Построить график функции у х: Построение графиков функций онлайн

2.

Решение.

  1. Функция степенная без каких-либо ограничений, поэтому область определения будет вся числовая прямая. Значения функции — вся числовая прямая.
  2. Четная или нечетная функция.

Подставим вместо переменной х значение —х и по результату сделаем вывод:

   

В результате получили, что функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Функция должна пересекаться с координатными осями. Вычислим точки пересечения функции с ними.

Для вычисления точек пересечения с осью Ох, подставим в функцию вместо переменной х число 0:

   

Функция пересекается с осью Ох в точке с координатами (0; 0).
Вычислим точку пересечения с осью Оу. Для этого подставим вместо переменной у значение 0 и решим полученное уравнение:

   

   

или
или
Функция пересекается с осью Оу в двух точках, первая— это пересечение с осью Ох, так как это начало координат — (0; 0). У второй точки координаты (1; 0).

  1. Поскольку функция степенная, то должна иметь экстремумы. Вычислим их, рассчитав производную:

   

Запишем производную, как равную нулю, и вычислим корни уравнения:

   

   

или
или
Проверим полученные точки на экстремум. Для этого возьмем какую-нибудь точку из каждого полученного промежутка между найденными точками и найдем знак производной на всех полученных промежутках.
Первый промежуток от минус бесконечности до 0. Возьмем точку —1 и рассчитаем для нее производную:
— функция возрастает.
Второй промежуток от 0 до 2/3. Выберем точку 0,5 и вычислим от нее производную:
— функция убывает.
Третий промежуток от 2/3 до + бесконечности. Возьмем точку 1 и вычислим от нее производную:
— функция возрастает на этом промежутке.
Когда функция переходит через точку с абсциссой 0, она изменяет знак производной с + на —. Значит, это точка максимума, а при переходе через точку 2/3 знак производной меняется с — на +, значит, это точка минимума.
Вычислим координаты максимума и минимума:

   

   

Максимум — точка (0; 0)
Минимум — точка .

Содержание

Открытая Математика. Функции и Графики. Параллельный перенос

Пусть имеется график функции y = f (x). Зададимся целью построить график функции

y = f1 (x), где f1 (x) = f (x) + B. Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A (x0; y0) – точка на графике функции y = f (x). Соответствующая ей точка A′ (x0; y1) с той же абсциссой имеет координаты A′ (x0; y0 + B). Точка A′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y = f (x) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0.

Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой {x′=x,y′=y+B, где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x′ и y′ – соответствующей ей точки нового.

Аналогичным образом можно построить график функции y = f (x – b). Точка A′ (x′; y′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка

A (x; y), если x′ = x + b. Таким образом, чтобы построить точку A′, нужно сместить точку A вправо, если b > 0, и влево, если b < 0.

Параллельный перенос графиков

График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b > 0, и на |b| влево, если b < 0.

Алгебраически это записывается системой: {x′=x+by′=y

Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.

В общем случае график функции y = f (x – b) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом, при котором начало координат O (0, 0) переходит в точку O′ (b, B). Обычно находят точку O′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y = f (x).

Как построить график функций? Постройте график функции у 0 5 х2

Сегодня мы внимательно изучим функции, графиком которых является прямая линия.

Запиши в тетрадь тему урока

"Линейная функция и прямая пропорциональность".

Внимательно выполняй все задания и
старайся запомнить новые для тебя определения.

Запомни определение:
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
у = kx + b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа.

Например: если k = 0,5 и b = -2, то у = 0,5х - 2.

Задание:
Построить график линейной функции у = 0,5х - 2.

Составь таблицу значений пар (х, у).
Отметь их на координатной плоскости.
Соедини точки линией.

Проверь решение:
Построим график линейной функции у = 0,5х - 2.


Для построения графика у = -х + 3 вычислим координаты двух точек


Отметим их на координатной плоскости две точки и соединим их прямой.

А сможешь ли ты определить:
принадлежит ли точка А(36; 5) графику линейной функции ?

Да

Нет

А теперь сравни эти два графика и увидим, что у линейной функции у = kx + b,
еще до его построения можно "предугадать" расположение прямой линии на координатной плоскости!

Как?
Просто надо внимательно посмотреть на числа k и b...

И они многое нам расскажут!

Попробуй догадаться...









Функция у = 0,5х - 2 Функция у = -х + 3


Итак, наблюдаем и делаем выводы:
1) Первый пересекает ось ОУ в точке (0; -2), а второй в (0; 3)
!!! у первого b = -2, а у второго b = 3
Вывод: по числу b в формуле y = kx + b мы определим в какой точке прямая пересечет ось ординат.

2) Первый наклонен к положительному направлению оси ОХ под острым углом, а второй - под тупым углом.
!!! у первого k > 0, а у второй функции k
Вывод: если в формуле y = kx + b мы видим, что число k > 0 значит график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под острым углом;
если же число k Число k (коэффициент при х) называют за это - угловым коэффициентом.
Запомни это все! Нам такие знания еще не раз пригодятся

Если в формуле y = kx + b, мы возьмем b = 0, то получим формулу y = kx.

Запомни определение:
Функция, которую можно задать формулой y = kx, где k - некоторое число не равное 0, х - переменная, называется прямой пропорциональностью.

