Посчитать определитель матрицы как: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

7.3.1. Определитель квадратной матрицы MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1764 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• org/Breadcrumb»>MathCAD 12

• Линейная алгебра
• 7.1. Простейшие матричные операции
  • 7.1.1. Транспонирование
  • 7.1.2. Сложение и вычитание
  • 7.1.3. Умножение
• 7.2. Векторная алгебра
  • 7.2.1. Модуль вектора
  • 7.2.2. Скалярное произведение
  • 7.2.3. Векторное произведение
  • 7.2.4. Векторизация массива
• 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
  • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
  • 7.3.2. Ранг матрицы
  • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
  • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
  • 7.3.5. Матричные нормы
  • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
• 7.4. Вспомогательные матричные функции
  • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
  • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
  • 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
  • 7.4.4. Вывод размера матрицы

Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (листинг 7.14) или набрать на клавиатуре <|> (нажав клавиши <Shift>+<\>). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы:

1. Переместите курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (напоминаем, что линии ввода — это вертикальный и горизонтальный отрезки синего цвета, образующие уголок, указывающий на текущую область редактирования).

2. Введите оператор нахождения определителя матрицы.

3. Введите знак равенства (либо символьного вывода), чтобы вычислить определитель (численно или аналитически соответственно, как это показано в листинге 7. 14).

ВНИМАНИЕ!

Не путайте операторы вычисления определителя квадратной матрицы и длины вектора. В Matncad 12 введен принудительный контроль действий пользователя при вводе этих операторов во избежание путаницы (т. к. один и тот же символ используется для этих двух операций). При попытке вычислить определитель матрицы с помощью оператора |А|, введенного с панели Calculator (Калькулятор), а не Matrix (Матрица), будет выдано сообщение об ошибке, а результат вычисления детерминанта появится только после того, как пользователь вызовет контекстное меню и подтвердит в нем, что он собирается вычислить именно определитель матрицы. То же самое касается и длины вектора, если попытаться ввести его не с панели Calculator (Калькулятор), а с панели Matrix (Матрица).

Листинг 7.14. Вычисление определителя квадратной матрицы

Нравится

Твитнуть

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

10107 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

7089 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12842 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2392 s

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элемент. математикаОсновы алгебрыАлгебраТригонометрияОсновы мат. анализаМатематический анализКонечная математикаЛинейная алгебраХимияPhysics

Рейтинг	Тема	Задача	Форматированная задача
1	Решить, используя обратную матрицу	x+2y=1 , 4x+5y=13	,
2	Перемножить матрицы	[[1/( квадратный корень из 17),-4/( квадратный корень из 17)]][[1/( квадратный корень из 17)],[-4/( квадратный корень из 17)]]
3	Найти область определения	x+y=3
4	Найти область определения	x-y=3
5	Найти область определения	y=-2x+3
6	Найти область определения	y=2x+1
7	Записать в виде векторного равенства	x=x^2+9x+3 , x=x+2	,
8	Найти область определения	y=2x
9	Найти область определения	y=-3x
10	Найти область определения	y=3x-2
11	Найти область определения	y=4x
12	Найти область определения	3x+2y=6
13	Trovare la 5×5 Matrice Identità	5
14	Trovare la 6×6 Matrice Identità	6
15	Trovare la 4×4 Matrice Identità	4
16	Решить, используя обратную матрицу	2x+y=-2 , x+2y=2	,
17	Решить, используя обратную матрицу	4x+4=y , y=6x	,
18	Решить, используя обратную матрицу	4x+2=5y-3 , y=3x-1	,
19	Найти степенное множество	(3,4)
20	Вычислить	кубический корень из 216
21	Найти степенное множество	(1,3)
22	Найти область определения	3x-2y=12
23	Найти область определения	y=5x+2
24	Найти область определения	y=2x-3
25	Найти область определения	y=2x-4
26	Найти область определения	y=2x+5
27	Найти область определения	y=1/2x
28	Найти область определения	y=1/2x-3
29	Найти область определения	y=2/3x-2
30	Найти область определения	x=2y
31	Найти область определения	x-2y=2
32	Найти область определения	x-2y=6
33	Найти область определения	2y+x
34	Найти область определения	2x+y=0
35	Найти область определения	y=5x+6
36	Найти область определения	y=x+3
37	Solve Using a Matrix by Elimination	y=4x+3x-2 , y=6	,
38	Проверить линейную зависимость	B={[[-10,2],[5,-2. 5]]}
39	Сложение	[[2,4],[6,-4]]+[[-3,-7],[20,10]]
40	Проверить линейную зависимость	B={[[-1,2],[0,-2.5]]}
41	Перемножить матрицы	[[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]][[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]]
42	Найти область определения	y=5x
43	Найти область определения	y=7x
44	Найти область определения	y=-x-2
45	Найти область определения	y=x-2
46	Найти область определения	y=x-3
47	Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам	[[4,-3,1,0],[1,0,-2,0],[-2,1,1,0]]
48	Записать в виде векторного равенства	x+y+z=2 , 4x+5y+z=12 , 2x=-4	, ,
49	Найти определитель	[[0,-1,a],[3,-a,1],[1,-2,3]]
50	Найти область определения	y=-x+2
51	Найти определитель	[[2,5,0],[1,0,-3],[2,-1,2]]
52	Найти определитель	[[7,5,0],[4,5,8],[0,-1,5]]
53	Найти обратный элемент	[[1,-3,0,-2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3]]
54	Найти обратный элемент	[[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
55	Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам	[[0,1,5,-4],[1,4,3,-2],[2,7,1,-2]]
56	Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам	[[1,1,0],[1,0,1],[1,0,1],[2,1,0],[2,1,0]]
57	Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам	[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
58	Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам	[[7,8]]
59	Найти область определения	2x+y=1
60	Записать в виде векторного равенства	2x+y=-2 , x+2y=2	,
61	Найти область определения	x-2y=4
62	Найти область определения	x-y=-1
63	Найти область определения	x+y=5
64	Найти область определения	x=-3y-8
65	Найти область определения	x=-2y-8
66	Найти область определения	x+y=6
67	Найти область определения	x+y=4
68	Найти область определения	x+2y=4
69	Найти область определения	x+y
70	Найти область определения	y=7x+9
71	Найти область определения	y=1/2x-5
72	Найти область определения	y=1/2x+2
73	Найти область определения	y=1/2x+3
74	Найти область определения	x-y=-3
75	Найти область определения	x-y=4
76	Найти область определения	y=-2x
77	Найти область определения	y=-2x+1
78	Найти область определения	y=2^(x+9)
79	Найти область определения	y=10-x^2
80	Найти область определения	y=2x-6
81	Найти область определения	y=-2x-3
82	Найти область определения	y=3x-8
83	Найти область определения	y=3x
84	Найти область определения	y=-3x+1
85	Найти область определения	y=4x+3
86	Найти область определения	y=3x-4
87	Найти область определения	y=4x-2
88	Найти область определения	y=-6x
89	Найти область определения	y=x-4
90	Найти область определения	7 корень четвертой степени из 567y^4
91	Найти область определения	c=5/9*(f-32)
92	Найти область определения	f=9/5c+32
93	Вычислить	квадратный корень из 4
94	Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам	[[-6,7],[2,6],[-4,1]]
95	Найти собственные значения	[[2,1],[3,2]]
96	Найти собственные значения	[[4,0,1],[2,3,2],[49,0,4]]
97	Найти степенное множество	A=(2,3,4,5)
98	Найти мощность	(2,1)
99	Решить, используя обратную матрицу	-3x-4y=2 , 8y=-6x-4	,
100	Решить, используя обратную матрицу	2x-5y=4 , 3x-2y=-5	,

определителей, линейное уравнение | Реальная статистика с использованием Excel.

А | ,  из квадратной матрицы n × n A определяется рекурсивно следующим образом: ] (т. е. скаляр), затем det A = а . В противном случае

где A _ij — это матрица A с удаленными строками i и столбцом j .

Обратите внимание, что если A  = , то мы используем обозначение  для det A .

Функции Excel : В Excel предусмотрена следующая функция для вычисления определителя квадратной матрицы:

MDETERM ( A ): 7 А ) = дет. А . Это не функция массива.

Функция реальной статистики DET ( A ) обеспечивает эквивалентную функциональность.

Свойство 1 :

1. det A ^T = det A
2. Если A диагональная матрица, то det A = произведение элементов на главной диагонали A

Доказательство: оба эти свойства являются простым следствием определения 1

Свойство 2:  =  ad   –  bc

Пример 1 : Вычислить det A  где

Из определения 1 и свойства 2 следует, что

Конечно, мы можем получить тот же ответ, используя функцию Excel MDETERM( A ).

Свойство 3 : Если A  и B  являются квадратными матрицами одинакового размера, то det AB = det A ∙ det B 9000 8

Свойство 4 : Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда det A ≠ 0. Если A обратима, то

Первое утверждение эквивалентно тому, что квадратная матрица А  это единственное тогда и только тогда, когда det A = 0.

Свойство 5 : Правила вычисления определителей:

1. Определитель треугольной матрицы является произведением элементов на диагонали.
2. Если мы поменяем местами две строки, определитель новой матрицы будет отрицательным значением старой.
3. Если мы умножаем одну строку на константу, определитель новой матрицы равен определителю старой, умноженному на константу.
4. Если мы добавим одну строку к другой, умноженной на константу, определитель новой матрицы будет таким же, как у старой.

Наблюдение : Правил свойства 5 достаточно для вычисления определителя любой квадратной матрицы. Идея состоит в том, чтобы преобразовать исходную матрицу в треугольную матрицу, а затем использовать правило 1 для вычисления значения определителя.

Теперь мы представляем основанный на Свойстве 5 алгоритм вычисления det A , где A  = [ a _ij ] равно n  ×   n 9000 8 матрица. Начните с установки значения определителя равным 1, а затем выполните шаги с 1 по n следующим образом.

Шаг k  – часть 1(a): Если a _kk  ≠ 0, умножьте текущее значение определителя на a _kk  и затем разделите все записи в строке k  на a _kk  (правило 3 свойства 5).

Шаг k  – часть 1(b): Если a _kk  = 0, поменяйте местами строку k с любой строкой m под ней (т. е. k 90 008 < м ≤ n ) для которых a _mk  ≠ 0, умножьте текущее значение определителя на -1 (правило 2), а затем выполните шаг 1(a) выше. Если такой строки не существует, то завершаем алгоритм и возвращаем значение 0 для определителя.

Шаг k — часть 2: Для каждой строки m ниже строки k добавить — a _mk умножить на строку k до строки 90 007 м  (правило 4). Это гарантирует, что a _ij  = 0 для всех i > k и j ≤ k .

После завершения шага n у нас будет треугольная матрица, диагональ которой содержит все единицы, и поэтому по правилу 1 определитель равен текущему значению определителя.

Пример 2 : Используя свойство 5, найдите

Мы представляем шаги слева направо, а затем сверху вниз на рисунке 1. Для каждого шага указывается используемое правило, а также множитель определитель вычисляется до этой точки.

Рисунок 1. Вычисление определителя в примере 2

Это показывает, что определитель равен -5, тот же ответ дается при использовании функции MDETERM в Excel.

Наблюдение : На шаге k — части 1(b) описанной выше процедуры мы обмениваем две строки, если a _kk = 0. Учитывая, что нам нужно иметь дело с ошибками округления, что произойдет, если a _kk мал, но не совсем равен нулю? Чтобы уменьшить влияние ошибок округления, мы должны изменить шаг k  – часть 1 следующим образом:

Шаг k  – часть 1: найти m ≥ k так, чтобы абсолютное значение a _мк  является самым большим. Если это a _mk ≈ 0 (т. е. | a _mk |< ϵ, где ϵ — некоторое предопределенное малое значение), то завершаем процедуру. Если m > k , то поменять местами строки m и k .

Наблюдение : Определитель можно использовать для решения систем линейных уравнений, как описано в разделе «Системы линейных уравнений с помощью правила Крамера». Кроме того, метод исключения Гаусса, используемый для вычисления определителя, также может быть использован для решения систем линейных уравнений.

Открытие определителя матрицы | Марвин Ланхенке

Основы

Раскрытие ключевого элемента собственного разложения

Опубликовано в

·

7 мин чтения

·

31 декабря, 2021

Photo by Ricardo Gomez Angel на Unsplash

В линейной алгебре есть понятия которые легко понять с первого раза. Вероятно, потому что их приложения и варианты использования относительно очевидны, а концепции несколько осязаемы.

Концепция определителя матрицы , однако, сделала для меня полную противоположность — я больше запутался, чем просветился. Мое замешательство в основном было связано с тем, что у меня резко отсутствовала интуиция — я не мог визуализировать или представить себе значение и назначение определителя.

В следующих разделах мы собираемся развить эту интуицию, изучить несколько процедур для вычисления определителя и получить первое представление о его приложениях.

Определитель описывает функцию, которая отображает матрицы в скаляр. Он определяется произведением всех собственных значений, что допускает несколько менее абстрактную, более геометрическую интерпретацию.

В зависимости от размеров матрицы определитель также может быть интерпретирован как площадь или объем соответственно. Грубо говоря, он говорит нам, насколько умножение на данную матрицу растягивает или сжимает пространство.

Пример геометрической интерпретации [Изображение автора]

Предположим, у нас есть матрица с определителем, равным нулю. Умножение на эту матрицу сожмет пространство и сожмет все в одну строку. Следовательно, площадь также будет равна нулю.

Теперь, когда у нас появилась некоторая интуиция, мы можем перечислить некоторые факты об определителе, чтобы углубить наше понимание:

1. Определитель определен только для квадратных матриц (M x M).
2. Матрица имеет ровно один определитель, так как это скаляр, содержащий информацию о матрице.
3. Определитель равен нулю для сингулярных матриц. Или, говоря иначе, матрицы с линейными зависимостями ранга r < M имеют нулевой определитель.
4. Определитель часто обозначается одним из следующих символов:

Примечание . Следует иметь в виду одну вещь: определитель великолепен в теории, но его трудно вычислить на практике из-за численной нестабильности при расчете для ' большие' матрицы.

В предыдущем разделе мы узнали некоторые основные сведения об определителе и о том, как его интерпретировать. Но как мы это вычисляем?

Процедура вычисления определителя довольно утомительна. К счастью, есть несколько сокращений, применимых только к маленьким матрицам (2x2, 3x3). Сначала мы поговорим о ярлыках, прежде чем говорить об общей процедуре.

Примечание : К счастью, нам не нужно вычислять определитель вручную, так как встроенная функция NumPy numpy. linalg.det(a) сделает всю работу за нас.

2x2 ярлык

Определитель матрицы 2 на 2 относительно легко вычислить. Нам просто нужно умножить каждый элемент вдоль главной диагонали и вычесть произведение недиагональных элементов.

Давайте рассмотрим несколько числовых примеров:

В первом примере мы использовали ярлык для вычисления определителя единичной матрицы 2 на 2, который равен единице. Мы также можем визуализировать это решение как площадь плоскости, где одна сторона определяется единичным вектором v=[1, 0], а другая — единичным вектором w=[0, 1].

Определитель единичной матрицы 2x2 [Изображение автора]

Сингулярная матрица имеет нулевой определитель — и это именно то, что мы видим во втором примере. Поскольку оба столбца линейно зависят друг от друга, у нас есть матрица с недостаточным рангом, в результате чего определитель равен нулю. Думая о решении более геометрически, мы должны представить два вектора, образующих всего одну линию с нулевой площадью.

Определитель для единственной матрицы 2x2 [Изображение автора]

Сокращение 3x3

Вычисление определителя для матрицы 3 на 3 уже более сложно, но относительно похоже на сокращение 2 на 2.

Суммируем все произведения диагональных элементов от верхнего левого до нижнего правого и вычитаем сумму всех произведений недиагональных элементов от верхнего правого до нижнего левого. Мы можем визуализировать эту процедуру двумя различными способами.

1. Один из способов — увеличить матрицу конкатенацией:

Дополненная матричная визуализация [Изображение автора]

2. Другой способ — представить «обход» по диагоналям:

Визуализация обертывающей матрицы [Изображение автора]

Общая процедура

Теперь все становится сложнее быстро. Таким образом, следующий пример будет основан только на матрице 4 на 4.

В общем, процедура состоит в том, чтобы перебрать каждый элемент первой строки, создать подматрицу (3x3), исключив столбец текущего элемента первой строки, вычислить определитель подматрицы и умножить на текущую первую строку элемент. Это даст четыре числа, которые мы будем складывать и вычитать в чередующемся порядке [+,-,+,-].

Мы должны визуализировать процедуру, чтобы распутать сложное описание:

Мы видим, что процедура намного сложнее. Для относительно небольшой матрицы 4 на 4 нам нужно вычислить 4 определителя 4 подматриц, из которых нам также необходимо вычислить определители подматриц и т. д. Таким образом, алгоритм может применяться рекурсивно и, таким образом, становится дорогостоящим в вычислительном отношении.

Однако эта общая процедура может масштабироваться до матрицы любого размера — и, к счастью, нам не нужно вычислять ее вручную.

Теперь мы знаем, что такое определитель, как его интерпретировать и как его вычислять, но один вопрос остается без ответа — для чего он используется?

Некоторые из его приложений, например, предоставляют способ найти обратную заданную матрицу или найти собственные значения. Последнее особенно важно, поскольку собственные значения и, следовательно, собственное разложение играют центральную роль в анализе главных компонент.

Внедрение PCA с нуля

Улучшите свои навыки линейной алгебры, используя только Python и NumPy

в направлении datascience.com

Предположим, у нас есть матрица 2 на 2, и мы уже знаем определитель. Помещение элементов матрицы в одну сторону и определителя в другую часть уравнения позволяет нам найти конкретный элемент матрицы.

Давайте подумаем о числовом примере, чтобы сделать все более очевидным.

Теперь, если мы продолжим эту идею и вычтем несколько неизвестных из действительных чисел по главной диагонали и обобщим уравнение, мы получим характеристический полином матрицы.

Характеристический многочлен полезен, поскольку он позволяет не только выразить матрицу в терминах полиномиального выражения, но и вычислить собственные значения матрицы. Если характеристический полином равен нулю, λ, являющиеся корнями полинома, описывают собственные значения матрицы.

В этой статье мы узнали о понятии определителя матрицы. Как его интерпретировать и вычислить, а также некоторые его приложения.

Два наиболее важных приложения — вычисление обратной матрицы и, возможно, даже более интересное — определение собственных значений.

Как мы вкратце упомянули ранее, определитель матрицы — отличная концепция в теории, но ее трудно вычислить на практике, особенно для «больших» матриц из-за численной нестабильности. Чтобы избежать таких проблем, например, при вычислении собственных значений, существует целое семейство итерационных алгоритмов (например, степенной метод).

Несмотря на практические проблемы, определитель по-прежнему является важной и фундаментальной концепцией, которую необходимо знать и понимать.

Спасибо за внимание! Обязательно оставайтесь на связи и следите за мной здесь на Medium, Kaggle или просто скажите «Привет» на LinkedIn

Понравилась статья? Станьте участником Medium и продолжайте учиться без ограничений.

No related posts.