Правила делимости: Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Содержание

Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • наибольший общий делитель пары чисел;
  • признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.

Глоссарий по теме

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.

Дополнительная литература:

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Целое число

Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.

Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.

Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).

Рисунок 1 – числовой луч

Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)

Рисунок 2 – числовой луч

Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).

Рисунок 3 – числовой луч

Делимость. Делитель и частное.

Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.

Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.

Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.

Свойства делимости.

Перечислим некоторые свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы – сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).

9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно простые числа.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.

НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

Делимость суммы и произведения.

Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.

1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.

2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.

3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.

4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.

5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.

6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.

Деление с остатком.

Натуральное число n можно представить в виде:

n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)

где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).

Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).

Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.

Алгоритм Евклида.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел

где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток rk)

ИЛИ(остаток rn)

ИЛИ (остаток 0)

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

Признаки делимости.

Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.

Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:

0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.

Таблица 1 – Признаки делимости

Число n

Число a делится на число n тогда и только тогда, когда

2

последняя цифра числа a делится на 2

3

сумма всех цифр числа a делится на 3

4

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4

5

число a оканчивается цифрой 0 или 5

7

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7

8

число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8

9

сумма всех цифр числа a делится на 9

10

число a оканчивается цифрой 0

11

знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11

13

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13

25

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.

Метод математической индукции для доказательства делимости.

Схема метода:

1. Базис индукции.

Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.

3. Шаг индукции (индукционный переход).

Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.

4. Вывод.

Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача №1

Условие:

Найдите среди чисел пары взаимно простых.

65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26

Решение:

Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.

По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.

По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.

По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.

По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.

Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.

Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.

Получим возможные пары:

(65; 14)

(30; 273) или (30; 1001)

(110; 1001) или (110; 273)

(35; 26)

Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.

Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.

Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.

Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.

Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).

Задача №2.

Условие:

Найдите НОД(2457, 1473).

Решение:

Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.

Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:

2457 = 1 · 1473 + 984

1473 = 1 · 984 + 489

984 = 2 · 489 + 6

489 = 81 · 6 + 3

6 = 3 · 2

Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.

Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.

Задача №3.

Условие:

Определите, делится ли число 17943646 на 7.

Решение:

Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.

Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.

Задача №4.

Условие:

Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.

Решение:

Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.

1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:

+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0

Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.

3. Рассмотрим выражение при n = k +1.

+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4

Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:

+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.

Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:

+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.

4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.

Признаки делимости чисел | umath.ru

Содержание

  • Таблица признаков делимости чисел
  • Доказательство признаков делимости чисел
    • Признаки делимости по последним цифрам [2, 4, 5, 8, 10, 25]
    • Признаки делимости по сумме цифр [3, 9, 11]
    • Признаки делимости по сумме граней [7, 11, 13, 37]

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.

Таблица признаков делимости чисел

*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.

Признаки делимости чисел и их доказательство

Пусть натуральное число имеет десятичную запись

   

где — цифры этого числа,

Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.

Признаки делимости по последним цифрам

Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25. Распишем число так:

   

Число 100 делится на 25, поэтому если число делится на 25, то и делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.

Признаки делимости по сумме цифр

 Если то делится на
 Сумма цифр числа делится на 3 или 9 3 или 9 соответственно
 Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11 11
Докажем признаки делимости на 3 и 9.

   

   

   

   

   

Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число делится на 3 или 9 соответственно.

Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида , то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:

   

Число распишем следующим образом:

   

   

Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа .

Признаки делимости по сумме граней

Введём следующее определение.

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Перейдём к признакам делимости.

 Если то делится на
 Сумма двузначных граней делится на 11 11
 Сумма трёхзначных граней делится на 37 37
 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13 7, 11, 13 соответственно
Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней

   

   

В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

Остальные признаки доказываются аналогично.

Признаки Делимости Чисел на 2, 3, 5, 9, 10

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся. 

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Например:

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Например:

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

  • Число «0» считается четным числом. 
  • 0,  8,  24,  66, 88,  100,  120  — чётные.
  • 1,  7,  31,  75,  91,  111,  311  — нечётные.

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Например:

  • Число 51352 можно разделить на 2, так как последняя цифра (2) делится на 2 без остатка.

Признак делимости на  3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Например:

  • 20715 можно поделить на 3, так как 2 + 0 + 7 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на  4.  Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Например:

  • 84100 делится на 4, так как в конце стоят два нуля.
  • Число 5324 и 1108 тоже делятся на 4, так как последние цифры образуют числа (24 и 08), которые делятся на 4.

Признаки делимости на  5.  Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5. 

Например:

  • 540 и 545 делятся на 5.

Признак делимости на  6.  На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Например:

  • Число 612 делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на  8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Например:

  • 43000 делится на 8, так как 43(000) оканчивается нулями
  • 8128 — тоже делится на 8: последние три цифры образуют число 128, которое делится на 8.

Признак делимости на  9.  Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Например:

  • 1737 — сумма цифр 1 + 7 + 3 + 7 = 18. 18 делится на 9.

Признаки делимости на  10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Например:

  • 890 делится на 10.
  • 1200 делится на 100.

У нас есть очень крутая статья - деление в столбик, возможно тебе будет интересно!

Признаки делимости на 11,12,13,14,15. Примеры решения задач.

Признак делимости на \(11\)

Число делится на \(11\), если разность всех цифр в нечетных местах и цифр в четных местах, делится на \(11\).

Задача 1. Проверить делимость чисел на \(11\): \(2547039\), \(13165648\) .

Решение.  Найдем сумму цифр в четных и нечетных местах у числа \(2547039\).

  1. \((9+0+4+2)-(3+7+5)=15-15=0-\)  делится на 11.
  2. \((8+6+6+3)-(4+5+1+1)=23-11=12-\) не делится на 11

Признак делимости на \(12\)

Число делится на 12, если оно кратно \(3\) и \(4.\)

Задача 2. Проверить делимость чисел на \(12\): \(9012\) и \(23988\).

  1.   Сумма цифр ​\(9012\) ​делится на \(3:\)  \(9+0+1+2=\frac{12}{3}=4\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{12}{4}=3\).
  2.   \(23988\)  сумма цифр делится на \(3:2+3+9+8+8=\frac{30}{3}=10\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{88}{4}=22.\). Вывод: числа \(9012\) и \(23988\)делятся на 12.

Признак делимости на ​\(13\)​
 

Число делится на \(13\), если число его десятков умножить на \(4\) и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(13\).

Задача 3. Проверить делимость чисел на \(13\): \(845\) и \(676\).

  1. \(84+(4*5)=104 -\)делится на \(13\).
  2. \(67+(4*6)=67+24=91-\) делится на 13.

Ответ: числа \(845,676\) делятся на 13.

Признак делимости на \(14\)

 

Число делится на \(14\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2\) и на \(7\).

Рассмотрим число \(994:\) запись числа заканчивается чётной цифрой, следовательно признак делимости на \(2\) выполнен.