Выполни в своей тетради задание:
Придумай несколько формул прямой пропорциональности с разными коэффициентами k и построй их графики в одной координатной плоскости.

Поскольку у прямой пропорциональности b = 0, то график пересечет ось ОУ в точке (0; 0).

На одной координатной плоскости мы можем нарисовать и несколько графиков!

У линейной функции график - прямая линия.
А прямые могут быть параллельными или пересекаться в одной точке...
Интересно, а до построения графиков, только посмотрев (внимательно!) на их формулы, мы может сделать вывод:

Графики этих функций - пересекутся,
графики этих функций - расположены параллельно.















Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Урок алгебры в 9 классе по теме "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины" был построен на основе компьютерных технологии, применяя исследовательскую деятельность обучения.

Цели урока: Обучающая: Наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции с модулями; для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.

Развивающая: Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ и синтез сравнение, обобщение. Формирование ИКТ компетентности учащихся.

Воспитывающая: Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения. Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: Оборудование: компьютерный класс, интерактивная доска, презентация на тему "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины", раздаточный материал: карточки для работы с графической моделью функций, листы для фиксирования результатов исследования функций, персональные компьютеры. Лист самоконтроля.

Программное обеспечение: презентация Microsoft PowerPoint "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины"

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение, обобщение и систематизация. Это этап урока сопровождается компьютерной презентацией.

График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| - четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f (х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f (х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.


1. Исследование графика функции у= |х|

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся сделают вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х, сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х 0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?

Слайд 3 и 4.

1. Построите график функции у=0,5 х 2 - 2|х| - 2,5

1) Поскольку |х| = х при х 0, у=0,5 х 2 - 2х - 2,5 . Если ху=0,5 х 2 + 2х - 2,5 .

2) Если рассмотрим график у=0,5 х 2 -2х - 2,5 при х

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?

1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 - х - 3. Если ху=0,25 х 2 + х - 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

(0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

у =0, х 2 -х -3 = 0

х 2 -4х -12 = 0

Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

На тетрадях ученики доказывают, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.

Доказательство: Если х 0, то f |(х)|= f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)| совпадают. Так как у = f |(х)| - чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции у = f (х) следующим образом:

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х отразить построенную часть

относительно оси ОУ.

Слайд 5

4. Исследовательская работа по построению графика функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х 2 - 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х 2 - 2х0, т.е. если х
0 и х2, то |х 2 - 2х|= х 2 - 2х

Если х 2 - 2х

Видим, что на множестве х
0 и х2 графики функции

у = х 2 - 2х и у = |х 2 - 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

графики функции у = -х 2 + 2х и у = |х 2 - 2х| совпадают. Построим их.

График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у

Построить график функции у = |х 2 - х - 6|

1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х
-2 и х3, то |х 2 - х -6|= х 2 - х -6.

Если х 2 - х -6

Построим их.

2) Построим у = х 2 - х -6 . Нижнюю часть графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Работа на тетрадях.

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у

Действительно, поопределению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

Если же f(х) ) симметричнаточке(х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х).

Вывод: действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

F(х)

Вывод: Для построения графика функции у=|f (х) |

1.Построить график функции у=f (х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х)

Слайды 8-13.

5. Исследовательская работа по построению графиков функции у=|f |(х)| |

Применяя определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры, построим графиков функции:

у = |2|х| - 3|

у = |х 2 - 5|х||

у = | |х 2 | - 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | - 3| (1-й способ по определению модуля)

1. Строим у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , | х |>1,5 т.е. х1,5

а) у = 2х - 3 , для х>0

б) для х

2. Строим у = -2 |х| + 3 , для 2|х | - 3

а) у = -2х + 3 , для х>0

б) для х

У = | 2|х | - 3|

1) Строим у = 2х-3, для х>0.

2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

у = | х 2 - 5|х| |

1. Строим у = х 2 - 5 |х|, для х 2 - 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х

а) у = х 2 - 5 х, для х>0

б) для х

2. Строим у = - х 2 + 5 |х| , для х 2 - 5 |х|

а) у = - х 2 + 5 х, для х>0

б) для х

У = | х 2 - 5|х| |

а) Строим график функции у = х 2 - 5 х для х>0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.10)

3. Подведение итогов урока.

14,15 слайды.

у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f (х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f (х) |

1.Построить график функции у=f (х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f (х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Здравствуйте, Давид.

График функции представляет собой её геометрический образ. Он показывает, где на координатной плоскости находится точка, координаты которой (Х и У) связаны определенным математическим выражением (функцией).

Перед тем, как приступить к построению графика функций, сначала необходимо начертить оси координат ОХ и ОУ. Лучше всего для этого использовать масштабно - координатную бумагу. Далее следует определить тип функции, потому что у различных функций графики очень сильно отличаются. К примеру, линейная функция, о которой пойдет речь ниже, имеет график в виде прямой линии. После этого нужно определить область определения функций, т.е. ограничения для значений Х и У. К примеру, если Х находиться в знаменателе дроби, то его значение не может быть равным 0. Далее надо найти нули функции, то есть места пересечения графика функции с осями координат.

Приступим к построению графика функции, указанной в пункте а) вашего вопроса.

Функция у= - 6х + 4 , график которой требуется построить в первой задаче вашего вопроса, является линейной функцией, т.к. линейные функции представлены выражением y = kx + m. Областью определения линейной функции считается вся прямая ОХ. Параметр m в линейной функции определяет точку, в которой график линейной функции пересекает ось OY.

Для того, чтобы построить график линейной функции достаточно определить хотя бы две её точки, потому что графиком функции является прямая. Если найти больше точек, то можно построить более точный график. Вообще, при построении графика линейной функции необходимо определить точки, в каких график пересечет оси координат Х, У.

Итак, в вашем случае точки пересечения графика функции с осями координат будут такими:

При Х=0, У= -6*0+4=4 Таким образом, мы получили значение параметра m в линейной функции.

У=0, то есть 0= -6*Х+4, то есть 6х=4, следовательно Х=4/6=0,667

При Х= -1, У=-6*-1+4=10

При Х=1, У= -6*1+4=-2

При Х=2, У= -6*2+4=-8

Получив все вышеуказанные точки, вам остается только отметить их на координатной плоскости, соединить прямой линией, как показано в примере на рисунке, который прикреплен к данной статье.

Теперь построим график функции, указанной в пункте б) вашего вопроса.

Сразу видно, что функция у= 0,5х , из второй задачи, также является линейной функцией. В отличие от первого примера, в данном выражении отсутствует значение m, а это говорит о том, что график функции у= 0,5х проходит через начало осей координат, то есть в их нулевой точке.

При Х=0, У= 0,5*0=0

При Х= 1, У=0,5*1=0,5

При Х=2, У= 0,5*2=1

При Х=3, У=0,5*3=1,5

При Х= -1, У=0,5*-1= -0,5

При Х= -2, У= 0,5*-2= -1

При Х= -3, У=0,5*3= -1,5

Теперь, имея все вышеуказанные значения Х и У вы без труда сможете поставить эти точки на координатной плоскости, соединить их прямой линией при помощи линейки, и у вас получится график линейной функции у=0,5х

Ниже я привела ссылку, перейдя по которой, вы можете найти уроки по математике, алгебре, геометрии и русскому языку. Я бы посоветовала вам прочитать несколько тем, которые касаются построения графиков функций. В данном учебном материале очень наглядно показано, как можно построить графики линейных функций, а в темах, которые расположены далее можно увидеть примеры построения графиков других функций. Все написано достаточно подробно, поэтому это будет понятно не только тем, кто давно закончил школу и имеет представление о том, как можно построить график функции, но и тем, кто только начинает постигать азы науки. Я считаю, что увидев наглядно на конкретных примерах, как строятся графики функций, вы потом без проблем сможете решить любую задачу по построению графика функций.

Постройте график функции y х2 3х 2. Квадратичная и кубическая функции

Разделы: Математика

Тема: “Построение графика квадратной функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х 2 - 6x + 3.)

Цель.

  • Исследовать расположение графика функции на координатной плоскости в зависимости от модуля.
  • Развить навыки построения графика функции, содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

2. Координаты вершины параболы: х= - b/2а = - (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = - 6, А(3; -6).

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 - 6х + 3 = 0, D = 36 - 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 - ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х 2 - 6|x| + 3,

б) у = |х 2 - 6х + 3|.

Решение.

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x 2 - 6|x| + 3|;

б) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.

Решение.

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х 2 - 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 - 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х - 6) + 3; б) у = х|x - 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x - 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х - 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = - х 2 + 6х + 3 при х 6.

2. Координаты вершины параболы: х = - b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = - 4.

Строим график функции у = х 2 - 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 - 5x + |x - 3|;

б) у = |x 2 - 5x| + x - 3.

Решение.

а) у = х 2 - 5х + |х - 3|, переходим к совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х 2 - 4х - 3 при х > 3 по точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 - 5х| + х - 3, переходим к совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем интервале.

График функции на рисунке 12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х 2 - 5х + |x - 3||,

б) у= ||x 2 - 5x| + х - 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х - 2| (|x| - 3) - 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из групп, записывали выводы, участвовали в самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным расположением модуля:

1. у = х 2 + 4х + 2;

2. у = - х 2 + 6х - 4.

4. Рефлексивно – оценочный этап.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Трудное ли домашнее задание?

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн
  • Визуальное отображение вводимых функций
  • Построение очень сложных графиков
  • Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
  • Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
  • Управление масштабом, цветом линий
  • Возможность построения графиков по точкам, использование констант
  • Построение одновременно нескольких графиков функций
  • Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

Построение графика функции y=f(x) - Построения графиков линейных функций, содержащих переменную под знаком модуля

Графиком линейной функции является прямая линия.

   Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Пример:

   В уравнении функции y=kx+b коэффициент k   отвечает за наклон графика функции:

если k>0, то график наклонен вправо

если  k<0, то график наклонен влево

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика  функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY

если  b<0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kx сдвигом на b единиц   вниз вдоль оси OY

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

Во всех функциях b=3 - и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

На этот раз  во всех  функциях коэффициент k меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) -  начале координат.

График функции y=2x-2 (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.

Если  k<0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  

k>0

и

b>0

, то график функции

y=kx+b имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k=0 , то  функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b

Если b=0, то график функции y=kx проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности.

   Отдельно отмечу график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3  выглядит так:

Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так  как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

    Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k_1{x}+b_1 параллелен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1=k_2

    Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y=k_1{x}+b_1 перпендикулярен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1*k_2=-1 или k_1=-1/{k_2}

    Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет





Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ - модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
  4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ -- единственное пересечение с координатными осями.
  5. \[f'\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]

    Рисунок 1.

Готовые работы на аналогичную тему

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
  3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
  4. $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
  5. $f'\left(x\right)=0$
  6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.

  2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

  3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  4. $f'\left(x\right)=0$

  5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

    Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Непосредственно из определения, получим
  3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
  4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  5. $f'\left(x\right)=0$

  6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.

    Рисунок 4.

График y х 2 3. Постройте график функции y=

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Составим таблицу значений функции

Мы видим, что при (куб положительного числа положителен), а при (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента х противоположным значением тогда и функция примет противоположное значение; так как если , то

Значит, каждой точке графика соответствует точка того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.

Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.

График функции изображён на чертеже 81. Эта линия называется кубической параболой.

В I четверти кубическая парабола (при ) «круто» поднимается

вверх (значения у «быстро» возрастают при возрастания х. см. таблицу), при малых значениях х линия «тесно» подходит к оси абсцисс (при «малых» значение у «весьма мало», см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.

Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив найдём по графику

Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.

Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы».

Эта таблица содержит приближённые значения кубов чисел от 1 до 10, округлённые до 4-х значащих цифр.

Устройство таблицы кубов и правила пользования ею такие же, как и таблицы квадратов.3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Разберем как строить график с модулем.

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y= (x-3)-( (x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y= (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U и возрастает на промежутке }

Wolfram | Примеры альфа: построение и графика


Функции

Изобразите функцию одной переменной в виде кривой на плоскости.

Постройте функцию одной переменной:

Укажите явный диапазон для переменной:

Постройте функцию с действительным знаком:

Постройте функцию в логарифмическом масштабе:

График в логарифмическом масштабе:

Другие примеры


3D графики

Постройте функцию двух переменных как поверхность в трехмерном пространстве.

Постройте функцию от двух переменных:

Укажите явные диапазоны для переменных:

Другие примеры


Уравнения

Постройте набор решений уравнения с двумя или тремя переменными.

Постройте решение уравнения с двумя переменными:

Другие примеры


Неравенства

Постройте набор решений неравенства или системы неравенств.

Постройте область, удовлетворяющую неравенству двух переменных:

Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:

Другие примеры


Полярные графики

Нарисуйте график точек или кривых в полярной системе координат.

Укажите диапазон для переменной theta:

Другие примеры


Параметрические графики

Графические параметрические уравнения в двух или трех измерениях.

Укажите диапазон для параметра:

Нарисуйте параметрическую кривую в трех измерениях:

Нарисуйте параметрическую поверхность в трех измерениях:

Другие примеры


Другие примеры

Числовые строки

Нанесите набор чисел или значений на числовую линию.

Визуализируйте набор действительных чисел на числовой строке:

Показать несколько наборов в числовой строке:

Другие примеры

Wolfram | Примеры альфа: приложения исчисления


Другие примеры

Асимптоты

Вычислить горизонтальные, вертикальные или наклонные асимптоты.

Вычислить асимптоты функции:

Другие примеры


Другие примеры

Касательные и нормали

Вычислить касательную линию к кривой или вычислить касательную плоскость или нормальную линию к поверхности.

Найдите касательную к графику функции в точке:

Найдите нормаль к кривой, заданной уравнением:

Другие примеры


Другие примеры

Бугорки и углы

Вычислить и визуализировать куспиды и углы функции.

Найдите точки возврата на графике функции:

Найдите углы на графике функции:

Другие примеры


Другие примеры

Стационарные точки

Вычисляйте и визуализируйте стационарные точки функции.

Найдите стационарные точки функции:

Найдите стационарные точки функции нескольких переменных:

Другие примеры


Другие примеры

Точки перегиба

Вычислить и визуализировать точки перегиба функции.

Найдите точки перегиба функции:

Найдите точки перегиба в указанном домене:

Другие примеры


Другие примеры

Оптимизация

Найдите глобальные и локальные экстремумы и стационарные точки функций или наложите ограничение на функцию и вычислите ограниченные экстремумы.

Свернуть или развернуть функцию:

Минимизируйте или максимизируйте функцию нескольких переменных:

Свернуть или развернуть функцию с ограничением:

Другие примеры


Другие примеры

Площадь между кривыми

Вычисляет площади замкнутых областей, ограниченных областей между пересекающимися точками или областей между указанными границами.

Вычислите площадь, ограниченную двумя кривыми:

Укажите ограничения для переменной:

Другие примеры


Другие примеры

Длина дуги

Вычислить длину дуги в различных системах координат и размерах.

Вычислите длину дуги кривой:

Другие примеры


Другие примеры

Поверхности и твердые тела революции

Вычислите площадь поверхности вращения или объем тела вращения.

Вычислить свойства поверхности вращения:

Вычислить свойства твердого тела вращения:

Другие примеры


Другие примеры

Кривизна

Вычисляет кривизну функций и параметризованных кривых в различных системах координат и измерениях.

Вычислите кривизну плоской кривой:

Вычислить кривизну пространственной кривой в точке:

Другие примеры


Другие примеры

Седловые точки

Вычислить и визуализировать седловые точки функции.

Найдите седловые точки функции:

Найдите точку перевала, ближайшую к указанной точке:

Другие примеры

График уравнений

Описание :: Все функции

Введите уравнение, используя переменные x и / или y и знак =, нажмите Go:

Описание

Он может построить уравнение, в котором x и y как-то связаны (а не только y =.2

Если вы не укажете знак равенства, предполагается, что вы имеете в виду « = 0 »

Он не был хорошо протестирован, поэтому развлекается с ним , но ему не доверяет .

Если возникнут проблемы, дайте мне знать.

Примечание: для завершения может потребоваться несколько секунд, потому что для этого требуется много вычислений.

Если вы просто хотите построить график функции в стиле «y = ...», вы можете предпочесть Function Grapher и Calculator

Масштабирование

Используйте ползунок масштабирования (влево увеличивает масштаб, вправо - уменьшает).

Чтобы сбросить масштаб до исходных границ, нажмите кнопку Сбросить .

Перетаскивание

Щелкните и перетащите, чтобы переместить график. Если вы просто щелкнете и отпустите (без перетаскивания), то место, на котором вы щелкнули, станет новым центром

.

Примечание: на графиках использовано компьютерных расчетов . Оператор экспоненты (степени)

Функции

кв. Квадратный корень значения или выражения.
грех синус значения или выражения
cos Косинус значения или выражения
желто-коричневый тангенс значения или выражения
asin обратный синус (арксинус) значения или выражения
acos обратный косинус (arccos) значения или выражения
атан арктангенс (арктангенс) значения или выражения
синх Гиперболический синус (sinh) значения или выражения
куш Гиперболический косинус (cosh) значения или выражения
танх Гиперболический тангенс (tanh) значения или выражения
эксп e (константа Эйлера) в степени значения или выражения
пер. Натуральный логарифм значения или выражения
журнал Логарифм по основанию 10 значения или выражения
этаж Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и равно математическому целому числу.
потолок Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и равно математическому целому числу.
круглый Округлить до ближайшего целого числа. Примеры: округление (−2,5) = −2, округление (-0,1) = 0, округление (0,1) = 0, округление (2,5) = 3
абс Абсолютное значение (расстояние от нуля) значения или выражения
знак Знак (+1 или -1) значения или выражения

Константы

пи Константа π (3.141592654 ...)
и Число Эйлера (2,71828 ...), основание натурального логарифма

Графические линейные функции | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Построение линейной функции путем нанесения точек
  • Постройте линейную функцию, используя наклон и точку пересечения оси Y
  • Построение линейной функции с помощью преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию.Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй - с использованием точки пересечения и наклона y- . Третий - применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения.Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Практическое руководство. По заданной линейной функции построить график с помощью точек.

  1. Выберите минимум два входных значения.
  2. Оцените функцию для каждого входного значения.
  3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
  4. Нанесите пары координат на сетку.
  5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = - \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуй

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций - использование конкретных характеристик функции, а не построение точек.Первой характеристикой является точка пересечения y- , которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон, м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон - это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ подумать о наклоне - разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы встретили точку пересечения y- и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- - это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере мы имеем [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1, а затем на 2 или на 2 и затем на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

  • b - пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
  • м - наклон линии, обозначающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение вывода (подъем)}} {\ text {изменение ввода (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} - {y} _ {1}} {{x} _ {2} - {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, имеют точки пересечения по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия - единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

y и наклон.
  1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y- .
  2. Определите уклон.
  3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y- .
  4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
  5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = - \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- .

Показать решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y- . Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] - \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения и . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуй

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x .

Показать решение

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков - использовать преобразования в функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательно, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.

Вертикальные растяжения, сжатия и отражения функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [латексе] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f в целом на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом - еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

  1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
  2. Растяните или сожмите график по вертикали с коэффициентом м .
  3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x - 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали посредством [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы.

Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжимает коэффициент [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуй

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с помощью преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} - \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} - \ text {3} \ hfill \\ = - \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Построение графиков на Python | Set 1

Эта серия статей познакомит вас с построением графиков на Python с помощью Matplotlib, который, возможно, является самой популярной библиотекой для построения графиков и визуализации данных для Python.

Установка

Самый простой способ установить matplotlib - использовать pip. Введите в терминале следующую команду:

 pip install matplotlib 

ИЛИ вы можете загрузить его отсюда и установить вручную.

Начало работы (Построение линии)



import matplotlib.pyplot as plt

x 9085 2 , 3 ]

y = [ 2 , 4 ,
003 9857 9858plot (x, y)

plt.xlabel ( 'x - axis' )

plt.ylabel ( 'y - axis' ) 9858

plt.title ( 'My first graph!' )

plt.show ()

Выходные данные: Были выполнены следующие шаги:

  • Определите ось x и соответствующие значения оси y в виде списков.
  • Изобразите их на холсте с помощью функции .plot () .
  • Дайте имя оси x и оси y с помощью функций .xlabel () и .ylabel () .
  • Дайте название своему сюжету с помощью функции .title () .
  • Наконец, для просмотра вашего графика мы используем функцию .show () .

Нанесение двух или более линий на один участок

import matplotlib.pyplot as plt

57

x1 = 1 2 , 3 ]

y1 = [ 2 , 4 ,
007 1
, пл.участок (x1, y1, метка = "строка 1" )

x2 = [ 1 , 2 , 2 2 , 2 ]

y2 = [ 4 , 1 , 3 ]

plt.plot7 строка 2 " )

plt.xlabel ( 'x - axis' )

plt.ylabel ( 'y - axis' )

plt.title ( 'Две линии на одном графике !' )

plt.legend ()

plt.show ()

Вывод:
график

на том же, мы

    Мы различаем их, давая им имя ( метка ), которое передается в качестве аргумента.plot () функция.
  • Небольшое прямоугольное поле с информацией о типе линии и ее цвете называется легендой. Мы можем добавить легенду к нашему графику, используя функцию .legend () .

C Настройка участков

Здесь мы обсудим некоторые элементарные настройки, применимые практически к любому участку.

8

Как видите, мы выполнили несколько настроек, например



  • , установив ширину линии, стиль линии и цвет линии.
  • установка маркера, цвет лица маркера, размер маркера.
  • переопределение диапазона осей x и y. Если переопределение не выполнено, модуль pyplot использует функцию автоматического масштабирования для установки диапазона и масштаба оси.

Гистограмма

импорт matplotlib.pyplot as plt

x = , , 9085 9085 9085 4 , 5 , 6 ]

y = [ 2 , 4 1 9085 , 2 , 6 ]

пл.plot (x, y, color = 'зеленый' , стиль линий = 'пунктирный' , ширина линии = 3 ,

маркер 'o' , цвет лицевой панели маркера = «синий» , размер маркера = 12 )

8 )

плат.xlim ( 1 , 8 )

plt.xlabel ( 'x - ось' )

ось plt.yl ( plt.yl) ' )

plt.title ( ' Некоторые классные настройки! ' )

plt.show ()

импорт matplotlib.pyplot as plt

5

, 3 , 4 , 5 ]

высота = [ 10 , , , , 40 , 5 ]

tick_label = [ 'один' 'два , «четыре» , «пять» ]

пл.bar (left, height, tick_label = tick_label,

width = 0.8 , color = [ 9085 'красный' ])

plt.xlabel ( 'x - axis' )

plt.ylabel ( 'y - axis' t )title ( 'Моя гистограмма!' )

plt.show ()

Выход:

    Здесь мы используем 9060 для построения гистограммы.
  • Передаются координаты x левой стороны стержней вместе с высотой стержней.
  • , вы также можете дать какое-то имя координатам оси x, указав tick_labels

Histogram

import matplotlib.pyplot as plt

возрастов = [ 2 , 5 , 70 , 9085, 9085, 9085 45 , 50 , 45 , 43 , 40 , 44 ,

13 , 57 , 18 , 90 , 77 , 32 , 21 9085 40 ]

диапазон = ( 0 , 100 )

ячеек = 10

plt.hist (возрасты, ячейки, диапазон , цвет = 'зеленый' ,

histtype = 'bar' , rwidth )

plt.xlabel ( 'age' )

plt.ylabel ( 'Кол-во людей' )

«Моя гистограмма» )

plt.show ()

Вывод:

  • Здесь мы используем функцию plt.hist () для построения гистограммы.
  • частот передаются как список возрастов .
  • Диапазон может быть установлен путем определения кортежа, содержащего минимальное и максимальное значение.
  • Следующим шагом является определение диапазона значений « bin », то есть разделение всего диапазона значений на серию интервалов, а затем подсчет количества значений, попадающих в каждый интервал.Здесь мы определили интервал = 10. Итак, всего 100/10 = 10 интервалов.

Диаграмма рассеяния

import matplotlib.pyplot as plt

x , 9085 9085 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,
00 9
,
00] 9 , ,
00] 9
, y = [ 2 , 4 , 5 , 7 , 6 , 8, , 8, 11 , 12 , 12 ]

пл.scatter (x, y, label = "звездочки" , цвет = "зеленый" ,

маркер = "*"

7 = 30 )

plt.xlabel ( 'x - axis' )

plt.ylabel ( 'y - ' y -

плат.title ( 'Мой график разброса!' )

plt.legend ()

plt.show ()

000 Выход:

000
  • Здесь мы используем функцию plt.scatter () для построения графика рассеяния.
  • Здесь мы, как и линия, определяем x и соответствующие значения оси y.
  • маркер аргумент используется для установки символа для использования в качестве маркера.Его размер можно определить с помощью параметра s .
  • Круговая диаграмма

    import matplotlib.pyplot as plt

    действий ' , ' работа ' , ' играть ' ]

    срезов = [ 3 , , 3 , 9085 , 6 ]

    цветов = [ 'r' , 'y' 9085 'b' ]

    пл.пирог (срезы, метки = действий, цвета = цветов,

    startangle = 90 , тень = True, взорвать ( 0 , 0 , 0,1 , 0 ),

    радиус = 1 2 , autopct = '% 1.1f %%' )

    plt.legend ()

    (plt.902)

    Вывод вышеуказанной программы выглядит следующим образом:

    • Здесь мы строим круговую диаграмму, используя метод plt.pie () .
    • Прежде всего, мы определяем метки , используя список под названием activity .
    • Затем часть каждой метки может быть определена с помощью другого списка, называемого срезами .
    • Цвет для каждой метки определяется с помощью списка цветов .
    • shadow = True покажет тень под каждой меткой на круговой диаграмме.
    • startangle поворачивает начало круговой диаграммы на заданные градусы против часовой стрелки от оси x.
    • разнесение используется для установки доли радиуса, на которую мы смещаем каждый клин.
    • autopct используется для форматирования значения каждой метки. Здесь мы установили отображение процентного значения только с точностью до 1 знака после запятой.

    Построение кривых данного уравнения

    import matplotlib.pyplot as plt

    import numpy as np

    .arange ( 0 , 2 * (нп.pi), 0,1 )

    y = np.sin (x)

    plt.plot (x, y)


    007


    007


    007 .show ()

    Результат вышеупомянутой программы выглядит следующим образом:

    Здесь мы используем NumPy , который представляет собой универсальный пакет обработки массивов на Python.

    • Чтобы установить значения оси x, мы используем np.Метод arange () , в котором первые два аргумента предназначены для диапазона, а третий - для пошагового приращения. Результатом является большой массив.
    • Чтобы получить соответствующие значения оси Y, мы просто используем предопределенный метод np.sin () в массиве numpy.
    • Наконец, мы строим точки, передавая массивы x и y функции plt.plot () .

    Итак, в этой части мы обсудили различные типы графиков, которые мы можем создать в matplotlib. Есть и другие участки, которые не были охвачены, но самые важные из них обсуждаются здесь -


    Эта статья предоставлена ​​ Nikhil Kumar .Если вам нравится GeeksforGeeks, и вы хотели бы внести свой вклад, вы также можете написать статью на сайте deposit.geeksforgeeks.org или отправить свою статью по электронной почте: [email protected] Посмотрите, как ваша статья появляется на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим гикам.

    Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или если вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше.

    Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

    Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . А чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень


    Графические логарифмические функции

    Функция у знак равно бревно б Икс является обратной функцией экспоненциальная функция у знак равно б Икс .

    Рассмотрим функцию у знак равно 3 Икс . Это можно изобразить как:

    График обратной функции любой функции - это отражение графика функции относительно линии у знак равно Икс . Итак, график логарифмической функции у знак равно бревно 3 ( Икс ) которая является обратной функцией у знак равно 3 Икс является отражением приведенного выше графика относительно линии у знак равно Икс .

    Икс 1 9 1 3 1 3 9 27 81 год у знак равно бревно 3 Икс - 2 - 1 0 1 2 3 4

    Область определения функции - это набор всех положительных действительных чисел.

    Если база не записана, предположим, что журнал является базовым. 10 .

    Икс 1 1000 1 100 1 10 1 10 100 1000 у знак равно бревно Икс - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

    Логарифмическая функция, у знак равно бревно б ( Икс ) , можно сдвинуть k единиц по вертикали и час единиц по горизонтали с уравнением у знак равно бревно б ( Икс + час ) + k .

    Вертикальный сдвиг

    Если k > 0 , график сдвинется вверх.

    Если k < 0 , график сместится вниз.

    Горизонтальный сдвиг

    Если час > 0 , график сдвинется влево.

    Если час < 0 , график сдвинется вправо.

    Рассмотрим логарифмическую функцию у знак равно [ бревно 2 ( Икс + 1 ) - 3 ] . Это можно получить, переведя родительский граф у знак равно бревно 2 ( Икс ) Пару раз.

    Рассмотрим график функции у знак равно бревно 2 ( Икс ) .

    С час знак равно 1 , у знак равно [ бревно 2 ( Икс + 1 ) ] перевод у знак равно бревно 2 ( Икс ) на одну единицу влево.

    Сейчас же, k знак равно - 3 .График у знак равно [ бревно 2 ( Икс + 1 ) ] будет перемещен 3 единицы вниз, чтобы получить у знак равно [ бревно 2 ( Икс + 1 ) ] - 3 .

    Вы можете вспомнить, что логарифмические функции определены только для положительных действительных чисел.Это связано с тем, что для отрицательных значений соответствующее экспоненциальное уравнение не имеет решения. Например, 3 Икс знак равно - 1 не имеет реального решения, поэтому бревно 3 ( - 1 ) не определено.

    Итак, как насчет такой функции, как у знак равно бревно 4 ( - Икс ) ?

    Это определено только для отрицательных значений Икс .

    Найдите значения функции для нескольких отрицательных значений Икс . Для упрощения расчета вы можете использовать экспоненциальную форму уравнения, 4 у знак равно - Икс .

    Икс - 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 у знак равно бревно 4 ( - Икс ) или 4 у знак равно - Икс 0 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

    Постройте точки и соедините их плавной кривой.

    Вы можете видеть, что график является отражением графика функции у знак равно бревно 4 ( Икс ) о у -ось.

    Как построить линию с помощью y = mx + b - Задача 1

    Вот задача, в которой меня просят изобразить уравнение линии. И если эта линия находится в форме y, равной mx плюс b, я могу построить 10-секундный график.Но это еще не совсем в форме y равно mx plus b. Что мне нужно сделать, так это получить все само по себе.

    Итак, первое, что я собираюсь сделать, это отменить эту часть –x, добавив x к обеим сторонам знака равенства. Итак, теперь у меня 2y равно x плюс 7. Следующее, что я хочу сделать, это разделить все на 2, чтобы у меня было y само по себе. Y равно 1/2 умноженному на x плюс 7/2. Теперь я готов изобразить этого парня. Это будет немного сложно, потому что у меня есть эти дроби, но я все равно смогу поставить свою первую точку на 7/2 на оси Y, которая, кстати, 7/2 равна 3½, это смешанное число. .Оттуда я буду считать 1 квадрат больше 2, 1 больше 2, 1 больше 2, чтобы показать свой наклон.

    Итак, приступим. Первая точка находится на 3½ по оси y. Вот моя ось Y, помните, что это вертикальные 1, 2, 3 и ½, вот моя точка пересечения по оси Y. Оттуда я хочу посчитать наклон, который на 1 квадрат больше 2, но будьте осторожны. Поскольку я начинаю с середины прямоугольника по вертикали, я хочу перейти к следующему центру, вверх на 1 на 2, вверх на 1 на 2. Это сложно, потому что мои точки не попадают в углы прямоугольников, но они все еще точные точки для этой линии.

    Одна вещь, о которой следует помнить при наклоне, вы также можете двигаться в этом направлении вместо того, чтобы подниматься на 1 и 2 справа, теперь я собираюсь спуститься на 1, пройти 2 слева. Эти точки тоже на кону. Помните, что линия бесконечна в обоих направлениях, используя постоянный коэффициент наклона.

    Обычно рекомендуется наносить на график более двух точек, чтобы убедиться, что он достаточно точный, особенно в таких ситуациях, когда у меня есть дроби, и я могу ошибиться.Пожалуйста, пожалуйста, убедитесь, что вы всегда используете линейку для соединения ваших точек, чтобы ваши графики были действительно точными.

    И, наконец, не забудьте поставить стрелки на концах, чтобы показать, что эта линия тянется вечно в обоих направлениях. Если вы, ребята, можете научиться рисовать линии в форме y равно mx плюс b, тогда уравнения, подобные этим, где она почти в форме y равна mx плюс b, могут быть очень быстрыми для вас.

    Когда вас просят построить линию, у вас всегда есть выбор, какой метод использовать.Мне больше всего нравится использовать стратегии y равно mx плюс b, и я собираюсь показать вам, как эта задача может занять у меня 10 секунд. Но повесьте один, прежде чем мы это сделаем, я хочу убедиться, что вы четко понимаете, в чем проблема.

    Изобразите линию y равной 3 1 / 2x минус 4. Хорошо, ребята, вы готовы? Я собираюсь показать вам мой 10-секундный график. У меня под рукой есть линейка, позвольте мне перейти к графику, чтобы я был готов. Ладно, достаньте секундомеры, готово, ставьте, вперед. Подожди, подожди, подожди, прежде чем я это сделаю, я расскажу тебе, что сделал.Хорошо, мы идем, готово, начинаем, у меня здесь, возьмите 4, отсюда я заполняю 1, 2, 3, устанавливаю свою линейку Я почти на месте 5, 4, 3, 2, 1. Это довольно хорошо Хм?

    Вы, ребята, рисование линий, когда они уже в форме y равно mx плюс b, - одно из моих любимых занятий. Вы действительно можете выявить своего внутреннего ботаника-математика в подобных задачах. Позвольте мне показать вам, что я сделал за эти удивительные 10 секунд.

    Первым делом я поискал точку пересечения оси y. Перехват по оси Y в этой задаче равен -4, поэтому моя первая точка на графике оказалась равной -4.Отсюда я считал уклон. Позвольте мне показать вам на графике, что я имею в виду. Моя первая точка попала на точку пересечения оси Y, равную -4. Первое, что я сделал, это поставил эту точку прямо здесь, на 4 вниз по оси y. Оттуда я посчитал номер наклона, который был 3 на 2, так что из этой точки я собираюсь подняться на 3 на 2 и поставить еще одну точку, вот откуда этот парень. Мой уклон был 3/2. Оттуда я просто схватил линейку и соединил их, очень осторожно продлив линию и сделав стрелки на конце, чтобы показать, что она продолжается и идет к бесконечности.

    Итак, вы, ребята, это как супер быстрые задачи, если вы умеете это делать. Позвольте мне еще раз прогнать это через вас. Первым делом поставьте точку на стреле пересечения оси Y, отсчитайте оттуда наклонную стрелу, в-третьих, проведите линию, четвертое, нанесите на нее стрелки. Это действительно большие проблемы, ребята, я думаю, вы, возможно, даже повеселитесь, выполняя домашнее задание по математике.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *