратный корень из a ² + b ² + с ² .

Далее — Решение проблем — Пример 3

Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению

Пример 3
Это проблема типа доказательства и «доказательство от противного» используется .

Задача: Учитывая, что a , b и c являются нечетными целыми числами, докажите, что уравнение x ² + бх + с = 0 не может иметь рационального корня.

Понимание задачи: Это задача типа «доказать».
Гипотеза состоит в том, что a , b и c являются нечетными целыми числами, и вывод заключается в том, что уравнение ax ² + бх + в = 0 не может иметь рационального корня.
Гипотеза проста. В заключении «рациональный корень» означает корень, то есть значение x , удовлетворяющее уравнению, и это может быть выражено как m / n , где m и n являются целыми числами. Таким образом, вывод означает, что нет числа вида m / n , что удовлетворяет уравнению при гипотезе.

Разработка плана решения: Для этой задачи попробуем «доказательство от противного». Когда вас просят доказать невозможность события или отсутствие определенного вещи, этот подход часто весьма полезен.

Следуя «доказательству от противного», предположим, что вывод неверен, это уравнение топор ² + бх + в = 0 имеет рациональный корень m / н , где м и н являются целыми числами, когда a , b и c являются нечетными целыми числами. Без ограничения общности можно считать, что m и n не имеют общих множителей. затем
а(м/н) ² + б(м/н) + в = 0 . ———————— (1)

Попробуем вывести из этого противоречие.
Сначала упростим это уравнение, т. е. избавимся от дробей.
Поскольку n не равно 0 , умножая обе части (1) на n ² , мы получили
утра ² + бмн + сп ² = 0 . ———————— (2)

С m — целое число, четное или нечетное. Мы собираемся рассмотреть эти случаи один за другим. Это «разделить на дела» .
Давайте сначала рассмотрим случай, когда m четен.
Тогда n нечетно, так как иначе m и n имеют общий делитель 2 . Сейчас утра ² + бмн четно, а cn ² нечетное. Следовательно ² + бмн + сп ² не может быть 0 .

Далее рассмотрим случай, когда m нечетно.
Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы видим, что n также нечетно.
Если m и n нечетны, то am ² , bmn и cn ² нечетны, так как а , б и в являются нечетными целыми числами. Однако сумма трех нечетных чисел не может быть равна 0 .

Таким образом, допустив, что заключение ложно, мы пришли к противоречию, т. е. m / n не удовлетворяет уравнению. Следовательно, наше предположение должно быть неверным, и, следовательно, вывод правильный.

Далее — Решение проблем — Пример 4

Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению

Пример 4
Это еще одна проблема типа доказательства и Используется метод «работы в обратном направлении» .

Problem: Prove that ( a + b + c ) ² 4 ( ab + bc + ca ) , if а, б, в ар три стороны треугольника.

Понимание задачи: Это задача типа «доказать».
Гипотеза состоит в том, что a , b и c три стороны треугольника, а вывод состоит в том, что неравенство ( а + б + в ) ² 4 ( аб + бк + ca ) держит.

Разработка плана решения: Здесь мы попробуем эвристику «Работать в обратном направлении». Это манипулировать вывод, возможно, используя гипотезу, и свести его к чему-то, что очевидно истинный.
Сначала умножив левую часть неравенства, ( a + b + c ) ² = a ² + б ² + с ² + 2 ( аб + до н.э. + ок ).
Следовательно, если a ² + b ² + c ² 2 ( ab + до н.э. + ca ), тогда вывод верен.

Далее, чтобы увидеть, что мы можем попробовать, обратите внимание, что мы еще не использовали гипотезу, и см. если это может помочь здесь.
Хорошо известно, что сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Отсюда а + б > в , б + в > а , и в + а > б держать.
Из них мы можем получить с ( а + б ) > с ² , а ( б + в ) > а ² , и б ( с + а ) > б ² .
Складывая эти три неравенства, получаем
а ² + б ² + в ² < а ( б + в ) + б ( в + а ) + в ( а + б ) = 2 ( аб + до н.э. + ок ).
Отсюда а ² + б ² + в ² < 2 ( аб + до н.э. + ок ).
Отсюда a ² + б ² + в ² 2 ( аб + до н.э. + ок ).
Отсюда ( a + b + c ) ² 4 ( ab + bc + 1 ca 9 49028 9 49028

Далее — Решение проблем — Пример 5

Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению

Пример 5
Это задача типа поиска и «работа в обратном направлении» используется метод .

Задача: Имея ведро на 4 и 9 литров, получите 6 литров воды. в ведре на 9 литров, используя эти два ведра. Вы можете заполнить или опорожнить ведра и вы можете иметь столько воды, сколько хотите.

Понимание проблемы: Это задача типа «найти».
Проблема состоит в том, чтобы получить 6 литров воды в 9-литровом ведре, используя 4-квартовые и 9-квартовые ведра в качестве меры. Вы можете наполнить любое ведро из источника воды или из другого ведра, и вы можете опорожнить ведра в любое время.

Разработка плана решения: Вы можете решить эту проблему несколькими способами. Здесь мы попробуем эвристику «Работать в обратном направлении». Он начинается с желаемого решения и работать в обратном порядке шаг за шагом. На каждом шаге мы пытаемся найти состояние, которое сразу предшествует текущему состоянию, так что мы можем достичь текущего состояния из этого состояния с одним простая операция, такая как наполнение ведра или опорожнение ведра в этой задаче. Мы повторяем этот процесс, пока не достигнем некоторого легко достижимого состояния, такого как пустые ведра, полные ведра, одно ведро полное, другое пустое и т. д.
Наше решение исходной задачи получается путем обхода этого процесса обратно в желаемое состояние.

Обозначим 9-квартовое ведро как A , а 4-квартовое ведро как B для простоты.
В этой задаче желаемое состояние состоит в том, чтобы иметь 6 квартов в A .

Таким образом, на первом этапе «работы в обратном направлении» мы спрашиваем, как мы могли бы получить желаемое состояние одной операцией.

Как легко увидеть, если бы мы могли сбросить 3 кварты из 9 кварты в A , тогда у нас будет 6 кварт в A . Чтобы иметь возможность сбросить 3 кварты из A нам нужна 1 кварта в B . Таким образом, состояние немедленно предыдущему текущему состоянию соответствует состояние, в котором A заполнено и B содержит 1 кварту.

На втором этапе мы задаем вопрос, как получить 1 кварту за Б .
Не так просто получить 1 кварту в B . Итак, давайте посмотрим, действительно ли мы можем получить 1 кварту в A . Если у нас есть 1 кварта в A , то мы можем конечно получить 1 кварту в B без каких-либо проблем. таким образом, мы могли бы сказать, что третье состояние — иметь 1 кварту в A .

На третьем шаге мы задаем вопрос, как получить 1 кварту в А .
Это относительно легко сделать, потому что все, что вам нужно сделать, это избавиться от 8 литров из полного A , что можно сделать, опустошив A дважды в B .

Так как это состояние может быть легко достигнуто (все, что вам нужно сделать чтобы добраться до этого состояния, нужно заполнить A водой), мы останавливаемся здесь. Наше решение исходной задачи теперь получено идя этот процесс в обратном направлении.

Итак, сначала заполняем A . Потом дамп А в B осталось 5 кварт в A . Затем дамп А снова в В . Это дает нам 1 кварта в A . Вылейте это в B . Затем заполните A и опустошите его в B . Теперь у нас есть 6 кварт в A , что и требуется.

Далее — Экстраполяция

Вернуться к расписанию
Вернуться к оглавлению

Артикул

Поля: Г.