Проверяем делимость на \(7:\) \(99-2*4=99-8=91.\)

Повторяем действия:  \(9-2*1=7-\) делится на \(7\). \(994\) делится \(14\).

 


Признак делимости на \(15\)

 

Число делится на \(15\), если оно делится на \(3\) и на \(5\).

Рассмотрим число \(6375.\) Число \(6375\) делится на \(3\) так как  сумма его цифр  кратна \(3\). Также данное число делится на \(5\), потому что на последнем месте стоит пятерка. Число \(6375\) делится на \(15\).

Признак делимости на \(17\)


Число делится на \(17\), если число его десятков умножить на \(12\)  и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(17\).

Задача 4. Определить кратно ли семнадцати число \(29053\) .

Решение.

\(2905+36=2941\)→\(294+12=306\)→\(30+72=102\)→\(10+24=34\).

\(29053\) делится на \(17\).


Признак делимости на \(19\)


Число делится на \(19\), если удвоенное число его десятков сложить с оставшимися цифрами, кратно \(19.\)

Пример: \(646\) делится на \(19\), так как \(64+(6*2)=76\) делится на \(19\).


Признак делимости на \(23\)


Число делится на \(23\), если утроенное число его сотен сложить с оставшимися цифрами, кратно \(23\).

Пример: \(28842-288+(3*42)=414\).Повторяем действия: \(4+(3*14)=46\), \(46\) делится на \(23\), значит и \(28842\) кратно \(23\).

 


Признак делимости на \(25\)


Число делится на \(25\), если две его последние цифры делятся на \(25\),то есть если его последние цифры оканчиваются на \(00,25,50\) или \(75\) или число кратно \(5\).

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГПУ им. Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Математика -это волшебный мир. в котором можно творить чудеса. В нем хочется просто быть и узнавать пока еще непознанное.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный экономический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Правильно задаю вопросы, умею слушать и слышать учеников. Смотрю на все сквозь призму юмора и стремлюсь влюбить всех в свой предмет. Требовательная, но понимающая. Я люблю математику за то, что она развивает мышление и приводит в порядок ум.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Харьковский педагогический колледж, Харьковский национальный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Математика - интереснейший предмет! Она развивает мышление, память, воображение детей. Даже, если вашему ребенку эта наука пока даётся непросто, я обязательно помогу ему в этом нелёгком и очень увлекательном путешествии в страну Математики! Вместе мы преодолеем все сложности! Жду вас на своих уроках!

Курсы ОГЭ

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Функция

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8 и 9. Примеры решения задач.

Что такое делимость?

"Делимость" означает, что при делении одного числа на другое результатом должно быть целое число с нулевым остатком. Под признаком делимости понимают правило, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу.

Пример:

\(6:3 =2; \)  \(6\) делится на \(3\), так как результат \(2\) - целое число, а остаток равен \(0\).

\(7:3=2,333...\) \(7\) не делится на \(3\) так как результат \(2,333...\) не является целым числом.

 

Признаки делимости чисел от  \(1\) до \(10\).

Признак делимости на \(1\)

Каждое целое число делится на \(1\)

Признак делимости на \(2\)

Последняя цифра должна быть четной - \(0,2,4,6,8\).

Пример : \(3456\) делится на \(2\) так как последняя цифра \(6\) - четное число.

\(343423\) не делится на \(2\), так как последняя цифра \(3\) нечетная.

Все четные числа делятся на \(2\).

Признак делимости на \(3\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(3\). Это простой способ найти числа кратные  \(3\).

\(3789\) делится на \(3\), так как сумма \(3+7+8+9=27\) делится на \(3\).

\(43266737\) не делится на \(3\) – сумма цифр \(4+3+2+6+6+7+3+7=38\) не делится на \(3\).

Признак делимости на \(4\)

Число, образованное последними двумя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(4\).

Пример: \(23746228\) делится на \(4\) если \(28\) делится на \(4\).

\(674235642\) не делится на \(4\), так как \(4\) не кратно \(42\).

Признаки делимости на \(5\)

Последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\).

Пример: \(42340\) делится на \(5\) так как   \(0\) - последняя цифра.

\(672234\) не делится на \(5\) так как \(4\) последняя цифра.

Признак делимости на \(6\)

Число должно быть кратным \(2\) и \(3\).

\(7563894\) делится на \(6\) -  последняя цифра \(4\)  делится на \(2\) и сумма цифр \(7+5+6+3+8+9+4=42\) делится на \(3\).

\(567423\) не делится на \(6\) -  последняя цифра \(3\), поэтому не делится на \(2\). Даже не нужно проверять на \(3\).


Признаки делимости на \(7\)

Дважды умноженная последняя цифра отнимается от оставшихся цифр в данном числе, результат должен быть кратным \(7\).

  1.  \(343\) делится на 7 так как \(34-(2*3)=28\),  \(28\) делится на \(7\).

2. \(345343\)   \(3\) - последняя цифра. Вычитаем \(2*3\) из \(34534\).

\(34534-(2*3)=34528\) число слишком большое.

\(3452-(2*8)-3436\) число слишком большое.

\(343-(2*6)=331\) повторяем снова

\(33-(2*1)=31,31\)не делится на \(7\).

\(345343\) не делится на \(7\).

Признак делимости на \(8\)

Число, образованное последними тремя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(8\).

Пример:\(234568:8-568\) делится на \(8\).

\(4568742\)не делится на \(8\) , так как  \(8\) не кратно \(742\)

Признак делимости на \(9\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(9\).

\(456786:9 -\) если сумма \( 4+5+6+7+8+6=36\) делится на \(9\).

\(87956:9-\)  сумма \(8+7+9+5+6=25\)не делится на 9.

Признак делимости на \(10\)

Последняя цифра должна быть \(0\).

Пример: \(456780\) делится на \(10\) - если последняя цифра равна \(0\).

\(78521\) не делится на \(10\) – последняя цифра \(1\).

 

Если число \(S\) делится на два числа \(a\) и \(b\), где \(a,b\) - простые числа , то \(S\) делится на \(a*b\), где \(a\) и \(b\) простые числа.

\(24\) делится на \(2\) и \(3\) и следовательно и на \(6\).

\(36\) делится на \(2 \) и \(4\), но не делится на \(8\), так  как \(4\) не простое число.

Если число \(N\) делится на другое число \(M\), то \(N\) также делится на множители \(M\).

 Например:

  1. \(72:12=6\)
  2. \(72\) также делится на \(2,3,4,6\) так как \(12\) кратно \(2,3,4,6\).

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-9 классов. Докажу, что математика - это просто. Использую классическую методику преподавания. Мои ученики получают высокие балы по ОГЭ. За несколько уроков изменю ваше мнение о математике!

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГУ , Институт Позитивных Технологий и Консалтинга

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 класса. Активно использую в своей работе не только знания математики., но и навыки консультанта-психолога, объединяя их для достижения желаемого результата. Искренне считаю, что без позитивного контакта с учеником, на возможен полноценный процесс обучения! Математику люблю, как предмет! Уважаю, как науку! И с удовольствием этим делюсь на своих занятиях.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Могилевский государственный педагогический институт им. А. Кулешова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. На занятиях использую личностно-ориентированные методики, проблемное обучение, модульные методики. Люблю комбинировать несколько методических приемов для достижения результата. Используя нестандартные методические приемы подачи материала - развиваю логическое мышление, образную память, объемное восприятие материала. Думаю, что математика доступна всем ученикам. Помогу каждому найти ключик к ее пониманию.

Векторы

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Геометрия с нуля

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

 

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 18

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5

Признак делимости на 21

Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3

Признак делимости на 22

Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 11

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 24

Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 26

Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 13

Признак делимости на 28

Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 7

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3

Признак делимости на 34

Число делится на 34 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 17

Признак делимости на 35

Число делится на 35 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 7

Признак делимости на 36

Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 9

Признак делимости на 38

Число делится на 38 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 19

Признак делимости на 39

Число делится на 39 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 13

Признак делимости на 40

Число делится на 40 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 8

Признак делимости на 42

Число делится на 42 тогда и только тогда, когда оно делится на 6 и на 7

Признак делимости на 44

Число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11

Признак делимости на 45

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.

Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Содержание

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится на число   b.

Число   b   называют делителем числа   a.

Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c   и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называют делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости на 2

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8

Пример:

1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака:

Сумма цифр числа должна делиться на   3

Пример:

745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака:

Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4

Пример:

7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5

Пример:

835

Признак делимости на 6

Формулировка признака:

Число должно делиться на   2   и на   3

Пример:

234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака:

На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой

Пример:

3626 ,
(362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака:

Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8

Пример:

63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака:

Сумма цифр должна делиться на   9

Пример:

2574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться   0

Пример:

1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака:

Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11

Пример:

1408 ,
(4 + 8 = 12 ;
1 + 0 = 1 ;
12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака:

На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой

Пример:

299 ,
(29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75

Пример:

7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00   или   50

Пример:

2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00

Пример:

102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   000

Пример:

3217000

Правила делимости (тесты)

Легко проверить, можно ли точно разделить одно число на другое

делится на

«Делится на» означает «при делении одного числа на другое получается целое число»

Примеры:

14 делится на 7, потому что 14 ÷ 7 = 2 ровно

15 - это , а не , делимое на 7, потому что 15 ÷ 7 = 2 1 7 (результат , а не целое число)

0 - это , делимое на 7, потому что 0 ÷ 7 = 0 ровно (0 - целое число)

"Может быть разделено на" и "может быть разделено на" означает одно и то же.

Правила делимости

Эти правила позволяют проверить, делится ли одно число на другое, без необходимости выполнять слишком много вычислений!

Пример: делится ли 723 на 3?

Можно попробовать разделить 723 на 3

Или используйте правило «3»: 7 + 2 + 3 = 12 и 12 ÷ 3 = 4 точно Да

Примечание. Ноль делится на любого числа (кроме самого себя), поэтому мы получаем «да» на все эти тесты.

1

Любое целое число (не дробное) делится на 1


2

Последняя цифра четная (0,2,4,6,8)

12 8 Есть

12 9 Нет

3

Сумма цифр делится на 3

381 (3 + 8 + 1 = 12 и 12 ÷ 3 = 4) Да

217 (2 + 1 + 7 = 10 и 10 ÷ 3 = 3 1 / 3 )

Это правило можно повторить при необходимости:

99996 (9 + 9 + 9 + 9 + 6 = 42, затем 4 + 2 = 6) Да

4

Последние 2 цифры делятся на 4

13 12 равно (12 ÷ 4 = 3) Да

70 19 не является (19 ÷ 4 = 4 3 / 4 ) Нет

Быстрая проверка (полезная для небольших чисел) состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число вдвое, и результатом будет целое число.

12/2 = 6, 6/2 = 3, 3 - целое число. Есть

30/2 = 15, 15/2 = 7,5, что не является целым числом.

5

Последняя цифра 0 или 5

17 5 Есть

80 9 Нет

6

Четно и делится на 3 (соответствует как правилу 2, так и правилу 3 выше)

114 (четно, и 1 + 1 + 4 = 6 и 6 ÷ 3 = 2) Да

308 (четно, но 3 + 0 + 8 = 11 и 11 ÷ 3 = 3 2 / 3 ) Нет

7

Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами.Результат должен делиться на 7. (Мы можем снова применить это правило к этому ответу)

672 (Двойное 2 равно 4, 67−4 = 63 и 63 ÷ 7 = 9) Да

105 (Двойная 5 равна 10, 10−10 = 0, а 0 делится на 7) Да

905 (Двойное 5 равно 10, 90-10 = 80 и 80 ÷ 7 = 11 3 / 7 )

8

Последние три цифры делятся на 8

109 816 (816 ÷ 8 = 102) Есть

216 302 (302 ÷ 8 = 37 3 / 4 )

Быстрая проверка - это трижды уменьшить вдвое, и результат все равно будет целым числом:

816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102 Да

302/2 = 151, 151/2 = 75.5

9

Сумма цифр делится на 9

(Примечание: это правило может быть повторено при необходимости)

1629 (1 + 6 + 2 + 9 = 18, и снова 1 + 8 = 9) Да

2013 (2 + 0 + 1 + 3 = 6)

10

Число заканчивается на 0

22 0 Есть

22 1 Нет

11

Сложить и вычесть цифры поочередно (добавить цифру, вычесть следующую цифру, добавить следующую цифру и т. Д.).Затем проверьте, делится ли этот ответ на 11.

1 3 6 4 (+ 1-3 + 6-4 = 0 ) Есть

9 1 3 (+ 9−1 + 3 = 11 ) Есть

3 7 2 9 (+ 3−7 + 2−9 = −11 ) Да

9 8 7 (+ 9-8 + 7 = 8 )

12

Число делится как на 3 , так и на 4 (он проходит как правило 3, так и правило 4 выше)

648
( По 3? 6 + 4 + 8 = 18 и 18 ÷ 3 = 6 Да)
(По 4? 48 ÷ 4 = 12 Да)
Оба пройдены, поэтому Да

524
( По 3? 5 + 2 + 4 = 11, 11 ÷ 3 = 3 2 / 3 Нет)
(Нет необходимости проверять по 4) Нет

Есть еще много всего! Существуют не только тесты на делимость для больших чисел, но и другие тесты для чисел, которые мы показали.

Факторы, которые могут быть полезны

Факторы

- это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число:

Это может быть полезно, потому что:

Когда одно число делится на другое число ...

... тогда это , также делимое на каждый из множителей этого числа.

Пример: если число делится на 6, оно также делится на 2 и 3

Пример: если число делится на 12, оно также делится на 2, 3, 4 и 6.

Еще одно правило для 11

  • Вычтите последнюю цифру из числа, образованного другими цифрами.
  • Если это число делится на 11, то и исходное число тоже.

При необходимости можно повторить

Пример: 286

28-6 равно 22, из которых делится на на 11, поэтому 286 делится на 11

Пример: 14641

  • 1464-1 это 1463
  • 146-3 это 143
  • 14-3 равно 11, из которых делится на на 11, поэтому 14641 делится на 11

Правила делимости | Helping with Math

Примечание. На этой странице содержатся устаревшие ресурсы, которые больше не поддерживаются.Вы можете продолжать использовать эти материалы, но мы можем поддерживать только наши текущие рабочие листы, доступные как часть нашего предложения членства.

Правила делимости помогают нам определить, делится ли число в точности на другие числа (т. Е. Нет остатка).

Правила - это ярлыки для определения, делятся ли числа в точности, без выполнения вычислений деления. Некоторые из этих правил вместе с примерами проиллюстрированы ниже:

Делится на 2? Правило

: если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8

Номер Делимый? Почему?
456 Есть Последняя цифра 6
68 Есть Последняя цифра 8
25 Последняя цифра 5 ( не a 2,4,6 или 8)
207 Последняя цифра 7 (, а не a 2,4,6 или 8)

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 3?

Правило: Если сумма цифр кратна 3

Номер Делимый? Почему?
405 Есть 4 + 0 + 5 = 9 (9 делится на 3)
381 Есть 3 + 8 + 1 = 12 (12 делится на 3)
928 9 + 2 + 8 = 19 (19 равно , а не , кратно 3)
4,616 4 + 6 + 1 + 6 = 17 (17 равно , а не , кратному 3)
Помощник: число, кратное 3, включает…
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 4? Правило: если последние две цифры кратны 4
(или если последние две цифры 00)
Номер Делимый? Почему?
348 Есть 48 делится на 4
27,616 Есть 16 делится на 4
8,514 14 - это , а не , кратное 4
722 22 - это , а не , кратное 4
1,200 Есть Последние две цифры: 00
200 кратно 4
Помощник: число, кратное 4, включает…
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 5? Правило

: если оно заканчивается на 5 или 0

Номер Делимый? Почему?
3,425 Есть Последняя цифра 5
750 Есть Последняя цифра: 0
8,551 Последняя цифра - 1 (, а не , 0 или 5)
394 Последняя цифра - 4 (, а не , 0 или 5)

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 6?

Правило: если оно делится на 2 и на 3

Номер Делимый? Почему?
5,106 Есть Последняя цифра - 2 (кратно 2) и… 5 + 1 + 0 + 6 = 12 (12 кратно 3)
636 Есть Последняя цифра - 6 (кратно 2) и… 6 + 3 + 6 = 15 (15 кратно 3)
5,912 Последняя цифра - 2 (кратно 2) , но … 5 + 9 + 1 + 2 = 17 (17 - это , а не , кратное 3)
508 Последняя цифра - 8 (кратно 2) , но … 5 + 0 + 8 = 13 (13 - это , а не , кратное 3)

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 9?

Правило: Если сумма цифр кратна 9

Номер Делимый? Почему?
7 686 Есть 7 + 6 + 8 + 6 = 27 (27 делится на 9)
252 Есть 2 + 5 + 2 = 9 (9 делится на 9)
883 8 + 8 + 3 = 19 (19 равно , а не , кратному 9)
5,105 5 + 1 + 0 + 5 = 11 (11 равно , а не , кратному 9)
Помощник: число, кратное 9, включает…
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 917126135

Вернуться ко всем правилам делимости

Делится на 10?

Правило: если последняя цифра 0

Номер Делимый? Почему?
880 Есть Последняя цифра: 0
9 560 Есть Последняя цифра: 0
312 Последняя цифра - 2 (, а не a 0)
7,897 Последняя цифра 7 (, а не a 0)

Вернуться ко всем правилам делимости

Правила делимости - Схема, Правила делимости от 1 до 13, Примеры

Правила делимости в математике - это набор определенных правил, которые применяются к числу, чтобы проверить, делится ли данное число на определенное число или нет.Некоторые известные тесты на делимость предназначены для чисел от 2 до 20. Это помогает нам находить множители и кратные числа без выполнения деления в столбик. Человек может мысленно проверить, делится ли число на другое число или нет, применяя правила делимости. Давайте узнаем больше о тестах на делимость в этой статье.

Что такое правила делимости?

Правило делимости - это своего рода ярлык, который помогает нам определить, делится ли данное целое число на делитель, исследуя его цифры, не выполняя весь процесс деления.К одному и тому же числу можно применить несколько правил делимости, которые могут быстро определить его разложение на простые множители. Делитель числа - это целое число, которое полностью делит число, не оставляя остатка.

В статье Scientific American 1962 года популярный математик и естествоиспытатель Мартин Гарднер обсудил правила делимости для 2–12, где он объясняет, что правила были широко известны в эпоху Возрождения и использовались для сокращения дробей с большими числами до наименьших условия.Поскольку каждое число не полностью делится на любое другое число, они могут оставить остаток, отличный от нуля. Есть определенные правила, которые помогают нам определить действительный делитель числа, просто рассматривая цифры этого числа. Это так называемые правила делимости.

Правила делимости от 2 до 12

В этом разделе мы узнаем об основных тестах делимости от 2 до 12. Правило делимости 1 не требуется, поскольку каждое число делится на 1.Вот несколько основных правил делимости:

Делимость на число Правило делимости
Можно делить на 2 Четное число или число, последняя цифра которого является четным числом, т. Е. 0, 2, 4, 6 и 8.
Делится на 3 Сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
Делится на 4 Число, образованное двумя последними цифрами числа, должно делиться на 4 или быть 00.
Делится на 5 Числа, у которых 0 или 5 являются единственной цифрой.
Делится на 6 Число, которое делится как на 2, так и на 3.
Делится на 7 Двойное вычитание последней цифры числа из оставшихся цифр дает число, кратное 7
Делится на 8 Число, образованное последними тремя цифрами числа, должно делиться на 8 или быть 000.
Делится на 9 Сумма всех цифр числа должна делиться на 9.
Делится на 10 Любое число, одноразрядная цифра которого равна 0.
Делится на 11 Разница сумм альтернативных цифр числа делится на 11.
Делится на 12 Число, которое делится как на 3, так и на 4.

Примеры правил делимости

Попробуем разобраться в приведенных выше тестах на делимость на примерах.

  • Делится ли 280 на 2? Да, 280 делится на 2, так как цифра разряда единиц равна 0.
  • Делится ли 345 на 3? Да, 345 делится на 3, так как сумма всех цифр равна 3 + 4 + 5, что составляет 12, а 12 делится на 3. Итак, 345 делится на 3.
  • Делится ли 450 на 4? Нет, 450 не делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами, начинающимися справа, т.е.e 50 не делится на 4.
  • Делится ли 3900 на 5? Да, 3900 делится на 5, так как цифра в разряде единиц равна 0, что удовлетворяет правилу делимости 5.
  • Делится ли 350 на 6? Сумма всех цифр 350 равна 8, поэтому оно не делится на 3. Следовательно, оно не может делиться на 6, поскольку число должно быть кратным как 2, так и 3, чтобы быть кратным 6.
  • 357 делится на 7, так как, когда мы вычитаем двойную цифру разряда единиц, 7 × 2 = 14, и вычитаем ее из оставшихся цифр 35, мы получаем 35-14 = 21, что делится на 7.Итак, 357 делится на 7.
  • 79238 не делится на 8, так как число, образованное последними тремя цифрами 238, не делится полностью на 8.
  • 875 не делится на 9, так как сумма всех цифр 8 + 7 + 5 = 20 не делится на 9.

Теперь давайте возьмем число 1000 и посмотрим, как оно делится на 2: 10. На изображении ясно видно, что 1000 делится на 2, 4, 5, 8 и 10 и не делится на 3, 6, 7 и 9. Мы находим это, применяя правила делимости от 2 до 10, а не выполняя деление, которое может занять больше времени.

Правила делимости простых чисел

Правила промежуточной делимости применяются к простым числам, которые меньше 20 и больше 10. Тесты делимости для простых чисел 2, 3, 5, 7 и 11 уже обсуждались выше. Здесь давайте узнаем о правилах делимости чисел 13, 17 и 19.

Правило делимости 13 - Число делится на 13, когда оно оставляет 0 в качестве остатка, когда мы делим его на 13.Тест на делимость числа 13 помогает нам быстро определить, делится ли число на 13 или нет, без выполнения деления в столбик. Согласно правилу делимости числа 13, во-первых, мы должны умножить цифру разряда единиц на 4. Затем мы добавляем произведение к оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта сумма приводит к числу, делящемуся на 13, то исходное число также делится на 13. Помимо этого метода, есть еще три других правила делимости 13, которые объясняются в этой статье - Правило делимости 13.Взгляни!

Правило делимости 17 - Число делится на 17, когда 17 делит его полностью, не оставляя ненулевого остатка. В соответствии с правилом делимости 17, сначала мы должны умножить цифру разряда единиц на 5. Затем мы вычитаем произведение из оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта разница приводит к числу, кратному 17, то исходное число также делится на 17.

Правило делимости 19 - Если мы получаем 0 в качестве остатка при делении числа на 19, то это число считается делимым на 19.В соответствии с правилом делимости числа 19, сначала мы должны умножить цифру разряда единиц на 2. Затем мы прибавляем произведение к оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта сумма дает число, кратное 19, то исходное число также делится на 19.

Правила делимости 13, 17 и 19 примеров

Давайте возьмем пример числа 1326 и проверим его делимость на 13, 17 и 19. Посмотрите на изображение, приведенное ниже.

Аналитический центр

  • Число делится на 4 и 12.Правда ли, что он будет делиться на 48?
  • Проверьте, соблюдает ли 2359334 правила делимости 4 и 8.

Важные примечания

  • Правила делимости имеют большое значение при проверке простых чисел.
  • Они удобны для решения текстовых задач.
  • Они полезны для быстрых вычислений.

Правила делимости Темы

Также проверьте эти статьи, связанные с правилами делимости.

Часто задаваемые вопросы о правилах делимости

Что означают правила делимости?

Правила делимости помогают нам определить, делится ли число полностью на другое число. Если число «a» делится на другое число «b», то оно обозначается как «a | b». Тесты на делимость - это очень короткие вычисления, основанные на цифрах чисел, чтобы выяснить, делит ли конкретное число полностью другое число или нет.

Что такое правило делимости 7 и 11?

Правило делимости числа 7 гласит, что если мы умножим цифру числа единиц на 2, а затем, если разница между этим числом и остальной частью числа слева делится на 7, то число также делится на 7.Например, давайте проверим, делится ли число 3437 на 7 или нет. Во-первых, найдите удвоение разряда единиц, то есть 7. Теперь вычтите 7 × 2 = 14 из оставшейся части числа слева, которое составляет 343. 343 - 14 = 329. Все еще трудно выяснить, действительно ли 329 делится на 7 или нет, поэтому повторите тот же процесс еще раз. Вычтем 9 × 2 = 18 из 32, получим 32-18 = 14, что делится на 7. Итак, 3437 делится на 7.
Правило делимости числа 11 гласит, что если разница между суммами цифр в альтернативных местах числа делится на 11, то число также делится на 11.Чтобы проверить, делится ли 1334 на 11 или нет, сначала найдите сумму цифр в альтернативных местах. Сумма цифр в нечетных местах равна 4 + 3 = 7, а сумма цифр в четных местах составляет 3 + 1 = 4. Теперь найдите разницу между ними, которая составляет 7-4 = 3. 3 не делится на 11, поэтому 1334 также не делится на 11.

Каковы правила делимости для чисел 2, 5 и 10?

Правила делимости чисел 2, 5 и 10 приведены ниже:

  • Правило делимости 2 - разрядная цифра числа должна быть 0, 2, 4, 6 или 8.
  • Правило делимости 5 - разрядная цифра числа должна быть либо 0, либо 5.
  • Правило делимости 10 - разрядная цифра числа должна быть 0.

Каковы правила делимости для 3, 6 и 9?

Правила делимости 3, 6 и 9 приведены ниже:

  • Правило делимости числа 3 - сумма всех цифр числа должна делиться на 3
  • Правило делимости 6 - Число должно делиться как на 2, так и на 3
  • Правило делимости 9 - сумма всех цифр числа должна делиться на 9

Каковы правила делимости для 8?

Чтобы проверить, делится ли число на 8 или нет, мы можем использовать тест делимости 8, который утверждает, что для того, чтобы число делилось на 8, должно выполняться одно из следующих условий:

  • Последние три знака числа справа должны быть 000.
  • Последние три разряда числа должны быть числом, кратным 8.

Что такое тест делимости числа 7?

Посмотрите на приведенные ниже шаги, чтобы применить тест делимости 7:

.
  • Шаг 1. Определите однозначную цифру числа и умножьте ее на 2.
  • Шаг 2: Найдите разницу между числом, полученным на шаге 1, и остальной частью числа.
  • Шаг 3: Если разница делится на 7, то число делится на 7.
  • Шаг 4: Если все еще сложно определить, кратна ли разница 7 или нет, повторите тот же процесс с числом, полученным на шаге 2.

Что такое тест делимости 2?

Тест на делимость числа 2 утверждает, что если разряды разряда единиц числа даже включают 0, то число будет делиться на 2. Все четные числа делятся на 2, или мы можем сказать, что они кратны 2.

Правила делимости - методы и примеры

Деление - это одна из четырех основных операций, при которой число распределяется на равные части.Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количеств на равные части. Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.

Деление - это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.

Что такое правило делимости?


Правила делимости были разработаны, чтобы упростить и ускорить процесс деления .Понимание правил делимости от 1 до 20 - важный навык в математике, поскольку он позволяет лучше решать задачи.

Например, правило делимости числа 9 определенно скажет нам, делится ли число на 9, независимо от того, насколько большим может показаться число.

Вы можете легко запомнить правила делимости для чисел, таких как 2, 3, 4 и 5. Но правила делимости для 7, 11 и 13 немного сложны, и по этой причине необходимо тщательно их понимать. .

Правила делимости

Как следует из названия, правила или тесты делимости - это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного выполнения фактического деления. Число делится на другое число, если результат или частное - целое число, а остаток равен нулю.

Поскольку не все числа полностью делятся на другие числа, правила делимости на самом деле являются сокращениями для определения действительного делителя числа просто путем изучения цифр, составляющих число.

Давайте теперь рассмотрим эти правила делимости для разных чисел.

В проверке делимости 1 нет условий для чисел. Все числа делятся на 1, независимо от их размера. Когда любое число делится на 1, результатом является само число. Например, 5/1 = 5 и 100000/1 = 100000.

Число делится на 2, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или 0.

Например: 102/2 = 51, 54/2 = 27, 66/2 = 33, 28/2 = 14 и 20/2 = 10

Тест делимости для 3 утверждает, что число полностью делится на 3, если цифры числа делятся на 3 или кратно 3.

Например, рассмотрим два числа, 308 и 207:

Чтобы проверить, делится ли 308 на 3 или нет, найдите сумму цифр.

3 + 0 + 8 = 11. Так как сумма равна 11, что не делится на 3, то 308 также не делится на 3.

Проверьте 207, суммируя его цифры: 2 + 0 + 7 = 9, так как 9 делится на 3, то 207 также делится на 3.

Тест делимости для 4 утверждает, что число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4,

Например: Рассмотрим два числа , 2508 и 2506.

Последние цифры числа 2508 - 08. Так как 08 делится на 4, то число 2508 также делится на 4.

2506 не делится на 4, поскольку две последние цифры 06 не делятся на 4. .

Все числа с последней цифрой 0 или 5 делятся на 5. Например, 100/5 = 20, 205/5 = 41.

Число делится на 6, если его последняя цифра является четным числом или ноль, а сумма цифр кратна 3.

Например, 270 делится на 2, потому что последняя цифра равна 0.

Сумма цифр равна: 2 + 7 + 0 = 9, которое также делится на 3.

Следовательно, 270 делится на 6.

Проверка делимости 7 объясняется в следующем алгоритме

Рассмотрим число 1073. Проверить, делится ли число на 7 или нет?

Удалите число 3 и умножьте его на 2, получится 6. Вычтите 6 из оставшегося числа 107, поэтому 107 - 6 = 101.

Повторите процесс. У нас 1 x 2 = 2, а оставшееся число 10-2 = 8.Так как 8 не делится на 7, то число 1073 также не делится на 7.

Тест делимости для 8 утверждает, что число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.

Тест делимости для 9 аналогичен тесту на делимость числа 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то число также делится на 9.

Пример: в таком числе, как 78532, сумма цифр равна : 7 + 8 + 5 + 3 + 2 = 25. Поскольку 25 не делится на 9, 78532 также не делится на 9.Рассмотрим другой случай числа: 686997, сумма цифр будет: 6 + 8 + 6 + 9 + 9 + 7 = 45. Поскольку сумма делится на 9, то число 686997 делится на 9.

Правило делимости для 10 означает, что любое число, последняя цифра которого равна нулю, тогда число I делится на 10.

Например, числа: 30, 50, 8000, 20 33000 делятся на 10.

  • Правила делимости для 11

Это правило гласит, что число делится на 11, если разница суммы альтернативных цифр делится на 11.

Например, чтобы проверить, делится ли число 2143 на 11 или нет, процедура следующая:

Сумма альтернативных цифр каждой группы: 2 + 4 = 6 и 1+ 3 = 4

Следовательно, 6- 4 = 2, поэтому число не делится на 11. Следовательно, 2143 не делится на 11.

  • Правила делимости для 13

Чтобы проверить, делится ли число на 13, повторите сложение последней цифры выполняется 4 раза к оставшемуся числу, пока не будет получено двузначное число.Если двузначное число делится на 13, то целое число также делится на 13.

Например:

2795 → 279 + (5 x 4) → 279 + (20) → 299 → 29 + (9 х 4) → 29 + 36 → 65.

В этом случае двузначное число оказывается 65, которое делится на 13, следовательно, число 2795 также делится на 13.

Практические вопросы

1. Какие из следующих чисел делятся на 2, 5 и 10?

а. 149

г.19400

г. 720345

г. 125370

эл. 3000000

2. Проверьте, делятся ли числа на 4:

3. 23408

4. 100246

5. 34972

6. 150126

7. 58724

8. 19000

9. 43938

10. 846336

11. Определите, делится ли первое число на второе:

a. 3409122; 6

б. 17218; 6

с. 11309634; 8

г.515712; 8

e. 3501804; 4

12. Определите, является ли число 9 множителем следующих чисел?

а. 394683

б. 1872546

г. 5172354

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Искусство решения проблем

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применяются только для base-10 - другие базы имеют свои собственные, разные версии этих правил.

Видео о делимости

https://youtu.be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости на 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на. Таким образом, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его цифра единиц делится на 2, то есть если число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно.Обратите внимание, что это не , а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но 1899 сам не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разделите числа на трехзначные числа справа (). Альтернативная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7.

Доказательство

Правило 2: усеките последнюю цифру, удвойте эту цифру и вычтите ее из остальной части числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это только говорит вам, делится ли он, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и прибавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы оно стало равным нулю. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба приемлемы; я использую первый).Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 - 28 ==> 1210 ==> 121 - 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. В целом работает с числами, которые взаимно просты с основанием (и отлично работает в двоичном формате). Вот тот, который работает. 12348 - 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости 10 и степени 10

Если число является степенью 10, определите его как степень 10. Показатель степени - это количество нулей, которые должны стоять в конце числа, чтобы оно делилось на эту степень 10.

Пример: Чтобы число делилось на 1 000 000, в конце должно быть 6 нулей, потому что.

Правило делимости для 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда чередующаяся сумма цифр делится на 11.

Доказательство

Общие правила для композитов

Число делится на, где разложение на простые множители равно, если число делится на каждое из.

Пример

Для примера мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Разложение 36 на простые множители. Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы увидеть, делится ли оно на 36.

  • Поскольку две последние цифры, 44, числа делятся на 4, то же самое и все число.
  • Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится как на 4, так и на 9 и должен делиться на 36.

Продвинутый

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, кроме 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 для делимости на 7.Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, ее умножение на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, делящийся на. Правило делимости 2 на 7 говорит, что для,. Правило делимости 11 эквивалентно выбору. Правило делимости 3 эквивалентно выбору. Эти правила также могут быть найдены при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется на, то вычитание может быть заменено сложением.Мы видим один пример этого в правиле делимости числа 13: мы могли бы умножить на 9 и вычесть, а не умножать на 4 и складывать.

Правило делимости для 13

Правило 1. Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делится на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разделите числа на трехзначные числа справа ().Альтернативная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 5 и вычесть из оставшегося первого числа. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости для 19

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 2 и прибавить к оставшемуся начальному числу.Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 3 и прибавить к оставшемуся начальному числу. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для вынимания надоедливости из корня.

Полезно до 23:00.Округлите число до ближайшего 50, позвоните по нему и вычтите исходное число, позвоните по этому номеру. Если, он делится на 49.

Примеры:

49. Округлить:. Разница: . ? Да!

1501. Округлить:. Разница: . ? Нет!

1470. Округлить:. Разница: . ? Да!

Доказательство

Проблемы

Ресурсы

Книги
Классы

См. Также

Правила делимости

GMAT: полное руководство

Время чтения: 6 минут

Последнее обновление 19 марта 2021 г.

Как мы узнали в предыдущем блоге, GMAT не позволяет использовать калькулятор в разделе Quant.Таким образом, важно запомнить и уметь использовать правила делимости при ответах на определенные вопросы.

Бывают случаи, когда эти правила делимости могут быть полезны для упрощения чисел и разложения на простые множители, и времена, когда эти правила могут быть полезны при определении того, является ли число кратным другому числу.

Прежде чем переходить к конкретным примерам, давайте рассмотрим правила делимости для чисел 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12.

Правила делимости GMAT: обзор

Число Делится на 0

Ни одно число не делится на 0.

Число делится на 2

Число делится на 2, если цифра единиц равна 0, 2, 4, 6 или 8, то есть если цифра единиц четная.

Например, 30, 42, 54, 66 и 78 делятся на 2.

Число делится на 3

Число делится на 3, если сумма всех цифр делится на 3.

Например , 472071 делится на 3, потому что сумма его цифр (4 + 7 + 2 + 0 + 7 + 1 = 21) делится на 3.

Число делится на 4

Если две последние цифры числа делятся на 4, то число делится на 4.

Например, последние две цифры числа 244 равны 44, что делится на 4. Студенты иногда не видят, что число, оканчивающееся на 00, делится на 4. Просто помните, что все числа, кратные 100, делятся на 4, поскольку 100 = 25 x 4.

Число делится на 5

Число делится на 5, если последняя (единица) цифра 0 или 5.

Например, числа 55 и 70 делятся на 5.

Число Делится на 6

Число делится на 6, если рассматриваемое число является четным числом, сумма цифр которого кратна 3 (и, следовательно, число делится как на 2, так и на 3, то есть делится на 6).

Например, 18 - четное число, а его цифры, 1 и 8, составляют 9, кратное 3.

Число, делимое на 7

Для этого есть хитрые формулы, но их логика сложна. Итак, если вас спросят, делится ли число на 7, просто сделайте деление.

Число делится на 8

Если число четное, разделите последние три цифры на 8. Если нет остатка, то исходное число делится на 8.

Например, число 1160 делится на 8, потому что 160/8 = 20, что является целым числом.Студенты часто не понимают, что если число заканчивается на 000, число делится на 8. Просто помните, что все числа, кратные 1000, делятся на 8, потому что 1000 = 125 x 8.

Число делится на 9

Число делится на 9, если сумма всех цифр делится на 9.

Например, 479 655 делится на 9, потому что сумма цифр (4 + 7 + 9 + 6 + 5 + 5 = 36) делится на 9.

Число делится на 10

Если цифра единиц равна 0, то число делится на 10.

Например, 10, 80, 90, 100, 1120 и 10000 делятся на 10.

Число делится на 11

Число делится на 11, если сумма разрядов с нечетным номером минус сумма Количество разрядов с четным номером делится на 11. Цифры с нечетным номером - это 1 , 3 , 5 и т. д. слева от десятичной точки. Следовательно, это единицы, сотни, десятки тысяч и так далее. Точно так же четные разряды - это 2 , 4 , 6 и т. Д. Слева от десятичной точки.Следовательно, это десятки, тысячи, сотни тысяч и так далее.

Например, 253 делится на 11, потому что (2 + 3) - 5 = 0, который делится на 11 (помните, 0 делится на любое число, кроме самого себя). Аналогично, 2915 делится на 11, потому что (9 + 5) - (2 + 1) = 11, что делится на 11.

Число делится на 12

Если число делится как на 3, так и на 4, число равно также делится на 12.

Например, поскольку 24 делится как на 3, так и на 4, 24 также делится на 12.

Теперь, когда мы рассмотрели правила делимости, давайте обсудим два сценария, в которых правила делимости могут быть полезны.

Использование правил делимости для вопросов простой факторизации

Предположим, например, что нам дано число 288 и нам нужно разбить 288 на простые множители. Хотя мы быстро видим, что 288 - четное число и, следовательно, делится на 2, чтобы наиболее эффективно разбить 288 на простые множители, полезно найти число больше 2 (если применимо), которое делит 288.5

Хотя то, что мы сделали, может показаться несущественным, начало факторизации простых чисел с деления на большое число позволяет сделать меньше шагов при разбиении чисел на простые множители, что позволяет сэкономить время. Если вы можете сэкономить хотя бы 10 секунд на каждом вопросе, вы сэкономите 31 * 10 = 310 секунд, или почти 5 минут, в разделе Quant.

Теперь давайте обсудим использование правил делимости при ответах на вопросы GMAT, которые напрямую связаны с делимостью.

Использование правил делимости для определения того, какие числа делят другие числа

Мы только что обсудили, как мы можем использовать правила делимости в вопросах, которые напрямую не касаются делимости, но, конечно, эти правила также могут быть полезны при ответах на вопросы делимости.Рассмотрим следующий пример:

Если T = 213 425 212, то на какое из следующего должно делиться T + 2?

  1. 3
  2. 6
  3. 12
  1. Только I
  2. I и II
  3. I и III
  4. II и III
  5. I, II и III

Решение: T + + 9000 2 = 213 425 214. Было бы непозволительно по времени разделить каждый из вариантов ответа на T + 2. Вместо этого мы воспользуемся правилами делимости.Поскольку T + 2 заканчивается на 4, которое является четным числом, оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр T + 2 выглядит следующим образом: 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 5+ 2 + 1 + 4 = 24, кратное 3; таким образом, T + 2 делится на 3. Итак, мы знаем, что T + 2 делится на 2 и на 3. Это также означает, что T + 2 делится на 6, потому что разложение 6 на простые множители равно 3 × 2. Таким образом, T + 2 делится на 3 и на 6. Наконец, мы узнали, что если число делится на 3 и 4, оно также делится на 12. Поскольку мы знаем, что T + 2 делится на 3, нам нужно только чтобы определить, делится ли оно также на 4.Мы делим 14, последние две цифры T + 2, на 4. Поскольку 14 не делится на 4, T + 2 не делится на 4 и, следовательно, не делится на 12.

Ответ: B

Если мы не знаем наших правил делимости, единственный способ решить этот вопрос - разделить 213 425 212 + 2 = 213 425 214 на 3, 6 или 12. Это, вероятно, будет долгим и подверженным ошибкам процессом. С другой стороны, используя правила делимости для 3, 6 и 12, мы можем очень легко прийти к ответу.

Последнее замечание о правилах делимости по важности в GMAT

Как видите, знание правил делимости, таких как свои пять пальцев, является относительно простым способом значительно повысить эффективность и снизить вероятность ошибки при ответе «нет». только квантовые вопросы, которые имеют дело непосредственно с делимостью, но также и вопросы, связанные с простой факторизацией.

Помните, что в GMAT вы должны стараться по возможности упрощать комплексные числа; Правила делимости - важный инструмент для этого. Чтобы узнать больше о том, как эффективно отвечать на вопросы GMAT Quant, ознакомьтесь с нашей статьей с 10 стратегиями, позволяющими получить высокий балл GMAT Quant без калькулятора.

Что такое правило делимости

Правило делимости - это способ определить, делится ли данное число на фиксированное число, без выполнения деления.

Мы можем использовать тесты делимости для определения простых множителей.


Тесты на делимость


Тесты на делимость на 2


Если число имеет любую из цифр 0, 2, 4, 6, 8 на своем месте, то это число делится на 2.

Простой пример

, скажем, номер 3456
У числа 3456 6 вместо единицы.Таким образом, число 3456 делится на 2.


Средний Пример:


В этом месяце Марк сэкономил 1200 рупий. Он хотел купить два подарка брату и сестра. Он думал купить эти подарки по той же цене. Как бы он потратил свои сбережения на эти два подарка?

Он мог потратить рупий.600 в подарок.
Пояснение:

Mark стоил 1200 рупий. На эти сбережения он хотел купить два подарка.
Он разделил 1200 рупий на две равные части.
У числа 1200 0 вместо единицы.Таким образом, 1200 делится на 2.
Теперь 1200/2 = 600.


Признаки делимости на 3


Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

Простой пример

, скажем, номер 3456.
Сумма цифр в числе 3456 равна 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 18 делится на 3.
Следовательно, 3456 делится на 3.


Предварительный пример:


Дженнифер решила выполнить задание по математике в классе.В классе было всего 78 студентов. Она хотела сделать из класса 3 группы с равным количеством учеников. Что бы она сделала?

В каждой группе могло быть 26 студентов.
Пояснение:

В классе было всего 78 студентов.
Проверьте число 78 с помощью теста на делимость на 3.
Сумма цифр в числе 78 равна 7 + 8 = 15.
15 делится на 3.
Следовательно, 78 делится на 3.
Теперь 78/3 = 26


Признаки делимости на 4


Если число, образованное цифрами в разрядах десятков и единиц, делится на 4, то это число также делится на 4.

Простой пример

, скажем, номер 3112
В числе 3112 число образовано цифрами в разрядах десятков и единиц. это 12.
Число 12 делится на 4, так что число 3112 делится на 4.


Предварительный пример


У Роба пачка страниц 5110.Сможет ли он раздать их 4 клиентам на равных?

Он не смог бы распределить 5110 страниц с 4 клиентами поровну.
Пояснение:

В числе 5110 число образовано цифрами в разрядах десятков и единиц. 10.
Число 10 не делится на 4, поэтому число 5110 не делится на 4.


Признаки делимости на 5


Если число содержит 0 или 5 вместо единиц, то это число делится. на 5.

Простой пример

, допустим, 3035.
Число 3035 имеет 5 вместо единицы. Таким образом, 3035 делится на 5.


Признаки делимости на 6


Если число можно разделить на числа 2 и 3, то это число делится. на 6.

Простой пример

1. Допустим, номер 55128
Число 55128 имеет 8 вместо единицы. Там он делится на 2. Сумма цифры в числе 55128 равны 5 + 5 + 1 + 2 + 8 = 21. 21 делится на 3. Следовательно, 55128 делится на 6.

2.допустим, число 45120.
Число 45120 имеет 0 вместо единицы. Там он делится на 2. Сумма цифры в числе 45120 равны 4 + 5 + 1 + 2 + 0 = 12. 12 делится на 3. Следовательно, 45120 делится на 6.


Признаки делимости на 9


Если сумма цифр в числе делится на 9, то это число делится. на 9.

Простой пример

, скажем, номер 55008.
Сумма цифр в числе 55008 равна 5 + 5 + 0 + 0 + 8 = 18. 18 делится на 9. Следовательно, 55008 делится на 9.


Средний Пример:

, допустим, номер 2247.
Сумма цифр числа 2247 равна 2 + 2 + 4 + 7 = 15.15 не делится на 9. Следовательно, 2247 не делится на 9.


Признаки делимости на 10


Если число имеет 0 вместо единиц, то это число делится на 10.

Простой пример

, допустим, 3050.
У числа 3050 0 вместо единицы.Таким образом, 3050 делится на 10.


Признаки делимости на 11


Если разница между суммами, полученными добавлением очередных цифр числа равно 0 или делится на 11, то это число также делится на 11.

Простой пример

, допустим, 1463.
Суммы альтернативных цифр числа 1463 равны 1 + 6 = 7 и 4 + 3 = 7. разница между ними 7-7 = 0. Следовательно, 1463 также делится на 11.


Средний Пример:

, скажем, номер 8243
Суммы альтернативных цифр числа 8243 равны 8 + 4 = 12 и 2 + 3 = 5. разница между ними 12-5 = 7.7 не делится на 11. Следовательно, 8243 - это не делится на 11.


Делители числа.


Частные, полученные при делении числа, являются делителями числа.
Чтобы найти делитель 15, разделите 15 на 3.
Мы получим 5 как частное.
Итак, 3 и 5 являются делителем 15.

Примечание:
  • Каждое число делится на цифру 1 и само себя.

Простой пример


Делители 225: 1, 3, 5, 9, 25, 45, 75, 225
Пояснение:

225 делится на 5.225/5 = 45,
225 делится на 3. 225/3 = 75
225 делится на 9. 225/9 = 25
Теперь каждое число делится на число 1 и само себя.


Средний Пример:


Делители 420: 1, 2, 3, 5, 10, 42, 70, 84, 140, 210, 420
Пояснение:

Здесь мы будем использовать тесты на делимость.
420 делится на 2. 420/2 = 210.
420 делится на 10. 420/10 = 42.
420 делится на 5. 420 /5 = 84
420 делится на 3. 420 /3 = 140
420 делится на 2 и 3. Таким образом, 420 делится на 6. 420 /6 = 70.
Теперь каждое число делится на число 1 и само


Предварительный пример:


Делители 8965: 1, 5, 11, 815, 1993,8965
Пояснение:

Здесь мы будем использовать тесты на делимость.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *